声学基础-第三章-声波的辐射

精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除【精品文档】第PAGE页第三章声波的辐射本章主要讨论介质中的声波与声源本身的振动状态之间的相互关系，即：声源的辐射特性。关于声源的辐射特性，主要牵涉两方面内容：一是研究当声源振动时，辐射声场的各种规律，如声压与声源的关系；声压随距离的变化及声源的指向特性等。二是研究由声源激发起来的声场反过来对声源振动状态的影响规律，即：由于辐射声波而附加于声源的辐射阻抗。下面就根据不同形式的声源，分别进行讨论。§3.1脉动球源的辐射所谓脉动球源是指进行均匀胀缩振动的球面声源，即：球源面的各点沿径向作同振幅、同相位的振动。当脉动球源的球径尺寸足够小时，它就成为了点源。理论上，任何复杂的面声源，都可以通过点源的组合来实现，因此球源是最基本的声源形式。3.1.1球面声场设有一半径为的球体，其表面作均匀的微小胀缩振动，即它的半径在附近以微量作简谐的变化，从而向周围的媒质中辐射声波。因为球面的振动过程具有各向均匀的脉动性质，因而它所产生的声波波振面是球面，辐射的是均匀球面波。如图3-1-1所示。球面声场的波动方程如式（2-4-17）所示（2-4-17）令带入式（2-4-17）得到我们熟悉的波动方程形式图3-1-1（2-4-18）求解后得球面波波函数的一般解（3-1-1）如果不考虑反射波(在无限大介质中，经常如此)，其形式为：（3-1-2）其中为声压振幅，通常为复数。而（3-1-3）为径向质点振动速度波函数，其中为质点振动速度振幅（振速幅值）。3.1.2声辐射与球源大小的关系式（3-1-2）中的待定常数由声源与声场介质的边界条件确定。设球源表面的振动速度为：其中为速度振幅，为球源半径。在声场介质与声源的交界面有：（3-1-4）由此可确定（3-1-5）其中最后的到声场中声压的波函数为：（3-1-6）质点振动速度波函数为：（3-1-7）其中由（3-1-6）式不难看出，在离脉动球源距离为的地方，声压幅值的大小由确定，而（3-1-5）式显示值不仅取决于球源的表面振动速度，而且还取决于其频率（）或波长、球源的半径。当球源半径很小或其频率很低时，有，，这时的脉动球源被称为点源；而当球源半径比较大或其频率较高时，有，此时，，此时的球源相当于平面波。3.1.3声场对脉动球源的反作用——辐射阻抗脉动球源在介质中振动，使介质发生稀疏交替的形变，从而辐射出声波；与此同时，声源本身也处于由它自己辐射形成的声场之中，也必然会受到声场对它的反作用，这个反作用力为：（3-1-8）负号代表力的方向与声压的变化方向相反，为脉动球源的表面积。将（3-1-5）式代入（3-1-2）式并考虑到（3-1-4）式得：如果令辐射阻辐射抗（3-1-9）辐射阻抗则上述反作用力可以写成（3-1-10）考虑到声场对脉动球源的反作用力以后，把球源表面看成一个力学系统，其振动表面的质量为，弹性系数为，受到的摩擦力阻为，策动其表面振动的力为，因此其振动表面的运动方程为：或将带入得（3-1-11）其中（3-1-12）把（3-1-11）和（3-1-12）的结果与第一章中强迫振动的阻抗公式比较，可以发现，由于声场对声源的反作用，对声源振动系统而言，相当于在原来的力学振动系统上附加了一个力阻抗。这种由于声辐射引起的附加于力学系统（声源）的力阻抗被称为辐射阻抗。辐射阻抗同样由阻和抗构成，辐射阻增加了振动系统（声源）的阻尼作用和能耗，振动系统（声源）不仅要消耗能量克服摩擦阻尼，消耗的能量转化成热能；而且还要消耗能量克服辐射阻尼，消耗的能量转化成声能；另一方面辐射抗的作用表现为一种惯性抗，它相当于在振动系统（声源）表面质量上附加了一个辐射质量，由于这一部分附加辐射质量的存在，声源的振动质量好像加重了，由变成了。其中为同振质量，为有效质量。应用辐射阻抗的概念可以方便地研究声源的辐射特性。声源振动系统消耗在辐射阻上的能量就应该等于其辐射的声能，即脉动球源的平均辐射声功率：（3-1-13）如果把看作频率的量度，由（3-1-9）式，当时（3-1-14a）当时（3-1-14b）脉动球源中用于克服这一部分附加惯性力而作功所消耗的能量并没有转化成向外辐射的声能，该部分能量只是储藏在声源的振动系统中。由此也可看出点源的辐射效率是比较低的。当然把看作频率的量度，说明声源的频率、尺寸及波长都不是指其绝对数值的大小，而是取决于声源尺寸与波长的比值（）。脉动球源辐射阻抗随值的变化规律如图3-1-2所示。图3-1-23.1.4脉动球源辐射声场的性质由脉动球源向介质辐射的声压公式：其中：；声压振幅随径向距离反比地减小。如图3-1-3所示。另外，由于图3-1-3，因此有或当足够大时，，即此时球面波特性已接近平面波了。根据声强的计算公式，球面声场的声强仍为：（3-1-15）其中三角函数的积分采用积化合差变换，而可得；另外因为或皆与距离成反比，所以声强仅是径向距离的函数。而平均声功率可写为：（3-1-16）为一个与距离无关的常数。另外该平均声功率与（3-1-13）式给出的声源辐射声功率比较根据能量守恒原理，二者应该相等。§3.2声偶极子的辐射所谓声偶极子是指由两个相距很近、并以相同振幅和相反相位（相位差为）小脉动球源组成的声源。例如：低频工作状态下的无障板纸盆扬声器。3.2.1声偶极子辐射声场设构成声偶极子的两个小脉动球源相距为，坐标原点选在的中点，如图3-2-1所示。这种组合声源在空间处产生的声压为各小脉动球源在处产生声压的叠加，即：（3-2-1）考虑，两小球源到达测试点的振幅差异被忽略，只考虑其相位产生的差异。即用替代振幅或幅值中的和；而将指数中和图3-2-1代入（3-2-1）式得（3-2-2）当很小、频率较低或波长很大时，有，此时有（3-2-3）将（3-2-3）式的偶极声源与（3-1-5）式的脉动球源比较可以发现，偶极辐射的振幅与极角有关，即在声场中同一距离、不同方向的位置上声压不同。为了描述声源辐射随方向而异的特性，定义任意方向的声压幅值与度轴上的声压幅值之比为该声源的辐射指向特性，即：（3-2-4）对偶极声源，由（3-2-3）式，其指向特性为，在极坐标上的图形如图3-2-1所示。偶极声源的质点振动速度为：（3-2-5）偶极声源的辐射声强为：（3-2-6）通过以为半径的球面的平均声能量流即平均声功率为;（3-2-7）带入值得：（3-2-8）是一个与无关的常量，符合能量守恒定律。3.2.2声偶极的等效辐射阻偶极声源向空间辐射声波，声波同样会对声源产生反作用，这就在声源力学系统上附加了一项辐射阻抗。如果把偶极声源看作是一个振速为、辐射阻为的等效脉动球源，则它的平均辐射声功率为:（3-2-9）另一方面，它也应该等于（3-2-8）式，因此在的情况下，有（3-2-10）由此可见，偶极声源辐射阻正比于频率的四次方，比较（3-1-13）式，脉动球源的辐射阻正比于频率的平方，（3-2-11）可见偶极声源的辐射本领远小于脉动球源。§3.3同相小球源的辐射偶极声源是两个靠得很近的反相小脉动球源的组合声源；而同相小球源是两个靠得很近的同相小脉动球源的组合声源。它是构成声柱和声阵辐射的最基本模型。3.3.1两个同相小球源的辐射声场设两个同相小球源的距离为，振动的频率和振幅相等，坐标原点在的中点，轴垂直于，如图3-3-1。当时，采用与前面相同的处理办法，即忽略两小球源到达点的振幅差异，保留相位差异，并定义二分之一声程差在空间处的点所产生的声压为：图3-3-1（3-3-1）此式表明，该组合声源的辐射声场同样具有指向性。3.3.2同相小球源辐射声场的指向性特点因为所以因此其指向特性取决于声程差和波长的比值。当1）（）时相当于（2-3-2）即声程差为波长的整数倍时，，合成声压出现极大值。出现极大值的角度为：（）（3-3-3）其中方向的极大值为主极大值，其余为副极大值。在之间出现副极大值的个数恰好等于比值的整数部分。这种在其它方向出现副极大值的现象易造成声辐射能量分散的现象，避免的方法就是使＜。2）时相当于（3-3-4）即声程差为二分之一波长的奇数倍时，合成声压为零。辐射出现零值的角度方向（角度）为：（3-3-5）把从的主极大值方向到第一次出现零辐射的角度定义为主声束角度宽度的一半，主声束角度宽度：（3-3-6）3）时由于相当于。此时有即当两个同相小球源相互靠得很近时，辐射无指向性。实际上由（3-3-1）式可得，当，合成声压为：相当于加倍的脉动球源辐射。另外通过上述讨论可以看出：抑制副极大值出现与减小主声束角宽度是相互矛盾的，＜固然可以不出现副极大值，但主声束比较宽，不小于60°；反之愈大，主声束可以变窄，但可能出现副极大值两个同相位小球源相距时的指向性如图3-3-2所示。3.3.3自辐射阻抗与互辐射阻抗两个同相小球源组合在一起辐射时，其合成声场就是它们各自产生声场的图3-3-2叠加。而两个小球源本身也处于这个合成声场之中，对其中任何一个小球源而言，它的振动状态不仅受到合成声场的反作用，同时还会受到另一个小球源产生声场的影响。以小球源Ⅰ为例，设它自身辐射声场作用在它自身表面上的力为，由小球源Ⅱ辐射的声场作用在它表面上的力为，于是合成声场作用在小球源Ⅰ表面上的合力为：合成的辐射阻抗为：（3-3-7）其中为小球源Ⅰ自身的辐射阻抗，成为自辐射阻抗或自阻抗。（3-3-8）式中和分别为小球源Ⅰ的半径和表面积；小球源Ⅱ在小球源Ⅰ上产生的辐射阻抗，它反映了声源之间的相互作用，因此被称为互辐射阻抗或互阻抗。考虑到小球源的线度通常很小，忽略声源Ⅰ对声源Ⅱ产生声场的散射作用，声源Ⅰ表面受到的声源Ⅱ产生声场的声压可近似地认为和该点自由声场声压相等。由（3-1-6）式，考虑到，因此声源Ⅱ辐射声场在声源Ⅰ表面处的声压为：（3-3-9）（3-3-10）负号表示力的方向与声压的符号相反，考虑到（3-3-11）可见互阻抗与两个小球源的表面积、它们之间的距离以及它们振速的相对大小都有关系。及特殊的情况下，当两个小球源的振动情况完全相同时，有:此时（3-3-12）而小球源Ⅰ的总辐射阻抗为：（3-3-13）由于两个小球源间的相互作用，使小球源Ⅰ除了具有自阻抗以外，还增加了一项互阻抗，增加的互阻抗随两个球源间距离的增加而起伏变化。互阻抗的阻部分（）反映了小球源Ⅰ辐射能量的变化。当＞0时，＞0，表示小球源Ⅱ对小球源Ⅰ的作用使其阻力增加，即小球源Ⅰ除了要克服自身声场产生的阻力以外，还要克服小球源Ⅱ对它产生的阻力，使总辐射阻增加，从而辐射声功率增加；当＜0时，＜0，表示小球源Ⅱ对小球源Ⅰ的作用使其阻力减小，即总辐射阻和总辐射声功率减小。互阻抗的抗部分（）反映了小球源Ⅰ同振质量的变化。当＞0时，＞0，表示小球源Ⅱ对小球源Ⅰ的作用使其同振质量增加；当＜0时，＜0，表示小球源Ⅱ对小球源Ⅰ的作用使其同振质量减小。这种组合声源与单个小脉动球源的辐射阻、图3-3-3辐射抗之比和，随的变化示于图3-3-3.对上述组合声源，以小球源Ⅰ的平均辐射声功率为例，其中每个小球源的辐射声功率为：（3-3-14）可见这时的辐射声功率随两个小球源之间的距离与波长的比值而起伏变化。当频率比较低或两个小球源相距很近时，满足的条件，这时的值趋近于1，所以有：（3-3-15）这等于一个小球源单独存在时以同样振速振动所辐射声功率的2倍。类似的讨论也适用于小球源Ⅱ的平均辐射声功率，因此当两个小球源组合在一起辐射时，低频或两小球源相距很近时，其组合声源的平均辐射声功率为每个小球源单独存在时的4倍，这与第四章中声波干涉一节所获得的结果一致。反之，当频率较高（波长小）或两小球源相距很远，以至于，此时的值趋近于零，所以有：（3-3-16）而这相当于小球源单独存在时的辐射声功率。3.3.4互易原理上面讨论了小球源Ⅱ的辐射声场对小球源Ⅰ的影响，即小球源Ⅰ除了克服自辐射阻抗外，还要克服小球源Ⅱ的互阻抗。显然球源间的影响是相互的，通过完全类似的讨论可以得到小球源Ⅰ辐射声场作用在小球源Ⅱ表面上的力（3-3-17）比较（3-3-10）式，可以看出：（3-3-18）即以速度振动的小球源Ⅰ所辐射的声波在小球源Ⅱ表面的作用力与的比值等于以速度振动的小球源Ⅱ所辐射的声波在小球源Ⅰ表面的作用力与的比值。这就是声场互易原理的一种表述形式。如果定义体积速度和球源表面声压，互易原理也可表述为：（3-3-19）即小球源Ⅰ作为声源时，在小球源Ⅱ的位置上产生的声压与小球源Ⅰ体积速度之比等于小球源Ⅱ作为声源时，在小球源Ⅰ的位置上产生的声压与小球源Ⅱ体积速度之比。在线性声学范围内，从发射到接受之间的声学系统是一各互易系统。其比值为球面声场互易参量。（3-3-20）3.3.5镜像原理作为讨论组合声源的例子，我们讨论无限大刚性壁面前一个小球源的辐射声场。设离刚性壁面处有一个脉动小球源Ⅰ，如图3-3-4所示。在空间任意位置点的声压包含两部分：一是从小球源Ⅰ直接到达点的声波，另一部分是从球源Ⅰ出发，经边界面反射以后图3-3-4再到达点的声波。用传统的解析法求解该点声场特性比较麻烦，镜像原理解决此类问题很方便。考虑到刚性壁对声波能量的全反射，设以刚性壁为对称面，在其另一面球源Ⅰ的对称位置假想存在一个小球源Ⅱ，它的振动情况与小球源Ⅰ完全相同（同相小球源）。这样的由小球源Ⅰ和Ⅱ组成的“组合”声源，其在点产生的声压为：（3-3-21）这就是脉动小球源与刚性壁组合在空间某处形成的声场的表达式。因此，对于刚性壁面前一个小球源的辐射声场，可以等效为该小球源以及以刚性壁为对称面在其对称位置的“虚源”（镜像）所产生的合成声场，或者说刚性壁面对声源的影响相当于一个虚声源的作用，这就是所谓的镜像原理。如果将刚性壁换成一个绝对软边界，此时的组合声源相当于一个声偶极子的辐射。即此时镜像原理仍成立，只不过此时的虚声源相当于实声源的反相球源。3.3.6声柱我们知道由两个同相小球源组成的组合声源具有指向性，为了避免能量分散，希望不出现副极大，这就要求＜。但即使这样，主声束仍具有较大的展宽角度。（不小于60°）。也就是说对于组合声源，抑制副极大出现和抑制主声束展宽是相互矛盾性、同时又不出现副极大而且主声束也很窄的声源呢？设有个体积速度相等、相位相同的小脉动球源均匀分布于一条直线上构成一个声柱。相邻小球源间距为，声柱总长度为，，如图3-3-5所示。由于一个小球源在空间产生的声压为（3-1-2）式，因此声柱的合成声压为：（3-3-22）同以前一样，对的远场，忽略振幅的差异，只保留相位的不同。令则（3-3-22）式可写成：图3-3-5（3-3-23）其中可见声柱也具有指向特性。而（3-3-24）可见声柱的指向特性取决于声程差与波长的比值和小球源的个数。当或时在这些方向上声压幅值出现极大，出现极大的方向为：其中对应于的为主极大值，其余为副极大值。为使第一个副极大值不出现，必须满足＜的条件。当或（为除了的整数倍以外的整数）时，因（3-3-24）式的分子为零，但分母不为零，因而在这些方向上声压幅值为零，（见图3-3-6）与其相对应的方向为：第一次出现零值的角度为主声束角宽度的一半，所以主声速的角宽度为：（3-3-25）这说明增加小球源的个数，可以减小主声束的宽度，但增加声柱的长度也会增加，这种矛盾也需统筹兼顾。当或时（3-3-24）式的分子数值为1，在这些方向上声压也出现极大值，但它们的数值比主极大值小，故称次极大，它们的角度为：第一次极大值与主极大值的比值为：（3-3-26）实用中希望该比值尽可能小，由（3-3-25）式可以看出，小球源的个数增加，会减小。总之，在声柱长度的条件下，增加小球源的个数，既可以减小主声束的宽度，还可以减小次极大的数值。最后讨论声柱的能量关系，如果为每个小球源在观察点产生的声压幅值，那么(3-3-23)式可写为：图3-3-6（3-3-27）在的远声场中质点振动速度为（3-3-28）声强为：（3-3-29）声柱的辐射声场主要有两个特点：1）个小球源组成声柱以后，在方向的声强为（3-3-29）式，比个小球源未组成声柱而是分散使用时的声强（）提高倍。2）当频率比较低时，此时声柱无指向特性，这是声柱的辐射声强和辐射功率相当于个小球源单独辐射时总强度和功率的倍。针对这一特点，在计及声源之间的相互作用以后，个相同小球源同时辐射时每个小球源的辐射阻抗为（以第个小球源为例）：（3-3-30）频率较低时有：（3-3-31）此时由于相互作用，每个小球源的辐射功率增加为单独存在时功率的倍。3.3.7不相干小球源的线阵声柱实际上是由一系列互相相干小球源组成的有限长线阵；不相干小球源的线阵则是由一系列互不相干小球源组成的无限长线阵。设每个小球源的声压振幅、速度振幅和辐射功率都相同，相邻小球源间距为；但每个小球源之间的相位关系是无规的(即不相干)。取线阵上的任一球源为坐标原点，空间点为观察点，其矢径为，线阵上第个球源与点的距离为。因此有：根据线阵上任一声源在点有效声压的平方为：整个不相干小球源线阵在点有效声压的平方和为：令则上式可写成：（3-3-32）不相干小球源线阵的辐射声场有两个特点：1）当时，（相当于点源近距很小），或（3-3-33）当时，（相当于点源近距很大）或（3-3-34）二者比较不难发现，前者在远场的有效声压是随距离平方根倒数衰减，衰减较慢；而后者则随距离倒数衰减，类似于相干球源线阵，相当于仅是单个小球源的贡献。2）不相干小球源线阵的辐射声场不具有指向性，因为各声源在观察点产生的声场是不会产生干涉现象的。§3.4点声源点声源是指其半径远小于声波波长（即）的脉动球源。关于它的辐射本领和辐射声场的特点，我们已经做了详尽的讨论。现在研究点声源主要是为了用它的组合来处理复杂声源的辐射。如前所述，单个脉动小球源在空间所辐射的声压如（3-1-6）式所示，当时，，（3-1-6）式可改写为：（3-4-1）其中为小脉动球源的体积速度振幅，通常称为点源强度。如果该点源是向半无限大空间辐射，如图6-4-1所示，则仅有半个球面的振动对辐射声场有贡献。因此点源强度为，而辐射声压为：（3-4-2）假设有一个任意形状的面声源，其表面各点振动的振幅和相位一般说来可能是各不相同的，如果把该声源表面划分成无限多个小面元，在每个面元上，各点的振动则可看成是均匀的，从而把这些面元都看成是点声源，位于处点源的振动规律为：其中为该面元的振动速度振幅，为该面元的初相位。该点源的强度。于是该面元振动时在空间产生的声压为：图6-4-1（3-4-3）其中为该面元到观察点的距离。由于面上各面元对空间声场的辐射都有贡献，所以它们的累加即为总声压：（3-4-4a）如果是向半无限大空间辐射，则为（3-4-4b）这种用点源组合的方法，原则上可以确定任意形状面声源的辐射声场，（3-4-4）式是求解声场辐射问题的基本方程。对离开声源的距离远大于声源限度的远场区域，从声源的各部分到达观察点的距离相差不大，因而可以忽略（3-4-4）式中振幅部分因不同而引起的差异，即近似用常数替代振幅部分的，并将其提到积分号外面。但相位部分的差异仍需保留。（3-4-4）式可以改写为：（3-4-5）可见此时声压幅值反比于离开声源的距离，很像球面波。1）如果声源各部分振动相位不同，或即使振动相位相同而声源线度较大（与波长同数量级），此时（3-4-5）式中相位部分（指数中）的不能作为常数处理并提至积分号外，因而积分的结果一般随空间的方向而异，也就是声源具有指向特性。实际上正是由于从各点源到观察点的声波相位不一致，声波间相互干涉的结果才造成声场的不均匀。如前面讨论的偶极声源辐射、两个同相小球源组合辐射及声柱辐射等例子。2）如果假设声源的线度远小于波长，且各部分振动相位相同，则（3-4-5）式中相位部分（指数中）的和均可近似为常数处理并提至积分号外。（6-4-5）式变成（3-4-6）这表明该情况下，远场区声压相当于一个源强为的点源辐射声压。实际上在所述条件下，各面元辐射声波在到达较远观察点时相位都相同，互相干涉叠加的结果相当于一个源强等于各个点源源强之和的新的点源。像前面讨论的两个同向小球源靠得很近时（）的组合辐射，就是这样一个特例。3）如果声源表面振动的相位作无规变化，但服从一定统计规律，例如它等几率地在之间取任一数值，此时它在较远处产生的声压其形式仍同（3-4-5）式，但此时式中的是一个随机量。假设声源表面振幅均匀，并设想将声源表面划分成个振动均匀的小区域或看成个源强相同、相位无规变化的点源。这样（3-4-5）式成为：（3-4-7）其中和分别为第个点源的初相位和点源到观察点之间的距离。如果令（3-4-8）则（3-4-7）式可简化为：（3-4-9）这表明观察点的声压为个振幅相等、相位无规变化的声波的叠加。由于无规相位声波的叠加不产生干涉现象，因此在观察点的声压有效值为：（6-4-10）其中为第个点源辐射到观察点声波的有效声压。由（6-4-8）的第一式可看出在相同的地方，是相等的，因而声场与方向无关，即这种声源无指向性。由此我们可以得到若干关于任意形状面声源的辐射声场的共同规律：1）在离开声源的距离远大于声源线度的区域，一般都是球面波。2）由于声源线度较大以至于可以和波长相比拟，这时声源具有指向性，在远场区是不均匀球面波。3）如果声源线度远小于波长，各部分又同相位振动，这时声源无指向性，其远场区是均匀球面波。4）如果声源表面各部分相位无规变化，其远场也是均匀球面波，这时声源无指向性。从上述讨论可以看出，从声源的各面元辐射出的声波到达观察点时，它们的相位情况对声场的特征是至关重要的，可以说，求解声源辐射声场的过程，实际上就是计算声源的各面源发出的声波到达观察点时相位差以及它们发生干涉的结果。下面求解活塞辐射声场的过程及其结果就是一个很好的例子。§3.5无限大障板上圆形活塞的辐射3.5.1远声场特性设在无限大平面障板上嵌有一个半径为的圆形平面活塞，静止时活塞表面与障板表面在同一平面上，活塞以速度振动时，就向障板前面的半空间辐射声波。§3.4节中指出，用点源的组合原则上可以解决任何面声源的辐射问题，现在就采用此方法处理在无限大障板上圆形活塞声源辐射的声场。取活塞中心为坐标原点，活塞面为面，其法线为轴，活塞半径为。考虑到活塞以轴旋转对称，观察点可选在面上，其矢径为，与轴的夹角为（如图3-5-1所示）。首先设想将活塞表面划分成无限多个小面元，每个小面元都作为一个点源，小面元源强，面积。该声辐射面元在点产生的声压为：（3-5-1）其中是从面元到空间观察点的距离，且因为各面元同相位振动，所以有。将所有这些点源辐射的声波叠加起来，即对积分，就获得整个活塞的辐射声压为：（3-5-2）被积函数中，，是及的函数。对的区域，忽略各面元辐射声波到达造成的振幅差异，即在振幅中用代替，在相位部分有：当时有：，从而有：（3-5-3）如果把和作为矢量，则：它们的夹角的余弦为带入（3-5-3）式（3-5-4）由柱贝塞尔函数的性质：上式变形后写成（3-5-5）声波引起质点径向速度为：（3-5-6）点的声强为：（3-5-7）由和的表达式可看出，在离活塞较远的区域，像脉动球源辐射一样，声压随距离反比衰减，声强随距离平方反比衰减。但在相同距离不同方向的位置上，声压是不均匀的，这是由于从活塞上不同位置的面元发出的声波到达观察点时相位不同产生干涉的结果使声场出现了指向性。3.5.2辐射的指向特性由贝塞尔函数的性质知道：当时，，活塞声源的指向特性为：（3-5-8）可见其指向特性取决于活塞尺寸与波长的相对比之。图3-5-2分别给出，，和四种情况下活塞声源的指向特性图。图3-5-2当＜时，相当于波长远大于活塞线度或其频率极低的情形，此时。在这种情况下，辐射几乎是各向均匀的，即无指向性。考虑到此时体积速度的幅值即源强，（3-5-5）式可简化为：该式与（3-4-2）式完全相同，说明＜时的活塞声源可近似看作为一个点源。声强（3-5-9）由于声强与无关，因此声强乘以半空间总面积就得到低频时活塞辐射声场总的平均能量流：（3-5-10）根据能量守恒定律，声场中的平均声能量流应该等于声源的平均辐射功率，即（3-5-11）图3-5-3随着值的增大，即随着活塞尺寸的加大或辐射频率的提高，其指向性愈来愈显著。图3-5-3显示，在～坐标系中，当超过一阶贝塞尔函数的第一个根植3.83以后，辐射开始具有更加复杂的指向特性。例如在的方向上，,即辐射为零；超过这个角度，辐射又逐渐增加，并在某个角度达到次极大，此后辐射又逐渐减小；在指向图上就表现为除了主瓣以外还会出现一些旁瓣。例如当时，辐射就存在一个主瓣和两个旁瓣，三个辐射为零的方向分别对应然而，相对于主瓣而言，旁瓣的辐射强度是很弱的，例如，第一个次极大的幅值约为0.14，因为能量正比于声压的平方，所以第一个旁瓣的声强大约为主瓣声强的0.02倍。因此，对于高频来说（值很大），辐射主要集中在的方向上，它形成了一个角度为的锥形射线束，活塞尺寸愈大，或者声波频率愈高，则锥顶角愈小，指向性愈强。3.5.3近声场特性前面讨论了离活塞声源较远处的声场特性，现在来研究活塞声源附近的声场规律。此时活塞上各微元面辐射的声波到达观察点时，其振幅和相位都不一样。相互干涉形成的图像非常复杂，数学处理困难，不易获得解析解。因此现在我们只讨论沿活塞中心轴上的声场。通过中心轴上的声场，推测偏离中心轴向位置的声场规律。设活塞中心为坐标原点，中心轴线为轴，观察点的坐标为。在活塞上取圆环微元体，其面积为如图3-5-4.圆环微元体上各点距点的距离为，它们到达时的振幅和相位都相等同，一个圆环微元图3-5-4体上各点叠加后在点的声压为：（3-5-12）将所有圆环对声场的贡献叠加，即对积分，就得到点的总声压为：（3-5-13a）对一定的利用和，上式可写成：（3-5-13b）式中，而表征轴上声压振幅随而变化的规律，如图3-5-5所示。图3-5-5在较小时，即在靠近声源的轴线上，的位置上，声压幅值为零。而的位置上，声压幅值取极大值。且引起声压幅值由零到正负极大值改变的值的变化范围却很小。换言之，随值的增加，声压振幅快速交替变化，但交替变化的频率则随值的增加而降低。当＞时，正弦函数中的幅角可展开为：，令因此有由此可见，在的位置上声压振幅为极大值，超过，即在＞的位置上，此时幅角已很小，近似有：这说明声压振幅已开始像球面波一样随距离反比地减弱了。而又被称为近远场临界距离。在离开活塞轴以外各点的近声场，干涉图像理应更加复杂，但数值计算的结果显示，其声压振幅随轴距的变化很小。换言之，活塞在近场区辐射的几乎是一束平均平面波。3.5.4声场对活塞声源的反作用——活塞辐射阻抗活塞声源振动时，在周围介质中产生了声场的同时也使它本身处于他自己所辐射的声场之中，因此他一定也会受到该声场的反作用力。由于活塞振动时其表面附近各处的声压是不均匀的，因此其表面各处所受到的反作用力也各不相同。设想将活塞表面划分成无限多个小面元，如图3-5-6.面元的振动在面元附近的介质中产生的声压为，根据（3-4-1）式，他应该等于：（3-5-14）式中为与之间的距离。而活塞上所图3-5-6有面元在附件产生的总声压为：（3-5-15）因此面元受到声场的反作用力为：负号的意义同前。对积分则得到整个活塞表面受声场的总反作用力为：（3-5-15）上述积分实际上很困难，然而考虑到积分号中每一对面元（如和）的相互作用力都能出现两次，一次是的振动在上所产生的力，另一次是的振动在上所产生的力。由于这两个力大小是相等的，因此我们只需考虑这一对面元的相互作用力中的一个，然后再乘以2，就可得到式（3-5-15）的积分结果。而这可以通过在对（3-5-15）式积分时适当选择积分限，使积分号中的面元仅用到一次来实现。例如，如果在对积分时只考虑从圆心到所在位置的距离为半径一个圆内的面积，然后在对积分时从圆心扩至整个活塞面积，则就能实现上述目的。否则就会重复计算相互作用力。先考虑对积分，令为到之间的直线与通过的一根直径之间的夹角，因此有，只要使由变化到，由零变化到（沿方向的最大值），那么的积分就可以遍及圆内整个面积。对的积分，则应包括整个活塞的面积，令，使由零变化到，由零变化到即可完成。如此对和积分后，再乘以2便得到：（3-5-16）逐项求积分的，先对积分得：再对积分，因为其中为零阶贝塞尔函，称为零阶修正贝塞尔函数。对积分为：再对积分其中为一阶贝塞尔函数，为一阶修正贝塞尔函数。最后对积分得，因此（3-5-17）如果令则（3-5-17）式的表达式为（3-5-17）其中为活塞的阻函数，被称为活塞的抗函数。它们随的变化规律，如图3-5-8所示。当＜1时保留级数的第一项有：（3-5-18）当＞10时，由于有图3-5-8从而有：（3-5-19）由于声场的反作用力，相当于在声源振动系统的力学阻抗上附加了一项辐射阻抗，它等于：（3-5-20）其中为辐射阻为辐射抗（3-5-21）类似于3.1.3节的讨论，附加的辐射阻反映声源振动系统除了要消耗能量克服振动系统的摩擦阻以外，还需消耗一部分能量克服辐射阻。前者的能量转化成了热能，而后者的能量则转化成声能。而附加的辐射抗则相当于在声源振动系统本身质量的基础上又额外增加一个辐射质量（同振质量），使声源振动系统的质量由原来的变成为有效质量。由于辐射阻抗的存在，活塞声源的振速会发生变化，其共振频率也会发生偏移。根据（3-5-21）式给出的辐射阻抗的计算公式及其由求平均辐射声功率的计算公式：（3-5-22）可作如下讨论：①当＜时，即活塞尺寸小于波长或相当于低频辐射情形。（3-5-23）这与（3-5-10）式给出的活塞向半无限大空间辐射的总平均能量流二者的结果相同。另外，在和的表达式中，代表活塞声源的面积，说明低频时增加声源面积能有效增加声辐射，面积扩大倍，平均辐射声功率能扩大倍，而这是所有点源相互作用的结果。②当＞时，即活塞尺寸大于波长或相当于高频辐射情形。（3-5-24）可见当活塞尺寸相对于波长比较大或频率比较高时，声源的平均辐射功率与频率无关，其平均辐射功率与平面声波的平均辐射功率的结果相同，这意味着此时活塞辐射具有很强的指向特性，整个辐射声束几乎集中在以半径为圆柱的管形区域内行进。活塞声源的辐射声场对超声学具有十分重要的意义，超声检测中使用的声源都可以看作为活塞式辐射源。活塞声源的辐射特点主要有：⑴近场区声场具有严重的空间不均匀性，然而平均地却可以看成是近似的平面波束。⑵在远场区，这一声束逐渐发散，并且除了辐射主瓣外，还存在辐射旁瓣。§3.6有限束超声辐射场3.6.1有限束超声场方程求解声源的辐射声场主要有两种途径：一是求解波动方程的满足声源处边界条件的解，如求解脉动球源辐射声场就采用了该方法。另一途径是用点源辐射叠加的方法，上节求解活塞辐射声场所采用的就是此方法。对活塞声源的求解不采用第一种方法主要是因为声源是有限平面，很难在合适的坐标系里写出确切的边界条件，即声源形状与坐标系的不一致，迫使我们无法使用第一种方法。然而，通过上节的分析：对活塞声源，当时，声波在相当一段距离内基本上集中在以圆形活塞为底面的圆柱内，构成所谓的有限超声束，这启发人们是否可以选择柱坐标系，然后采用第一种方法来求解这样的有限束超声场呢？假设声源的振动是圆对称的，因此声场也应该是极轴对称的，即与极角无关。此时在圆柱坐标系下的声波方程应具有如下形式：（3-6-1）其中为轴向坐标，为径向坐标，辐射在无限大空间传播，不存在反射波，因此我们要求解的是一个行波解。对上述方程进行坐标变换（无量纲化），令：其中称为延滞时间，是一个由波动问题伴随产生的量；和为参考坐标。为声源半径，称为瑞利距离，为波矢。瑞利距离与临界距离有如下关系。坐标变换后有：；；（3-6-2）而在变换后的新的无量纲坐标系中的波动方程为：（3-6-3）其中代表径向坐标的拉普拉斯算子符号。考虑到在超声应用中的条件很容易达到，因此可以忽略方程（3-6-3）中的第三项，方程简化为：（3-6-4）这一近似方程适用于高频及有限大小声源条件的有限束超声场，即它描述的声场仅限于偏离轴向不远的区域，因此有时也被称为近轴近似或抛物线近似。首先分离变量，令，带入方程（3-6-4）得到不含时间项的波动方程。（3-6-5）该方程的求解过程需要较多的数学知识，在此省略其分析过程，最后得到有限束超声辐射声场的解为：（3-6-6）其中为处声源表面的法向振速，表示声源表面处的径向坐标。此式表明只要声源处的法向振速分布已知，声场的分布就可以完全由上面的单一积分式确定。以下是几种典型的声源表面法向振速分布及其相应的声场特点。3.6.1有限束超声场举例1）活塞辐射超声场对于活塞式声源，其表面法向振速的表达式为：（3-6-7）将（3-6-7）式中的带入（3-6-6）式，该积分式变为：该式的积分结果适用于整个声场。当时，得活塞辐射轴上声场：（3-6-8）此结果与（3-5-13b）式当＞时的结果相同。当时（或），即考虑远声场，可近似取，则有：（3-6-9）如果声场仅限于偏离轴向不远的区域，近似有这样上面的远声场解就与(3-5-5)式的结果完全一致。2）髙斯型超声场如果把声源的振速分布设计成一种高斯函数，即：（3-6-10）其中为声源的高斯系数，要求它是一个远大于1的正实数，其目的是为了能使有限尺寸的声源半径可以拓延至无限远，便于数学处理。将（3-6-10）式带入（3-6-6）式，并利用贝塞尔函数的积分关系式可得到高斯型超声场的不含时声压表达式：（3-6-11）其中该声场的特点是声压振幅分布始终遵循高斯函数规律，不像活塞辐射声场在近场有空间不均匀性而在远场又有旁瓣辐射的现象，并且整个声场的规律都可用一个解析式简单描述。3）贝塞尔型超声场假设声源的振速分布呈贝塞尔函数形状，即（3-6-12）其中参数的要求和目的同声源的高斯系数。将（3-6-12）式带如（3-6-6）式积分直接得到贝塞尔型超声场的声压振幅分布规律：（3-6-13）该声场的特点是声压振幅分布与声源的振速振幅分布相同都呈贝塞尔函数规律，即在整个声场中声压振幅的大小和分布都不随距离发生变化，这种奇特的声场也称为非衍射声场。§3.7球形声源的辐射§3.1中的脉动球源，其表面各部分的胀缩振动的振幅和相位都是相同的，然而在一般情况下，多数的球形声源其表面并非均匀脉动，而是在各方向上有一个复杂的振动分布，即对一定表面，振速与极角和方位角有关，显然这种一般球源的辐射声场在相同的个方向上也不再是均匀的。本节着重介绍这种球源辐射声场规律和处理方法。3.7.1一般球源波动方程及其解的形式一般球形声源的辐射显然属于三维空间的问题，如图3-7-1，在球坐标内，图3-7-1波动方程具有如下形式：（2-2-5）其中的拉普拉斯算符在球坐标系中具有如下形式（3-7-1）令声压的解具有如下形式：（3-7-2）带入方程（2-2-5），经分离变量后，得到三个相互独立的关于，和的常微分方程。（3-7-3a）（3-7-3b）（3-7-3c）方程（3-7-3a）的解为：（3-7-4a）该式反映在一定的球面上声压振幅随方位角的变化规律。对方程（3-7-3b）设，则方程可以改写为：（3-7-3b1）此式为缔合勒让德方程，它在域内的有限解为缔合勒让德多项式：（3-7-4b1）当即为勒让德多项式（3-7-4b2）此即为方程（3-7-3b）的解，它反映在一定的球面上声压振幅随极角的变化规律。对方程（3-7-3c）设，它可变为：（3-7-3c1）如果令上式可进一步变形为：（3-7-3c2）这是一个阶的柱贝塞尔方程，它的解为阶柱贝塞尔函数与柱诺依曼函数的线性组合，即：或（3-7-4c1）其中；分别被称为阶球贝塞尔函数和阶球诺依曼函数，注意到这两个函数对虚宗量具有振荡性质及零值，其性质与正弦、余弦函数类似，因此该解描述的是驻波声场。若设和分别称为第一种阶球亨格尔函数和第二种阶球亨格尔函数。因为它们也是球贝塞尔函数与球诺依曼函数的线性组合，故它也应该是方程（3-7-3c2）的解，因此方程（6-7-3c）的解可以表示为：（6-7-4c2）球亨格尔函数具有如下性质：这表明第一种球亨格尔函数实际上代表着是一个向球心会聚的反射波；而第二种球亨格尔函数则代表自球心向外发散的前进波，如果我们讨论的是向无界空间（无限大介质）辐射的行波，则方程（3-7-3c）的解可以表示为：（3-7-4c3）它反映了声场随距离的变化规律。最后方程（3-7-1）的特解可总括为：（3-7-5）而方程（3-7-1）的通解为对应所有的特解的线性组合，即：（3-7-6）作为特例，假设球源辐射具有极轴对称的性质，即球源的振动（声压和振速）与方位角无关。则方程（3-7-1）的解与无关，即（3-7-4a）式中，（3-7-6）式简化为：（3-7-7）而球源的径向质点振动速度为：（3-7-8）其中，根据球贝塞尔函数和球诺依曼函数的性质可求及。当时，；（3-7-9）当时，；（3-7-10）3.7.2辐射声场与球源线度的关系对（3-7-7）式所描述的球形声源，如果系数被确定，则声场就被完全确定了。的数值取决于球源表面的振动情况，即取决于处的边界条件。为一般起见，设球源表面的振速遵循如下规律：（3-7-11）其中是以极角为自变量的振幅函数。如果在区间内有限，则可将其按勒让德多项式展开成级数，即（3-7-12）其中展开项系数可由下式确定（3-7-13）因为在球源表面媒质质点的径向振速必须等于球源表面的振速，即（3-7-14）将（3-7-8）式、（3-7-12）式和（3-7-11）式代入（3-7-14）式，并逐项比较得：（3-7-15）因此，只要给出函数的具体形式，系数和就可完全确定。以下是此类问题的举例。例1零阶球源（脉动球源）。设球源表面的振速幅值为常数，即脉动球源的情形。因为，这种情形也可看着是振速幅值按零阶勒让德函数分布，即（3-7-16）其中的是引入的在声源表面的振动初相位角，它并不影响问题的讨论。逐项比较（3-7-16）和（3-7-12）两式，得到；（3-7-17）将各值带入（3-7-15）式得（3-7-18）其余的，另外由（3-7-19）参考附录；（3-7-20）由（3-7-19）式得：（3-7-21）令则由（3-7-21）式的第二式很容易得到：（3-7-22）由此（3-7-18）式可改写为：（3-7-23）另外由（3-7-20）式不难得到：（3-7-24）如此根据（3-7-7）式，由例1零阶球源（脉动球源）产生的声压的表达式为：（3-7-25）这一结果与（3-1-6）式的结果完全相同。例2一阶球源（振动球源）。设一圆球，其中心以速度沿极轴振动（如图3-7-2）所示，试求解其辐射声场。显然圆球表面上各点的径向速度可以表示为：（3-7-26）由于该振动圆球其表面质点径向速度分布是一阶勒让德函数，所以被称为一阶球源。图3-7-2将（3-7-26）式代入（3-7-13）式得：；（3-7-27）代入（6-7-15）式（3-7-28）由此根据（3-7-7）式得其声压表达式为：利用（3-7-20）的结果该式可简化为：（3-7-29）若，即对于远离声源的区域，有如果令，则上式与偶极声源的结果完全相同。当然上述结果是在假设条件下获得的。3.7.3球源辐射的声强和声功率根据第四章的讨论，声强应该是对声压和质点速度分别取实数后，再对它们的乘积求时间的平均值，即这里横线代表对时间取平均，然而根据（3-7-7）和（3-7-8）式，对一般球源的声压和质点速度，大多由无穷级数表示，从中分离它们的实部并不容易，因此按上式计算声强不方便。在此可采用复数运算法则求解声强。其中的代表共轭复数。而和随时间有相同的变化规律，最多差一个相位角，所以有，声强的表达式可以写成：（3-7-30）对于一般球源，其在空间的声压表达式由（6-7-7）式求得，当辐射是极轴对称时（即）声压为：（3-7-31）其中（3-7-32）而质点的振动速度由（3-7-8）式为：其中（3-7-33）将和及（3-7-15）中的结果代入（3-7-30）式，声强为：（3-7-34）利用亨格尔函数的性质，其中。由此可得：时，；时，；因此对远场区（即或），声强（3-7-34）式变为：（3-7-35）一般球源的总辐射声功率为，在球坐标系中，面元所以有将（3-7-35）式代入上式，并考虑到勒让德函数的正交性，由此得到一般球源的平均辐射声功率为：（3-7-36）附录A：关于贝塞尔函数贝塞尔函数是贝塞尔方程（A-1）的特解。其中为任意实数或复数（A-2a）当为正整数或零时，，上式可写为：（A-2b）当为负数时，（A-2c）因此无论是正数或负数，（A-2a）式都可以表达第一类贝塞尔函数。当不为整数时，和是线性无关的，方程（A-1）的通解为：当为整数时，方程（A-1）的一个特解可写为：（A-3）被称为第二类贝塞尔函数（纽曼或诺依曼函数），因此一般情况下，方程（A-1）的通解为：。关于贝塞尔函数还有许多其它变形的形式，如：亨格尔函数（汉克尔函数、第三类贝塞尔函数等）（A-4）（A-5）2）虚宗量第一类贝塞尔函数（A-6）以上的贝塞尔函数及其变形形式均可称为柱贝塞尔函数形式，如果令（A-7）（A-8）（A-9）（A-10）这类函数被称为相应的球贝塞尔函数。至于贝塞尔函数的各种性质，请查阅教材后的附录。