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黄先开线代黄先开辅导地位：历届考生公认的“线性代数第一人”，北京理工大学应用数学系硕士，中国科学院数学与系统科学研究院获博士，美国哈佛大学访问学者，现任北京工商大学数学系主任、教授。授课特点：理论扎实，表达独到，基础为纲，技巧为器，言简意赅，重点突出，伐毛洗髓，效果极佳名师风采：曾被评为北京市优秀青年骨干教师；1997年被授予“有突出贡献的部级青年专家”称号；曾在国内外一级刊物上发表论文30余篇，单独完成以及合作完成数学专著10多部。加强计算能力训练注重综合思维能力培养 ——谈考研线性代数复习恩波考研数学...

黄先开辅导地位：历届考生公认的“线性代数第一人”，北京理工大学应用数学系硕士，中国科学院数学与系统科学研究院获博士，美国哈佛大学访问学者，现任北京工商大学数学系主任、教授。授课特点：理论扎实，表达独到，基础为纲，技巧为器，言简意赅，重点突出，伐毛洗髓，效果极佳名师风采：曾被评为北京市优秀青年骨干教师；1997年被授予“有突出贡献的部级青年专家”称号；曾在国内外一级刊物上发表论文30余篇，单独完成以及合作完成数学专著10多部。加强计算能力训练注重综合思维能力培养 ——谈考研线性代数复习恩波考研数学名师黄先开众所周知，教育部考试中心研究生入学考试命题的基本原则是：严格按照考试大纲规定的考试内容与考试要求命题，试题以考查基本概念、基本原理和基本方法为主，要加强对考生的运算能力、逻辑思维能力、空间想像能力和综合应用所学知识解决实际问题能力的考查. 根据这一命题原则并结合线性代数这门学科的特点，我认为考生在备考阶段的复习，一方面要重视“三基”，通过全面系统的复习，扎扎实实把基础打好；另一方面要注重能力的培养，特别是计算能力和综合思维能力的培养.基础的重要性是不言而喻的，没有基础，其他方面都无从谈起，但较好地把握了基础后，想要进一步有所提高，就必须注重能力的训练了.线性代数这门课的特点主要有两个：一是试题的计算量偏大，无论是行列式、矩阵、线性方程组的求解，还是特征值、特征向量和二次型的讨论都涉及到大量的数值运算，稍有不慎，即会出错；二是前后内容紧密相连，纵横交织，既相对独立又密不可分，形成了一个完整、独特的知识体系. 在掌握好基本概念、基本原理和基本方法的前提下，下面谈谈在复习过程中应注意的一些问题. 一、加强计算能力训练，切实提高计算的准确性相当一部分同学在复习做题过程中会有这样的体会：对问题所涉及的概念、原理都很清楚，计算方法也知道，但就是无法算出正确

答案

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来，或是计算有误，或是根本无法演算下去，造成不应有的丢分. 例1 (2003年数学三)已知齐次线性方程组其中试讨论满足何种关系时, (1)方程组仅有零解； (2)方程组有非零解，在有非零解时，求此方程组的一个基础解系. 分析本题思路方法比较直接：当系数矩阵的行列式不为零时，仅有零解；当系数矩阵的行列式等于零时，有非零解.但涉及到行列式的计算、初等变换化矩阵为阶梯形以及求基础解系等大量的计算问题，特别是含有多个参数，进一步增加了计算的难度. 解方程组的系数行列式 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 (1)当； (2)当b=0时，原方程组的同解方程组为由可知ai(i=1,2,…,n)不全为零，不妨设 .因为秩r(A)=1，取为自由未知量，可得方程组基础解系为 EMBED Equation.DSMT4 …，当 ,系数矩阵可化为 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 由于秩r(A)=n 1，易知Ax=0的基础解系为评注1 本题行列式的计算方法很多，例如，系数矩阵可表示为而r(B)=1,可方便地求出B的特征值为0,0,…,0 ，于是的特征值为从而根据特征值可求出行列式为评注2 当时，注意到系数矩阵A的秩为r(A)=n-1,而显然为Ax=0的一个解，即可作为基础解系. 例2 （2003年数学一）设矩阵的特征值与特征向量,其中A*为A的伴随矩阵,E为3阶单位矩阵. 分析本题是基础题型，思路非常明确：先求A*及，然后计算B=P-1A*P及B+2E，最后求B+2E的特征值、特征向量，但计算量大，稍有疏忽，将很难得到最终的正确结果. 解由又由可得于是根据 EMBED Equation.DSMT4 可知B+2E的特征值为解 [9E-（B+2E）] x =0,得基础解系为因此属于的所有特征向量为是不全为零的任意常数. 解[3E （B+2E）] x =0,得基础解系为为非零的任意常数. 评注本题直接计算，工作量是相当大的.若由定义A α= α,有若求出A的特征值及对应特征向量α, 则B+2E的特征值为及对应特征向量P-1α这样就不必求A*. 且根据的特征值为0,0,6，从而A的特征值为1,1,7. 二、扩展公式结论蕴涵，努力探索灵活解题途径线性代数概念多，公式、定理也多，巧妙地利用已有的公式与结论，往往可以达到简化计算的目的. 例如有关A*的公式结论有：AA*= A*A=|A|E，由此还可推出一系列相关的公式： EMBED Equation.DSMT4 (2)若A可逆，则A *=| A | A -1, (A*)-1 (3) (4) (5) 若A可逆，且为A的特征值，则A*有一个特征值为 . 例3 （2000年数学一）设矩阵A的伴随矩阵，且ABA-1=BA-1+3E，其中E是4阶单位矩阵，求矩阵B. 分析本题相当于解矩阵方程.若先从A*求出A-1及A，再代入已知关系式求B，则计算量会相当大.考虑到题设与A*有关，若先用A*A=AA*=|A|E化简，则方便得多. 解由ABA-1=BA-1+3E先右乘A，得 AB=B+3A, 再左乘A*，并利用A*A=|A|E，得A*AB=A*B+3A*A, 即 |A|B= A *B+3| A |E. 再由|A*|=|A|4-1=|A|3,得 |A|3=8,即 |A|=2. 于是有2B=A*B+6E, (2E-A*)B=6E. 故 EMBED Equation.DSMT4 评注题设与A*有关时，一般均可考虑利用AA*=A*A=|A|E及其相关公式，结论先化简、再计算. 例4 （2003年数学四）设矩阵可逆，向量是矩阵A*的一个特征向量，是a对应的特征值，其中A*是A的伴随矩阵，试求的值. 分析题设与A*有关，先用A A *= A * A =|A|E化简. 解已知A * α= ，利用A A *=|A|E，有 | A |α= ，因为A可逆，知 EMBED Equation.DSMT4 即 ① 解此方程组得a=2, b=1或 2. 又，由式①可知：当b=1时λ=1; 当b= 2时λ=4. 又如，有关特征值与相似矩阵的重要公式和结论有：（1）设λ1，λ2，…，λn为n阶方阵A的n个特征值，则f(λ1),…,f(λn)为f(A)的n个特征值，其中f(A)为A的多项式.且 EMBED Equation.DSMT4 (2) 若r(A)=1，则A的特征值为 1= 2=…= n-1=0, n=a11+a22+…+ann. (3) 若A ~B，则|A|=| B|，r(A)=r(B)，特征多项式相同：|λE- A |=|λE-B|, ，从而特征值相同，进而有a11+a22+…+ann=b11+b22+…+bnn. 例5 （2000年数学三）若4阶方阵A与B相似，矩阵A的特征值为，则行列式|B-1-E|= . 分析利用相似矩阵有相同的特征值的结论及通过特征值求行列式的结论即可. 解由A~B，知B的特征值是，于是B-1的特征值是2,3,4,5,从而B-1-E的特征值是1，2，3，4，故行列式 |B-1-E|=1·2·3·4=24. 例6 （2001年数学一、三）设则A与B (A)

合同

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且相似. (B) 合同但不相似. (C) 不合同但相似. (D) 不合同且不相似. 分析本题的关键知识点是：两个实对称矩阵若相似，则必合同.又r(A)=1，其特征值为显然A、B为实对称矩阵，且A~B，于是A与B也合同.故应选（A）. 评注当A、B为实对称矩阵时，若A~B，则A、B有相同的特征值 xTAx与xTBx有相同的正负惯性指数 A与B合同.但若A、B为非对称矩阵，则A与B不合同（合同矩阵必为对称矩阵）. 例7（2007年数学一至四）设矩阵 , ,则A与B (A)合同, 且相似. (B) 合同, 但不相似 . (C)不合同, 但相似. (D) 既不合同, 又不相似. 解由得A的特征值为0, 3, 3, 而B的特征值为0, 1, 1，从而A与B不相似. 又r(A)=r(B)=2, 且A、B有相同的正惯性指数, 因此A与B合同. 故选(A) . 评注1)若A与B相似, 则| A |=| B |；r(A)= r(B)；tr(A)= tr(B); A与B有相同的特征值. 2)若A、B为实对称矩阵, 则 A与B合同( r(A)= r(B), 且A、B有相同的正惯性指数. 三、注重前后知识联系，努力培养综合思维能力线性代数不仅概念多，公式结论多，而且前后知识联系紧密，环环相扣，几乎从任何一个知识点都可切入将前后知识联系起来考查.例如： ①行列式|A|=0 矩阵A不可逆秩r(A)s时，向量组II必线性相关. (C) 当rs时，向量组I必线性相关. 分析本题可由定理“若α1, α2,…, αs可由β1, β2,…, βt线性表出，且s>t，则α1, α2,…, αs线性相关”，直接得正确选项(D). 若不熟悉上述定理，可由反例通过排除法找到正确选项. 也可根据上述结论④用秩来判定：由题设，存在s×r矩阵P，使 (α1, α2,…, αr)=( β1, β2,…, βs)Ps×r, 则r(α1, α2,…, αr)=r{( β1,…, βs)P}≤r(β1,…, βs)≤s. 当r>s时，有r(α1, α2,…, αr)≤s标准

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形. 分析 (1)设法求出A的所有特征值、特征向量，即可确定A；(2)(A*+6E)x=0的基础解系，即为A*的特征值 = 6所对应的线性无关的特征向量，而A*与A对应特征值的特征向量相同；(3)先将相同特征值的特征向量正交化，然后再单位化，以此为列所构成的矩阵Q即为所求正交变换矩阵. 解由为(A*-4E)x=0的解，知(A*-4E) =0，即 A* =4 ,于是AA* =4A , 即 |A| =4A ,A = =-3 , 可见为A的特征值，对应特征向量为 . 设为A的另两个特征值，由题设， . 利用及上两式可解是 . 设的特征向量为，由A为实对称矩阵知： XT· =0，即x1-2x3=0，解得 . 由，知 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 (2) 由，知，即，也即(A*+6E) =0，i=1,2, 可见即为(A*+6E)x=0的基础解系，故(A*+6E)x=0的通解为，其中为任意常数. (3) 由于已正交，故只需将单位化，有令 Q= = ，则Q为正交矩阵，令x=Qy，则二次型f=xTAx可化为标准形 . 评注本题综合考查了线性方程组、实对称矩阵特征值与特征向量性质以及化二次型为标准形等多个重要知识点. PAGE 14 _1232882210.unknown _1232891937.unknown _1233767758.unknown _1233770000.unknown _1233770677.unknown _1233770824.unknown _1233770901.unknown _1233770918.unknown _1233770770.unknown _1233770215.unknown _1233770361.unknown _1233770408.unknown _1233770460.unknown _1233770299.unknown _1233770081.unknown _1233770169.unknown _1233770041.unknown _1233769656.unknown _1233769813.unknown _1233769908.unknown _1233769697.unknown _1233769718.unknown _1233769095.unknown _1233769564.unknown _1233769613.unknown _1233769470.unknown _1233769134.unknown _1233768463.unknown _1233768960.unknown _1233768987.unknown _1233768538.unknown _1233768904.unknown _1233767855.unknown _1233762601.unknown _1233763084.unknown _1233763207.unknown _1233763220.unknown _1233763138.unknown _1233762801.unknown _1233762841.unknown _1233762606.unknown _1232892559.unknown _1232892659.unknown _1233762157.unknown _1233762258.unknown _1233762426.unknown _1232892699.unknown _1232952002.unknown _1232952032.unknown _1232951924.unknown _1232892686.unknown _1232892605.unknown _1232892642.unknown _1232892568.unknown _1232892334.unknown _1232892539.unknown _1232892078.unknown _1232892087.unknown _1232892088.unknown _1232892017.unknown _1232883951.unknown _1232885334.unknown _1232886069.unknown _1232886837.unknown _1232887112.unknown _1232887574.unknown _1232891888.unknown _1232891900.unknown _1232891921.unknown _1232887748.unknown _1232891852.unknown _1232887606.unknown _1232887355.unknown _1232887395.unknown _1232887354.unknown _1232887215.unknown _1232886942.unknown _1232886944.unknown _1232886902.unknown _1232886453.unknown _1232886652.unknown _1232886721.unknown _1232886782.unknown _1232886656.unknown _1232886696.unknown _1232886487.unknown _1232886571.unknown _1232886471.unknown _1232886289.unknown _1232886356.unknown _1232886255.unknown _1232885493.unknown _1232885518.unknown _1232885993.unknown _1232885887.unknown _1232885971.unknown _1232885677.unknown _1232885497.unknown _1232885498.unknown _1232885495.unknown _1232885491.unknown _1232885492.unknown _1232885490.unknown _1232884643.unknown _1232884856.unknown _1232885141.unknown _1232885177.unknown _1232885234.unknown _1232885296.unknown _1232885316.unknown _1232885217.unknown _1232885169.unknown _1232884954.unknown _1232884995.unknown _1232884953.unknown _1232884711.unknown _1232884778.unknown _1232884681.unknown _1232884495.unknown _1232884540.unknown _1232884550.unknown _1232884511.unknown _1232884131.unknown _1232884202.unknown _1232883988.unknown _1232884098.unknown _1232883618.unknown _1232883851.unknown _1232883872.unknown _1232883896.unknown _1232883871.unknown _1232883842.unknown _1232883847.unknown _1232883639.unknown _1232883816.unknown _1232883838.unknown _1232883780.unknown _1232883638.unknown _1232883082.unknown _1232883186.unknown _1232883279.unknown _1232883457.unknown _1232883514.unknown _1232883360.unknown _1232883192.unknown _1232883185.unknown _1232883123.unknown _1232882721.unknown _1232882952.unknown _1232882969.unknown _1232883081.unknown _1232882953.unknown _1232882860.unknown _1232882951.unknown _1232882801.unknown _1232882376.unknown _1232882410.unknown _1232882297.unknown _1232882293.unknown _1232879621.unknown _1232880668.unknown _1232881446.unknown _1232881566.unknown _1232881870.unknown _1232881984.unknown _1232881849.unknown _1232881850.unknown _1232881512.unknown _1232881447.unknown _1232881454.unknown _1232880973.unknown _1232881334.unknown _1232881411.unknown _1232881060.unknown _1232880879.unknown _1232880969.unknown _1232880718.unknown _1232880435.unknown _1232880495.unknown _1232880541.unknown _1232880453.unknown _1232879939.unknown _1232880386.unknown _1232879690.unknown _1232879938.unknown _1232879675.unknown _1232877682.unknown _1232878818.unknown _1232878980.unknown _1232879049.unknown _1232879377.unknown _1232879500.unknown _1232879115.unknown _1232878997.unknown _1232878826.unknown _1232878837.unknown _1232878429.unknown _1232878508.unknown _1232878731.unknown _1232878473.unknown _1232877876.unknown _1232878039.unknown _1232878158.unknown _1232878173.unknown _1232878114.unknown _1232877952.unknown _1232877778.unknown _1232877861.unknown _1232877550.unknown _1232877661.unknown _1232877662.unknown _1232877660.unknown _1232876768.unknown _1232876918.unknown _1232877028.unknown _1232877483.unknown _1232877504.unknown _1232876949.unknown _1232876865.unknown _1232876895.unknown _1231011434.unknown _1231013559.unknown _1230917628.unknown

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