课时分层作业14　等比数列的性质

课时分层作业(十四)　等比数列的性质(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择1．已知等比数列{an}，a1＝1，a3＝eq\f(1,9)，则a5等于(　　)A．±eq\f(1,81)　　B．－eq\f(1,81)　　　C．eq\f(1,81)　　D．±eq\f(1,2)C　[根据等比数列的性质可知a1a5＝aeq\o\al(2,3)⇒a5＝\o\al(2,3)eq\f(a,a1)＝eq\f(1,81).]2．在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝2，a4＋a5＋a6＝4，则a10＋a11＋a12等于(　　)A．32B．16C．12D．8B　[eq\f(a4＋a5＋a6,a1＋a2＋a3)＝q3＝eq\f(4,2)＝2，∴a10＋a11＋a12＝(a1＋a2＋a3)q9＝2·(2)3＝24＝16.]3．已知等比数列{an}中，an>0，a1，a99是方程x2－10x＋16＝0的两根，则a40a50a60的值为(　　)A．32B．64C．256D．±64B　[由题意得，a1a99＝16，∴a40a60＝aeq\o\al(2,50)＝a1a99＝16，又∵a50>0，∴a50＝4，∴a40a50a60＝16×4＝64.]4．设{an}是公比为q的等比数列，令bn＝an＋1，n∈N*，若数列{bn}的连续四项在集合{－53，－23，17，37，82}中，则q等于(　　)A．－eq\f(4,3)B．－eq\f(3,2)C．－eq\f(3,2)或－eq\f(2,3)D．－eq\f(3,4)或－eq\f(4,3)C　[即an的连续四项在集合{－54，－24，16，36，81}中，由题意知，这四项可选择－54，36，－24，16，此时，q＝－eq\f(2,3)，若选择16，－24，36，－54，则q＝－eq\f(3,2).]5．已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根组成以eq\f(1,2)为首项的等比数列，则eq\f(m,n)等于(　　)A．eq\f(3,2)B．eq\f(3,2)或eq\f(2,3)C．eq\f(2,3)D．以上都不对A　[不妨设eq\f(1,2)是x2－mx＋2＝0的根，则其另一根为4，∴m＝4＋eq\f(1,2)＝eq\f(9,2)，对方程x2－nx＋2＝0，设其根为x1，x2(x1<x2)，则x1x2＝2，∴等比数列为eq\f(1,2)，x1，x2，4，∴q3＝eq\f(4,\f(1,2))＝8，∴q＝2，∴x1＝1，x2＝2，∴n＝x1＋x2＝1＋2＝3，∴eq\f(m,n)＝eq\f(9,2×3)＝eq\f(3,2).]二、填空题6．在等比数列{an}中，a3＝16，a1a2a3…a10＝265，则a7等于________．256　[因为a1a2a3…a10＝(a3a8)5＝265，所以a3a8＝213，又因为a3＝16＝24，所以a8＝29＝512.因为a8＝a3·q5，所以q＝2，所以a7＝eq\f(a8,q)＝256.]7.在如图所示#格#中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每纵列成等比数列，则x＋y＋z的值为________．2　[∵eq\f(x,2)＝eq\f(2,4)，∴x＝1.∵第一行中的数成等差数列，首项为2，公差为1，故后两格中数字分别为5，6.同理，第二行后两格中数字分别为2.5，3.∴y＝5·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)，z＝6·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(4)，∴x＋y＋z＝1＋5·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)＋6·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(4)＝eq\f(32,16)＝2.]8．某单位某年十二月份的产值是同年一月份产值的m倍，那么该单位此年的月平均增长率是________．eq\r(11,m)－1　[由题意可知，这一年中的每一个月的产值成等比数列，求月平均增长率只需利用eq\f(a12,a1)＝m，所以月平均增长率为eq\r(11,m)－1.]三、解答题9．在等比数列{an}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项、公比．[解]　设该数列的公比为q.由已知，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1q－a1＝2，,4a1q＝3a1＋a1q2，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1（q－1）＝2，,q2－4q＋3＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,q＝3，))(q＝1舍去)，故首项a1＝1，公比q＝3.10．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝eq\f(5,2)－eq\f(1,an)，bn＝eq\f(1,an－2)，求数列{bn}的通项公式．[解]　an＋1－2＝eq\f(5,2)－eq\f(1,an)－2＝eq\f(an－2,2an)，eq\f(1,an＋1－2)＝eq\f(2an,an－2)＝eq\f(4,an－2)＋2，即bn＋1＝4bn＋2，bn＋1＋eq\f(2,3)＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(bn＋\f(2,3))).又a1＝1，故b1＝eq\f(1,a1－2)＝－1，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn＋\f(2,3)))是首项为－eq\f(1,3)，公比为4的等比数列，所以bn＋eq\f(2,3)＝－eq\f(1,3)×4n－1，bn＝－eq\f(4n－1,3)－eq\f(2,3).[能力提升练]1．等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a8a15＝(　　)A．±2B．±4C．2D．4C　[∵T13＝4T9，∴a1a2…a9a10a11a12a13＝4a1a2…a9，∴a10a11a12a13＝4.又∵a10·a13＝a11·a12＝a8·a15，∴(a8·a15)2＝4，∴a8a15＝±2.又∵{an}为递减数列，∴q>0，∴a8a15＝2.]2．公差不为零的等差数列{an}中，2a3－aeq\o\al(2,7)＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝(　　)A．16B．14C．4D．49A　[∵2a3－aeq\o\al(2,7)＋2a11＝2(a3＋a11)－aeq\o\al(2,7)＝4a7－aeq\o\al(2,7)＝0，∵b7＝a7≠0，∴b7＝a7＝4，∴b6b8＝beq\o\al(2,7)＝16.]3．在等比数列{an}中，若a7＝－2，则此数列的前13项之积等于________．－213　[由于{an}是等比数列，∴a1a13＝a2a12＝a3a11＝a4a10＝a5a9＝a6a8＝aeq\o\al(2,7)，∴a1a2a3…a13＝(aeq\o\al(2,7))6·a7＝aeq\o\al(13,7)，而a7＝－2.∴a1a2a3…a13＝(－2)13＝－213.]4．已知－7，a1，a2，－1四个实数成等差数列，－4，b1，b2，b3，－1五个实数成等比数列，则eq\f(a2－a1,b2)＝________．－1　[由题意，知a2－a1＝eq\f(－1－（－7）,3)＝2，beq\o\al(2,2)＝(－4)×(－1)＝4.又因为b2是等比数列中的第三项，所以b2与第一项同号，即b2＝－2，所以eq\f(a2－a1,b2)＝eq\f(2,－2)＝－1.]5．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；(2)求数列{bn}的通项公式．[解]　(1)[证明]　∵an＋Sn＝n，①∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1②②－①得an＋1－an＋an＋1＝1.∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，∴eq\f(an＋1－1,an－1)＝eq\f(1,2)，∵首项c1＝a1－1，又a1＋a1＝1，∴a1＝eq\f(1,2)，∴c1＝－eq\f(1,2)，又cn＝an－1，∴q＝eq\f(1,2).∴{cn}是以－eq\f(1,2)为首项，公比为eq\f(1,2)的等比数列．(2)由(1)可知cn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n－1)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)，∴an＝cn＋1＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n).∴当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)－[1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n－1)]＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n－1)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n).又b1＝a1＝eq\f(1,2)，代入上式也符合，∴bn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n).6/6