2022届新高考复习冲刺数学试卷分项解析专题11平面解析几何解答题解析版x

2022届新高考复习冲刺数学试卷分项解析.11平面解析几何（解答题）专（2021-山东高三月考）在平面直角坐标系xOy中，动点肱到直线x=3的距离是到点（2,0）的距离的乎倍.求动点肱的轨迹E的方程；点尸为直线x=3上一动点，过P点作曲线E的切线，切点为Q,线段PQ的中点为N，问是否存在定点T,满足IP0=2IMTI?若存在求出定点T的坐标；若不存在，请说明理由.22【】（1）土+匕=1；（2）存在；7（2,0）.62【分析】（1）设M{x,y）,用坐标示距离代简可得；（2）直线PQ的斜率一定存在，设其方程为，=奴+，〃，P（3,3人+m），直线方程与椭圆方程联立，由相切得左”的关系及Q点坐标，计算得=满足IPQI=2IENI,即T与F2重合，注意到满足IP0=2IN7I是必定有TPXTQ，因此T点唯一.【详解】解：（1）设肱（x,y），因为动点M到直线x=3的距离是到点（2,0）的距离的巫倍，6所以|*_3|=勺3一2）*,化简整理可得，,+g=l，22TOC\o"1-5"\h\z故动点肱的轨迹E的方程为一+—=1；6222（2）由题意可知，直线FQ的斜率一定存在，设其方程为〉=々+",则点P（3,3奸时，y=kx+m联立直线PQ与椭圆E可得/2—+—=1〔62贝I]（1+3好）]2+6Amx+3m2—6=0,♦=365—（4+12好）（3/—6）=0所以，_6km_3km，化简得m2=6k2+2,所以。3kmm2（1+3尸）_1+3砂1+3砂’1+3椭圆右焦点§（2,0）,所以必］*八焉］顶=（"35,匚已I、Idd_2_6k~—3km+ITT+3kjnm~-6k~_2所以QF2PF2=——=]i3炉=°,所以QF2土PF2,因为N是1+3VPQ的中点，所以|涉|=21邯1,所以存在定点7（2,0），满足IP0=2INTI.XIP0=2INT时，必定有TPLTQ,所以T点唯一.所以存在定点7（2,0）,满足"0=2网|.54.（2021•全国高三专题练习（文））已知椭圆G:£+£=l（a邓＞0）的离心率为VI,且过点（2,扼）.a-bi2求椭圆G的方程；过点M（0,1）斜率为人*0）的直线Z交椭圆G于A,B两点，在y轴上是否存在点N使得ZANM=ZBNM（点N与点M不重合），若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】（1）衅十=12;（2）N04）,证明详见解析.（k"0）与椭圆方程联立，【分析】得根与系数鹤，嘴条件系I为法求解代入坐标，利用首先直线方程系化简求定点下【详解】C_-s/2a242（1）由条件可知/+尹=1a1=b2+c2TOC\o"1-5"\h\z所以椭圆G的方程是土2+匕=21；解得：a2=8，b2=c2=4,84（2）设直线/:y=Ax+1,（M0）,A（而,NJ,研沔况），N（0,%）,y=kx+l联立1鸟川，进而由椭圆的定义即可得曲线方程；—,12（2）先讨论直线PQ斜率不存在时，易得唐』。=-琴，进而讨论当直线PQ斜率存在，设PQ：y=kx+m,由与圆相切得/=号（炉+1），与曲线E联立方程，并计算得OPOQ=0,进而由圆的性质即可得：乔祯=_网.网=_网2=_号.【详解】⑴设公共点为P,则1斯|=广，\PF2\=4-r,"司+|耶|=4>鸟川即公共点P的轨迹为椭圆.HYPERLINK\l"bookmark120"\o"CurrentDocument"22+=1.HYPERLINK\l"bookmark156"\o"CurrentDocument"43当直线FQ斜率不存在时，PQ：x=+12且2人=4,;.q=2，又c=l,b=39故曲线£*：(2)

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一:I-一.—>12OPLOQ.代入E得y=，.一，故Ap・aq=一专，易知:当直线PQ斜率存在，设PQ-.y=kx+m,pq与圆。相切，，，血2+1将PQ方程代入£,得(泌+3)X2+8如次+4秫2-12=0,,8km4m2-12.•吐+*乖而，工内二衣石2=_OPOQ=jqx,+y"y2=x{x2+（kx{+ni）（kx2+m）=（k2+1）xtx2+切？（也+改）+_（矽+1）（4况一12）雄矛2_7尿-12（摩+1）—4砂+34k2+3m_4砂+3将冰=乡(尸官)代入，得异.弛=o,即OPLOQ综上，恒有OPLOQ,布.祀=_网.网卜一网七-号.法二：当直线四斜率不存在时，PQ-.x=±£代入£得丫=±再，〃祯=-网|祯|=-网=一号；当直线FQ斜率存在，PQ：y=kx+m,••,PQ与圆。相j,=即即m2K+1)一.！将PQ方程代入£，得（4尸+3）X2+8kmx+4m2-12=0,.8km4m2-12\AP\=一产-J#+（版］+”）2旨=+1）工：+2kmx+m2iF?""22〜V12112"In~7V121同理可得IAQI故IAPIIA2I=|A-m2x1x2+km"xx+x2)+、防8km4m2-12口2一•'“L代入,将人1+工2=_~,x,x=z,及m-4炉+3i24人+317可\AP\-\AQ\=一.二一J耐•网二网二号.综上辱网2256.(2021•全国)已知双曲线C：亳-诊=1(“>0,3>0)的右焦点F与抛物线/=8%的焦点重合，一条渐近线的倾斜角为30o.(1)求双曲线C的方程；(2)经过点F的直线与双曲线的右支交与A,3两点，与y轴交与尸点，点尸关于原点的对称点为点求4A/3证：C:s^QAB>-【答案】(1)一~y2=l；(2)证明见解析.3【分⑴】题意可得c=2,『即3oo=亨再结合可求出祢，从而可求出双曲线。的方程；(2)由题意知直线的斜率存在，设直线方程为：y=k(x-2),可得F(0,-2A),Q(0,2k)，将直线方程与双,48k2(k2+l)曲线方程联立方程组，消去y,利用根与系数的关系，从而可表示出s'祯标=£A2，再由直线与双曲线的右支交与A,3两点，可得3尸>1,贝0r=3/：2-l>0,代入上式化简可求得结果【详解】解：(1)由题意得c=2,-=tan30°=一,c2=a2+fe2a3解得4=3，屏=1所以双曲线C的方程为：一-/=13(2)由题意知直线的斜率存在，设直线方程为：y=k(x-2),得P(0,-2A),Q(0,2k),设A(冲叫)，3(花，必2),2=1联立3'一，整理可得(3k2-l)x2-12k2x+12k+3=0y=k(x-2)12k212k2+3邑+*2=多砂_]'扣*2—3F-T所以二何明-，奶|=j|FQ|ki-尤2〔=2|M|Mf|所以「k212k24(12尸+3)3好—12+1)\2k2直线与双曲线右支有两个交点所以x$K1；C—1>。12"+3C和习=3尸一所以3矽>1,设f=3砂-1>0,5.0152须48—~2.264(15一f3〉也类一3些364357.（2021•山东荷泽•高三二模）已知椭圆C：土+与=l（a">0）上的点到焦点的最大距离为3,最小距离ab(1)求椭圆。的方程;(2)过椭圆。右焦点作直线/与椭圆交于A,B两点（A,B不为长轴顶点），过点A,B分别作直线x=4的垂线，垂足依次为E,F,且直线AF,BE相交于点G.①证明：G为定点;②求AABG面积的最大值.【答案】⑴:L⑵①证明见解析；气.【分析】a+c=(1)由题知a-c=l3,进而得答案;（2）①当直线/斜率不存在时，Z方程为x=l,点gr,oi当直线Z斜率存在且不为零时，设A（知叫），3（互，％）,/方程为y=k（xT），进而联立方程并结合韦达定理求解直线AF,曲的交点坐标（x,y）满足x_4=_：nx=i，且2/=_：(叫—>2)2J+31+%)=。，故G为定点Vi"4X2~4J②直线/斜率不存在时，可知S；c=一；而当斜率不为零时,>2]=：|*（为—工2）|二9I_16kKk2+l）4\16人+24人+9⑹1炉+l）916Jf+16A2~4【详解】S+c=3解：⑴设椭圆的半焦距为C,由题意得1=1,解得“=2,c=l,所以椭圆的方程为（2）①由（1）知f；（1,0）,当直线/斜率不存在时，/方程为x=l,可得；可得F14,即有AF,现相交于点G修,0）；当直线/斜率存在且不为零时，设A（心叫）（x2,y2）,则研4双），F（4,y2）,y=k（x-V）,/方程为v=*（xt）联立y2可得3/+4#2（工-1）2=12,1=[43化简得（3+4r-8k2x+4k2-12=0,由韦达定理得Xj+X2=2气2,XX=早，3+4炉i23+泌而直线AF:y-y="Xx-4）,BE:y-y,4-x1相交时，x2-4、，、，」一，，16-4（x+x9）+x-人2联，作差可得—4=；X（气+想）一8则代入x1+x2=3：板2,4k2-1236k2+3635=；--=—=>x=_,化简得2人=-1（人-\）—+（人+y2）-24人-2422k尤）一qAA2x2—玉x{x2-4（工]+与）+16即AF,幽相交于点G修,oj,综上可证G为定点9②直线/斜率不存在时，可知SA=-AABG;而当斜率不为零时，由0）可得133S^ABG=31月611丹_、21=31〉1_>21=项*（气—工2）ISABG316好济7一1916好（妇=4玷卜丸+1）（3+4人）29I16L（k2+l）9116k2（k2+1）94V16F+24F+9<4\16炉+16炉-49故皿G面积的最大值为厂（2021•江苏金陵中学高三月考）已知F为抛物线C：J=2力（p>0）的焦点，直线l：y=2x+l与C交于A,B两点且\AF\+\BF\=20.求。的方程.若直线m：v=2x+〃Q）与C交于M,N两点，且叔与BN相交于点T,证明：点T在定直线上.【答案】（1）x2=4y；（2）证明见解析.【分析】解：设人（为双），8（专，必），直线方程与抛物线方程联立方程组消去x后应用韦达定理得乂+%，利用焦半径公式及韦达定理的结果可求得，得抛物线方程；设肱化必），蛔也，为），丁（此，%）,把43两点坐标代入抛物线方程相减升M+*2=8，同理可得X3+X4=8,然后求得交点T的横坐标为常数即证（由TM=ZTA—TN=ATB化为坐标表示后相加即可得）.【详解】（1）解：设人（为必），B（x2,y2），由PJpy,得丁一（8°+2）>+1=。，则>i+%=8p+2,从而IAFI+I时|=必+§+%+¥=9「+2=20,解得P=2,故C的方程为J=4y.（2）证明：设心（西必），”（为见），7（书％）,™=A7X（2人1）.因为ABUMN,所以TN=ATB-根据得（A1+x2）（xl-x,）=4（y1-y2），则玉+想=尘己”=8,[%2=4、2，工1—尤2同理得石+为=8.x3-x0=2(Xj—x0),x4-x0x0),=A(x2-两式相加得x}+x~-2x0=Cx+x2-2xQ)即（4-xo）（1-2）=O,由于SI,所以x°=4.故点1在定直线x=4上.（2021-长岭县第二中学高三三模）已知等轴双曲线的顶点§（-2,0）,7s（2,0）分别是椭圆C的左、右焦点，且*=全反是椭圆与双曲线某个交点的横坐标.3（1）求椭圆。的方程；（2）设直线/与椭圆C相交于A,8两点，以线段A3为直径的圆过椭圆的上顶点肱，求证：直线/恒过定点.TOC\o"1-5"\h\zHYPERLINK\l"bookmark160"\o"CurrentDocument"22【答案】（1）土+匕=1；（2）证明见解析.84【分析】（1）由双曲线和椭圆a,b,c之间的等量关系求出椭圆方程；（2）设直线Z：y=kx+m（m"2）,将直线方程和椭圆方程联立，根据韦达定理及ZAMB=90°,求出初的值，从而证得直线恒过定点.【详解】22解：（1）由已知可得双曲线方程为匕=1.HYPERLINK\l"bookmark315"\o"CurrentDocument"44•.•“竺交点为[哗±¥]3I33JHYPERLINK\l"bookmark148"\o"CurrentDocument"22设椭圆。的方程为忐人+*=1'小右工2右）z„2代入一八一，士飞一，得人=4,TOC\o"1-5"\h\zHYPERLINK\l"bookmark172"\o"CurrentDocument"22椭圆C的方程为E+匕=1.84(2)证明：显然直线/与兀轴不垂直.HYPERLINK\l"bookmark198"\o"CurrentDocument"22设直线/：y=kx+m(m2)与椭圆C：土+匕=1相交于4(也,少)，B(x2,y2),8422y=kx+m,E^^Jy2得(2k2+1)%21+4knvc+2m2—8=0,——=1I84,-4km2m2一8'：ZAMB=90°,.I(有必一2).(他,％-2)=0,即%1x,+(y1-2)(y2-2)=0,有地+乂，2一2(芳+%)+4=0,/.为他+(A%]+ni)(kx2+〃?)一2(钮+m+kx2+m)+4=0,整理得(妒+1)工逮2+*("[-2)(X]+工2)+(〃，-2)~=0,即K+1)票三+*伽-2)器+(税-2)2=0.・.，祖。2,2(炉+1)(秫+2)—4*2/71+(2/人2+l)(m—2)=0,2整理得3m+2=0,「・m=一,3.・.直线/恒过定点[°，一:[60.(2021-山东泰安•高三其他模拟)已知椭圆C「+7=l(a〉b〉0)的离心率为e,椭圆。上一点F到它的abTT左、右焦点的距离之和为4,且2a=2e+ZA求椭圆C的方程；过点「2的直线/交椭圆。于A,B两点，求MAB面积的最大值.【答案】(1)2土+2匕=1；(2)3.43【分析】(1)根据椭圆的定义求。=2,根据条件2a=2e+〃求出c=l,从而求出椭圆方程.(2)曰…设出直线方程，与椭圆方程联立消x写韦达定理；把顼/3面积表示为55加=;国时国-为I;通过求函数的最值问题来求AAAB面积的最大值.【详解】⑴因为点P到椭圆左、右焦点的距离之和为4,所以2«=4,即a=2,又因为2a=2e+b\a-b2=c2,所以2a=2-+a-C2,即4=c+4-a，所以c=l,a所以b2=a2-c2=3,所以椭圆C的方程为土+1匕=f.43(2)易知直线/的斜率为0时不满足题意，所以设直线/的方程为：x=my+\,x=my+1由yi消x,得（3;n2+4）/+6my-9=0,1=1〔43设人35）,3（%2必），则叫+无二女_?必4,»2=女；95m+45m+4A=（6m）2+36（3m2+4）＞0,|卜1-方|=4（叫+%）2-4叫丁nm2+l3m+4+13m2+412f12c令1=垢3,则m2=r2-l(r>l)，于是△时「3尸+广打i12尹_i令/(r)=3f+-(r>l),则/(z)=3--人=、P>0(r>l)恒成立,所以/⑴=3,+：在［1,+句上单调递增，S一人—<3所以当7=1时，/au=3+1=4,所以酒业一3-1’所以面积的最大值为3.61.(2021-沂水县第一中学高三其他模拟)已知椭圆C:£+§=l(a罚>0)的离心率为乎，短轴长为2扳.(D求椭圆。的方程；(2)已知A,B是椭圆C上的两个不同的动点，以线段AB为直径的圆经过坐标原点。.是否存在以。为圆心的定圆恒与直线AB相切？若存在，求出定圆方程；若不存在，请说明理由.】2Q【答案】(1)-—F-—=1；(2)存在，x+y=■―622【分析】(1)由题意可得b=&再利用离心率e=f=匝皇求出6/2=6，即可求解.aa(2)设A(西，叫)，3(赴，％),分情况讨论，当直线凡8的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m将直线方程与椭圆联立，利用韦达定理，求出OAOB="+、"。从而可得2»?=3(1+炉)，再利用点到直线的距离公式即可求出半径，再求出直线AB的斜率不存在时圆的半径，从而得出圆的方程.【详解】解：(1)由题意知，b*又_c_Ja2-2_\/6a2=622椭圆。的方程为一+人=162⑵设B(x2,y2)当直线A3的斜率存在时，设直线A3的方程为广狂+my=x+m,y=kx+m由/寸——+—=1〔62得(3*2+1)工2+6kmx+3m2—6=0-6km3m2-6yry2=(炫+m)(Ax2+m)=+km^Xy+x2)+m2•.・以线段AB为直径的圆过坐标原点0:.OA-OB=XyX2+y{y2=(\+kTxX]+km(0坐标原点0到直线AB的距离|m\_A/6当直线A3的斜率不存在时，由题知，闵=|叫|•蚌+蚌一162.2_3..X,=—2坐标原点0到直线AB的距离d=|吐|=写综上所述，存在以。为圆心的定圆恒与直线AB相切，定圆的方程为计+寸=:..(2021-全国高三专题练习)已知椭圆C:&+%=l(a>8>0)的左，右焦点分别为矿F2,过气的直线/ab与椭圆C交于M,N两点,圆尸是AMA骂的内切圆.当直线，的倾斜角为45。时，直线/与椭圆C交于点H'4)-(1)求椭圆C■的方程；(2)求圆P周长的最大值.【答案】(1)—+/=1；(2)z.2【分析】(1)设直线方程，已知点既满足直线方程也满足椭圆方程，解得基本量即可.(2)利用三角形内切圆半径与三角形周长关系，建立内切圆半径，与直线斜率k函数关系，再求函数的最值，进而求圆P周长最值.【详解】(1)设椭圆C的半焦距为c(c>o),则go),当直线/的倾斜角为45。时，直线/的方程为>=x+c,又直线/与椭圆C交于点：.c=l,:,a=b2+l[41)161,将点「了一J代入椭圆方程得：雄孑+萨T解得屏=1或b2=~(舍)，.-.人=2・••椭圆C的方程为言+寸=1（2）设圆P的半径为r（r>0）,当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为x=-1,\MN\=4i,q+mnpf2kjAMNF2=?(〃+网1+网I),=2V・}x2x扼1:.r=-2当直线Z的斜率存在时，设为k,直线/的方程为〃kx+k,设M（而必），Ng,%）y=kx+k由〈工22得(2*2+1)尤2+4砂尤+2*2-2=00+y=i2k2-2/+X)=z,XyX-y=12摩7]'-2号+]16人8(r-i)(2好+i厂2妒+1…习幻幅一对二|们J(X]+工2)—-4石工2=1们=2&/隹qR=q-i-v+S麝_MMPN丁^^MPF2PF?:.2"2r=V217V(2k2+1)r=-112*"+1)~27v——综上，00）的焦点F到其准线的距离为1.（1）求抛物线C的方程；⑵过F的直线与抛物线C相交于A,B两点，在A,B处分别作C的切线，交点为P.⑴证明：ABLFP；（ii）若直线FP交C于M,N两点（M在线段FP上），求四边形面积的最小值.【答案】(1)x2=2y；(2)(i)证明见解析；(ii)最小值为8.【分析】(1)由抛物线c的方程可得焦点F到其准线的距离为3-(-3)=i,解得彻，即可得出答案.⑵(i)设AG%,%),B(x2,为)，Pgy0),直线AB方程为〉=阪+：,联立抛物线的方程，得关于了的一元二次方程，结合韦达定理可得也+习，*内，利用导数的几何意义可得切线的斜率，写出切线的方程,同理可得，抛物线在点B处的切线方程，联立上述两切线方程，解得％,%，计算屈.再5,即可得出答案.(ii)由抛物线的定义可得\AB\,IWI,再结合基本不等式得*.以皿^"MB'-^M最小值.【详解】lYim解：(1)抛物线。的焦点为F(0,；),准线方程为>=-?,44所以焦点F到其准线的距离为*(-?)=1,因为m>0,解得m=2.所以抛物线C的方程为亍=2y.⑵(i)证明：由题意，直线A3的斜率一定存在，设其方程为y=人+：,代入抛物线方程x2=2y,整理得x2-2fcc-l=0.设A(m),研习，为)，pcwo),则X]+X,=2k,x{x2=-1.函数y=1x2的导数为矿=x，故抛物线在点A处的切线方程为y-叫二为。-吐)，化简得y=xtx"~~,22同理，抛物线在点3处的切线方程为>联立上述两切线方程，解得x0=…=k,%=号=一&,因为AB=(x2-x1,y2-y1)=(x2-xJO,A),FP=(x0,y0--),所以AB-FP=(飞—Xj)x0+k(y0——)=(x2—Xj)k+—=0,所以AB±FP.(ii)显然k"O,由⑴知xl+x2=2k,所以|AB|=,]+力+1=上(珀+芍)+2=2序+2,因为ABLMN,所以直线MN的斜率为k19将-后替换上式中的奴可得成2|=予+2,所以S四边形叔bn=&1豳1ACVI=?X(2A：2+2)X(M+2)=2(A：2+*+4,因为好+土22,当且仅当好;*,即S±1时，取等号.所以S四边形渤执芸，所以，当k=±l时，四边形面积的最小值为8.(2021-dj东高三其他模拟)已知过抛物线C：V=2px(p>0)的焦点F作直线/交抛物线。于4B两点，当直线/垂直于x轴时，|AB|=4.(1)求抛物线C的方程；(2)过直线l'-.x=-2上一点M做抛物线C的两条切线，设切点为P,Q.求证：直线FQ过定点.【答案】(1)V=4x；(2)证明见解析.【分析】(1)由抛物线方程可得焦点坐标，进而利用\AB\=2p构造方程求得P,进而得到结果；(2)利用在某点处切线方程的求解方法可求得在RQ处切线的方程，根据两切线均过点M(-2,r)可确定直线PQ的方程，由此可得定点.【详解】(1)抛物线C:/=2网(〃>0)的焦点为F修oj,令》=翌，解得：y=+p,.-.\AB\=2p=4解得：p=2,•■-抛物线的方程为丁=4x；(2)证明：设M(-2j)「3、叫)，Q(x2,y2),2对y2=4x的两边对x取导数，可得2州=4,即有/=21则在尸处的切线的方程为，-义=一(x-xj,又y：=4X],可得yyly,=2x--yf,y2可化为：XVi=2(x+X]),同理可得：。处的切线的方程为xy2=2(x+x2),两条切线均过肱(-2/),/]=2(-2+吒)，ty2=2(-2+X2),由两点确定一条直线，可得FQ的方程为/>=2(-2+x),直线FQ恒过定点(2,0).【点睛】结论点睛：过抛物线外一点（M,%），作抛物线y2=2px的两条切线，切点分别为A,B,则切点弦AB所在直线方程为yoy=p（x+xo）.65.（2021-山东烟台二中高三三模）已知椭圆人+人=1（G>&>0）的左、焦点分别为F[、灼，离心率为巫，ab（G&0）2过E且斜率不为0的直线与椭圆交于A,B两点,“AF2的周长为4+2右.求椭圆C的方程；设。为坐标原点，求初+元的取值范围.2_【答案】（1）—+/=!;（2）（0,20].4【分析】2。+2c=4+2y/3解方程组LV3即得解；2设直线AB的方程为工=奶+右,入（茶双），832况），联立直线和椭圆的方程得到韦达定理，求出—t13m、+4XIOA+O3I=2」m，再通过换元求出函数的取值范围.\（nr+4y【详解】<_2_右；”2=4-3=1.2。+2c=4+2\/3(1)由题得~>又OA+OB=（茶+也，，+力）=（秫乂+吗2+2J3,V]所以|OA+OB\=+my2+2A/3”++yJ2=弓+（_勺m+4m+4-+363（m2+4）-+-36—=36/〜+3t,（；w2+4）2因为二次函数y=36/+3f在E（0,j上单调递增,所以y=36/+3住（0,3],因此I总+左l=2jQ已（0,2右]（当m=0时取得最大值），所以|OA+OB\"（0,2"/3]-r22（2021.全国高三其他模拟）已知椭圆M：二+v当=1（0＞力＞0）过A（—2,0）,B（0,1）两点.ab求椭圆M的离心率；设椭圆M的右顶点为G点P在椭圆M上（P不与椭圆M的顶点重合），直线AB与直线CP交于点Q,直线交x轴于点S,求证：直线SQ过定点.【答案】（1）匝；（2）证明见解析.2【分析】（1）由已知两点坐标得。，们求得c后可得离心率;(2)直线AB方程为x=2y-2,设P(x0,j0)(%力0,%N±1),02地一2,为)，S(xs,Q).由C,P,Q三点共线求得。点坐标(用F点坐标表示)，由B,P,S共线求得S点坐标(用P点坐标表示)，写出直线QS的方程，把房=4-4人代入化简对方程变形可得定点坐标.【详解】解：⑴因为点A(-2,0),8(0,1)都在椭圆M上，所以a—2,b=l.所以c=V%-b2=y/3-所以椭圆M的离心率e=f=巫.a2(2)由(1)知椭圆M的方程为土+y2=i,c(2,0).4由题意知：直线AB的方程为x=2y-2.设P(x0,y0)(治？。，％?±1),2(2ye-2,ye),S(xs,0).因为C,P,Q三点共线，所以有CPHCQ,CP=母-2,yP.CQ=(2y-2-2,%),所以(xo-2)ye=yo(2ys-4).4y0所以守慕%.所以@(学七，丁).2%—入。+22%工0+2因为8,51三点共线，1—11一%所以一二3人，即凡-X,Xo所以S(§，0).If-4所以直线QS的方程为"2%以2工*言令。2%—尤0+12一%又因为点尸在椭圆M上，所以必=4-4为2.所以直线QS的方程为“2了。_h_1)+2.1一%所以直线QS过定点(2,1).22(2021-山东高三其他模拟)已知椭圆C:ly+云=l(a>8>0)上一点到两焦点的距离之和为痍，且其离心率为吏.2(1)求椭圆C的标准方程；(2)如图，已知A、B是椭圆。上的两点，且满足IQ4「+|OB「=3,求崩班面积的最大值.【答案】(1)—+/=1:(2)巨.22【分析】由椭圆的定义可求得"的值，利用椭圆的离心率可求得c,进而可求得》的值，由此可得出椭圆C的标准方程；对直线曷的斜率是否存在进行分类讨论，在直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为、=女+巾，设点A(如叫)、3(花。2)，将直线仙的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，由已知条件结合韦达定理可得出关于山、左所满足的等式，利用三角形的面积公式以及韦达定理求出右人破面积的值或最大值；在直线A8的斜率不存在时，求出点A、B的坐标，可求得aaob的面积，综合可得出结果.【详解】(1)由椭圆的定义得la=272,所以a=很，因为椭圆。的离心率为e=f=也，所以c=l,所以二八=1,所以椭圆C的标准方程为三+,2=1;2(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为>=奴+,〃，代入椭圆方程得(1+2*2)/+4如次+2冰-2=0,△=8(2砂+1-无)>0,./、/、,4km2冰-2设人(否,M)、D研与,力)，则气+花一77二工内=1,2k+12k+1由IOAI2+IOBI2=3，得蚌+yj+x；+y；=x；+i_§+x；+i一菖=3,得xj+x；=2,所以x；+x；=(X]+*2)16人W-2(W-2)2工逮2=(l+2Jt2)(1+2肖=2,即4k2nr-4k-2mi+1=0,即（2徉-1）（2冰-2尸-1）=0,所以2声一1=0或2无_（2砂+1）=0.原点。到直线仙的距离为①当2妒一1=0时，则X[X2=m2-l,此时$宙=!•岩r期幅fl当且仅当冰=2一冰，即冰=1时等号成立;②当2冰一（2炉+1）=0时，jqx2=1—,此时SMOB「二「1入；当直线A3的斜率不存在时，设A（x0,y0），则8（%0,-坊），2由IOA「+|OBI2=3,得〃+狄弓，又3+男=1,所以M=a,人0=1-不妨取xo=l,%=玄，贝⑼^^二豆.JU2A/K72J2综上可知，4AQ8面积的最大值是勿.222右焦点分别为F”F2,点（2021•山东聊城一中高三其他模拟）已知椭圆C:ly+*=1（a>Z7>0）的左、F在椭圆C上，以FK为直径的圆E：/+〃_；：=$过焦点%.（1）求椭圆C■的方程；（2）若椭圆。的右顶点为A,与兀轴不垂直的直线/交椭圆。于M,N两点（.满足AMLAN,点Q为MN中点，求直线枷与A。的斜率之积的取值范围.，N与A点不重合），且【答案】（1）y+/=l;（2）【分析】(1)由已知条件求得a,b,c,可得椭圆C的方程.(2)设直线AM的方程为y=A(x-2)，与椭圆的方程联立消元，得出根与系数的关系，表示出直线奶与AQ的斜率之积，可求得其取值范围.【详解】解：(1)在圆E的方程中，令y=0,得J=3,解得X=K所以，矿「2的坐标分别为(-0,0),(Ao).・•・｛。，：］又因为0E="FP,OE//FP，所以点F的坐标为］*,£［,71所以，2o=IPgl+IPgl=2x»+5=4,得"=2,b=1,即椭圆C的方程为一+/=1.4(2)右顶点为A(2,0),由题意可知直线AM的斜率存在且不为0,设直线叔的方程为y=«x-2),由枷与x轴不垂直，故葭±1.y=k(x-2),由，得：(1+4号)尹」6砂x+16砂-4=0,.z+y设肱(否，乂)，N—y),又点A(2,0),则由根与系数的关系可得：2气=巫二，得也=竺=，叫二灯茶-2)=三圭，1+4炉1+4V1+4必4k—4+k_LA7V••直线A/V的方程为y=—亍3—2),1Q-7a2用替换左可得：毛二七二，k4+k~6《2—1)•.点。坐标为(1+4尸)(4+±2),(1+4砂)(4+炉)「6瓦砂一1）（1+4罚（4+妃）3札1-尸）30*2—2"+F+2）（1+4罚（4+罚TOC\o"1-5"\h\z直线枷的斜率处——7t方4以%炉i+妒।x2—X]84—附注~砂—-2,15k215"=8"+仃+2）=8以2+m+Ik2>0旦尸*1,2k~H——+1>2.2k2x——=4，k2Vk2HYPERLINK\l"bookmark224"\o"CurrentDocument"15JrIk-J.・.直线肋V与AQ的斜率之积的取值范围是[。,：69.（2021-山东省实验中学高三一模）已知椭圆C的左、右焦点分别为K,F2轴垂直的直线与椭圆C在第一象限交于点P,且的面积为亍.（D求椭圆的标准方程;（2）过点A（3,0）的直线与>轴正半轴交于点S,与曲线C交于点E,EF%轴，过点s的另一直线与曲线。交于M,N两点，若Sasma=2S&sen，求枷所在的直线方程.【答案】（1）三+匕=1;（2）>=也"1或>=一匝"I.9533【分析】根据题意，列方程求解即可；根据题意，作图如下：/、c2SAI3明显地，aSAO~aAER，得到点5(0,1),利用f=?，得至ljT=?，进而得到-\SM\-\SA\sinZMSA)leMl"二二虫也=3,.・・|W|=2|SN|,即SM=-2SH蓦SEN；SN|•|SE|sinZESN'IW进而得到，心3,乂)，N(与，％),则旬讦=3必-1),SV=(人,丫2-1),然后联立方程，利用韦达定理进行消参求解即可得到答案【详解】(1)由题意知e=一==,c—=一,a3a3又。2=人2+。2,.•.人2=5,。=2,22...椭圆标准方程为土+匕=1.95(2)，:EFVx\/.xA=2设S(0,%),则5一M,.*.9=1，即5(0,1),32.旦=2膈A2陟卜陋如小&43ISM,«”3,--SE\~2S、SENjSN|•|SE|sinZESN2Isn:』SMI=2157VI，即SM=-2SN,设Af（茶,34）,N（改,％），则SM=（人,人-1）,SN=（x,,y2-l）,=-2X2.①当直线妣的斜率不存在时，肱N的方程为"。，此时•喘=法共不符合条件.②当直线"的斜率存在时，设直线MV的方程为〉=々+1,y=kx+l联立>2得(5+9砂)/+18奴—36=0.TOC\o"1-5"\h\z195一1跃i25+9好、ISk-36尤2—7X.X=y-5+9砂i225+9好18冯=-2x25+9k2解得S土乎故直线A/N的方程为y=y-x+1或y=-与八+l.【点睛】，进而得到是=3'△SEN|S得到点5(0,1)，得到®关键点睛：解题关键就是利用asao^aa压，IS肱|=2ISNI,即SM=-2SN,然后联立方程，消参求解，难点在于由咎*得到SM=-2SN,属于难题%SENN70.(2021-全国高三专题练习(理))已知K,=l(a>3>0)的左、右焦点，M为C上的动点，其中肱到孔的最短距离为1,且当△岫％的面积最大时，4MF\L恰好为等边三角形.求椭圆C的标准方程；斜率为左的动直线/过点％，且与椭圆C交于A,B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点F,那么，的是否为定值？若是，请证明你的结论；若不是，请说明理由.\AB\【答案】(1)—+—=1:(2)!*为定值,证明见解析43\AB\【分析】(1)当点M在椭圆的左顶点时，M到皿的距离最短，可得a-cT,当点Af在椭圆的上顶点(或下顶点)时，4MF\L的面积最大，此时△MF\L为等边三角形，可得a=2c,从而可求出a,b,c,即可求出椭圆。的标准方程；（2）易知直线/的斜率存在，设其方程为y=S-l），联立43一，得到关于*的一元二次方程，结合y=k（x—l）韦达定理，可求得A8的中点的坐标，从而可得到线段A8的垂直平分线的方程，令〉=0,可求出点户的坐标，从而可得到"句的表达式，然后根据弦长公式|朝=瑚1+尸）［（气+工2）2_4弘］,可求出|施|的表达式,从而可求得冬|为定值，经验证当k=o时，照为相同的定值.\AB\\AB\【详解】（1）由题意，当点M在椭圆的左顶点时，肱到K的距离最短，则—c=l,当点M在椭圆的上顶点（或下顶点）时，费匪的面积最大，此时△为等边三角形，则a=2c,aa-c=\联立＜a=2c，解得a=2,c=l,b也，a2=b2+c222故椭圆c的万程为E+匕=1,43⑵禺为定值・证明：由题意可知，动直线/的斜率存在，设其方程为丁=上3-1）,联立｛4k3——得）（3+4尸）/_8号*+4（人2_3）=0.设A（也，叫），8（%2况），则羽+改=0甲2=一，设AB的中点为。（%,为），则x°=也孑=涪尹，％=上（此一1）=三*.乙J?IZvQI■入—3L1（4声、当E0时，线段AB的垂直平分线的方程为尸「八=一7乂一厂于，3+4妃k\3+4/J*,一k2k2令得"荷’即尸所以\吟=3■+京1一）3+4炉-I=J(l+Z：2)[(%]+尤2)—lx/?]=J1+炉Sk22「I-1、•)12(砂+1)3+4尸3+泌3+4好3(1+Jt2)所以回=.3+4已=J_所以I从I12(1+罚4.3+4k2当左=0时，/的方程为，=。，此时，\AB\=2a=4,\PF)=C=1,哈=：\PFI综上，旧为定值.71.(2021-山东聊城一中高三其他模拟)在平面直角坐标系中，已知。为坐标原点，点W(x,,,y„)为直线/：y=卜*+m(卜山飞与椭圆C：2nX2+4n*=1的一个交点，且*=-尹-,zzeN*.(1)证明：直线Z与椭圆C相切；22(2)已知直线/与椭圆£):号+云”=l(a>b>0)交于A,B两点，且点W为A3的中点.⑴证明：椭圆。的离心率为定值；(ii)记aoab的面积为S,若屏=—I，证明:2〃・sin(S~)>1.34〃''【答案】(1)证明见解析；(2)(i)证明见解析；(ii)证明见解析；【分析】联立椭圆与直线的方程，得关于x的一元二次方程，由表示出m,〃，代入4,计算得△=()，可证明直线/与椭圆C相切；⑴联立方程，得关于x的一元二次方程，由韦达定理代入化简得决力2的关系，即可求得离心率；(ii)由弦长公式表示出1仙|,利用点到直线距离公式求解aoab的高，代入面积公式S='AB\h化简计算得S2=I,即可证明2wsin(S2)>l.【详解】2人7工2+4〃y2—](1)由题意，5，得(2n+4nk2)x2+Skmnx+4nm2-1=0,y=kx+m所以△=(Skmn)2—4(4nm2—1)(2〃+A-nk?)=16nk—32nm2+8n,因为点W(也,y")为直线/与椭圆C的一个交点，且*=-白，',2y,：+%2秫二刃-禹=I片，代入％”的表达式可得，n=所以72穿+4归A=16nk2-32〃允2„2也_2（；圆仍月|：4』二。——（罗所以直线/与椭圆C相切;(2)⑴：a?b1,可得(a2k2+»)x2+2kamx+a(m2-Z?2)=0,y=kx+m由韦达定理知，xA+BxB=k~",又因为点WJAB的中点，ak+b竺.二2也，解得2b2=22=匕2+。2%2=匕2=--82,所以XA+XB所以e'.：七一~为定值；(ii)S=\AB\h=+k-\xA-xB\--l-=--'xA-xJ,一..，2一一？所以$2二—{xA-xfi)2=—[(-'A+XB)2—4XaXbJ,由⑴中韦达定理知xA+xj2x,*Xb=*a'k"+b~所以$2=冰22尿「2所冰因为/=?+=,"2k2+134/7_3代入口飞飞化简得S2=-,因为"N*所以2n>2,4zzeN*,证明2«-sin(S2)>l,只需证sin(S2)>|,又因为sin>:显然成立,所以2«-sin(S2)>l成立.已知椭圆E：72.（2021-山东高三其他模拟）记焦点在同一条轴上且离心率相同的椭圆为“相似椭圆y+y2=l，椭圆E的相似椭圆M经过（2,1）点.(1)求椭圆M的方程；(2)直线/与椭圆E交于A,3两点，与椭圆M交于G。两点(A,B,C,D四点位置如图)，若ICQI=2\AB\,点N在直线/上，ON上直线Z,求|。何的取值范围.【答案】⑴⑵【分析】2r(1)由题意可设椭圆肱的方程为3+丫2=«膈0)，将点(2,1)代入，求解即可；(2)分直线/的斜率存在与不存在两种情况讨论，求出\CD\,\AB\,由\CD\=2\AB\,求解即可.【详解】(1)由条件可知，椭圆M的离心率e二巨，2设椭圆M的方程为斗+寸=人(辱0),代入点(2,1),得久=3,TOC\o"1-5"\h\zHYPERLINK\l"bookmark272"\o"CurrentDocument"22所以椭圆M的方程为土+匕=1.HYPERLINK\l"bookmark6"\o"CurrentDocument"63(2)当直线，与x轴垂直时，设直线/的方程为x=t(-也_«居囹二2"一？，ICDI=2人3-y由ICQI=2HBI,可得2」3-[=4」1-§，解得t二C岑，此时\ON\=:当直线/与工轴不垂直时，设直线/的方程为y=kx+m.29设A(xi,yi),B(X2f>2),C(X3,>3),D(&,*),△=16好秫2—4(1+2好)(2m2-2)=8(1+2Z：2-m2)>0,y=kx+m由—+y2=l[2)-4kmXi+X2=■—T,1+2妃BPl+2Z：2>m2,"得(1+2好)x2+4kmx+2m2-2=0,2m2-2X{X2=——z-,i+2妒y=kx+m由，：X2y2,得(1+2好)x2+4kmx+2m2-6=0,1=1(63A=16好冰-4(1+2好)(2m2-6)=8(3+6好—")>0,即3+6好〉冰，-4km2m2-6所以X3+X4=--—V,13X4=0)的两个焦点分别为Fi(—1,0),F2(l,0),41且椭圆C经过点⑴求椭圆C的离心率；211⑵设过点A(0,2)的直线I与椭圆C交于两点，点Q是线段枷上的点，且=奇7否+TTTTrIA。IIIIA/YI求点Q的轨迹方程.【答案】⑴手；（2）103—2）2—3x2=18，其中xE（一当当炉：，2-孕【分析】根据椭圆的定义求出。，根据焦点坐标求出C,根据离心率公式求出心率；由（1）求出椭圆方程，①当直线/与x轴垂直时，求出点Q的坐标为（0,2-捋），②当直线/与x轴不垂直时，设直线/的方程为y=kx+2,联立直线与抛物线方程，根据韦达定理以及二次不可得点Q的轨迹方程，根据判别式和点Q在椭圆内求出X,〉的范围.IAQI|AMIIA/nI【详解】（1）由椭圆定义知，2a=IPFil+IPFI=所以a=E•又由已知，得c=l,所以椭圆。的离心率e=£二卜巨.ay/22（2）由（1）知，b2=32—c?=2-l=l,所以椭圆C的方程为土+y2=L2设点Q的坐标为3,y）.①当直线/与工轴垂直时，直线/与椭圆。交于（0,1）,（0,-1）两点，此时点。的坐标为（0,2-②当直线/与工轴不垂直时，设直线/的方程为y=kx+2.因为M,N在直线/上，可设点M,N的坐标分别为3i,fcci+2）,（X2,te+2）,则IAMK=（1+*2）云，|础|2=「+炉）好，又IAQI2=l2+3—2）2=（1+好）尤2.2]]，曰2_]、一1由IAQI2-IAMI2+IANI2,待（1+罗）尤2—（1+好）蚌+（1+砂）工；，日「£」-+（改+工2）—2工1工2G即必、一—一无一"•①将y=fcv+2代入：+y2=1中，得（2好+1）尤2+8奴+6=0.②TOC\o"1-5"\h\z,3由力二（8好一4x（2好+l）x6>0,得HYPERLINK\l"bookmark303"\o"CurrentDocument"由②可知'为+X2=3'=,代入①中并化简，得必=丁寿3•③1Q1\JK—3因为点Q在直线y=Ax+2上，所以kJ」-，代入③中并化简，X得103—2）2—3人2=18,由③及矽>3可知0vx2〈|,即xe（一季,。）U（0,乎）.又点（0,2-人-）满足1。3—2）2—3必=18,故对（-乎，乎）.由题意知。（工，y）在椭圆C内，所以一1WW1.（99}13J5又由10o-2）2=18+3/有（y—2）2u[g,F,且一kyvl,贝！JyE-,2——一所以点Q的轨迹方程为103—2）2—3必=18淇中姮〃季，当，」捉-捋2八2八、（2021-山东省实验中学高三二模）已知椭圆E-.+=l（a>b>0）的左、右焦点分别为R（项,0）,矶旬），过点「2的直线Z与椭圆交于不同两点肱，N.当直线Z斜率为-1时，弦MV的中点坐标为（1）求椭圆E的标准方程；（2）求的内切圆半径r最大时，直线，的方程.【答案】（1）—+/=1；（2）x±V2y-V3=0.4【分析】（1）利用点差法，结合直线Z斜率、弦的中点坐标，求得a2,b2,由此求得椭圆E的标准方程.（2）利用三角形的面积公式得到‘二卜网，设直线/方程为x=my他,通过求△乌如面积的最大值，来求得此时m的值，从而求得直线I的方程.【详解】（1）由题知C=y/3,设肱（也，叫），A）x2,y2）,则有M+E=i①，aba-If由①-②得（x,+x2）（X!-x2）（V!+y2）（7!-y2）5+熟=°•吉一21时，工1+工2=-,/+%=代入③,xi~x255化简得a2=4b2,又。2=/+决，一用，.*.b2=1fa=4-•■-椭圆E的标准方程为一+/=1.4-⑵/\FxMN的周长为|翊|+|邮|+|昭|+|昭l=4o=8,S1再mn=l-8-r=4r,故广=摘FMN,X所以内切圆半径尸最大即S^MN最大，设直线/方程为X=my+用，x=my+y（3由/—+V=1[4得（冰+4）y2+2\/3my—1=0,△>0显然成立，则X时=?|旺|.|"无|=右』3+乃）2-4溢=右・40履+1m2+4令I=J初之+1Q>1）,-2"3m、24m2+4Hm-+4则m2=t2-1,5-不—二2,t当且仅当y：即？=V3(r>l)时取〃="，此时m，直线，方程为x±yfly—y(3=0.（2021•全国高二课时练习）已知椭圆E:§+M=l（a>3>0）的离心率为g,椭圆E上的点与其右焦点F的最短距离为V2-1.（1）求椭圆E的标准方程;（2）【答案】(1)根据离心率及最短距离可求椭圆的标准方程；若A,B,C为椭圆E上的3个动点，且aABC的重心是0（0,0），求证：的面积为定值，并求这个定值.（1）—+/=1：（2）证明见解析；定值匝.24【分析】(2)设3。所在的直线方程，根据弦长公式求\BC\,再求点A到直线3。的距离，再运用面积公式化简即可.【详解】解：（1）设P（x,y）为椭圆E上的点，F（c,0）为椭圆E的右焦点，因为;/=/―耳/,*<£_,ac所以网=/（1）毫2=『"-2=土，y"—a