数值分析试题库与答案解析

模拟试卷（一） 一、填空题（每小题 3分，共30分） 1．有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是 次的. 1 5 2 3 2．设A 2 1 0 ，x 4 ，则A = .，x1=______. 1 4 2 2 3．已知y=f(x)的均差（差商）f[x0,x1,x2] 14 ,x2,x3 ] 15 91 3 ，f[x1 ，f[x2,x3,x4] ， 8 3 15 f[x0,x2,x3] f[x4,x2,x3]= . , 那么均差 3 7 16 2 4．已知n=4时Newton－Cotes 求积公式的系数分别是： C0(4) ,C1(4) ,C2(4) ,则 90 45 15 C3(4)＝ . 5．解初始值问题 y f(x,y) 的改进的Euler 方法是 阶方法； y(x0) y0 5x1 3x2 0.1x3 3 6．求解线性代数方程组 2x1 6x2 0.7x3 2的高斯—塞德尔迭代公式为 ， x1 2x2 3.5x3 1 若取x(0) (1, 1,1), 则x(1) . 7．求方程x f(x)根的牛顿迭代格式是 . 8．0(x), 1(x), , n(x)是以整数点x0, x1, ,xn,为节点的Lagrange 插值基函数，则 n xkj(xk)= . k0 9．解方程组Ax b的简单迭代格式x(k1) Bx(k) g收敛的充要条件是 . 10．设f(-1) 1f, (0) f0, (1f) 1,，则f(x) 的三次牛顿插值多项式 为 ，其误差估计式为 . 二、综合题（每题10分，共60分） 1．求一次数不超过 4次的多项式 p(x)满足：p(1)15，p(1) 20，p(1)30 p(2) 57 ，p(2) 72 . 2．构造代数精度最高的形式为 1 xf(x)dx A0f(1) A1f(1)的求积公式，并求出 0 2 其代数精度. 3．用Newton法求方程x lnx 2在区间(2, xk xk1 10 8. )内的根,要求 xk 4．用最小二乘法求形如 y abx2的经验公式拟合以下数据： xi 19 25 30 38 yi 19.0 32.3 49.0 73.3 5．用矩阵的直接三角分解法解方程组 1 0 2 0 x1 5 0 1 0 1 x2 3 x3 . 1 2 4 3 17 0 1 0 3 x4 7 6试用数值积分法建立求解初值问题 y f(x,y) y(0) 的如下数值求解公式 y0 yn1 yn1 h(fn1 4fn fn1)， 3 其中fi f(xi,yi), i n 1,n,n1. 三、证明题（10分） 设对任意的x，函数f(x)的导数f(x)都存在且0m f(x)M,对于满足 0 2 的任意 ，迭代格式xk1 xk f(xk)均收敛于f(x) 0的根x*. M 参考一、填空题 1．5；2.8,9;3. 91 16 5.二； ；4. ； 15 45 x1(k1)6.x2(k1)x3(k1) (33x2(k) 0.1x3(k))/5 (2 2x1(k1) 0.7x3(k))/6,(0.02，0.22，0.1543) (1 x1(k1) 2x2(k1))*2/7 7. xk1 xk xk f(xk); 8. xj;9. (B)1; 1 f (xk) 10. 1x3 x2 1x, f(4)( )(x 1)x(x 1)(x2)/24 (1,2) 6 6 二、综合题 1．差商： 1 15 20 1 15 15 20 7 1 15 22 1 42 8 2 57 30 72 2 57 p(x) 15 20(x 1) 15(x 1)2 7(x 1)3 (x 1)3(x 2) 5 4x3x2 2x3 x4 其他方法： 设p(x) 15 20(x 1) 15(x 1)2 7(x 1)3 (x 1)3(ax b) 令p(2) 57，p(2) 72 ，求出a和b. 2．取f(x) 1,x，令公式准确成立，得： A0 A1 1 1 1 ,A0 1 1 . , A0 A1 ,A1 6 2 2 3 3 f(x) x2时，公式左右 1 ；f (x) x3时，公式左 1 , 公式右 5 4 5 24 ∴公式的代数精度 2 . 3．此方程在区间 (2, )内只有一个根 s，而且在区间（2，4）内。设 f(x) x lnx 2 则f'(x) 1 f''(x) 1 ，Newton 法迭代公式为 1， x2 x xk1 xk xk lnxk 2 xk(1lnxk) k 0,1,2, 1 1/xk xk 1 ， 取x0 3 ，得s x4 3.146193221。 4． 2 } ， T 1 1 1 1 T span{1,x A 192 252 302 ，y19.032.349.073.3. 382 解方程组 T T T 4 3330 ， AAC Ay ，其中AA 3330 3416082 解得：C 1.41665 0.0504305 所以a 0.9255577，b 0.0501025.5．解 设 1 0 2 0 1 1 0 2 0 0 1 0 1 l21 1 u22 u23 u24 1 24 3 l31 l32 1 u33 u34 0 1 0 3 l41 l42 l43 1 u44 由矩阵乘法可求出 uij和lij 1 1 l21 1 0 1 l31 l32 1 1 2 1 l41 l42 l43 1 0 1 0 1 1 0 2 0 1 0 2 0 u22 u23 u24 1 0 1 u33 u34 2 1 u44 2 1 y1 5 解下三角方程组 0 1 y2 3 1 2 1 y3 17 0 1 0 1 y4 7 有y15，y2 3，y3 6，y4 4. 1 0 2 0 x1 5 再解上三角方程组 1 0 1 x2 3 2 1 x3 6 2 x4 4 得原方程组的解为x1 1，x2 1，x3 2，x42. x 6解初值问题等价于如下形式取x xn1，有y(xn1) y(xn1)利用辛卜森求积公式可得 yn1 yn三、证明题y(x) y(xn1) f(x,y(x))dx，xn1xn1f(x,y(x))dx，xn1 1 h(fn14fnfn1). 3 证明 将f(x) 0 写成x x f(x)(x)， 由于 (x)[x f(x)] 1 f(x)，所以| (x)||1 f(x)|1 所以迭代格式xk 1 xk f(xk)均收敛于f(x) 0的根x* .模拟试卷（二）一、填空题（每小题 3分，共30分）1．分别用 2.718281 和2.718282 作数e的近似值，则其有效位数分别有 位和位； 1 0 2 1 2．设A1 1 0 ，x 3，则A1=________，x2= . 3 8 2 1 3．对于方程组 2x1 5x2 1 Jacobi迭代法的迭代矩阵是 GJ=________. 4x2 , 10x1 3 4．设f(x)x3 x 1，则差商 f0,1,2,3=__________，f 0,1,2,3,4 =_______. 1 2 5．已知A ,则条件数Cond(A)_________. 0 1 1 f(x1)具有最高的代数精确度，则其求积 6．为使两点的数值求积公式 f(x)dxf(x0) 1 基点应为x0=__________，x1=__________ 7．解初始值问题 y f(x,y) yk1 y(x0)y0 近似解的梯形公式是 8．求方程f(x) 0根的弦截法迭代公式是 1 xdx，取4 9.计算积分 位有效数字，用梯形公式计算求得的近似值是 ，用辛 0.5 卜生公式计算的结果是 10．任一非奇异矩阵 A的条件数Cond(A)＝ ，其Cond(A)一定大于等于 二、综合题（每题10分，共60分）1 证明方程1 x sinx在区间[0,1]有且只有一个根，若利用二分法求其误差不超过1 104近似解，问要迭代多少次？22已知常微分方程的初值问题：dy x, 1 x 1.2dx y ,y(1) 2试用改进的 Euler方法计算 y(1.2)的近似值，取步长 h 0.2. 3 3 5 x1 10 3 用矩阵的LDLT分解法解方程组 3 5 9 x2 16. 5 9 17 x3 30 4 用最小二乘法求一个形如 y 1 的经验公式，使它与下列数据拟合. bx a x 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 y 0.931 0.473 0.297 0.224 0.168 x 0.4y 0.4z 15设方程组0.4xy0.8z2，试考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯－赛德尔迭代0.4x 0.8y z 3法的收敛性。 4 1 1 6按幂法求矩阵A13 2的按模最大特征值的近似值，取初始向量 1 2 3 (0) T (2) x (1,0,0，)迭代两步求得近似值 即可.三、证明题（10分） 已知求a(a 0)的迭代公式为： xk1 1(xk a) x00k0,1,2 2 xk 证明：对一切k 1,2, ,xk a，且序列xk是单调递减的，从而迭代过程收敛.参考答案 一、填空题 0 2.5 1 1 1．6，7；2.9,11;3. 0 ;4.1,0;5.9;6. ,; 2.5 3 3 7. yk h f(xk 1,yk1)]; [f(xk,yk) 2 8. xk1 xk f(xk) (xkxk1)；9.0.4268,0.4309;10.A1A,1 f(xk) f(xk 1) 二、综合题 1解令f(x) 1xsinx，则f0)( 10 ，f(1) sin1 0，且f(x) 1 cos0x 故1 xsinx在区间[0,1] 内仅有一个根 x*. 利用二分法求它的误差不超过 1 104的近似解，则 |xk1 x*| 1 1 104 4ln10 2 2k1 2 解此不等式可得 k 13.2877 ln2 所以迭代 14次即可. 2、解： k1 f(x0,y0) 0.5,k2 f(x1,y0 h1k)0.571429, y1 y0 h(k1 k)220.1(0.50.571429)2.1071429 2 3 3 5 1 d1 1l21 l31 3解设35 9 l21 1 d2 1 l32 5 9 17 l31 l32 1 d3 1 利用矩阵乘法可求得 d1 3，d2 2 2 ，l21 1，l31 5 2 ，d3 ，l32 3 3 1 y1 10 4 解方程组1 1 y2 16 得y1 10, y26,y3 ， 5 y3 30 3 3 2 1 5 d1 1 1 1 3 x1 1 10 再解方程组 1 2 x2 d2 6 得x1 1,x2 1,x32. 1 x3 d3 1 4 3 4解 令Y 1 ，则Y a bx容易得出正规方程组 y 5 9 a 16.971 ，解得 a 2.0535, b 3.0265. 9 17.8 b 35.3902 故所求经验公式为 y 1 . 2.0535 3.0265x 5 解 0.4 0.4 （1） 由于fJ( ) 0.4 0.8 3 0.96 0.256 0.4 0.8 fJ( 1) 1 0.98 0.256 0，fJ(2) 81.96 0.256 0 所以fJ ( )0在( 2, 1)内有根 i且| i |1，故利用雅可比迭代法不收敛. 0.4 0.4 （2） 由于fG( ) 0.4 0.8 ( 2 0.832 0.128) 0.4 0.8 所以 (G) 0.832，故利用高斯－赛德尔迭代法收敛. 6解 因为x(0) [1,0,0]T ，故 x(0) 1， 且y(1) Ax(0) 4, 1,1 T (1) max(y (1)) 4. ， 从而得 x(1) y(1) / y(1) [1, 1,1]T，y(2) Ax(1) [9, 9,9]T，(2) max(y(2)) 9 . 4 4 2 4 4 2 三、证明题 证明: 由于 xk 1 1(xk a) a,k 0,1,2, 2 xk 故对一切k，xk a，又xk1 1(1 a ) 1(11)1 xk 2 xk2 2所以 xk1 xk，即序列{xk}是单调递减有下界，从而迭代过程收敛 .模拟试卷（三） 一、填空题（每小题 3分，共30分） 1．设 a 2.40315 是真值 x2.40194 a有 位有效位数，相对误差限 的近似值，则 为 ；2．若用二分法求方程 f(x) 0在区间[1,2]内的根，要求精确到第 3位小数，则需要对分次。3．有n个节点的高斯求积公式的代数精度为次.4．设(x)x a(x25)，要使迭代格式xk1(xk)局部收敛到x*5，则a的取值范围是5．设线性方程组 Ax=b有唯一解，在不考虑系数矩阵扰动的情况下，若方程组右端项的 δb δx 扰动相对误差 ，就一定能保证解的相对误差 ； b x 6．给定线性方程组 9x1 x2 8 Jacobi迭代公式 x1 5x2 ，则解此线性方程组的 4 是 ，Gauss-Seidel 迭代公式是 n b Ak f(xk) 7．插值型求积公式 f(x)dx的求积系数之和是 k 0 a 8．数值求解初值问题的龙格 --库塔公式的局部截断误差是9.已知函数 f(0.4) 0.411,f(0.5) 0.578,f(0.6) 0.697，用此函数表作牛顿插值多项式，那么插值多项式 x2的系数是2 1 010．设A 1 2 a ，为使A可分解为 A=LLT，其中L是对角线元素为正的下三角0 a 2 矩阵，则a的取值范围是 。 二、综合题（每题 10分，共60 分） 1．用Newton法求方程xlnx 2在区间(2, xkxk1 108. )内的根,要求 xk 1 0 1 12 12 2．设有方程组Α b ，其中A 2 2 1，b 13 ，已知它有解x 13， 如 x 0 2 2 23 0 果右端有小扰动 δb 1 106，试估计由此引起的解的相对误差。 2 3．试用Simpson公式计算积分 2 e1/xdx的近似值,并估计截断误差. 1 4．设函数f(x)在区间[0,3]上具有四阶连续导数 ,试用埃尔米特插值法求一个次数不高于3 的多项式P3(x)，使其满足P(0) 0,P(1) 1,P(1) 3,P(2)1，并写出误差估计式。 3 3 3 3 2 1 0 5．A1 2 1，给出用古典 Jacobi方法求A的特征值的第一次迭代运算。 0 1 2 y'y 0 2 h 6．用梯形方法解初值问题 1 ，证明其近似解为yn h y(0) 2 时，它收敛于原初值问题的准确解 y ex。 n，并证明当h 0三、证明题（10分） n n k 0, 0kn2 若f(x) aixi有n个不同的实根，证明 xj 1 . i1 i1 f(xj) an ,kn1 参考答案一、填空题1.3, 0.5 10-3; 2. 10; 3. 2n-1; 4. 1 5 a 0;5.cond(A);x(k1)16.x(k1)2 (8 x(k) )/9 x(k1) 2 ,k 0,1, 1 x1(k) , (4 )/5 x(k1) 2 (8 x2(k))/9,k 0,1,(4 x1(k1))/5 7.ba;8.O(h5);9.－2.4;10. 3a 3二、综合题1．此方程在区间 (2, )内只有一个根 s，而且在区间（ 2，4）内。设 f(x) x lnx 2 则f'(x)1 1 1 ，f''(x) ，Newton法迭代公式为 x x2 xk 1 xk xk lnxk 2 xk(1lnxk) 0,1,2, 1 1/xk xk 1 ，k 取x0 3，得s x4 3.146193221 。 1 1 1 δx δb A1 2 1 1.5，Cond(A) 22.5，由公式 2．解 x Cond(A) ，有 2 1 1 b δx 1 106 22.5 2 1.6875 10 5 x 23 3． 2 1/x dx 2 1 (e 1/1.5 1/2 ) 2.0263,f (4) 1 12 3624 1/x e 4e e ( 8 7 6 5 )e ， 1 6 x x x x maxf(4)(x) f(4)(1) 198.43， 1 x 2 截断误差为R2 (2 1)5 maxf(4)(x) 0.06890 2880 1x 2 5x3 7x 4．由所给条件可用插值法确定多项式 P3(x)，P3(x) 7x2 2 2 (由题意可设R(x) f(x) P3(x) k(x)x(x 1)2(x 2) 为确定待定函数 k(x)，作辅助函 数：g(t) f(t)P(t)k(x)t(t1)2(t 2) ,则g(t)在 [0,3] 上存在四阶导数且在 [0,3] 3 上至少有 5个零点t x,t 0,1,2 （t0 为二重零点），反复应用罗尔定理，知至少有 一个零点 ，使 (4) 1 (4) (0, g () 0 k(x) f () 3) ，从而得 4! 。故误差估计式为 1 R(x) f(4)( )x(x 1)2(x 2)， (0,3)。 4! 5．首先取 i1,j ，因 cot2 ，故有 ，于是cos sin 1 2 0 4 ， 2 1 1 0 2 2 V(0) V12( ) 1 1 0 ， 2 2 0 0 1 A(1) V(0) A(0)V(0)T 1 1 0 1 1 0 1 0 1 2 2 2 2 2 2 1 0 1 1 1 1 1 0 1 2 1 0 0 3 2 2 2 2 2 0 1 2 0 0 1 0 0 1 1 1 2 2 2 6.梯形yn1 yn所以yn1 公式为yn1 yn h[f(xn,yn) f(xn1,yn1)]，由f(x,y) ，y 得 h 2 yn1)， (yn 2 2h 2 h 2 yn1 2 h n1 y0 ( 2h n1 ( )yn( ) ( ) ) ，用上述梯形公式以步 2h 2 h 2 h 2h 长h经n步计算得到 yn，所以有hn x，所以 limyn lim( 2 h)n lim( 2 h)hx ex． h0 h0 2 h h0 2 h 三、证明题 n 证明 由于 f(x) aixi 有n 个不同的实根，故 i 1 f(x)an(xx1)(xx2) (xxn)anwn(x),于是 n xkj n xkj 1n xkj i1f(xj) i1anwn(xj)ani1wn(xj) 记g(x) n xkj 1 ng(xj ) 1g[x1,x2,,xn]， xk，则 i1f(xj)ani1wn(xj)an n k 0, 0k n 2 xj 再由差商与导数的关系知 1, . i1f(xj) kn1 an 模拟试卷（四）一、填空题（每小题 3分，共30分） 1．为了减少运算次数，应将算式y1 2 4 8 改写 2x3 (2x 3)2 (2x3)3 为 ，为减少舍入误差的影响，应将算式 9 80改写为 。 1 1 1 2．A2 1 1 ，A1 ，A 。 3 2 1 3．设在x g(x)的根 x*附近有连续的二阶导数，且 g'(x*)1 ，则 当 时迭代过程xk1 g(xk)是线性收敛的，则当 时迭代过 程xk1 g(xk)是平方收敛的。 4．设A a 10 ，则当a满足 时，有limAk 0 0 1 k 5．用列主元消去法解线性方程组 Ax=b时，在第k－1步消元时，在增广矩阵的第 k列取 主元ark(k1) ，使得ark(k1) 。 6．已知函数f(0) 1,f(1) 3,f(2)7，则f [0,1]= ，f[0,1,2]= ，f(x)的 二次牛顿插值多项式 7．求解方程f(x) 0 ，若f(x)0 可以表成x (x)，则用简单迭代法求根，那么 (x) 满足 ，近似根序列 x1,x2,,xn, 一定收敛。 n b 8．n1点插值型数值积分公式 Akf(xk) f(x)dx的代数精度至少是 次，最高 k a 0 不超过 次。 y 2x y 在[0,1]上欧拉计算格式 9.写出初值问题 y y(0) 1 10．解初始值问题 y f(x,y) 阶方法 y(x0) 的梯形方法是 y0 二、综合题（每题 10分，共 60分） 1．证明方程x3 x 1 0在区间[1，2]内有唯一根 x*，用牛顿迭代法求 x*(精确至3位小·)。x1 x2 x3 32．用列主元消去法解线性方程组 x1 3x2 2x3 2;2x1 2x2 x3 13．给定数据 x=0,1,2,3，对应函数值分别为 y=1,3,2,4，求三次拉格朗日或牛顿插值多项式。2 1 04．设有矩阵 A 1 2 1 用“规范化”的方法求其按模最大的特征值及对应的特征 0 1 2 向量（注：求迭代 4次即可） 5 y y2 1,取步长h0.1). ．用改进的Euler方法求初值问题 ,(0x y(0) 1 6 ．给定数据f(0.1) 5.1234,f(0.2) 5.3053,f(0.3) 5.5684，求一次最小二乘拟合 多项式。三、证明题（10分） a11x1 a12x2 b1 设线性方程组为 a22x2 ，a11a220 a21x1 b2 （1） 证明用雅可比迭代法和高斯 -塞德尔迭代法解此方程组要么同时收敛，要么同时发 散； （2） 当同时收敛时，比较它们的收敛速度。参考答案一、填空题 1. 1 ,y((8u-4)u 2)u 1, 1 2.6,6; u 3 9 ; 2x 80 3. g'(x*) 0, g'(x*) 0,g''(x*) 0;4. a1; 5. maxaik(k 1) ; 6.2, 1, x2 x 1; 7. '(x) L1;8.n，2n1; kin 9. yn1 yn h(yn 2xn) 10. yn 二 y01 二、综合题1.令f(x) x3 x 1, f'(x) 3x2 1 0,f(x)在（，12）严格单增又（f1) 1, （f2）5， （fx）在（，1）2上有唯一根； 由牛顿迭代公式 xk1 xk xk 3 xk 1 3xk 21 ， 取x0=1.2，得 {1. 2, 1.3 4217, 1.325,1.324712.,321.43722}47 或取x0 1.0，{1.,1.5,1.34783, 1.3252,1.32472,1.32472} ,所以x* 1.32472. 2 ． 1 1 1 3 2 2 1 1 2 2 1 1 (A,b) 1 3 2 2 1 3 2 2 0 4 2.5 1.5 2 2 1 1 1 1 1 3 0 2 0.5 2.5 2 2 1 1 0 4 2.5 1.5,故x1x2x31. 0 0 5/45/4 3.N3(x)12x3/2x(x1)x(x1)(x2)x3 4.5x2 5.5x1 或L3(x) x3 4.5x2 5.5x1 4．取u0 (1,1,1)T，由乘幂法得， V1 =Au0=(1,0,1)T ，u1 =(1,0,1)T ，V2=Au1=(2,-2,2)T , u2=(1,1,1)T V3=Au2=( T , T T 3,-4,3u)3 =(0.75,1,10.73.54)14,2x1 (0.7071,1,0.7071) 5．改进的Euler方法 f(xn,yn)yn2 ，yn 1yn h/2[f(xn,yn) f(xnh,ynhf(xn,yn))] h 0.1,取x0 0.0，经计算得 ：y0 1.0 ;x10.1，经计算得 ：y11.1105 x2 0.2，经计算得 ：y2 1.24828 ;x3 0.3，经计算得：y3 1.42476; x4 0.4，经计算得 ：y4 1.65874 ;x5 0.5，经计算得：y51.9833 {0.6,2.4624},{0.7,3.23643},{0.8,4.67773},{0.9,8.12877},{ 1.,22.2908}} 6．设所求一次拟合多项式为 S1 (x)a0 1 或基函数为 {1,x} ax 与 (xi, yi)((0.1,5.1234),(0.2,5.3053),(0.3,5.5684)) , 做 最 小 二 乘 拟 合 ： ( 0 ,0) 3, (0,1) 0.10.20.3 0.6, (1, 1) 0.12 0.22 0.32 0.14 , ( 0 ,f) 5.1234+5.3053+5.5684=15.9971 , ( 1,f) 0.1 5.1234+0.2 5.3053+0.3 5.5684=3.24392 , 得 正 规 方 程 组 3 0.6 a0 15.9971 , 解得a0 4.8847,a1 2.2250， 0.6 0.14 a1 3.24392 故 S1(x) 4.8847 2.2x2. 50 三、证明题 证明：系数矩阵 A a11 a12 ，记r a12a21 a21 a22 a11a22 （1）雅可比迭代矩阵 J 的特征方程为 a11 a12 0 ，即 aa 2aa 0，或 2 r 。 a21 a22 1221 2112 当r 0 时，1 r,2 r；当r0时， 1 0,20；当r 0时， 1 ir ,2 i r。所以 (J) r。 高斯-塞德尔迭代矩阵 G的特征方程为 a11 a12 0 ，即a11a22 2 a12a21 0 ，或 a21 a22 2 r ，解得1 0, r，所以 (G) r。所以，当 r 1时， (J)1,(G) 1； 2 当r 1 时， (J) 1, (G) 1，因而两种迭代法要么同时收敛，要么同时发散. （2）当r 1 时，同时收敛，且 (G) (J)，所以高斯-塞德尔迭代法比雅可比迭代法收 敛快。 您好，欢迎您阅读我的文章，本WORD文档可编辑修 改，也可以直接打印。阅读过后，希望您 提出保 贵的意见或建议。阅读和学习是一种非常好的习 惯，坚持下去，让我们共同进步。