2008 年 水木艾迪考研辅导班 考研数学三十六技 清华大学数学科学系 刘坤林
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1
考研数学三十六技
微积分上(三十六技之 7-10)
清华大学 数学科学系 刘坤林主讲
三十六技之七:正确运用定积分性质,处理变限积分与含参积分的技巧
积分定义四部曲,理解到位很重要。积分性质多醒悟,保序性质须知道。估值比较是推论,
重要场合常用到。积分极限交叉题,需要脱掉积分号。积分式内有参数,处理方法有技巧。
定积分的重要性质性质包括:积分的保序性(估值定理与比较性质)与中值定理、变限积
分的连续性与可导性,还有变限积分的处理技巧,这些概念与方法广泛用于与积分有关的极
限问题、等式与不等式证明等综合分析题目中。
关于变限积分的两个重要结论(两把快刀):
(1) 若 )(xf 在 ],[ ba 上可积(常用的充分条件为: )(xf 在 ],[ ba 上连续或分段连续), 则变
上限积分 ∫= xa dttfxF )()( 定义的函数在 ],[ ba 上连续。
[注] 此时 )(xF 不一定可导,因此 )(xF 不一定是 )(xf 在 ],[ ba 上的原函数。
(2) 若 )(xf 在 ],[ ba 上连续, 则变上限积分 ∫= xa dttfxF )()( 定义的函数在 ],[ ba 上可导,
且 )()( xfdttf
dx
d x
a
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ∫ 。 同 时 , 变 下 限 积 分 ∫ bx dttf )( 也 是 可 导 函 数 。 且
)()( xfdttf
dx
d b
x
−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ∫ 。
【注】 此时 )(xF 一定是 )(xf 在 ],[ ba 上的一个原函数。
例 7-1 设 ),()( +∞−∞∈Cxf , 0)( ≥xf 且 ∫= x dttfxf 0 )()( ,则对
)(xf 在 ),0[ +∞ 上错误的结论为( )。
(A)可微。(B) )(xf 严格单调增加。 (C) 有任意阶导数。(D) 恒等于零。
【解】 答案(B)。(A)(C)显然正确。因为 ),()( +∞−∞∈Cxf ,且
∫= x dttfxf 0 )()( , 所 以 )(xf 可 导 , 且 )()( xfxf =′ , 解 得
xCexf =)( 。由 0)()0( 0
0
== ∫ dttff ,解出 0)0( == fC ,因此
0)( ≡xf 。因此(D)正确。
处理含有参数积分问题的重要技巧(两把快刀):
积分号内含有参数的问题是一类重要题型,这类问题往往需要对参数求导数。
典型方法有两个(积分式内有参数,处理技巧有快刀):
(1)当参数以因子形式出现在积分号内时,则将含参数的因子移到积分号外面,
(2)如无法将含参数的部分移到积分号外面,则引入变量替换。
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2
例 7-2 (2005-2-15:11 分) 设函数 )(xf 连续,且 0)0( ≠f ,求极限
dttxfx
dttftx
x
x
x )(
)()(
lim
0
0
0 −
−
∫
∫
→
【解析与点评 1】 本题主要考点是:(1)含参积分处理方法;(2)极限分析计算与罗必达
法则;(3)变限积分求导数;(4)积分中值定理。水木艾迪考研辅导班教学中含有不少此
类例题,可参见基础班综合辅导第 2 讲例 2.21,例 2.25,例 2.27,水木艾迪考研辅导暑期
强化班第 4 讲例 39-43,例 55-56 等例题,系列
《2005 考研数学应试导引与进阶》中
也有许多这样的典型例题和方法,如例 6.74,例 6.78,例 7.22 等。刘坤林等编写,清华大
学出版社 2004 年 7 月出版。
【解】 首先取变换 txu −= ,则
∫∫∫∫ ==−=− xxxx dttfduufudufdttxf 0000 )()()()()( ,
因此
dttfx
dtttfdttfx
dttxfx
dttftx
x
xx
xx
x
x ∫
∫∫
∫
∫ −=
−
−
→→
0
00
0
0
0
0 )(
)()(
lim
)(
)()(
lim
)()(
)(lim
)()(
)(
lim
0
0
0
0 xxfxf
xf
xxfdttf
dttf
xx
x
x +=+
= →→ ∫
∫
ξ
ξ
2
1
)0()0(
)0( =+= ff
f
其中 x<< ξ0 , 0→x 时 0→ξ ,上述第 2 个等号用了罗必达法则。
例 7-3 已知 )(xf 连续,且 2
0
=→ x
xf
x
)(lim ,设 ∫= 10 dtxtfxF )()( ,
求 )(xF ′ ,并讨论 )(xF ′ 的连续性。
【解】 首先由知 )(xf 连续及极限等式应有 00 =)(f ,
其次令 0≠== x
x
dudtxtu ,, ,则有
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
≠= ∫
00
01
0
x
xduuf
xxF
x
)(
)(
当 0≠x 时, ∫ −−=′ x dttftxxxxfxF 02 21 )()()()( 为连续函数。
1
2
0
02
0
0
===′ →→
∫
x
xf
x
duuf
F
x
x
x
)(lim
)(
lim)( (导数定义!)
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因此,
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
≠−−=′ ∫
01
0)()2(1)(
)( 02
x
xdttftx
xx
xf
xF
x
)0(112)(1lim)(lim)(lim
02000
Fuduf
xx
xfxF
x
xxx
′==−=−=′ ∫→→→ ,
所以 )(xF ′ 在 ),( +∞−∞ 处处连续。
例 7-4 设 )(xf 在 ),[ ∞+0 上可导, 00 =)(f ,其反函数为 )(xg ,
若 x
xfx
x
exdtxtg 2
)(
)(∫ + =− ,求 )(xf 。
【解】 令 dudtuxt ==− , ,
xxfx
x
xf
exduugdtxtg 2
)( )(
0
)()(∫ ∫+ ==−
对最后一个等号两侧关于 x 求导数,注意到 xxfg =))(( ,得到
xx exxexfx 22)( +=′ ,当 0≠x 时有
xx xeexf +=′ 2)( ,
积分得到 C)1(2)( +−+= xeexf xx
由 )(xf 在 0=x 处连续, Cxf
x
=→ )(lim0 ,
又 0)0( =f ,解出 1−=C ,于是 1)1(2)( −−+= xeexf xx 。
例 7-5 设 ]1,0[)( Cxf ∈ ,证明 ∫∫∫ ++=+ 10010 )(ln)( )1(ln)(ln duufduufufdttxf
x
.
【解】 对右端采用区间变换:令 utx =+ , dudx = ,则有
∫∫∫∫ −==+ ++ xxxx duufduufduufdttxf 010110 )(ln)(ln)(ln)(ln
,∫∫∫ +−= + 10011 )(ln)(ln)(ln duufduufduuf xx
将 ∫ +11 )(lnx duuf 化为形如 ∫ x0 的积分,令 1−= uv ,得到
∫∫∫ +=+=+ xxx duufdvvfduuf 0011 )1(ln)1(ln)(ln ,
所以 ∫∫∫ ++=+ 10010 )(ln)( )1(ln)(ln duufduufufdttxf
x
。
积分的保序性与比较性质的综合应用 积分等式与不等式证明技巧
例 7-6 设 dx
x
xI ∫= 401 tan
π
, dx
x
xI ∫= 402 tan
π
,则( B ).
(A) 121 >> II 。(B) 211 II >> 。(C) 112 >> II 。(D) 121 II >> 。
【解】 注意到当 ]
4
,0( π∈x 时,
x
xxf tan)( = , 2
2 tansec)(
x
xxxxf −=′ ,
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0
cos
sincossin
cos
sincos)( 2222 >−>−=′ xx
xxx
xx
xxxxf , )(xf 单调增加。
于是 <= ∫ dxx xI 401 tan
π
144
0
=∫ dxπ π ,另有 xx 22 tan< ,
因此
x
x
x
x
x
x
x
x
tan
)
tan
(tantan 2 => ,由积分比较性质,应选(B)。
例 7-7 求极限 dx
x
nx n
n ∫ +
−
∞→
1
0
1
1 sin
lim . 答案:
11
1
sin+ 。
【解】 dx
x
nx n∫ +
−1
0
1
1 sin ∫∫ +++=+=
1
0 2
1
0
1
0 111 )sin(
cos
sinsin x
xdxx
x
x
x
dx nnn
记 dx
x
xxI
n
n ∫ +=
1
0 21 )sin(
cos ,则
1
10
1
0 +=≤< ∫ ndxxI nn
因此 nn
n
n
Idx
x
nx
∞→
−
∞→ ++=+∫ limsinsinlim 11 11
1
0
1
11
1
sin+=
例 7-8 极限 =+∫+∞→
x
x tx
dt
e
t2
1
lim ( )。
(A)1. (B)0 . (C)
2
1 . (D)不存在。
【解】 答案为(B)。由初等函数( xe x , )性质, 0>∃X ,使当 0>> Xx ,
且 ]2,[ xxt∈ 时,有 te
t
+< 10 xe
x
+< 1
2 ,由积分保序性及比较性质得到
x
x
xx
x
x t e
xxdt
e
xdt
e
t
+=+<+< ∫∫ 1 21 210
22
,
应用夹逼定理,得到 0
1
lim
2 =+∫+∞→
x
x tx
dt
e
t 。
例 7-9 证明 ∫ ∫ +≤+20 20 22 1cos1sin
π π
dx
x
xdx
x
x .
【证】 (方法 1:区间变换+估值定理)移项考虑:
∫∫ +−++−= 24 240 2 1
cossin
1
cossin π
π
π
dx
x
xxdx
x
xxI ,
对上述第二个积分令 xt −=
2
π ,则有
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∫ +−= 20 21 cossin
π
dx
x
xxI ∫∫ −+
−++
−= 4
0 2
4
0 2
)
2
(1
sincos
1
cossin ππ
π dtt
ttdx
x
xx
∫ −+−+−=
4
0 2
2 ]
)
2
(1
1
1
1)[cos(sin
π
π dttt
tt
0
)
2
(1)1(
)
4
)(cos(sin
4
0 22
2
<
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −++
−−
= ∫ π π
ππ
dt
tt
ttt
,
(方法 2:区间变换+中值定理)考虑 ∫ +−= 20 21 cossin
π
dx
x
xxI ,
∫∫ +−++−= 24 240 2 1
cossin
1
cossin π
π
π
dx
x
xxdx
x
xxI
∫ −+= 4021 )cos(sin1
1 π
ξ dxxx ∫ −++ 2422 )cos(sin1
1 π
πξ dxxx
其中 )
2
,
4
(),
4
,0( 21
ππξπξ ∈∈ ,对上述第二个积分令 xt −=
2
π ,则有
∫ −+−+= 402221 )cos(sin)1
1
1
1(
π
ξξ dxxxI 0)21)(1
1
1
1( 2
2
2
1
<−+−+= ξξ
例 7-10 设 ],[)( 2 baCxf ∈ , 0)()( == bfaf ,证明 )(max4)( xf
ab
dxxf
bxa
b
a ≤≤−≥′′∫ .
【证】 设 )(max)( 0 xfxf
bxa ≤≤
= ,根据微分中值定理,分别有 ),( 01 xa∈ξ 与 ),( 01 xa∈ξ 使
得 ),)(())(()()( 01010 axfaxfafxf −′=−′+= ξξ
),)(())(()()( 02020 bxfbxfbfxf −′=−′+= ξξ 注意到
dxxfdxxfdxxf
b
a ∫∫∫ ′′≥′′≥′′ 2121 )()()( ξξξξ
))((
)()()()(
)()(
00
0
0
0
0
0
12 axbx
abxf
ax
xf
bx
xf
ff −−
−=−−−=′−′= ξξ
。)(max4 xf
ab bxa ≤≤−≥ 应注意二次函数级值问题:
4
)())(()(
2
000
abaxbxxg −−≥−−= ,所以
4
)())((
2
00
abaxbx −≤−− 。
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例 7-11 设 )(xf 在 ],[
2
0 π 上连续, )(xf ′ 在 ),(
2
0 π 内连续,且满足
02
0
2 =⋅∫ dxxfx )(cosπ , 证明: 存在 ),( 20 πξ ∈ 与 ),( 20 πη ∈ ,分别使得
ξξξ tan)()( ff 2=′ 与 ηηη tan)()( ff =′ 。
【证】首先由分部积分,
=⋅∫ dxxfx )(cos20 2
π
02 22
0
=′⋅+⋅−− ∫ dxxfxxfxxx ))(cos)(sincos(π ,
由被积函数的连续性,则存在 ),(
2
0 πξ ∈ ,使得
02 2 =′⋅+⋅− ))(cos)(sincos( ξξξξξξ ff ,
其次, ,cos 0≠ξξ 必有 02 =′⋅−⋅− ))(cos)(sin ξξξξ ff ,
即有 ξξξ tan)()( ff 2=′ 。另由分部积分得到:
=⋅∫ dxxfx )(cos20 2
π
xdxfx sin)(cos∫ ⋅20
π
dxxxfxfxx ))(sin)((cossin −′⋅−= ∫ 20
π
02
0
=⋅⋅−′⋅−= ∫ dxxff πηηηη sin))(sin)((cos ,
其中 ),(
2
0 πη ∈ 。又 ,sin 012
0
≠=⋅∫ dxxπ 因此 0=⋅−′⋅ ))(sin)(cos ηηηη ff ,
即有 ηηη tan)()( ff =′ 。
例 7-12 设 ( )f x 在[ , ]( )a b a b< 上连续,且 ( ) 0b
a
f x dx =∫ , ( ) 0ba xf x dx =∫ ,证明:至少
存在两点 1 2 1 2, ( , ),x x a b x x∈ ≠ ,使得 1 2( ) ( )f x f x= 成立。
【证】 设 ∫= xa dttfxF )()( ,则 0)()( == bFaF ,
又 ∫∫∫ −== babababa dxxFxxFxxdFdxxxf )()()()(
0))(()( =−−=−= ∫ abFdxxFba ξ
但 0≠− ab ,可知 ),( ba∈∃ξ ,使得 0)( =ξF ,又 )()(' xfxF = ,
可知 ),(),,( 21 bxax ξξ ∈∈∃ ,使得 0)()( 21 == xfxf 。
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例 7-13 设 )(xf 是 ],[ aa +− 上的连续偶函数,且 0)( >xf , Adtttfa =∫0 )( ,设
∫− −= aa dttftxxF )(||)( 。
(1)证明当 ],[ aax −∈ 时, )(xF ′ 单调增加。
(2)证明 )(xF 在 ],[ aa +− 上有最小值,并求出最小值;
【解】(1) ],[ aax −∈ ,
∫∫ −+−= − axxa dttfxtdttftxxF )()()()()(
∫∫∫∫ −+−= −− axaxxaxa dttfxdtttfdtttfdttfx )()()()(
∫∫ −+−−+=′ − axxa dttfxxfxxfxxfdttfxxfxF )()()()()()()(
∫∫ += − xaxa dttfdttf )()(
故 )(xF ′ 单调增加。
(2) ∫∫∫∫ +−−=+=′ −− xaxaxaxa dttfudufdttfdttfxF )()()()()()(
∫∫∫∫ ==+−= −− xxxxaxa dttfdttfdttfdttf 0 )(2)()()(
因为 0)( >xf ,故 0)( =′ xF 有唯一解 0=x 。又 0)0( >′′F ,故 0=x 是 )(xF 的唯一极小
值点.且为 )(xF 在 ],[ aa +− 上的唯一最小值。以下求此最小值 )(min)0(
],[
xFF
aax −∈
= 。
∫∫ +−= − aa dtttfdtttfF 00 )()()0( 。
对 ∫−− 0 )(a dtttf 取变换 ,tu −= 则 dudt −= ,
Aduuufduuufdtttf
a
aa
==−−=− ∫∫∫− 000 )()()( ,
所以 )(xF 的最小值 AdtttfdtttfF
a
a
2)()()0(
0
0 =+−= ∫∫− 。
例 7-14 设 )(xf 是连续函数,且有 ( )∫∫ +=−+
1
0
0
2)()()( dtxtfxedttftxxf x
x
, 求 )(xf .
【解】首先 1)0( =f 。其次, 对 ( )∫
1
0
dtxtf 取变换 xtu = 则有 ( )∫
1
0
dtxtf ( )∫=
x
duuf
0
。
原方程化为 ( )∫∫∫ +=−+
x
xxx dttfedtttfdttfxxf
0
00
2)()()(
],[,0)(2)()()( aaxxfxfxfxF −∈>=+=′′
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求导一次得: )(2)()()()(
0
xfexxfdttfxxfxf x
x +=−++′ ∫ , 3)0( =′f
再次求导得到: feff x ′+=+′′ 2 。
该方程以 1)0( =f 与 3)0( =′f 为初始条件的为 xexxxf ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++= 2
2
121)( 。
三十六技之八:用积分
达与计算应用问题的技巧
数学物理累加量,积分处理是正道。正确表达背景量,合理简化选坐标。遇到含参问
题时,区间变换是技巧。
* 定积分应用综合问题(注意极坐标与参数方程的表达)
例 8-1 设曲线族 ncxy = ,其中 c 为正的常数,n 为自然数, ba <<0 。
(1)设曲线 ncxy = 与直线 ),( bax n ∈= ξ , ncay = 围成的区域面积为 1S ,曲线 ncxy =
与直线 nx ξ= , ncby = 围成的区域面积为 2S ,证明存在唯一一点 ),( ban ∈ξ ,使得
21 SS = 。
(2)求 nn ξ∞+→lim 。
【解】(1) ( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−+
−=−=
++∫ aan acdxaxcS nn
nn
n
a
nnn ξξξ
1
)(
11
1
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −++
−=−=
++∫ nnnnnb nn bbn bcdxxbcS n ξξξ 1)(
11
2
由 21 SS = 可得 nn
nn
n ab
ab
n
n
−
−
+=
++ 11
1
ξ ,移项造辅助函数,考虑零点问题,令
( )
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −−+
−=−=
++
ata
n
at
ctStStS n
nn
1
)()()(
11
21 ( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −++
−−
++
tbb
n
bt
c n
nn
1
11
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+−++
−= ++
++
tabba
n
abc nnnn
nn
)(
1
11
11
。
0)()( >−=′ nn abctS ,则 )(tS 是严格单调增函数,因此 nξ 是 )(tS 的唯一零点。
(2) b
ab
ab
n
n
nn
nn
nnn
=−
−
+=
++
+∞→+∞→
11
1
limlim ξ 。
例 8-2 设 ,0>k 2kxy = 与 )
2
0(cos π≤≤= xxy 在 tx = 处相交,记 1S 为 2kxy = 与
ty cos= 及 0=x 围成的面积, 2S 为 xyty cos,cos == 与 2
π=x 围成的面积。
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试证: 21 SStS +=)( 在 ),( 20
π 内必有唯一最大值。
【证】 首先,曲线交点为 )cos,( tt ,且 2cos ktt = ,因此, 2cost
tk = , )
2
,0( π∈t
ttdxx
t
tttS
t
cos
3
2)cos(cos)(
0
2
21 =−= ∫ ,
tttdxxttS
t
sin1cos)
2
()cos(cos)( 22 +−−=−= ∫ ππ ,
ttttS sincos)
3
1
2
(1)( −−+= π , ]
2
,0[ π∈t ,
且 0
3
2)0( >=′+S , 03)2( <−=′−
ππS ,因此存在 )
2
,0(0
π∈t 使得
使 00 =′ )(tS ,
ttttS cos)
3
1
2
(sin
3
1)( −−−=′′ π ,
当 ),(
2
0 π∈t 时, 0)( <′′ tS ,因此 )( 0tS 为 ),( 20
π 内的极大值。
且 )(tS ′ 单调,驻点唯一,因此 )( 0tS 为 ),( 20
π 内的唯一最大值。
例 8-3 设曲线 )(xfy = 由 duuetx
t
ut∫ −=
2
3π
sin)( 及 duuety
t
ut∫
π
−=
2
2cos)(
确定.则该曲线当
2
π=t 时 的法线方程为 xy
2
1= 。
【解】
3
sin
3
sin
3
sin)(
22
tduueeduuee
dt
dtx
t
ut
t
ut +=
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=′ ∫∫ −−
ππ
tduueeduuee
dt
dty
t
ut
t
ut 2cos2cos2cos)(
22
+=
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=′ ∫∫ −−
ππ
2)
2
(
2
−=′=
=
π
π
f
dx
dy
t
,法线斜率为
2
1=k ,方程 xy
2
1= 。
* 绕 x 轴旋转生成的旋转体的体积(小圆台法)
平面区域 { })(0,),( xfybxayxD ≤≤≤≤= 绕 x 轴旋转体的体积为
∫= bax dxxfV )(2π
* 绕 y 轴旋转生成的旋转体的体积(薄壁筒法) ∫= bay dxxfxV )(2 π 。
* 曲线 bxaxfy ≤≤= ),( 绕 x 轴旋转生成的旋转体的侧面积为
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10
[ ]∫ ′+= ba dxxfxfA 2)(1)(2π 。 [ ] [ ]∫ ′++′= βαπ dttytxtyA 22 )()()(2 。
例 8-4 设有曲线 1−= xy , 过原点作
其切线, 求此曲线,切线及 x 轴围成的平
面区域绕 x 轴旋转一周所得到的旋转体表
面积。
【 解 】
12
1
−=′ xy , 设 切 点 为
)1,( 00 −xx ,则切线为 12 0 −
=
x
xy ,
切点应满足
12
1
0
0
0 −=− x
xx ,
可以求得切点为 ( )1,2 ,切线为 xy
2
1= .
旋转体表面积由两部分组成:
由曲线绕 x 轴旋转一周所得到的旋转体表面积为
( )155
6
3412
2
1
2
1
2
1 −=−=′+= ∫∫ πππ dxxdxyyA 由切线绕 x 轴旋
转一周所得到的旋转体表面积为 ππ 5
2
5
2
12
2
02
== ∫ dxxA ,
所以旋转体表面积 ( )1511
621
−=+= πAAA 。
* 设 )(),( xgxf 在区间 ],[ ba 上可积, 则平面图形
{ })()(,),( xgyxfbxayxD ≤≤≤≤= 的形心为
[ ]
[ ]∫
∫
−
−= b
a
b
a
dxxfxg
dxxfxgx
x
)()(
)()(
,
[ ]
[ ]∫
∫
−
−
= b
a
b
a
dxxfxg
dxxfxg
y
)()(
)()(
2
1 22
。
平面光滑曲线的质心 设平面光滑曲线的参数方程为
βα ≤≤== ttyytxx ),(),(
其质量线密度为 )(tμ , 则其质量为 [ ] [ ]∫ ′+′= βα μ dttytxtM 22 )()()( 。
曲线关于 x 轴与 y 轴的静力矩分别为
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[ ] [ ]∫ ′+′= βα μ dttytxtytM x 22 )()()()( , [ ] [ ]∫ ′+′= βα μ dttytxtxtM y 22 )()()()(
其质心坐标 ( )yx, 为
[ ] [ ]
[ ] [ ]∫
∫
′+′
′+′= β
α
β
α
μ
μ
dttytxt
dttytxtxt
x
22
22
)()()(
)()()()(
,
[ ] [ ]
[ ] [ ]∫
∫
′+′
′+′= β
α
β
α
μ
μ
dttytxt
dttytxtyt
y
22
22
)()()(
)()()()(
若平面光滑曲线的方程为 bxaxfy ≤≤= ),( ,则
[ ]
[ ]∫
∫
′+
′+= β
α
β
α
μ
μ
dttft
dttfxt
x
2
2
)(1)(
)(1)(
,
[ ]
[ ]∫
∫
′+
′+= β
α
β
α
μ
μ
dttft
dttfxft
y
2
2
)(1)(
)(1)()(
例 8-5 设 )(xf 在 ]1,0[ 上非负, ,0)0()0()0( =′′=′= +++ fff ,0)( >′′′ xf ),( YX 为
,0),( == yxfy 1=x 围成区域之形心, 试证 X
4
3> 。
【证】 要证明
4
3>X ,即
4
3
)(
)(
1
0
1
0 >= ∫
∫
dxxf
dxxxf
X ,
同乘以 ∫ 10 )( dxxf ,移项造辅助函数,
即证明 0)(
4
31
0
>⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −∫ dxxfx , ]1,0[∈∀x ,令
∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −=
x
dttfxtxF
0
)(
4
3)( ∫∫ −= xx dttfxdtttf 00 )(43)( ,
则 0)0( =F ,只须证 01 >)(F ,
∫−=′ x dttfxxfxF 0 )(43)(41)( ,且 ( ) 00 =′F ,
)(
4
3)(
4
1)(
4
1)( xfxfxxfxF −′+=′′
)(
2
1)(
4
1 xfxfx −′= ,且 ( ) 00 =′′F ,
)(
4
1)(
4
1)( xfxfxxF ′−′′=′′′
)(
4
1)(
4
1 ξfxxfx ′′−′′= )]()([
4
1 ξfxfx ′′−′′= ,其中 ),0( x∈ξ 。
由 0)( >′′′ xf ,可知 )(xf ′′ 单调增,于是
0)()( >′′>′′ ξfxf ,则有 0)( >′′′ xF ,于是 )(xF ′′ 单调增,
因此 0)0()( =′′>′′ FxF ,进一步可知 )(xF ′ 单调增,
且可推知 0)0()( =′>′ FxF ,所以 )(xF 单调增,
由此得到 0)0()1( => FF 。
例 8-6(1) 密度均匀的上半圆周 ( )0222 ≥=+ yRyx 的质心为 。
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12
【解】 由对称性, 0=x . 曲线的参数方程为
π≤≤== ttRytRx 0,sin,cos . 0=X ,
( ) ( )
R
R
dttRtRtR
y ππ
π
2cossinsin0
22
=+−= ∫ 。
例 8-6(2)设 0>a 求曲线 2yax = 与 2xay = 所围成区域的形心。
【解】
dx
a
xax
dx
a
xaxx
X
a
a
∫
∫
−
−
=
0
2
0
2
)(
)(
=
20
9
3
1
20
3
2
3
a
a
a
= ,
由对称性
20
9aY = ,故形心为(
20
9,
20
9 aa )。
例 8-6(3) 半径为 R 的匀质( 1=μ )半球的质量中心为 。
【解】 设半球的底面在 xoy平面上,质量中心的坐标为 ),,( ZYX ,显然
0== YX ,Z = R
R
R
R
dzzRz
R
8
3
3
2
4
3
2
)(
3
4
3
0
222
==−∫
π
π
故形心为(0,0, R
8
3 )。
例 8-7 区域
⎩⎨
⎧
≤≤
≤≤=
pxy
ax
yxD
20
0
),( 2 绕 x 轴旋转生成的旋转体之形心坐
标为 。
【解】 设形心坐标 ),,( ZYX ,由对称性 0=Y , a
pxdx
pxdxx
X a
a
3
2
2
2
0
0 == ∫
∫ 。
故形心为 )0,0,
3
2( a 。
例 8-8 假设区域 D 由曲线 ),( 003 >>= Pypxy 及其过点 ),( p1 的切线
与 x 轴围成,设此区域的形心为 ),( YX ,
(1)求 X 的值;
(2)求 p 的值,使 D 绕 y 轴旋转一周而生成的旋转体体积为 π
135
6=yV 。
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13
【解】 (1) ppxy
xx
33
1
2
1
==′ == ,切线为 )( 13 −+= xppy 。
与 x 轴交点为 ),( 03
2 ,与 y 轴交点为 )2,0( p− ,
面积 ppdxpxA
12
1
6
11
0
3 =−= ∫ ,静力矩为
xdxxppdxxpxM y ])1(3[
1
3
2
1
0
3 ∫∫ −+−⋅=
dxpxpxp ∫ −−= 1
3
2
2 )23(
5
1
ppp
135
7)
9
41
27
81(
5
1 =+−−−=
45
28
135
84 ==X 。
(2) dy
p
yppV
p
y ∫−⋅−= 0 32
3
2
21 ]2)
3
2(31[
3
1 ππ
ppp
5
3]2)
3
2(31[
3
1 21 ππ −⋅−⋅= pπ
135
14=
令 ππ
135
6
135
14 =p ,得到
7
3=p 。
或:由古耳金定理得到
7
3,
135
6
135
14
12
1
45
2822 ===⋅== pppXAVy ππππ 。
压力问题:同一深度的各方向的压强相等, 小微元的压力微元为 dAghdp ⋅= ,
其中h 为该小微元离液面的高度, g 为重力加速度,dA为该小微元的面积.积分可
得压力.
例 8-9 设有三角形闸板,两直角边和为 l 将其竖直放入水中,使一直角与水面重合,另一直
角边垂直向下,问两直角边成何比例时,三角形闸板承受水压力最大? 设水的密度为 1,
求出此最大压力.
【解】 以垂直向下直角边顶点为坐标原点,垂直向上
方向为Y 轴, YX − 平面与三角板所在平面相平行建
立坐标系,并设水平直角边与垂直向下直角边的边长分别为 kaa与 ,则有
lkaa =+ ,斜边所在直线方程为 kxy = 。
记 )(kP 为闸板承受的水压力,取横向分割, xdy表示
面积, yka − 为水深,
则有微分关系) dxxaxkdyykaxkdP )()()( 22 −=−= ,
于是
3
3232
0
22
166 )(
)()( +==−= ∫ k lkakdxxaxkkP
a
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14
4
32
)1(6
)2()( +
−=′
k
lkkkP ,
解得驻点 2=k ,且 )(kP′ 在驻点两则变号(先正后
负),因此最大压力为
81
22
3lP =)( .
例 8-10 一圆锥形油罐高 10m,上方开口直径为 10m,
油面高度为 8m,油的密度为 480kg/ 3m ,求将罐内的
油全部抽出至罐外需作的功。
【解】 建立坐标如图,圆锥侧母线为 xy 2= ,沿 y
轴方向将圆锥分割成小圆台,
体积微元为 dyydv 2
2
π= ,质量微元为 dyydm
2
2
480 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⋅= π ,
导致作功的有效行程为 )10( y− 米,因此功的微元(元功)为
dyyydw
2
4
)10(480 π−= ,所作功为
dyyyw ∫ −= 80
2
4
)10(480 π )(8192)10(120 8
0
32 kgmdyyy ππ =−= ∫ 。
两个关键量的表达:(1)导致作功的力,(2)导致作功的有效路程。
广义积分问题,应掌握两把尺度,重点掌握直接比较法与极限比较法(比阶法)。
广义积分有两类,掌握尺度最重要,收敛分析用比较,搞错方向最糟糕!
计算方法与定积分计算相雷同,只需注意极限运算。
尺 度 法 1 : dx
xa p∫
∞+ 1 )0( >a 当 1>p 时 收 敛 ; 当 1≤p 时 发 散 . 因 此 , 若
0)(lim ≥=+∞→ λxfx px ,且 1>p ,则 ∫+∞a dxxf )( 收敛。
尺度法 2: dx
bx
b
a p∫ − )( 1 当 1
X ,使得当 0>> Xx 时, 3 xx =
+
<
+
p
x
xx
x
xx ,ln ,直接比较法,收敛。
a 为奇点时, dxxf
a∫ ∞+ )( += ∫ dxxfba )( dxxfb∫ ∞+ )(
为混合型广义积分
补 1 讨论 dx
x
x
p∫ ∞+0 arctan 的收敛性.
【解】 dx
x
x
p∫ ∞+0 arctan
dx
x
x
p∫= 10 arctan dxx xp∫
∞++
1
arctan
对第一个积分, px
xarctan 与 1
1
−px
等价( 0→x ),
2,11 <⇒<− pp 收敛.
对第二个积分, px
xarctan 与 qx
1 进行比阶,
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
>
=−+∞→ qp
qp
x
x
qpx
2
0
arctanlim π
因此,当 1>≥ qp 时第二个积分收敛。综合上述分析, 21 << p 时积
分收敛。
补 2 当 p 的取值范围为_______时,广义积分 ( )∫
+∞
−−1 11 pp xx
dx 收敛。
【解】答案: 21 << p 。 提示:广义积分为混合型,分解为两个积分讨论:
( )∫
+∞
−−1 11 pp xx
dx
( ) +−= ∫ −
2
1 11 pp xx
dx
( )∫
+∞
−−2 11 pp xx
dx
补 3 下列结论中正确的是( D )。
(A) ∫ ∞+ +1 )1( 1 dxxx 与 ∫ +
1
0 )1(
1 dx
xx
都收敛.(B) ∫ ∞+ +1 )1( 1 dxxx 与 ∫ +
1
0 )1(
1 dx
xx
都发散.
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(C) ∫ ∞+ +1 )1( 1 dxxx 发散,∫ +
1
0 )1(
1 dx
xx
收敛.(D) ∫ ∞+ +1 )1( 1 dxxx 收敛 ∫ +
1
0 )1(
1 dx
xx
发散.
【解析与点评】 考点是:广义积分收敛性的尺度的运用。正如我们在在水木艾迪考研辅导
教学中强调的那样,当a 为奇点时, dxxf
a∫ ∞+ )( += ∫ dxxfba )( dxxfb∫ ∞+ )( 为混合型广义
积分,前者为第二类广义积分,后者为第一类广义积分。分别利用各自的尺度即可判断他
们的收敛性。答案:D.
例 8-13 设广义积分 A
xx
dx =+∫
π
0 )sin1ln()(sin
,则广义积分 =+∫ 20 )sin1ln()(sin
π
xx
dx
2
A 。
例 8-14 如果广义积分 ∫ ++
+∞
0 )1(ln)1(
1 dx
xx qp
收敛,那么 p 和q 的取值范围分别是
1>p 和 1′+∞∈ − yex当 xxy ln2= 单调增加,
所以 2
1
0
−= ex 是极小值点,且
e
y
2
1−=min 。
另有 0lnlim 2
0
=+→ xxx , 0lnlim
2
1
=+→ xxx ,所以 eyx 2
1max
]1,0(
−=
∈
,
并且 ]1,0(∈x当 时, 0)(