上海市比乐中学2024届高三上数学期末考试试题含解析

上海市比乐中学2024届高三上数学期末考试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合,，则A．B．C．D．2．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边.已知以直角边为直径的半圆的面积之比为，记，则（）A．B．C．D．3．已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是（）A．B．C．D．4．斜率为1的直线l与椭圆相交于A、B两点，则的最大值为　　A．2B．C．D．5．已知为虚数单位，实数满足，则(　　)A．1B．C．D．6．若将函数的图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到函数的图象，则下列说法正确的是（　　）A．函数在上单调递增B．函数的周期是C．函数的图象关于点对称D．函数在上最大值是17．设等比数列的前项和为，若，则的值为（）A．B．C．D．8．已知正四面体的棱长为，是该正四面体外接球球心，且，，则（）A．B．C．D．9．已知函数，方程有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合，则“函数有两个零点”是“”的（）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．函数的一个单调递增区间是（）A．B．C．D．11．直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（）A．B．C．D．12．函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知点是抛物线的焦点，，是该抛物线上的两点，若，则线段中点的纵坐标为__________．14．设函数，若对于任意的，∈[2，，≠，不等式恒成立，则实数a的取值范围是．15．已知是第二象限角，且，，则____.16．曲线在点处的切线方程是__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知圆外有一点，过点作直线．(1)当直线与圆相切时，求直线的方程；(2)当直线的倾斜角为时，求直线被圆所截得的弦长．18．（12分）4月23日是“世界读书日”，某中学开展了一系列的读书教育活动．学校为了解高三学生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个读书小组（每名学生只能参加一个读书小组）学生抽取12名学生参加问卷调查．各组人数统计如下：小组甲乙丙丁人数12969（1）从参加问卷调查的12名学生中随机抽取2人，求这2人来自同一个小组的概率；（2）从已抽取的甲、丙两个小组的学生中随机抽取2人，用示抽得甲组学生的人数，求随机变量的分布列和数学期望．19．（12分）的内角，，的对边分别是，，，已知.（1）求角；（2）若，，求的面积.20．（12分）如图，在三棱锥中，，，侧面为等边三角形，侧棱.（1）求证：平面平面；（2）求三棱锥外接球的体积.21．（12分）已知多面体中，、均垂直于平面，，，，是的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．22．（10分）选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵A＝(k≠0)的一个特征向量为α＝，A的逆矩阵A－1对应的变换将点(3，1)变为点(1，1)．求实数a，k的值．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】因为,,所以,,故选D．2、D【解析】由半圆面积之比，可求出两个直角边的长度之比，从而可知，结角三角函数的基本关系，即可求出，由二倍角即可求出.【详解】解：由题意知，以为直径的半圆面积，以为直径的半圆面积，则，即.由，得，所以.故选:D.【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式.本题的关键是由面积比求出角的正切值.3、A【解析】化简为，求出它的图象向左平移个单位长度后的图象的函数表达式，利用所得到的图象关于轴对称列方程即可求得，问题得解。【详解】函数可化为：，将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，又所得到的图象关于轴对称，所以，解得：，即：，又，所以.故选：A.【点睛】本题主要考查了两角和的正弦公式及三角函数图象的平移、性质等知识，考查转化能力，属于中档题。4、C【解析】设出直线的方程，代入椭圆方程中消去y，根据判别式大于0求得t的范围，进而利用弦长公式求得|AB|的表达式，利用t的范围求得|AB|的最大值．【详解】解：设直线l的方程为y＝x+t，代入y2＝1，消去y得x2+2tx+t2﹣1＝0，由题意得△＝（2t）2﹣1（t2﹣1）＞0，即t2＜1．弦长|AB|＝4．故选：C．【点睛】本题主要考查了椭圆的应用，直线与椭圆的关系．常需要把直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，判别式找到解决问题的突破口．5、D【解析】，则故选D.6、A【解析】根据三角函数伸缩变换特点可得到解析式；利用整体对应的方式可判断出在上单调递增，正确；关于点对称，错误；根据正弦型函数最小正周期的求解可知错误；根据正弦型函数在区间内值域的求解可判断出最大值无法取得，错误.【详解】将横坐标缩短到原来的得：当时，在上单调递增在上单调递增，正确；的最小正周期为：不是的周期，错误；当时，，关于点对称，错误；当时，此时没有最大值，错误.本题正确选项：【点睛】本题考查正弦型函数的性质，涉及到三角函数的伸缩变换、正弦型函数周期性、单调性和对称性、正弦型函数在一段区间内的值域的求解；关键是能够灵活应用整体对应的方式，通过正弦函数的图象来判断出所求函数的性质.7、C【解析】求得等比数列的公比，然后利用等比数列的求和公式可求得的值.【详解】设等比数列的公比为，，，，因此，.故选：C.【点睛】本题考查等比数列求和公式的应用，解答的关键就是求出等比数列的公比，考查计算能力，属于基础题.8、A【解析】如图设平面，球心在上，根据正四面体的性质可得，根据平面向量的加法的几何意义，重心的性质，结合已知求出的值.【详解】如图设平面，球心在上，由正四面体的性质可得：三角形是正三角形，，，在直角三角形中，，，，，，因为为重心，因此，则，因此，因此，则，故选A.【点睛】本题考查了正四面体的性质，考查了平面向量加法的几何意义，考查了重心的性质，属于中档题.9、A【解析】作出函数的图象，得到，把函数有零点转化为与在（2，4]上有交点，利用导数求出切线斜率，即可求得的取值范围，再根据充分、必要条件的定义即可判断．【详解】作出函数的图象如图，由图可知，，函数有2个零点，即有两个不同的根，也就是与在上有2个交点，则的最小值为；设过原点的直线与的切点为，斜率为，则切线方程为，把代入，可得，即，∴切线斜率为，∴k的取值范围是，∴函数有两个零点”是“”的充分不必要条件，故选A．【点睛】本题主要考查了函数零点的判定，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，试题有一定的综合性，属于中档题．10、D【解析】利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式和辅助角公式化简表达式，再根据三角函数单调区间的求法，求得的单调区间，由此确定正确选项.【详解】因为，由单调递增，则（），解得（），当时，D选项正确.C选项是递减区间，A，B选项中有部分增区间部分减区间.故选：D【点睛】本小题考查三角函数的恒等变换，三角函数的图象与性质等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，数形结合思想，应用意识.11、A【解析】由直线过椭圆的左焦点，得到左焦点为，且，再由，求得，代入椭圆的方程，求得，进而利用椭圆的离心率的，即可求解.【详解】由题意，直线经过椭圆的左焦点，令，解得，所以，即椭圆的左焦点为，且①直线交轴于，所以，，因为，所以，所以，又由点在椭圆上，得②由，可得，解得，所以，所以椭圆的离心率为.故选A.【点睛】本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，其中求椭圆的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)．12、B【解析】对分类讨论，当，函数在单调递减，当，根据对勾函数的性质，求出单调递增区间，即可求解.【详解】当时，函数在上单调递减，所以，的递增区间是，所以，即.故选:B.【点睛】本题考查函数单调性，熟练掌握简单初等函数性质是解题关键，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解析】运用抛物线的定义将抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离，然后求解结果.【详解】抛物线的方程为：，则抛物线的准线方程为，设，，则，所以，则线段中点的纵坐标为.故答案为：【点睛】本题考查了抛物线的定义，由抛物线定义将点到焦点距离转化为点到准线距离，需要熟练掌握定义，并能灵活运用，本题较为基础.14、【解析】试题分析：由题意得函数在[2，上单调递增，当时在[2，上单调递增；当时在上单调递增；在上单调递减，因此实数a的取值范围是考点：函数单调性15、【解析】由是第二象限角，且，可得，由及两角和的正切公式可得的值.【详解】解：由是第二象限角，且，可得，，由，可得，代入，可得，故答案为：.【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系及两角和的正切公式，相对不难，注意运算的准确性.16、【解析】利用导数的几何意义计算即可.【详解】由已知，，所以，又，所以切线方程为，即.故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义，考查学生的基本计算能力，要注意在某点处的切线与过某点的切线的区别，是一道容易题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）或（2）．【解析】(1)根据题意分斜率不存在和斜率存在两种情况即可求得结果;(2)先求出直线方程，然后求得圆心与直线的距离,由弦长公式即可得出答案.【详解】解:(1)由题意可得,直线与圆相切当斜率不存在时，直线的方程为,满足题意当斜率存在时，设直线的方程为,即∴,解得∴直线的方程为∴直线的方程为或(2)当直线的倾斜角为时，直线的方程为圆心到直线的距离为∴弦长为【点睛】本题考查了直线的方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式及弦长公式，培养了学生分析问题与解决问题的能力.18、（1）（2）见解析，【解析】（1）采用分层抽样的方法甲组抽取4人，乙组抽取3人，丙组抽取2人，丁组抽取3人，从参加问卷调查的12名学生中随机抽取2人，基本事件总数为，这两人来自同一小组取法共有，由此可求出所求的概率；（2）从已抽取的甲、丙两个小组的学生中随机抽取2人，而甲、丙两个小组学生分别有4人和2人，所以抽取的两人中是甲组的学生的人数的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量的分布列和数学期望.【详解】（1）由题设易得，问卷调查从四个小组中抽取的人数分别为4，3，2，3（人），从参加问卷调查的12名学生中随机抽取两名的取法共有（种），抽取的两名学生来自同一小组的取法共有（种），所以，抽取的两名学生来自同一个小组的概率为（2）由（1）知，在参加问卷调查的12名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为4人、2人，所以，抽取的两人中是甲组的学生的人数的可能取值为0，1，2,因为所以随机变量的分布列为：012所求的期望为【点睛】此题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查分层抽样、古典概型、排列组合等知识，考查运算能力，属于中档题.19、（1）（2）【解析】（1）利用余弦定理可求，从而得到的值.（2）利用诱导公式和正弦定理化简题设中的边角关系可得，得到值后利用面积公式可求.【详解】（1）由，得.所以由余弦定理，得.又因为，所以.（2）由，得.由正弦定理，得，因为，所以.又因，所以.所以的面积.【点睛】在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.20、（1）见解析；（2）.【解析】（1）设中点为，连接、，利用等腰三角形三线合一的性质得出，利用勾股定理得出，由线面垂直的判定定理可证得平面，再利用面面垂直的判定定理可得出平面平面；（2）先确定三棱锥的外接球球心的位置，利用三角形相似求出外接球的半径，再由球体的体积公式可求得结果.【详解】（1）设中点为，连接、，因为，所以.又，所以，又由已知，，则，所以，.又为正三角形，且，所以，因为，所以，，，平面，又平面，平面平面；（2）由于是底面直角三角形的斜边的中点，所以点是的外心，由（1）知平面，所以三棱锥的外接球的球心在上.在中，的垂直平分线与的交点即为球心，记的中点为点，则.由与相似可得，所以.所以三棱锥外接球的体积为.【点睛】本题考查面面垂直的证明，同时也考查了三棱锥外接球体积的计算，找出外接球球心的位置是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.21、（1）见解析；（2）．【解析】（1）取的中点，连接、，推导出四边形为平行四边形，可得出，由此能证明平面；（2）由，得平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离，在平面内过点作于点，就是到平面的距离，也就是点到平面的距离，由此能求出直线与平面所成角的正弦值．【详解】（1）取的中点，连接、，、分别为、的中点，则且，、均垂直于平面，且，则，且，所以，四边形为平行四边形，则，平面，平面，因此，平面；（2）由，平面，平面，平面，点到平面的距离等于点到平面的距离，在平面内过点作于点，平面，平面，，，，平面，即就是到平面的距离，也就是点到平面的距离，设，则到平面的距离，，因此，直线与平面所成角的正弦值为．【点睛】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．22、解：设特征向量为α＝对应的特征值为λ，则＝λ，即因为k≠0，所以a＝2．5分因为，所以A＝，即＝，所以2＋k＝3，解得k＝2．综上，a＝2，k＝2．20分【解析】试题分析：由特征向量求矩阵A,由逆矩阵求k考点：特征向量,逆矩阵点评：本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，考查逆矩阵．