何锃版理论力学部分例题及习题参考答案

1-1-1是非题（正确的在括号内画√，错误在画×）。1．作用于刚体上的力是滑动矢量，作用于变形体上的力是定位矢量。（√）2．二力构件的约束反力是其作用线的方位沿二受力点的连线，指向可假设。（√）3．加减平衡力系公理不但适用于刚体，还适用于变形体。（×）4．若两个力相等，则这个力就等效。（×）5．作用于A点共线反向的两个力和且>，则合力。（×）6．力F可沿其作用线由D点滑移到E点。（×）7．两物体在光滑斜面m-n处接触，不计自重，若力和的大小相等方向相反，且共线，则两个物体都处于平衡状态。（×）1-1-2选择题（将正确答案前面的序号写在括号内）1．二力平衡公理适用于（1）①刚体②变形体③刚体和变形体2．作用与反作用公理适用于（3）①刚体②变形体③刚体和变形体3．作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中任何两上力的作用线相交于一点，则其余的一个力的作用线必定。（2）①交于同一点②交于同一点，且三个力的作用线共面③不一定交于同一点4．作用于刚体上的平衡力系，如果作用到变形体上，则变形体（3）。反之，作用于变形体上的平衡力系如果作用到刚体上，则刚体（1）。①平衡②不平衡③不一定平衡5．图示结构中，AC、BC自重分别为P1和P2，各杆受力如图①②③④。（3、4）1．3画出下列指定物体的受力图、假定各接触处光滑，物体的重量除注明者匀均不计。1．圆柱体O2．杆AB3．弯杆ABC4．刚架5．杆AB6．杆AB7．销钉A8．杆AB1．4试画出下列各物系中指定物体的受力图。假定各接触处光滑，物体的重量除注明者外均不计。1．起重机构整体：轮O、杆AB、杆BC2．平衡构架整体：AB部分、弯杆BC3．三铰拱整体：AB部分、BC部分4．A形架整体，AB部分、BC部分，DE杆及销钉B（力作用在销钉B上）5．二跨静定刚架整体、AD部分、EC梁。6．构架整体，杆AB（连同滑轮），杆AB7．整体，杆O2B（包括滑块B）、杆OA8．整体，连杆AB、圆盘O、滑块B9．整体，杆AB、AC、（均不包括销钉A、C）、销钉A、销钉C10．上题中，若销钉A、C均与AC杆固连，画出AC杆受力图，又若销钉A与AB杆固连，画出AB杆受力图。2．0思考题1．汇交力系（、、）作用，这四个力构成的力多边形分别如图（1）、（2）、（3）试说明哪种情况不平衡，如果不平衡，力系的合力是怎样的？2．用解析法求汇交力系的平衡问题，需选定坐标系再建立平衡方程，，。所选的X、Y、Z各轴是否必须彼此垂直？不！在空间，X、Y、Z不共向；在平X、Y不共线。4．圆轮在力偶距为M的力偶和力的共同作用下平衡，这是否说明一个力偶可用一个合适的力与之平衡。不。O处的约束反力必须与等相反向、平行，构成与M反向的力偶。3．平面汇交力系、空间汇交力系、平面力偶系、空间力偶系的独立平衡方程数各为多少？分别：2、3、1、35．在刚体上A、B、C、D四点各作用一力如图所示，其力多边形封闭，问刚体是否平衡？不。四个力构成两个同向边偶，不可能平衡。2-1-2判断题1．质量为m的圆球，以绳索挂在墙上，若绳长等于球的半径，则球对墙的压力大小为（3）（1）mg（2）mg（3）mg（4）2mg2．图示两绳AB、AC悬挂一重为W的重物，已知，则绳的张力、与重力W三力之间的关系为（2）。（1）最大（2）最小（3）最大（4）最小3．图示三铰拱架中，若将作用用于构件AC上的力偶m搬移到构件BC上，则A、B、C各处的约束力（3）。（1）都不变（2）中有C处的不改变（3）都改变（4）中有C处的改变4．若矩形平板受力偶矩为的力偶作用，则直角弯杆ABC对平衡的约束力为（3）。（1）15N（2）20N（3）12N（4）60N2.3如图中平面汇交系F1=173N，F2=50N，F3之大小未知，此三力的合力的方位已知如图示，试求的大小和指向，若的大小未知，但=0，试求此情况下力的大小。解：（1）上式向所在方向投影得：∴∴的大小为200N，指向与假设相反。（2），2.4长方体的顶角A和B处分别作用有力和，P=500N，Q=700N。求此二力在x、y、z轴上的投影。0xyz坐标系如图所示。解：由几何关系，得：∴2.4图示四连杆机构，各杆自重不计，Q=1000N。求：（1）保持机构在所示位置平衡时所需的铅垂力P的大小；（2）保持机构平衡所需作用于C的最小力的方向和大小。解：（1）[取钉B]；[取销钉C]：（2）不变，与上同。[取销钉C]：当时，即时，P最小，2.5液压式压紧机构如图所示，已知力P及角，试分别画出轮B、铰链C滑块E的受力图，并求出滑块E加于工件H的压力。解：[取轮B]：，[取铰C]：[取滑块E]：EMBEDEquation.33.4有一重量为P、边长为2a的正方形匀质钢板，以三根绳子AD、BD、CD悬挂于水平位置如图示。设D点与板的重心O在同一铅垂线上，OA=a，求绳子的拉力。解：[取板ABC]∴解得：3.5计算图示手柄上的力F对于x、y、z轴之矩。已知F=500N，AB=20cm，BC=40cm，。解：∴3.6图中P=10N，，A点的坐标为（3m，4m，-2m）。求力P对x、y、z各轴之矩。解：∴3.7将图示三力偶合成。已知F1=F2=F3=F4=F5=F6=100N，正方体每边长L=1m。解：三个力偶为：，，令∴合力偶矩即3.8一物体由三圆盘A、B、C和轴组成。圆盘半径分别是，，。轴OA、OB、OC在同一平面内，且在这三个圆盘的边缘上各自作用有力偶、和而使物体保持平衡。已知P1=100N，P2=200N，求和角。解：、、共面，由++=0，得得：∴，即2.6图示AB杆上有导槽，套在CD杆的销子E上，在AB和CD杆上各有一力偶作用，已知，求平衡时作用在CD杆上的力偶矩。不计杆重以及所有的摩擦阻力。又问，如果导槽在CD杆上，销子E在AB杆上，则结果又如何。解：（1）力偶与平衡∴力偶与平衡∴（2）类似（1）有2-2-11两块相同的长方板，用铰链C彼此相连接，且由铰座A、B固定。在每一板平面内都作用有其矩的大小为M的力偶，它们的转向如图所示。如a>b，忽略板重，试求铰座A、B的约束力。解：分析整体可知，A、B两处的约束反力必在AB连线上。且等值反向。[取AC物块]同样有、等值反向。∴有：故亦有：3.9长方体各边长分别为a=10cm，b=10cm，c=5cm。作用于顶角A处的作用力F=25N。求：（1）力在x、y、z各轴上的投影，（2）力对x、y、z各轴的矩，（3）力对轴之矩。解：（1）∴，EMBEDEquation.3（2）或∴，，（2）或3.10杆系由铰链连接，位于立方体的边和角线上，如图示。在节点D作用力，沿对角线LD方向。在节点C作用力P，沿CH边铅垂向下。如铰链B、L、H是固定的，求支座的约束力和杆的内力。各杆重量不计。解：用示1，2，…，6杆的内力。方向均设为拉力；B、H、L处的约束力分别设为：对于D点：，得：，，对于C点：，向x、y、z投影，得：，，，解得：，，对B点：，向轴投影得：，，∴，，对H点；，向轴投影，得：，，，解得：3.11正四面体的三个侧面上各作用有一个力偶。设各力偶矩的大小是：m1=m2=m3=m,求合力偶。又如在第四个面上施加m4=m的另一力偶，试问此力偶能否平衡前面的的三个力偶。解：设正四面体每边长为。∴合力偶的大小为：合力偶的方向为：垂直于BCD面指向正四面体内部。如果在BCD面上施加一个大小为m，方向垂直于BCD面指向四面体外部的力偶，则四面体平衡。3-1-1为求图示结构中A、B两外反力，可将力与矩为M的力偶先合成为虚线所示的力以简化计算，对否？试说明理由。产对。原因：要使M能在各构件间任意移转，必须将整体取为研究对象，而A、B两处的反力共有四个未知数，故仅取整体作研究对象，不能解出A、B两处的反力，因此，还需求解各构件的平衡条件，但这时AC杆、BC杆的受力与其原受力不等价，这样求出的结果当然不可能正确。3-1-2从桁架中截取图示部分，指出内力必为零的杆件：3-1-3下列问题中不计各杆重，试判断哪些结构是静定的？哪些结果是静不定的，为什么？3-1-4试直接指出图标桁架中哪些杆件的内力为零，并说明理由。2.10求下列各图中分布力的合力及作用线位置。解：，，对A点的合力矩合力作用线方程为：即；，（∵）即：解：易得；显然，分布力学在x上的投影之和为零，所以合力铅垂向下。，由合力矩定理，，故合力作用线为过（）点，与y轴平行的直线。2.11图示复合梁ACB上有一起重机重G=40KN，重心在铅直线OK上，力臂KL=4m，所吊重物P=10KN，试求A、B两端支座的反力。图中长度单位是m。（要求平衡方程个数不能多于4个，且不解联立方程）。解：[取起重机][取CB杆][取整体]2.12铰接支架由杆AB和BC组成，载荷P=20KN。已知AD=DB=1m，AC=2m，两个滑轮的半径都是r=30cm。求铰链B对各杆的作用力。解：[取AB杆][取销钉B][取BC杆]，结果：，2.13A形架由三杆铰接组成，、二力作用在AE杆A端，求销钉A对AD、AE两杆的约束力。若、二力作用在销钉A上，其结果有何变化？解：[取整体][AD杆]答：解：显然，支座反力不变，即，，[取AD杆]后，与左边一样的分析程序，立即得：[取销钉]答：3-2-5结构尺寸如图，杆重不计，C、E处为铰接，已知P=10KN，，试求A、B、D处约束力。（只许用五个平衡方程求解）。解：[取整体][取BC杆][取DE杆][取整体]答：，，2.14已知图示结构由直杆CD、BC和曲杆AB组成，杆重不计，且，，，试求固定铰支座D及固定端A处的约束反力。解：[取BC杆][取CD杆]，[取整体]答：，2.15AB、AC、BC、AD四杆连接如图示。水平杆AB上有铅垂向下的力作用。求证不论的位置如何，AC杆总是受到大小等于P的压力。（只允许列三个方程求解）说明：[取整体][取AB杆]，[以AB、AD杆]得为AC杆对销钉A的压力，故AC杆总受到销钉A对其的压力P。2.16构架ABC由三杆AB、AC和DF组成，杆DF上的销子E可在杆AB光滑槽内滑动，构架尺寸和载荷如图示，已知，，试求固定支座B和C的约束反力。解：[取整体][取DF杆][取AB杆][取整体]，得答：，2.17用指定方法求图示桁架中标有数字的杆件的内力。1．节点法解：[取节点E]，：，[取节点D]，，[取节点C]，答：，，，，，2．截面法解：[取I-I截面上部]：，；，[取整体]：[取II-II截面右下部]：：，答：，，2.18求图示桁架中AB杆的内力（要求只用二个平衡方程求解）。解：[取整体]EMBEDEquation.3[取截面右部]EMBEDEquation.32.20一拱架支承及载荷如图，P=20KN，Q=10KN，自重不计，求支座，A、B、C的约束反力。（要求用不多于三个平衡方程求解）解：[取整体]：：：2.21t物体重Q=12KN，由杆AB、BC和CE组成的支架和滑轮E支持如图示，已知AD=BD=2m，CD=DE=1.5，不计杆与滑轮的重量，求支座A的约束力以及BC杆的内力。解：[取整体]：，：[取CE杆]其中：答：BC杆内力：3-3-3构架支承与尺寸如图所示。已知载荷，，力偶矩。求销钉B对杆AB及杆BC的作用力。解：[取整体]EMBEDEquation.3：EMBEDEquation.3，得[取BA杆]：[取销钉B]EMBEDEquation.3，得：（1）[取BC杆]：再由（1）式得，答：，，，2.19求图示桁架中杆1、2、3、4的内力。解：可以看出零杆如图所示。[取I-I截面上半部]：：：[取节点B]：EMBEDEquation.3答：，，，2.22组合结构的荷载及尺寸如图，长度单位为m，求支座反力及各二力杆的内力。解；杆1、2、3、4为二力杆[取整体]EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3[取DE杆及1、2、3、4杆]：（1）：（2）：，即：（3）[取CB杆及3、4杆]：即：（4）由（3）、（4）式得：，∴，答：，，，4-1-1图示物块A重P=800KN，拉力T=20KN，A、B间摩擦系数f=0.5，则A块所受的摩擦力大小为（3）（1）30KN（2）25KN（3）10KN4-1-2两物块A和B迭放在水平面上，它们的重量分别、，设A与B间的摩擦系数为，B与水平面间的摩擦系数为，试问施水平拉力P拉动物块B，图示两种情况哪一种省力。（2）4-1-3若楔子两侧面与槽之间的摩擦角均为，则欲使楔子被打入后而不致自动滑动，角应为多大？（楔重不计）（1）（2）（3）（4）4.2欲转动一置于V形槽中的棒料，如图所示，须作用一力偶矩的力偶，已知棒料重，直径，试求棒料与V形槽的摩擦系数f。解；研究对象：（1）画受力图（2）选坐标（3）列平衡方程求解解：[取圆柱]：：：补充：，，得：，代入数据，得：由上同时可得∴要使，必须，故4-2-2滑块A、B均重100N，由图示联动装置连接杆AC平行于斜面，CB水平，C是光滑铰链，杆重忽略不计，滑块与地面间摩擦系数均为f=0.5，试确定不致引起滑块移动的最大铅垂力P。解：分析AC、BC杆的平衡，得：，（1）设B达到临界态，A未达到临界。当B有上滑趋势时：：：补充：得：，即当B有下滑趋势时，（2）设A达到临界态，B未达临界A只可能有左滑趋势（由整体显见）可得：综合：由（1）得：，由（2）得：∴，故使系统保持副部长的最大P力为：P=40.58N4.5修电线的工人攀登电线杆所用脚上套钩如图所示。已知电线杆的直径，套钩的尺寸，套钩与电线杆之间滑动摩擦系数，套钩的重量略去不计，试求踏脚处到电线杆轴线间的距离a为多大才能保证工作安装操作。解：研究对象：套钩。：，；：得：4.6求使自重2KN的物块C开始向右滑动时，作用于楔块B上的力P的大小。已知各接触面间摩擦角均为。解：用两种方法求解。1．解析法解：设[取C]：补充：得：[取B]补充：得：2．几何法4.7木板AO1、BO1，用光滑铰固定于O1点，在木板放一重Q的均质圆柱，并用大小等于P的个水平力维持平衡如图示。设圆柱与木板间的摩擦系数为f，不计木板重量，求平衡时P的范围。（排除圆柱上滑处锁的情况）解：（1）不上滑由对称性：[取AO1极]∴[取圆柱]（2）不下滑下滑时只是、方向改变，、与上滑时同，故综合（1）、（2），应有：4.8均质长方体A，宽1m，高2m，重10KN，置于的斜面上，摩擦系数，在长方体上系与各面平行的绳子，绳子绕过一光滑圆轮，下端挂一重Q的重物B，求平衡时重量Q的范围。解：（应考虑各种运动的可能）（1）上滑：补充：得：即：（2）下滑：将上述Q表达式中的f变成-f，得：∴不可能下滑。（3）绕D翻转：这时，作用于D点。（4）绕C翻转：这时，作用于C点。综合：由（1）、（2）、（3）、（4）得：4.9A块重50N，轮轴B重100N，重块与轮轴以水平绳连接，在轮轴上绕以细绳，此绳跨过光滑的滑轮D，在其端点上系一重物C，如重块与平面间的摩擦系数为0.5，而轮轴与平面间的摩擦系数为0.2，求使物系平衡时，重物C的最大重量（滚动摩擦不计）。解：（1）设A先达临界态[取A]补充：得[取B]得（2）设B先达临界态[取B]得：综合：∵，再由（1）、（2）得：∴使物体系平衡的最大为：4.11重为半径为r的圆柱A与重为的特块B由绕过定滑轮C的轴软绳互相连接，且放在粗糙斜面上，如图所示。设接触面间的滑动摩擦系数为f，滚动摩系数为，试求能拉动物块B所需力的大小。略去绳及滑轮的重量与轴承摩擦，绳及力均与斜面平行。（设A先达到滚动临界态）解：[取A]得：[取B]补：即：4.10圆柱重，放在倾角的斜面上，由一直角弯杆挡住，如图所示。圆柱各处摩擦系数均为f，不计杆重。求向上拉动弯杆所需的最小力。解：（1）圆柱滚动时，这时A处在临界态补充：得：注：（2）圆柱滑动时，这时B处达到临界态。补充：得：结论：由（1）、（2）得：3.1是非题1．空间力对某一点之矩在任意轴上的投影等力对该轴的矩。（×）2．空间平行力系不可能简为力螺旋。（√）3．空间汇交力系不可能简化为合力偶。（√）4．空间平行力系的平衡方程可表示为两投影方程和一矩方程。（×）5．空间平行力系的平衡方程能否出现形式：（√）6．空间平行力系的平衡方程能否出现形式：（×）7．空间任意力系向某点0简化，主矢，主矩，则该力系一定有合力。（×）8．力偶可在刚体同一平面内任意转移，也可在不同平面之间移转，而不改变力偶对刚体的作用。（×）3.2选择题1．力作用在OABC，对ox，oy，oz三轴之矩为（3）。（1）（2）（3）（4）2．空间同向平行力系如图所示。该力系向O点简化，主矢和主矩分别用、表示，则（1）。（1）（2）（3）（4）3．上题中，简化的最后结果是（1）。（1）一合力（2）一合力偶（3）一力螺旋（4）平衡4．长方体上受三个相等的力，若使力系简化为合力，长方体边长a、b、c应满足的条件是（2）。（1）a=b+c（2）b=c+a（3）c=a+b（4）a+b+c=05-2-1将图示四力向O点简化为一等效力系，并求其合成的最后结果。解：四个力的投影式为：，，，∴中与可再合成为，设过点0，1（x，y，z），则应有：即：，可得∴最后合成结果为一个力螺旋：，其中合力过点。5-2-2将图示空间力系（两个力和两个力偶）向A点简化为一等效力系，并求出力系对AB轴的主矩。解：，，∴3.14长方形门的转轴AB是铅直的，门打开成，并用两根绳子维持平衡。其中绳系在C点，跨过小滑轮D而挂着重量为P=320N的物体，另一绳EF系在地板的F点上。门重Q=740N，宽AC=AD=1.8m，高AB=2.4m。求绳了EF的张力T及轴承A、B的约束力。解：[取门]设A、B两处的约束反力为、分别为：，而，，，力学向B点简化，得：由，，可得：EMBEDEquation.3，3.15重G=10KN的圆柱被电机通过链条传动而匀速提高。链条两边都和水平面成角。已知豉轮半径r=10cm，链轮半径R=20cm，链条主动边（紧边）的拉力T1是从动边（松边）拉力T2的两倍。求轴承A和B的约束力以及链条拉力的大小。图中长度单位是cm。解：[取整体]∵已知：，∴立即得：，答：，，3.16均质吊臂AB重Q=500N，长AB=5m，由A处的球铰链及从C到在YZ平面内的点D和E的两索支持在XY平面内，与Z轴成倾角，如图所示。若吊臂在B处承受一个P=5000N的载荷，求平衡时铰链A的约束力。（只允许列三个方程求解）。解：[取AB]5-2-6正方形板ABCD由六根直杆支撑，各杆尺寸如图示。在板上点A处沿AD边作用已知水平力P，板和各杆的重量都不计，求各杆的内力。3.17各平面图形尺寸如图所示，单位是cm，求它们的重心坐标。1．2．3.18均质的细长杆被弯成如图所示的形状，求重心的坐标。图中长度单位是mm。理论力学练习册（运动学部分）5.1选择题1．点作直线运动，方程为（x以cm计，t以s计）可算出点在0~3秒钟内经过的路程为（3）。（1）30cm（2）15cm（3）27cm2．图示M点作圆周运动，运动方程为（S以cm,t以s计），当第一次到达Y坐标最大值时，点的加速度在X，Y轴上的投影分别为（3）。（1）EMBEDEquation.3（2）EMBEDEquation.3（3）EMBEDEquation.33．动点的运动方程若以弧坐标为s=f(t)，在某一瞬时沿坐标的正向运动，但越来越慢，则（4）。（1）（2）（3）（4）5.2填空题1．动点的运动方程以直角坐标标示为：x=t2+1,y=2t2(xy以cm计)，则t=1时，全加速为（），此时动点所处位置的曲率半径为（）。2．动点在运动过程中，当切向加速度等于零，则动点做（匀速）运动。当法向加速度等于零，则动点作（变速直线）运动。当动点的全加速度等零则动点作（匀速直线）运动。3．点沿图示轨迹运动，请按下列条件标出各点的全加速度。（1）动点在B点附近沿弧坐标正向运动，速度越变越大。（2）动点在C点（拐点）沿弧坐标正向运动，速度大小没有变化。（3）动点在D点附近沿弧坐标正向匀速运动。（4）动点在沿弧坐标正向减速接近E点，到达E点速度恰好为零，并开始向反向运动。注：拐点处曲率半径。5.5曲柄OB的转动规律为，它带动杆AD，使杆AD上的点A沿水平轴OX运动，C点沿铅直轴OY运动。如AB=OB=BC=CD=12cm，求当时杆上D点的速度，并求D点的轨迹方程。解：由几何关系的D点的运动方程为：（1）（2）∴当时，，将（1）、（2）式消去t，得轨迹方程：——椭圆5.6点的运动方程用直角坐标表示为：，如改用弧坐标描述点的运动方程。自运动开始时位置计算弧长，求点的弧坐标形式的运动方程。P461-4解：易得动点的轨亦方程为——园如图，动点的起点坐标为（0，5），以动点的运动方向作出弧坐标s的正向。则5.7点M的运动方程为x=t2,y=ts,(x,y以cm计，t以s计)，试求M在（1，1）处的曲率半径。解：；∴当M在（1，1）处，t=1时，这时，，∴5.8点沿一平南上的曲线轨迹运动，其速度在Y轴上的投影为一常数C，试证明加速度值，（v为速度，为曲率半径）。证：故∴而由，得∴5.9小车A与B以绳索相连，如图所示，A车高出B车1.5m，令小车A以VA=0.4m/s匀速拉动B车，开始时BC=LO=4.5m，求5秒后小车B的速度与加速度（滑车尺寸不计）。解：以t=0时小车B的位置为X轴原点，则小车B的运动方程为∴当时，5.3指出下列图示机构中，1、2号刚体各作什么形式的运动（答案填在括号内）。5.4是非题（对的在括号内画“√”，错的画“×”）1．某瞬时平动刚体上各点速度大小相等而方向可以不同。（×）2．定轴转动刚体，转动轴不能在外形轮廓之外。（×）3．定轴转动刚体上与转动轴平行的直线，其上各点的速度均相等。（√）4．平动刚体其上各点的轨迹一定是直线。（×）5．定轴转动刚体的角速度，角加速度，其上各点的速度与转动半径垂直，各点加速度与转动半径的夹角为：（√）5.10揉茶桶由三个互相平行的曲柄来带动，ABC和为两个等边三角形。已知每一曲柄长均为，且都为匀速n=45rpm分别绕A、B、C轴转动，求揉茶桶中心O的轨迹、速度和加速度（要求在图上标出O点速度、加速度方向）。解：显然，茶桶作平动；其中心O的轨迹为r=15cm的园，其园心D位于△ABC的中心（∴无论曲柄长度r为多少，茶桶均作平动，O点的轨迹园的半径均r，见其园心D的位置不变，当时，O与D重点，同时∴，故D在中心）其中：5.11某飞轮绕固定轴O转动，在转动过程中，其轮缘上任一点的加速度与轮半径的交角恒为。当转动开始时其转角等于零，其角速度为，求飞轮的转动方程，以及角速度和转角间的关系。解：两式相除，得得由时。得，∴（1）即：，结合t=0，时，得转动方程：（2）由（1）、（2），得中关系为5.12图示为连续印刷过程，纸厚b以匀速v水平输送，试以纸盘的半径r表示纸盘的角加速度？解：设纸盘面积为s，则而由得∴5.13图为车床走刀机构示意图，已知齿轮的齿数分别为，主轴转速，丝杆每转一圈，刀架移动一个螺距h=6mm，求走刀速度？解：走刀速度：5.14杆AB以匀速V沿铅直导轨向下运动，其一端B靠在直角杠CDO的CD边上，因而使杆绕导轨轴线上一点O转动，试求杠杆上一点C的速度和加速度大小。（表示为角的函数）假定。解：EMBEDEquation.3表示随加而减少，因此ODC杆逆时针转动，其角速度为[1][2]与同号，故同向，为逆时针向，如图[3]∴[4][5]5.15直角坐标系固定不动，已知某瞬时刚体以角速度绕过原点的OA轴转动，A点的坐标为（10，40，80，），求此瞬时刚体上另一点M（20，-10，10）的速度。解：6.1在下列各图示机构中，选取适当的动点及动参考系，分析三种运动，画出图示位置时三种速度矢量力。（1）动点：滑块A动系：OB杆绝对运动：直线运动相对运动：直线运动牵连运动：定轴转动（2）动点：套角A动系：BC杆绝对运动：圆周运动相对运动：直线运动牵连运动：平动（3）动点：AB杆上A点动系：凹轮O绝对运动：直线运动相对运动：圆周运动牵连运动：定轴转动（4）动点：环M动系：OBC杆绝对运动：直线运动相对运动：直线运动牵扯连运动：定轴转动（5）动点：滑块M动系：BD杆绝对运动：直线运动相对运动：直线运动牵连运动：平动（6）动点：环M动系：OA杆绝对运动：圆周运动相对运动：直线运动牵连运动：定轴转动6.2选择题（请在正确答案的题号前画“√”）。1．在点的复合运动中，有：（1）牵连运动是指动参考系相对于静参考系的运动。（2）牵连运动是指动系上在该瞬时与动点重合之点对静系的运动。（3）牵连速度和加速度是指动系相对于静系的运动速度和加速度。（4）牵连速度和加速度是指动系上在该瞬时与动点相生命之点对于静系运动的速度和加速度。2．和两式（1）只有当牵连运动为平动时成立。（2）只有当牵连运动为转动时成立。（3）无论牵连运动为平动或转动均成立。（4）无论牵连运动为平动或转动均不成立。3．在应用点的复合运动法进行加速度分析时，若牵连运动为转动，动系的角速度用表示，动点的相对速度用表示，则在某瞬时（1）只要，动点在该瞬时的哥氏加速就不会等于零。（2）只要，动点在该瞬时就不会有。（3）只要，，动点在该瞬时就不会有。（4）且，动点在该瞬时也可能有。4．图标机构中，圆盘以匀角速度绕O轴转动，取AB杆上的A点为动点，动系与圆盘固连，则在图示位置时，动点A的速度平行四边形为：（1）图（1）所示（2）图（2）所示（3）图（3）所示（4）图（4）所示5．图标机构中，杆O2B以匀角速度绕O2轴转动，取O2B上的B点为动点，动系与O2A固定，则动点B在图标位置时的各项加速度可表示为：（1）图（2）所示（2）图（3）所示（3）图（4）所示（4）图（5）所示6．曲柄滑道机构，设OA=r，已知角速度与角加速度和，转向如图所标。取OA上的A点为动点，动系与T形构件固连，A点的加速度矢量图如图所示，为求取坐标系A-xy，根据加速度合成定理有：（1）（2）（3）（4）6.3由推杆BCD推动长为L的OA杆在图标平面内绕O点转动，设推杆速度u（向左）距离b。求当OC=x时，杆端A的速度大小（表示为距离x的函数）。解：动点：BCD杆上B点动系：OA杆EMBEDEquation.36.4图标机构中，水平杆CD与摆杆AB铰接，杆CD作平动，而摆杆AB插在绕O点转动的导管内，设水平杆速度为。求图示瞬时导管的角速度及摆杆在导管中运动的速度。解：动点：铰链A；动系：导管O6.5杆O1A=r以匀角速度绕O1轴逆时针转动，图标位置O1A水平，O2A=AB=L，O2B的倾角为，杆CDE的CD段水平，DE段在倾角为的滑槽内滑动。求杆CDE的速度。解：动点：套角A、B，动系：OB杆、CDE杆，向Y轴投影，得——此即CED杆的速度。6.6直杆AB和CD的交角为，两杆分别以垂直于杆的方向的速度和运动。求套在两杆交点处的小环M的速度大小。解：动点：环M动系：AB杆、CD杆取AB杆为动系时（1）取CD杆为动系时（2）∴（3）上式向y轴投影，得：由（2）式，得：6.7半径为R的半圆形凸轮沿水平方向向右移动，使推杆AB沿铅直导轨滑动，在图标位置时，凸轮有速度和加速度，求该瞬时推杆AB的速度和加速度。解：动点：AB杆上A点，动系：凸轮，∴向轴投影得：∵∴6.8求图标连杆机构中，当时，摇杆OC的角速度和角加速度，设AB杆以匀速向上运动，开始时。P603-8解：（一）求角速度：动点：AB杆上A点，动系：OC杆（二）求角加速度由，向所在轴投影，得6.10求图标机构中，曲柄，角速度为常量，，试以和表示在图标位置时水平杆CD的速度和加速度。解：（一）求速度：动点：O1A上A点，O2B上B点解：（二）求加速度：EMBEDEquation.3由向所在轴投影，得得∴由向水平轴投影得：∴得：6.12一偏心圆盘凸轮机构如图所示，圆盘C的半径为R，偏心距为e，设凹轮以匀角速度绕O轴转动，求导板AB的速度和加速度。解：（一）求速度：动点：凸轮圆心C动系：AB板（二）求加速度：6.13圆盘以角速度绕轴O1O2转动，点M沿圆盘的半径OA离圆心作相对运动，其运动规律为OM=4t2（长度以cm计，时间以s计），半径OA与O1O2的夹角为，求在t=1(s)时，点M的绝对加速度的大小。解：动点：点M动系：圆盘时，6.15平面上杆OA绕O轴转动，图示瞬时，OA水平，角速度，角加速为零，杆BC平动，两杆都穿过小环P，该瞬时杆BC与OA垂直，离O点的距离为，速度大小为a，加速度为零，试分析该瞬时小环P的运动，求出小环P的绝对速度和绝对加速度的大小。解：（一）求速度动点：小环P动系：OA杆、BC杆当取OA杆作动系时，当取BC杆作动系时，故∴解：（二）求加速度当取OA杆为动系时，当取BC杆为动系时，∴：而3-3-2半径为R的圆轮，以匀角速度绕O轴顺时针转动，从而带动AB绕A轴转动，试求在图示位置时，AB杆的角速度和角角加速度。解：（一）求角速度动点：圆轮中心C点动系：AB杆由得∴（一）求角加速度由向y轴的投影，得6.17计算下列两机构在图示位置CD杆上D点的速度和加速度。设图示瞬时水平杆AB的角速度为，角加速度为零，AB=r，CD=3r。（一）套筒与AB杆连接解：动点：AB上B点动系：杆DC，由，向所在轴投影，得：，得∴（二）套筒与AB杆刚性连接解：动点：DC杆上C点、D点动系：AB杆由，向y投影，得∴即，而，由此显然可得：由，向y轴投影，得：∵，∴而由，得6.18平面机构如图示，已知CD∥EG，B为DG杆的中心，O、A、B、C、D、E、G均为铰链，CD=EG=20cm，DG=50cm，OA=40cm，在图示位置，CD杆铅直，OA∥CD，水平向左，B点的加速度沿水平方向的分量。求此瞬时：（1）CD杆和OA杆的角速度。（2）B点的加速度沿铅垂直方向的分量。（3）OA杆的角加速度。解：（一）求角速度动点OA杆上A点（或经A）动系：DG杆，∵DG杆平动∴显然，，由向AB轴投影，得∴同时，显然可得：。解：（二）求角加速度∴∵，它与AB垂直！由即：向y轴投影，得：（1）向x轴投影得：（2）再由，即向y轴投影，得：由（1）、（2）式得即：（与假设方向相反）6.19在图标机构中，已知为常量，当O、A、D处于同一水平直线上时，，OA=AD=R，试求该瞬时AB杆的角速度。解：（一）求角速度动点：滑块A，动系：套角C解：（二）求角加速度，由，向所在轴投影，得：3-3-6小环A沿弯成两个半圆形的固定曲杆1滑动时，带动直杆2绕垂直于图面轴O转动，O与C点位于同一铅垂直线上。已知小环A沿曲杆1的运动方程为，设，，求当时杆2的角速度，角加速度及环A相对于杆2的加速度。解：（一）求角速度，动点：小环A动系：杆2当时，，∴解：（二）求角加速度及当时，点A的轨迹为直线，，其中:∴:7.1找出下列机构中作平面运动构件在图标瞬时的速度瞬心的位置。7.2下列两机构中，，请就所给结果作出判断（正确的括号里画“√”，错误的画“×”）（1）（√）（2）（√）（3）（√）（4）（√）（5）（√）（1）（√）（2）（√）（3）（×）（4）（×）（5）（×）7.3如图所示，半径为r的圆盘分别在水平面上，圆周曲线的内侧以及圆周曲线的外侧无滑动的滚动，角速度=常数，试分别求出以上各种情况下轮心A点、轮边B点以及速度瞬心P点的加速度。7.4曲柄OA长为12cm，以匀转速n=60rpm转动。连杆AC长34cm，齿轮半径r=8cm。在图标位置时，，AC成水平，求连杆AC的角速度与齿条D的速度。P734-3解：7.6图示机构中，OB线水平，当B、D和F在同一铅垂线上时，DE垂直于EF，曲柄OA正好铅垂位置。已知OA=BD=DE=100mm，，。求EF杆的角速度和F点的速度。解：显然，D点为BC杆的瞬心，由，得。EF杆的瞬心为P，EP=300，7.7轮O在水平面上滚动而不滑动，轮缘上有一固定销B，销B可在摇杆O1A的槽内滑动，并带动摇杆绕O2轴转动。已知轮的半径R=0.5m，在图标位置时，AO1是轮的切线，轮心的速度，摇杆与水平面的交角为。求摇杆的角速度。解：P点为轮O的瞬心，7.8图标机构中，销子B通过套筒带动摇杆O1C，B又与水平运动的滑块相连，设，，，，试求在瞬时时，点C的速度。解：（求B点绝对速度可有两种方法）对AB杆用速度投影法，得：当时，∴∵∴7.9图标瓦特行星传动机构中，平衡杆O1A绕O2轴转动，并借连杆AB带动曲柄OB绕定轴O转动，在O轴上还装有齿轮I，齿轮II与连杆AB连为一体，并带动齿轮I转动。已知，，，又平衡杆的角速度，求当时，曲柄OB及齿轮I的角速度。解：对AB速度投影，得：∴P点为AB构件（与轮II）的瞬心，∴I、II轮的齿合点C的速度为7.10边长的正方形ABCD作平面运动。在图标位置，其顶点A与B的加速度分别为，，方向如图所示。求正方形上顶点C的加速度。解：（一）求正方形和：以A为其点，得：：∴（二）求以A为基点求∴方向水平向左。7.11杆AB长，其A端搁置在斜面AC上，B端与圆轮铰接。圆轮的半径，斜面CD与水平面成角，设圆轮沿CD斜面匀速滚动，其轮心的速度。求当杆AB位于图示水平位置时的角速度和角加速度。解：（一）求D点为轮O的瞬心，故P点为AB杆的瞬心，故解：（二）求∵，故如图所示，且以A为基点，得7.12滑块A和B可分别沿彼此垂直的两直线导轨运动。滑块间用两杆AC和BC相铰接，且AC=L1，BC=L2，试求当两杆分别垂直于两导轨时点C的速度和加速度的大小。设这时两滑块分别具有速度和如图所示，并分别具有任意数值的加速度。解：（一）求：由速度投影法知，必须有，∴只有（二）求：分别以A、B为基点得：（1）（2）进而：：两项同时求出，这正是本题的特殊之处，即，另一方面此为（1）式右边的矢量和的两个正交变量。∴由（1）式，得：7.13在图标曲柄连杆机构中，曲柄OA绕O轴转动，其角速度为，角加速度为，在某瞬时，曲柄与水平线交成角，而连杆AB与曲柄OA垂直，滑块B在圆弧槽内滑动，此时半径与连杆交成角。如，求在该瞬时滑块B的切向加速度和法向加速度。解：（一）求：解：由A、B两点速度投影，得，∴由，得解：（二）求以A为其点，得向AB轴投影，得：∴7.14在行星齿轮差动机构中，曲柄和轮I都作变速运动。在给定瞬时已知轮II节圆上啮合点A的加速度大小等于，而方向指向轮II的中心，同一直径上对称点B的加速度大小等于，而方向偏离直径AB某一锐角。试求该给定瞬时曲柄和齿轮II的角速度和角加速度的大小。解（一）：求齿轮II的以啮合点A为基点分析B点，得（1）向轴投影，得，由，得：（1）式向垂直的方向投影，得∴解（二）：求曲柄以啮合点A为基点分析点，得∴7.15在图标配汽机构中，曲柄OA长为r，以等角速度绕O轴转动。在某瞬时，，，，。求机构在图标位置时，滑块C的速度和加速度。解：（一）求：，、分别为AB、BC杆瞬心，解：（二）求：取AB，以A为基点，得，向AB投影，得取BC杆，以B为基点，得，向铅垂直方向投影，得解：以逆时针向为正，以曲柄OA为动系，则有∴∵∴∴小齿轮转速为60rpm，转向与图示反向，即顺时针向。7.17图示机构中，曲柄OA=r，以匀角速度绕O轴转动，连杆AB=L，滑块B在水平滑道内滑动。在连杆的中点C，铰接一滑块C，可在摇杆O1D槽内滑动，从而带动摇杆O1D绕O1轴转动。当，时，试求摇杆的角速度及角加速度。解：（一）求摇杆的角速度显然，AB杆瞬时平动，故∴（二）求摇杆的角加速度取AB杆以A为基点，得（∵故，∴）向水平向投影，得：。向铅垂向投影，得：∴以B为基点，得：，再由，向方向投影，得：，4-3-2图示机构中，，，AB以匀角速度转动。在图示位置时B位于DE的中点。求此时CD的角速度和角加速度。解：（一）求角速度取AB上B点为动点，DE杆为动系，则速度各如图所示。瞬时，C点为DE杆瞬心，故，（为DC杆上的B点的速度）由，得，∴解：（二）求角加速度光分析套角B的复合运动，得：，其中以E为基点分析DE杆的B点，得：，由这两式，得：，此式向方向投影，得：（1）上述关于的矢量方程再向铅垂直方向投影：再以E为基点分析D，得：，此式向方向投影，得（2）注意到，再（1）+（2），得：即：（3）（4）由（3）、（4）式解得：，∴4-3-3图示机构中，，。设此时的角速度为，角加速度为零，试以、表示此瞬时水平杆CD的速度与加速度。解：（一）求速度选动点：滑块A，动系BE杆，分析B、E点的速度方向知，BE杆瞬时平动，∴（二）求加速度∵，∴，故，其中，（∵，故）∴（1）再以B为基点分析E点，得：（2）将（1）式向方向投影，得：（3）将（2）式向方向投影，得：（4）由（4）式，，显然，∴由（1）式，得：7.19AB杆的A端沿水一线以匀速运动，在运动过程中AB杆始终与一固定的半圆周相切，半圆周的半径为R，如杆与水平线夹角为，求此瞬时杆AB的角速度和角加速度。（要求用两种方法求解）解一：用绝对运动的方法（即建立运动方程）坐标：∴EMBEDEquation.3解二：用合成运动的方法。动点：O点动系：AB杆（动系作平面运动），其中，∴，向垂直的方向投影，得：∴，故同时可得：而，∴，向垂直的方向投影，得：∴7.20图示机构在同一垂直面内运动，在某瞬时达到图示位置，水平，B、D、O三点在同一铅垂线上，杆ECH的CH段水平，，A、B、D处均铰链连接，杆ECH通过套筒A与三角形ABD相连。轮O的半径为r，BD=AB=AD=2r，O1B=r。轮沿地面只滚不滑，轮心速度=常数。求此瞬时ECH杆的速度与加速度。解：（一）求ECH杆的速度由D、B点的速度方向可知，B点为△DBA的瞬心。故此即为ECH杆的平动平动速度。（二）求ECH杆的加速度∵∴以D为基点，得：，向水平方向投影，得：，故，进而只有法向分量。，再由，两式合并，得：，向水平方向投影，得：，此即为ECH杆的平动加速度。7.21图示机构中，曲柄O1A的角速度，曲柄的角速度，两杆以匀角速度转动，杆BD可在AC套筒中滑动。若曲柄处于水平位置，曲柄处于铅垂位置，尺寸如图所示，求图示瞬时杆BD的角速度和角加速度。解：（一）求：取动点：铰B，动系：套角AC，其中：∴，向AB垂直的方向投影，得：，同时可得：（二）求：，其中：∴，向垂直的方向投影，得第五章动静法思考题12.1质量的质点，在半径的圆环内按箭头方向以相对速度作匀速运动，圆环以匀角速度绕轴转动。此质点在点1、2处的惯性的大小分别为：将惯性的方向画在题图上。12.2已知曲柄OA╩O1B，，转动角速度和角加速度分别为和。为一个弯杆，滑块的质量为。此滑块的惯性力的大小为：（）并将方向画在图上。12.3质量为，半径为的均质圆轮，沿水平轨道作纯滚动。已知轮心在某瞬时的速度和加速度，此时惯性力系赂速度瞬心简化所得主矢和主矩的大小，在下述五种答案中正确的是：（d）(a);(b);(c);(d);(e)。12.4对固连于刚体的直角坐标系而言，若（）则轴是刚体对点的一根惯性主轴；若（轴还通过质心），则轴是刚体对点的一根中心惯性主轴。12.5质量为，长为的均质细直杆绕轴转动，与均为逆时针转向，在下列四种惯性力系的简化情况中正确的是：（a）,,（b）,,（c）,,（d）,,练习题12.6边长为的均质方立方体，重为，放在运输车上，接触面间的摩擦系数，试问车的加速度取何值时，才能保证重物安全运输（既不翻转，也不滑动）。解：惯性力①滑动临界时：Q，∴②翻倒临界时：∴∴∴重物安全运输的加速度范围为。12.7均质长方形平板，其质量，尺寸如图所示。于点用光滑铰链悬挂起来，自边水平时静止释放，求翻放后的瞬时板绕转动的角加速度和点的约束反力。解：惯性力系简化结果：[板ABCD]即12.8均质杆长，重，沿光滑的圆弧轨道运动。杆的质心与圆弧中心的距离为。开始运动时，杆与水平直径成角，初速为零。求此时轨道对杆的约束力。解：惯性力系向转轴简化：，，即答：，。12.9嵌入墙内的悬臂梁的端装有重为，半径为的均质鼓轮（可视为圆盘）。有主动转矩作用于鼓轮以提升重为的重物。设，梁和绳的重量都略不去不计，求固定端支座处的约束反力。解：惯性力系简化结果：，[轮加轮]解得：[整体]，得[杆]12.10均质杆重为，长为，用两根等长的绳索悬挂如图所示。求一根绳突然继开时，杆的质心加速度及另一根绳的拉力。解；惯性力向点简化，，得，向铅垂向投影：∴12.11均质平板质量为，放在半径为，质量均为的两个相同的均质圆柱形滚子上。平板上作用一水平力，滚子在水平面上作纯滚动，平板与滚子之间无相对滑动。试求平板的加速度。解：由动能定理，有（为板的位移）即，求导得：12.12长为、质量为的两个相同的水平均质杆和以软绳与相连，并在的中心用铰链固定。求当被剪断的瞬间与两点的加速度。P465-12解：，，[整体]，向铅垂向投影：，∴[杆]得由12.13均质杆长，质量，端铰链于直径、质量的均质圆盘上。与圆盘中心相距。若在圆盘上施加力偶矩为的力偶，试求此瞬时杆和圆盘的角加速度。解：由加速度分析易知，在水平方向。因此惯性力系简化结果为：，，[圆盘]即：（1）∵（2）由（1）、（2）解得：（3）[整体]（其中中已应用式（1））即（4）由（3）、（4）解得：算得：选作题12.14半径为的均质圆盘由均质连杆和曲柄带动在半径为的固定圆上作纯滚动。，。在图示位置以匀角速度转动，求此瞬时固定圆对圆盘的约束力。圆盘和连杆的质量均为。解：[圆盘]（1）（2）（3）[杆]考虑（1）、（2）、（3）式，上式变为：即（4）下面作运动学分析：，由得，，∴将这些运动量代入惯性力系，再代入（3）、（4），得12.15均质滑轮用一绳悬于天花板上，另一绳悬重物，绳重不计。开始时滑轮和重物同时由静止释放。滑轮重，重物重，，，滑轮对中心轮的回转半径。求滑轮中心与重物的加速度及两绳的张力。解：，，[整体]得：∴[物]12.16一质量为长为的单摆，其上端连在圆轮的中心。圆轮的质量为，半径为，可视为均质圆盘。圆轮放在水平面上，圆轮与平面间有足够的摩擦力阻止滑动。求在图示位置无初速地开始运动时，轮心的加速度。解：由复合运动方法知，的加速度：，所以其惯性力为：惯性力学简化结果：，，[单摆]即（1）[整体]即（2）由（1）、（2）解得：12.17均质杆在铅直平面内绕水平轴转动时，推动均质圆盘在水平面上作纯滚动。已知圆盘质量为，半径为，杆的质量为，长为，不计杆与圆盘间摩擦。试求系统在杆的重力作用下，自图示位置（圆盘圆心正好位于的正下方，且）由静止开始运动时，杆的角加速度。解：惯性力学：，，，[杆]，即（1）[圆盘]，，即（2）求、的关系；向方向投影，得：∴即（3）由（1）~（3），解得：12.18质量为，半径为的圆环，铅垂放在水平面上作纯滚动。在圆环的边缘上刚性连接一质量为的质点。试用动静法建立系统的运动微分方程。解：∴，如图所示：∴惯性力学简化结果为：，，，得：∴，得系统运动微分方程为：12.19质量为的均质三角形薄板，绕直角边以匀角速度转动。尺寸如图所示，求在图示位置时轴承、的附加动反力。解；∴而此题也可将分布惯性力学直接简化。第六章虚位移原理概念题13.1判断下列各系统的自由度数1．一个刚体有一个固定点；一个刚体有两个固定点；一个刚体有三个固定点（三点不共线），各有多少自由度？DOF分别为3、1、03．直角三角块（图）可沿光滑水平面滑动，在三角块的光滑斜面上有均质圆柱体，其上绕有不可伸长的绳索，绳索又通过滑轮悬挂重物，问系统有多少自由度？指出如何选择广义坐标。3．平面连杆机构如图。4．平面连杆机构如图。DOF：25．平面连杆机构如图，其中和可沿水平槽移动，该机构有多少自由度？DOF：36．刚性系数为的弹簧EMBEDEquation.3端固定，端连接长重的均质杆在铅垂面内运动，系统有多少自由度？并指出广义坐标。DOF：37．平面连杆机构如图，有多少自由度？DOF：413.21．在图所示平面机构中，已知，，，求点和点的虚位移之间的关系。解：由虚位移投影定理，得：由此得：即2．在图所示连杆机构中，当曲柄绕轴摆动时，滑块沿曲柄自由滑动，从而带动杆在铅垂导槽内移动。已知：，。求机构平衡时，点和点虚位之间的关系。（要求分别用解析法和几何法求解）。P522解：（1）用解析法求，显然，∴有：∴（2）几何法∴13.3计算广义力1．三根不计重量，长均为的杆、和铰接如图所示，上作用力偶矩为的力偶，和两点分别作用铅垂力和，求对应广义坐标和的广义力。解：①，，这时∴②，，这时，∴2．图所示均质杆长为，质量为，因重力作用而在竖直平面内摆动，同时杆的端铰接不计质量的滑块。沿着与水平面成角的光滑斜面上滑动，试计算对应于广义坐标，的广义力。解：势能（为势能零点）3．图所示离心调速器以匀角速度绕铅垂轴转动，当时，刚度为的弹簧无压缩，弹簧的上端与轴固连，下端挂重量为的套筒，两球和均重，杆长，杆的悬挂点与轴相距为，不计杆及弹簧质量，示主动力系对应广义坐标的广义力。解：作为势能零位。∴练习题13.4在图示平面机构中，曲柄上作用一力偶，其矩为，在滑块上作用一水平力，机构尺寸如图示。求当机构平衡时与之间的关系。解：自由度1，，∴虚功方程：即∴有或13.5在压榨机手轮上作用一力偶，其矩为，手轮轴上的两端各有螺距均为但方向相反的螺纹，螺纹上套有螺母，这两个螺母，这两个螺母用销子分别与边长为，由光滑销钉连接的菱形框架的两顶点相连。框架上顶点固定而下顶点连接在压榨机的水平板上，求当顶角为时，压榨机对被压物体的压力。解：去掉2件，代以约束力，自由度1。，由瞬心位置，知虚功方程：∴解析法：，而，∴由，得13.6图示三孔拱桥，本身重量不计，已知拱的尺寸和作用的两力和，试用几何法求支座的约束反力。解：去掉支座，代以，，显然，，而由得：&the