材料力学问题详解第三版单辉祖

第二章轴向拉压应力与材料的力学性能2-1试画图示各杆的轴力图。题2-1图解：各杆的轴力图如图2-1所示。图2-12-2试画图示各杆的轴力图，并指出轴力的最大值。图a与b所示分布载荷均沿杆轴均匀分布，集度为q。2-2图题解：由图(a)2-2a(1)可知，F(x)?2qa?qxN所示，2-2a(2)轴力图如图qa?2FNax,m2-2a图可知，解：由图2-2b(2)(b)qa?FRqa?x)?FF(RN1qx2qa?(x?a)?q(Fx)?F?22RN22-2b(2)所示，轴力图如图qaF?axN,m2-2b图2-32。试求图示斜截=500mm，载荷F=50kNA图示轴向受拉等截面杆，横截面面积上的正应力与切应力，以及杆的最大正应力与最大切应力。面m-m2-3题图解：该拉杆横截面上的正应力为3N1050?F8σ100MPa??10Pa00???1.－62A500?10m?，50?α?故有的方位角m-m斜截面．?22ασσMPa3?MPa?100?cos41(?50?.cos)?σ?ατ)??491002.2MPasin(?50MPa??sin?α2杆的最大正应力与最大切应力分别为σ?σ?100MPamaxστMPa??50max22-5某材料的应力-应变曲线如图所示，图中还同时画出了低应变区的详图。试确定????，并判断该材料属、屈服极限、强度极限材料的弹性模量E、比例极限与伸长率pbs于何种类型（塑性或脆性材料）。题2-5解：由题图可以近似确定所求各量。6σΔPa10220?9Pa?220GPa???22010E?Δε0.001σ?220MPaσ?240MPa,psδ?29.7%MPaσ?440,b该材料属于塑性材料。2-7一圆截面杆，材料的应力-应变曲线如题2-6图所示。若杆径d=10mm，杆长作用，试计算拉力作用时与卸去后杆的轴向变形。=20kNF，杆端承受轴向拉力=200mml题2-6图3N?10F4?208σ255MPaPa?.5510????2解：22Amπ?0.010εσ?查上述曲线，知此时的轴向应变为%0.39?0.0039?ε轴向变形为?4m?0.78mm10?0.0039?7.8?Δl?lε(0.200m)?拉力卸去后，有ε?0.00026003640.ε?，pe故残留轴向变形为?5m10?0.052mm0.00026?5.2?(0.200m)Δl?lε??p2-9图示含圆孔板件，承受轴向载荷F作用。已知载荷F=32kN，板宽b=100mm，?15mm，孔径d=20mm板厚。试求板件横截面上的最大拉应力（考虑应力集中）。?题2-9图解：根据d/b?0.020m/(0.100m)?0.2得查应力集中因数曲线,K?2.42根据σFmaxσ??K，nδbdσ)?(n得．3N32?10KF2.42?764.5MPaPa.45σ??Kσ??＝610?nmax2δd)(b?0.015m0.020)?(0.100－2-10，=60mm，b，板宽图示板件，承受轴向载荷F作用。已知载荷Fb=36kN=90mm21。试求板件横截面上的最大拉应力（考虑R=12mm，孔径d=10mm，圆角半径板厚=10mm?应力集中）。图题2-10在圆孔处解：1.根据m010d0.1111.??00.090mb1查圆孔应力集中因数曲线，得62.?K1故有3FKN10?36?.2681σσK117MPa17?10?Pa????1.nmax12δ(b－d)?0.010)(0.090－0100.m112．在圆角处根据b0.090Dm1???1.5db0.060m2RR0.012m???0.2db0.060m2查圆角应力集中因数曲线，得K?1.742故有3FKN103674??1.82σσK????1.04?10Pa?104MPanmax22δb0.010m0.060?223.结论σ?117MPa（在圆孔边缘处）max2-14，许用应力均为作用。设各杆的横截面面积均为A图示桁架，承受铅垂载荷F?。]F[的许用值F，试确定载荷][题2-14图B为研究对象，求得各杆的轴力分别为解：先后以节点C与F2?FN1FF?F?N3N2根据强度条件，F2?]?[A由此得?A[]?[F]22-15已知杆的许用应力为[]。若在节点作用，B和C的位图示桁架，承受载荷F?置保持不变的条件下，试确定使结构重量最轻的值（即确定节点A的最佳位置）。?题2-15图解：1.求各杆轴力BCABFF，由节点B的平衡条件求得和设杆和的轴力分别为N2N1F，F?Fctanα?FN2N1αsin?值.2求重量最轻的由强度条件得FF，AA??ctanα21?σσ][]sin[结构的总体积为2FlFlFlαα)?ctan?(??lV?A?Al?ctan2112ασσαασsin2[]]sin]cos[[由Vd0?αd得20cos?α?13α由此得使结构体积最小或重量最轻的值为??α44?54opt2-16[]。若节点A和C图示桁架，承受载荷F作用，已知杆的许用应力为间的指?定距离为l，为使结构重量最轻，试确定的最佳值。?题2-16图解：1.求各杆轴力由于结构及受载左右对称，故有F??FFN2N1θsin2?.2求的最佳值由强度条件可得F??AA21σθ]sin2[结构总体积为FlFl??2V?Al?11σθθσθ]sin2cos[[]sin2由dV?0θd得cos2θ?0?的最佳值为由此得?45?θopt2-17??]F图示杆件，承受轴向载荷作用。已知许用应力[[]＝120MPa，许用切应力?及其D＝90MPa，许用挤压应力[]＝240MPa，试从强度方面考虑，建立杆径d、墩头直径bs间的合理比值。高度h题2-17图解：根据杆件拉伸、挤压与剪切强度，得载荷F的许用值分别为2πd?][?F][(a)t422)?dπ(D?]?[[F](b)bsb4?][F]?πdh[(c)s理想的情况下，[F]?[F]?[F]sbt在上述条件下，由式（a）与（c）以及式（a）与（b），分别得?][h?d?]4[?][d1?D??][bs于是得??][][::1dD:h:?1???]4[[]bs由此得D:h:d?1.225:0.333:12-18图示摇臂，承受载荷F与F作用。已知载荷F=50kN，F=35.4kN，许用切2211?=240MPa。试确定轴销B的直径d，许用挤压应力]=100MPa应力[。?][bs图题2-18解：1.求轴销处的支反力??0F?0F?由平衡方程与，分别得yx?kN?25?FF?Fcos4521Bx?kN?F?Fsin45252By由此得轴销处的总支反力为22kNkN25?35?25F.4?B2.确定轴销的直径由轴销的剪切强度条件（这里是双面剪）F2FsBττ][???2πAd得3F210?.42?35Bd??m?0.015m6?τ?][?100?10由轴销的挤压强度条件FFbBσσ]?[??bsbs??dd得3F104?35.Bd??m?0.01475m6]σδ[10?010?2400.bsd?0.015m?15mm。结论：取轴销直径2-19图示木榫接头，承受轴向载荷F=50kN作用，试求接头的剪切与挤压应力。题2-19图解：剪应力与挤压应力分别为3N1050????5MPa(0.100m)(0.100m)3N10?50???12.5MPabs)m100.0)(m040.0(2-20?许用切应力]=160MPa，图示铆接接头，铆钉与板件的材料相同，许用应力[??[=230kN]=120MPa，许用挤压应力[。试校核接头的强度。]=340MPa，载荷Fbs2-20图题解：最大拉应力为3N10230??MPa3??153.max2).010)(m0.0170?.020)(0(最大挤压与剪切应力则分别为3N230?10?MPa230??bs5(0.020m)(0.010m)3N?104?230???146.4MPa2π(0.020m)5?2-21图示两根矩形截面木杆，用两块钢板连接在一起，承受轴向载荷F=45kN作用。已知木杆的截面宽度b=250mm，沿木纹方向的许用拉应力[]=6MPa，许用挤压应力??与l以及木杆的高度h]=1MPa。试确定钢板的尺寸。=10MPa，许用切应力[??][bs题2-21图解：由拉伸强度条件F?σσ]?[bhδ)2?(得31045?Fhδ??m?0.030m?2）a（6]σ[b10?6?250.0由挤压强度条件．Fσ?σ?][bsbsδ2b得310F45?δmm.009m9??m??0（b）6σb][210?2?0.250?10bs由剪切强度条件Fττ??][bl2得310F45?mmm?l??m?0.900906?]b[210250?1?2?0.m009δ?0.，得代入式（a取）009)m?00..048m?48mm2h?(0.030??结论：取δ?9mml?90mmh?48mm。，，2-22图示接头，承受轴向载荷F作用。已知铆钉直径d=20mm，许用应力[]=160MPa，许用切应力[]=120MPa，许用挤压应力=340MPa。板件与铆钉的材料相???][bs同。试计算接头的许用载荷。题2-22图解：1.考虑板件的拉伸强度由图2-22所示之轴力图可知，F?F，F?3F/4N2N1FFN1?σσ][??1δbd)?A(165N?10432kN10N?4.32??200-0.020)0.015?160?0σd?F(b?)δ[]?(.F3FN2?σσ][??2bdδ)(2?A424465N?512kN????.?04002000?σδd?(F?b2)[](.?.)001516010N5.121033．2-22图2.考虑铆钉的剪切强度F?Fs8F4Fs??τ?τ][28πAd2265N?10302kN3.020.020??120?10N?F?2πdτ[]?2?π?3．考虑铆钉的挤压强度FF?b4FFb??][???bsbs??dd465?N?408kN4.08?10?]?4?0.0150.020?340?10?N?F4[dσbs结论：比较以上四个F值，得[F]?302kN2-23图a所示钢带AB，用三个直径与材料均相同的铆钉与接头相连接，钢带承受?=2mm，铆钉直径d=40mm，带宽b=，带厚8mm，孔的F=轴向载荷F作用。已知载荷6kN??]=300MPa，[许用拉应力，钢带材料的许用切应力边距a=20mm[，许用挤压应力]=100MPabs?]=160MPa。试校核钢带的强度。[图2-23题．钢带受力分析1：解．分析表明，当各铆钉的材料与直径均相同，且外力作用线在铆钉群剪切面上的投影，通过该面的形心时，通常即认为各铆钉剪切面的剪力相同。铆钉孔所受挤压力F等于铆钉剪切面上的剪力，因此，各铆钉孔边所受的挤压力F相同，bb钢带的受力如图b所示，挤压力则为3N106?F3N?10?2.0?F?b33孔表面的最大挤压应力为3FN?102.08b??]?[?1251??.25?10MPaPa??bsbs?d(0.002m)(0.008m)在挤压力作用下，钢带左段虚线所示纵截面受剪（图b），切应力为3FN10.0?27b??][25MPa?10?Pa?????2.5?a2(0.002m)(02.020m)钢带的轴力图如图c所示。由图b与c可以看出，截面1-1削弱最严重，而截面2-2的轴力最大，因此，应对此二截面进行拉伸强度校核。截面1-1与2-2的正应力分别为3FN)?10F2(62??N1???.3MPa????831?3(0.040m?2?0.008m)3(b?2d)(0.002m)A13FN?10F6??N2???.8MPa????932?m)0020m)(..d(Ab?)0(.040m?00082轴向拉压变形第三章3-2，两端承受轴向l=400mmd=20mm的空心圆截面杆，杆长一外径D=60mm、径?D?=0.30。试计算该杆外径的改变量F=200kN作用。若弹性模量E=80GPa，泊松比拉力。及体积改变量?V计算?D解：1.由于?FΔDF???εε?????，?EAEAD故有3??FD060?00FD4?.30?200?104.?Δm??D?ε?D???22922EA）020π?(0.060?0.πE(D?d)80?10?5?0.0179mm?m??1.7910??2.计算?V变形后该杆的体积为π222????????εε??Vd??Al?Vε?lεAl???lDε?Dd??ε))2])((((1))[(1)(14故有34000?10?.200Fl3??μVVVεεV)3221?)(?m)?(1??Δ?0?2?(?.9E10?8037?3mm400m?004?.?103-4图示螺栓，拧紧时产生=0.10mm的轴向变形。已知：d=8.0mm，d=6.8mm，l?12d=7.0mm；l=6.0mm，l=29mm，l=8mm；E=210GPa，[]=500MPa。试求预紧力F，并校?3213核螺栓的强度。题3-4图F求预紧力.解：1F，因此，各段轴力数值上均等于llllllFF4332211)??)(?(lΔ???222πEAAEAddd321321由此得．39?Δπ10?0.10?Elπ?210?104kN18.?1065N?F?N??1.8650080.0060.0.029lll(?4??)321)??4(222222007.006800.0080.ddd3122.校核螺栓的强度3N1065?4?18.F4F8σ????5.14?10Pa?514MPamax222πAm0068π?0.dmin2[σ]，但超过的百分数仅为2.6％，在5％以，故仍符合强度要求。此值虽然超过3-5图示桁架，在节点A处承受载荷F作用。从试验中测得杆1与杆2的纵向正应-4-42，弹性变分别为A=200mm与A。已知杆1与杆2的横截面面积=εε1010×=4.0=2.0×2112模量E=E=200GPa。试确定载荷F及其方位角之值。?21题3-5图解：1.求各杆轴力9?4?64N?16kN.6??20010?10N?F?EεA200?10.?40?10?1111N19?4?63N??108kNN??10.?20?108??20010?εF?EA20022N22θF之值及2.确定??AF?00?F得的平衡方程和由节点yx???sin30F0?Fsinθ?Fsin30N1N2???Fcosθcos30Fcos30?F?0N2N1化简后，成为F?F?2Fsinθ(a)N2N1及θF)?23F(?Fcos(b)N2N1联立求解方程(a)，得b)与(3FF?10)?(16?8N2N1θ???0.1925tan33(F?F)3(16?8)?10N2N1由此得??9.?10θ?10.893F?F10??8)(164N2N1F??N?2.12?10N?21.2kN?2sinθ2sin10.893-6?，长度为l作用。已知板的厚度为，左、右端图示变宽度平板，承受轴向载荷F的宽度分别为b与b，弹性模量为E。试计算板的轴向变形。21题3-6图解：对于常轴力变截面的拉压平板，其轴向变形的一般公式为FFll??Δd?xdx?l(a)?)b(xEA(x)E00x，则该截面的宽度为由图可知，若自左向右取坐标b?b12x?)?bb(x1l，于是得(a)代入式bF1Fll2?Δlnl?x?db?bEEδ(b?b)b??012xδb?112??1l??3-7?，弹性模量为E，材料密度为，试求自重Al图示杆件，长为，横截面面积为下杆端截面B的位移。图题3-7Byy，解：自截面处的轴力为向上取坐标?gAy?FN该处微段dy的轴向变形为??gygAyΔydddy??yEEAB于是得截面的位移为2??glgl)?(?Δ?yd?yCyEE203-8，并由作用于地桩的摩擦力所支图示为打入土中的混凝土地桩，顶端承受载荷F2，已知地桩的横截面面积为A，式中，持。设沿地桩单位长度的摩擦力为kf，且f=ky为常数。。。试求地桩的缩短量弹性模量为E，埋入土中的长度为l?题3-8图解：1.轴力分析摩擦力的合力为3kll2????yF?kydfdyy30l根据地桩的轴向平衡，3kl?F3由此得3F?k（a）3ly截面处的轴力为3kyyy??2?????Fyky?fdydN3002.地桩缩短量计算的缩短量为yd处微段y截面．yFdNδ?dEA积分得4ydFklkll3N??δ?y??yd12EA3EAEA00代入上式，于是得a将式()Flδ?4EA3-9图示刚性横梁AB，由钢丝绳并经无摩擦滑轮所支持。设钢丝绳的轴向刚度（即产生单位轴向变形所需之力）为k，试求当载荷F作用时端点B的铅垂位移。题3-9图FABF，。设钢丝绳中的轴力为其总伸长(见图解：载荷3-9作用后，刚性梁)倾斜如图NΔl。为图3-9?0?M得以刚性梁为研究对象，由平衡方程AFa?F(a?b)?F(2a?b)NN由此得F?FN由图3-9可以看出，??(2a??b)y???(2a??b))???Δ?ΔlΔ?a(abyy21可见，?ΔlΔ(b)yk的定义，有根据ΔF?kΔl?kyN于是得FFNΔ??ykk3-10的水平与铅垂A图示各桁架，各杆各截面的拉压刚度均为EA，试计算节点位移。题3-10图）解：（a利用截面法，求得各杆的轴力分别为（拉力）F?F?FN2N1（压力）2FF?N40F?N3于是得各杆的变形分别为Fl)伸长?l(??l?21EAFl2F?2l2)?l?＝(伸长4EAEA0l??3l+?B与l?l确定节点B的新位置',然后，过该点作长为l10(1)如图3－所示，根据变形?241的新此即结构变形后节点并过其下端点作水平直线，与过A点的铅垂线相交于AA',的垂线，位置。于是可以看出，节点A的水平与铅垂位移分别为Δ0?Ax??FlFlFlFl22?1?l?l2???Δl???2??224Ay1EAEAEAEA．3-10图2的轴力分别为（b）解：显然，杆1与杆（拉力）FF?N10?FN2的水平与铅垂位移分别为于是由图3－10(2)可以看出，节点AFlΔ??l?1AxEAFl??lΔ?1AyEA3-11图示桁架ABC，在节点B承受集中载荷F作用。杆1与杆2的弹性模量均为E，22。试问在节点B和C横截面面积分别为A=320mmA与=2580mm的位置保持不变的条件下，21?应取何值（即确定节点A的最佳位置）。为使节点B的铅垂位移最小，题3-11图解：1.求各杆轴力由图3-11a得F，F?F?FctanθN2N1θsin图3-112.求变形和位移由图3-11b得FlθllFFctan2FlN22N1122ΔΔ??l?，l＝21EAθEAEAEAsin22121及2ΔΔFlllθctan2212Δ???(?)ByθθEAθθAsin2tansinsin21θ.3求的最佳值0?d/dΔθ，得由By2θθθθ)?cos(2cos2sin2sinθθcsc?22ctan???022θθAAsinsin221由此得32θ)?01A(?3cos2Acosθ?21A与A的已知数据代入并化简，得将2132θ?4.03125?cos.θ?1209375cos0解此三次方程，舍去增根，得cosθ?0.564967θ由此得的最佳值为?655.θ?opt3-12图示桁架，承受载荷F作用。设各杆的长度为l，横截面面积均为A，材料的n??的铅垂位移。C为由试验测定的已知常数。试求节点B与n，其中B=应力应变关系为题3-12图解：两杆的轴力均为F?FN?cos2轴向变形则均为nn?lF????l?l?l??????BcosB2A的铅垂位移为C于是得节点nl?lFΔ??Cy1nn?n??coscos2BA3-13图示结构，梁BD为刚体，杆1、杆2与杆3的横截面面积与材料均相同。在2，A=100mmF=20kN，各杆的横截面面积均为作用。已知载荷梁的中点C承受集中载荷F弹性模量E=200GPa，梁长l=1000mm。试计算该点的水平与铅垂位移。题3-13图解：1.求各杆轴力?F?0，得由xF?0N2?0?F由，得yF?10?F?FkNN3N12．求各杆变形2．0l?Δ23lF00010?10.?14-N1l0.50mmΔmΔ5.010m??l????3169?EA10?100??20010C的位移3．求中点易知，3-13由图图3-13)?50mm(?Δl?0.)?Δ?Δl0.50mm(?，Δ1x1y3-14，试求节EAF作用。设各杆各截面的拉压刚度均为所示桁架，承受载荷图a?间的相对位移。点B与CB/C题3-14图解：1.力与变形分析利用截面法，求得各杆的轴力分别为F（拉力）?F??F?FF431NN2NN2F?F（压力）5N于是得各杆得变形分别为Fl(伸长?l?l?l?l????)4312EA2．Fl2lF2?)缩短?(??l5EAEA2.位移分析的平行线，并分别与节点C的铅垂线相交于与杆3eb所示，过d与g分别作杆2如图与h，然后，在de与gh延长线取线段?l与?l，并在其端点m与n分别作垂线，得交点C'，23即为节点C的新位置。可以看出，??l???Fl?22Fl2Fl????52?l??Ci?iC'?22?2?Δ2?????3CB/EA2EA2??EA2??3-15如图所示桁架，设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试用能量法求载荷作用点沿载荷作用方向的位移。题3-15图(a)解：各杆编号示如图3-15a，各杆轴力依次为221F，F??FF?，F?FN3N2N1222该桁架的应变能为232lF122?1211Fl?22iiN)l()?F2lF?V?(???ε4EA224222EAEA1?i图3-15依据能量守恒定律，FΔV?ε2．最后得2Fl)(22?112l?2F2Δ)?(?()??EAEA4F42b(b)解：各杆编号示如图列表计算如下：2lilFFiNiiNi2lFlF1l0022lFlF32lFlF42l2F2?lF225?2l)F(3?22于是，225lFl22)F(3??iNi??VεEAEA221?i依据能量守恒定律，FΔ?Vε2可得(3?22)FlΔ)??(EA3-16图示桁架，承受载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试用能量法?。间的相对位移求节点B与CB/C题3-16图解：依据题意，列表计算如下：2lFFliiNiiNi22/2Fl/F2l122F/2l/F2l2222/F2F/ll322F2/2l/Fl42l2lF2F?5?2l)F(2?2由表中结果可得225lFl(F2)?2?iNi??VεEAEA221i?依据W?V?得(2?2)FlΔ(??)?CB/EA3-17?，长度为lF作用。已知板的厚度为，左、右图示变宽度平板，承受轴向载荷端的宽度分别为b与b，弹性模量为E，试用能量法计算板的轴向变形。21题3-17图解：对于变截面拉压板件，应变能的表达式为22FFllNN??x?V?ddx(a)??)Exb(2EA(x)200x，则该截面的宽度为由图可知，若自左向右取坐标b?b12xb?b(x)?1lF?F,并考虑到于是得将上式代入式（a）,N22bl1FFl2?ln?V?xdεbb?b)(δE2b?b2E??012x?δb121??1l???l，则根据能量守恒定律可知，设板的轴向变形为ΔlF?Vε2或2bΔlFFl2ln?22Eδ(b?b)b112．由此得bFl2Δlnl?b(b?b)Eδ1123-19作用。各杆各截面的的拉压刚度均q图示各杆，承受集中载荷F或均布载荷，试求支反力与最大轴力。为EA图题3-19所示，平衡方程为(a)解：杆的受力如图3-19a(1)?0F?F??0,F?F?FBxxAx一个平衡方程，两个未知支反力，故为一度静不定。3-19a图AC，CD与DB段的轴力分别为F?F?,2F?FF,?FF?FAxNN13Ax2AxN由于杆的总长不变，故补充方程为????aFFaFF??a2FAxAxAx???0?l?EAEAEA得F?F?0Ax由此得F?FAxF?2F?F?FAxBx所示，最大轴力为3-19a(2)杆的轴力图如．FF?maxN,所示，平衡方程为(b)解：杆的受力如图3-19b(1)?0F??F?0,qaF?BxxAx一个平衡方程，两个未知支反力，故为一度静不定。3-19b图段的轴力分别为CBAC与,F?FF?Fqx?AxAxN1N2由于杆的总长不变，故补充方程为aF1a??Ax??0xqxd?F??l?AxEAEA0得2??qa12Fa??0??AxEA2??由此得qa?FAx43qaF?qa?F?AxBx4杆的轴力图如3-19b(2)所示，最大轴力为3qa?FNmax43-20图示结构，杆1与杆2的横截面面积相同，弹性模量均为E，梁BC为刚体，??]=110MPa，试确定各杆的横截面面积。[]=160MPa,许用拉应力=20kN载荷F，[许用压应力ct图题3-20为拉力，且轴向变形相同，故F杆解：容易看出，在载荷F作用下，2伸长，杆1缩短，N2为压力，且大小相同，即FN1FF?N1N2以刚性梁BC为研究对象，铰支点为矩心，由平衡方程?0a?F?a?F?a?F?2M?0,N1N2由上述二方程，解得F?F?FN1N2根据强度条件，3FN1020?2?4N1m???1.81810?A16?][110?10Pac3FN?1020?42N2m?10?A??1.2526?][160?10Pat取2mm182A?A?213-21图示桁架，承受铅垂载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度相同，试求各杆轴力。题3-21图(a)解：此为一度静不定桁架。?FF?0AB，得为研究对象，由设以压为正，其余各段轴力以拉力为正。先取杆yABN,F?F?F(a)ABN,BC,N?A和后取节点依次得到为研究对象，由?0F?0F?yxFF?(b)AG,ADNN,及?F?2Fcos45(c)ABN,ADN,AA处有变形协调关系（节点在节点铅垂向下）ΔlAD?Δ?Δ?llΔ2l(d)ADBCAB?cos45物理关系为llFF2lFAB,NNN,AD,BCΔΔΔl，，?l?l?Δl?(e)AGABBCADEAEAEA，化简后得代入式将式(e)(d)?F2F?F?)(dADN,N,BCAB,N?(c)(a)，)(d联解方程和，得1?22?22?FF??FFF?FF（拉），（压），（拉）BC,AG,N,ADABN,NN222解：此为一度静不定问题。(b)?0F?A考虑小轮，得的平衡，由y??Fsin45?0F1N由此得F?2F1NΔl?0AF，故有沿刚性墙面向下有一微小位移，在小变形条件下，作用下，小轮在2F?02NF的水平分量由刚性墙面提供的约束反力来平衡。N13-22图示桁架，杆1、杆2与杆3分别用铸铁、铜和钢制成，许用应力分别为???]=120MPa，弹性模量分别为E=160GPa，E=100GPa[[]=40MPa，，]=60MPa[，21321E=200GPa。若载荷F=160kN，A=A=2A，试确定各杆的横截面面积。3213．题3-22图C处的受力图和变形图分别示如图3-22a和b解：此为一度静不定结构。节点。图3-22由图a可得平衡方程3?FFF?0，?(a)N2Nx121?FF?0，FF??(b)N3N2y2由图b得变形协调方程为Δl?2ΔlΔ??ctan30l(c)31?sin30根据胡克定律，有lllFFFFFlllF1N33N1N31N1N212N21)(dΔΔΔ??，?l?，l?l?321AAEEEA2AEA3EAE3312121333323将式(d)，化简后得补充方程为代入式(c)F?83215F?F)'c(N3N1N2联解方程(a)，(b)，并代入数据，得')和(ckN.FkN?FkN?F22.626.1?1469压()（拉），，（拉）N3N1N2根据强度要求，计算各杆横截面面积如下：3F10622.?2?422N1mm?.?m??56510565m?A16σ][1040?13F1026?.124?22N2mm10?354?m?.Am??43526σ][10?602．3F10?.91462232?N3mmm?101224??A?m?1.22436σ][10120?3根据题意要求，最后取2mm2450?A?2A?A3213-23C2、杆1固定在墙上，与杆刚体在图a所示支架，由刚体ABC并经由铰链A=1002的长度、横截面面积与弹性模量均相同，分别为l点处承受铅垂载荷F作用。杆1与杆?2Fmm。设由千分表测得C点的铅垂位移，试确定载荷???????mm，A=100mmE，=200GPay与各杆轴力。图3-23题解：1.求解静不定在载荷F作用下，刚体ABC将绕节点A沿顺时针方向作微小转动，刚体的位移、杆件的变形与受力如图b所示。显然，本问题具有一度静不定。?M?0，得由平衡方程AFN2?F?0F?(a)N12由变形图中可以看出，变形协调条件为?l?2?l(b)21根据胡克定律，FlFlN2N1Δ?Δ?,(c)ll12EAEA），得补充方程为将上述关系式代入式（bF?2FN2N1联立求解平衡方程（a）与上述补充方程，得4F2F,F?F?(d)N1N255?F与各杆轴力2.由位移确定载荷y?，因此，具有相同的角位移AB与AC，且直线）b（图)AC?CC'('C点位移至C变形后，?C点的总位移为AC?l?2?CC'???l??11AB又由于??2?y由此得???ly1将式（c）与（d）的第一式代入上式，于是得?EA59?62?3m?10m))(105(200?0Pa)(100?10.075y4N10.875???1F??3l44(100?10m)并从而得43N105?F?710?1.5?.N,FN2N13-242。F=200kNE=210GPa，轴向载荷图示钢杆，横截面面积A=2500mm，弹性模量试在下列两种情况下确定杆端的支反力。?=0.6mm；(a)间隙?=0.3mm。(b)间隙题3-24图解：当杆右端不存在约束时，在载荷F作用下，杆右端截面的轴向位移为3N)(1.10200?5m)(Fa????0.57mmF9?62EA)?1010(210?mPa)(2500????，仅在杆C当间隙时，由于=0.6mm端存在支反力，其值则为FF?F?200kNCx????，杆两端将存在支反力，杆的受力如图时，由于3-24所示。当间隙=0.3mmF3-24图杆的平衡方程为0?F?F?FCxBx补充方程为a2F?FaBx???EAEA由此得?EAF?F?Bxa22269?3)10Pa)(2500?m10(0.0003m)(210?N200?10kN5???47.)522(1.m而C端的支反力则为?200kN?47.5?FkN?F?152.5kNFBxCx3-25图示两端固定的等截面杆AB，杆长为l。在非均匀加热的条件下，距A端x22lx/T??T??T为杆件B，式中的端的温度增量。材料的弹性模量与线膨处的温度增量为BB胀系数分别为E与。试求杆件横截面上的应力。?l题3-25图解：1.求温度增高引起的杆件伸长xdx就会因温升而有一B端约束解除掉，则在处的杆微段此为一度静不定问题。假如将个微伸长2ΔxαTBld(Δl)?αΔTdx?dxlt2l全杆伸长为2ΔΔTlTxααlBBll?Δ?x?ldt23l02．求约束反力FF作用而引起的缩短量为，杆件因设固定端的约束反力为FlFlNΔ?l?FEAEA由变形协调条件ΔlΔl?tF．可得ΔΔTlEAααTEABlBl?F??33l3．求杆件横截面上的应力ΔTFαEFBNl???σ3AA3-26?与节点。如使杆端的实际长度比尺寸稍短，误差为B图示桁架，杆BCG强制地连接在一起，试计算各杆的轴力。设各杆各截面的拉压刚度均为EA。题3-26图。由强制装配容易判断，解：此为一度静不定问题。自左向右、自上向下将各杆编号1~5CGb和和5受压。装配后节点和。的受力图分别示如图3-26a杆1~3受拉，杆4图3-26可得根据平衡条件，由图aF?F?F(a)N3N1N2b可得由图??3F?F2Fcos30?FF，(b)N4N5N3N4N4变形协调关系为(参看原题图)ΔΔll41???ΔΔl(c)3??cos30cos60依据胡克定律，有FliNi(i?1~5)?Δl(d)iEA，得补充方程(c)代入式(d)将式lF32Fl2FlN3N1N4Δ???(e)EAEAEA3(a)与(b)，最后得联立求解补充方程(e)、平衡方程EA?2)23)EA(33?(9ΔF?ΔF?,N4N3l23l23即EA)?23(9ΔF?F?F?（拉）GE,,NGDNN,BCl23EA)3?2(3Δ?F?F（压）CECDN,N,l233-27图a所示钢螺栓，其外套一长度为l的套管。已知螺栓与套管的横截面面积分别为A与A，弹性模量分别为E与E，螺栓的螺距为p。现将螺母旋紧1/5圈，试求螺栓与tbbt套管所受之力。螺帽与螺母的变形忽略不计。题3-27图?=p/5处旋转1/5圈，即旋进的距离。然解：首先设想套管未套上，而将螺母由距螺帽l后，再将套管套上。由于螺帽与螺母间的距离小于套管的长度，故套合后的螺栓将受拉，而套管则受压。设螺栓所受拉力为F，伸长为?l，套管所受压力为F，缩短为?l，则由图b与c可知，tNtNbb平衡方程为F?F?0(a)NtNb而变形协调方程则为???l?l?tb利用胡克定律，得补充方程为FlFlNtNb???(b)EAAEtbtb最后，联立求解平衡方程（a）与补充方程（b），得螺栓与套管所受之力即预紧力为AE?bbF?F?F?NtNbN0??k?l1式中，EAbb?kEAtt3-28的铜管组、径为30mm图示组合杆，由直径为30mm的钢杆套以外径为50mm，试计算铆钉剪切40℃的铆钉连接在一起。铆接后，温度升高成，二者由两个直径为10mm，线膨胀系数分别为E=100GPa面上的切应力。钢与铜的弹性模量分别为E=200GPa与cs??-1-6-6-1=1610×10与。=12.5×℃℃clsl图题3-28δδ由于二者被铆钉连在一起，和，T?时钢杆和铜管自由伸长量分别为解：设温度升高TcTs变形要一致，即变形协调条件为l?Δlδ?Δ?δcsTcTs或写成δδ?Δl?Δl?TscTcslΔΔl均设为正值。和缩短量这里，伸长量cs引入物理关系，得llFFNcNsΔ()Tαα??l?scllAEAEcscsF?F?F将静力平衡条件代入上式，得NcNsAEEAcssc(αF??α)ΔTsllcEA?EAcscs注意到每个铆钉有两个剪切面，故其切应力为FEAEA(α?α)ΔTFscclsSclsτ???A2A2A(EA?EA)cssc由此得92922?6?40)5?10030?0.N)(16?12.10200?.?0030100??10(0.050??2929222)]m030?0..0030100??10(0.05010200.?20010[??7Pa?59.3MPa93?5.?103-29为刚体，试在下列两BD，梁EA各截面的拉压刚度均为2与杆1图示结构，杆．种情况下，画变形图，建立补充方程。?的实际尺寸比设计尺寸稍短，误差为；(1)若杆2?。的温度升高?T，材料的热膨胀系数为(2)若杆1l图3-29题??????DDD。，即未与刚性杆(1)解：如图3-29(1)a所示，当杆2BD连接时，下端点位于??DC。当杆2与刚性杆BD连接后，下端点铅垂位移至1的下端点则铅垂位移至，同时，杆????lDCeD??ΔlΔ同时，即代表杆的弹性变形，1，，C显然'e垂直于杆过的轴线，1作直线C123-29(1)b的受力如图2受拉，刚性杆2即代表杆的弹性变形。与上述变形相应，杆BD1受压，杆所示。3-29(1)图可以看出，??C2?DDC即变形协调条件为?l2Δ?2??Δl12而补充方程则为lFFl412?0???EAEA或?EAF4?F?0?12l连接时，由于其温度升高，下端点位(2)解：如图3-29(2)a所示，当杆1未与刚性杆BD??????Δ?2CTlCCC，而杆2的与刚性杆BD连接后，下端点C铅垂位移至。当杆1，即于l?D??????ΔCelCCC1即代表杆，显然，。过D下端点则铅垂位移至作直线eC'垂直于直线1．?lΔDD?2的弹性变形。与上述变形相应，杆1受压，杆，代表杆2受的弹性变形，同时，2拉，刚性杆BD的受力如图3-29(2)b所示。图3-29(2)可以看出，??C2DDC?故变形协调条件为???lΔlΔ2Δl2T2???12l而补充方程则为??l2lF?F12???222ΔT??l??lEAEA??或?ΔT??4EA0F?4Fl123-30图示桁架，三杆的横截面面积、弹性模量与许用应力均相同，并分别为A，E?]，试确定该桁架的许用载荷[F]。为了提高许用载荷之值，现将杆3的设计长度l[与变为Δ?l?为何值时许用载荷最大，其值[F]为何。。试问当max题3-30图解:此为一度静不定问题。C。b和3-30a处的受力及变形示如图节点．图3-30得平衡方程为由图a?FF?F，2F?F?cos30(a)N3N2N1N1得变形协调条件为由图b?cos30l?ΔΔl(b)31有依据胡克定律,lF),3,i?12(iNi?Δ(c)liEA将式，化简后得补充方程为代入式(b)(c)4FF?(b')N1N33(a)联解，得(将方程b')与方程43F?F?F?FF，F?N1N1N3N23?3?4334FF4N3σ?σ][??maxAA3)(4?3由此得??A]A(4?33)[3(4?3)[]?,[F]?F44?]F[为了提高得变形协调条件为，由图b值，可将杆3做长Δl1?l?ΔΔ3?cos30l?与?l][σ?均为受载后的伸长，依题意，有了式中，，即后，应使三根杆同时达到13σσ]4[[]Δll??EE3由此得l]l][σ[σ4Δ?)?1?(E33E此时，各杆的强度均充分发挥出来，故有????])[?(A?A2?F[]([]cos30)[]?13Amax第四章扭转4-5一受扭薄壁圆管，外径D=42mm，径d=40mm，扭力偶矩M=500N?m，切变模量G=75GPa。试计算圆管横截面与纵截面上的扭转切应力，并计算管表面纵线的倾斜角。解：该薄壁圆管的平均半径和壁厚依次为1DdDd?mm??1.5mm，?R?(?)?20022222于是，该圆管横截面上的扭转切应力为N500T8?189.4MPa??10Pa???1.894222?π2m001?0.2π?0.0205R0依据切应力互等定理，纵截面上的扭转切应力为??τ?189.τ4MPa该圆管表面纵线的倾斜角为6τ10?.4189?3?rad?10??rad?2.539G75?104-7?≥10/时，薄壁圆管的扭转切应力公式的最大误试证明，在线弹性围，且当R0差不超过4.53%。解：薄壁圆管的扭转切应力公式为Tτ?2δR2π0β?R/δ设，按上述公式计算的扭转切应力为0TT?τ?(a)322δβ2πRδ2π0按照一般空心圆轴考虑，轴的、外直径分别为d?2R?δ，D?2R?δ00极惯性矩为πRδππ2444420δ???R?Dδ?dδ?RI??R)](())4)([(2200p032322由此得??12)T(TδT?τ?)?(2R?(R?)?(b)max002223?????2I)(π4πR?(4R?1)p00比较式(a)与式(b)，得322?????41?π1)(4τT???32???τ??)(2)2?1T(2?1π2maxR0???10时，当?2?1?410?9548.?0??)1?10?2(?10?2maxτ10?/δR的最大误差不超过4.53可见，当％。时，按薄壁圆管的扭转切应力公式计算04-8m1/??C???表示，曲线如图所示，并可用图a所示受扭圆截面轴，材料的b?为由试验测定的已知常数。试建立扭转切应力公式，并画横截面上的切应力分m式中的C与布图。图题4-8解：所研究的轴是圆截面轴，平面假设仍然成立。据此，从几何方面可以得到?d???(a)?xdρ处的切应力为根据题设，轴横截面上距圆心为?dm/1?)(τ?C(b)ρxd由静力学可知，?dm)/m(m?11/????Tρ(C)A?ddA?(c)ρxdAAρdAd，即取径向宽度为的环形微面积作为ρ2πρdAd?(d)，得代入式(c)将式(d)?d2d/m/(2m?1/m1)?T)?(dρρπ2Cxd0由此得?Tm?1)d(3m1/?()(e)dxdm/(3m?1))2πCm(2(b)，并注意到T=M，最后得扭转切应力公式为代入式将式(e)m/1?M???π2dmm(3m?1)/)(2?3m1横截面上的切应力的径向分布图示如图。4-84-8图4-9切出ABC在图a所示受扭圆截面轴，用横截面和DEF与径向纵截面ADFC体ABCDEF（图b）。试绘各截面上的应力分布图，并说明该单元体是如何平衡的。题图4-9所示。ABCDEF各截面上的应力分布图如图4-9a解：单元体图4-9DAOOa根据图，不难算出截面上分布力的合力为1Tl41d?τF?(l)?maxx2π22d1OCFO同理，得截面上分布力的合力为1Tl4?Fx2πd2方向示如图c。xF与Fe作用线到，容易求出设轴线的距离为xxz211dd2??e?z3231，可算出单元体右端面上水平分布力的合力为根据图b?Tπ8Tπ2/d??θρρθ?ddcos(??)Fz3πd2I002p同理，左端面上的合力为8TF?zπ3d1c方向亦示如图。eFDF，由的距离为设作用线到水平直径）b（见图yz2．πTTπ2d/23???????)ddcosFe?(?yz4I2002p得3π3πddT???0.e?295dy48T32FAC的距离也同此值。同理，作用线到水平直径z1DOE上竖向分布力的合力为b，还可算出半个右端面根据图1Tρπ4T2π/2d/??θρρθ?sin(?dF?)dyI23πd003peFEO（见图b作用线到竖向半径），由的距离为设zy123TT2/πd/223???????Fe?dcosdzy8I0023p得3π3πddT????0.295dez84T322AOB、OCBFEO上的竖向分布力的合力为以及左端面同理，可算出另半个右端面14T?F?FF?yyy3πd241e。方向均示如图c。它们的作用线到所在面竖向半径的距离均为z2由图c可以看得很清楚，该单元体在四对力的作用下处于平衡状态，这四对力构成四个力偶，显然，这是一个空间力偶系的平衡问题。TT?0??e??F?e??(2e)?F??M?0，F(2e)Fyxzzyyzzy224121228Tl8Tl???)?(2e?0F0M?，F?l?zzxy3π3πdd1214Tl4Tl?M?0，F?l?F?l???0yzyππ33dd34既然是力偶系，力的平衡方程（共三个）自然满足，这是不言而喻的。TM。上述讨论中，所有的在数值上均等于4-11如图所示，圆轴AB与套管CD用刚性突缘E焊接成一体，并在截面A承受扭?]=80MPa，套管的外径D=80mm，许用切应力M力偶矩作用。圆轴的直径d=56mm[，壁1?=6mm，许用切应力[的许用值。厚M。试求扭力偶矩]=40MPa?2．4-11图题M解：由题图知，圆轴与套管的扭矩均等于。MAB求.由圆轴的许用值1M16M11??]???[1max13πWdp1M由此得的许用值为3?36][πd1080.056??π?031N?m?2.76kN??m?2.76?10m[M]??N11616CDM的许用值求2．由套管?80?D?6?mm?37mm，R?δ?6mm?R100022此管不是薄壁圆管。80－6?268???0.?858080M16M22??][???2max234?W)D?(1πp2M由此得的许用值为34346??]π(1D?)[10?)?080?(1?0.8540π?0.2[M]??N?m216163N?m?101.922kN?m?1.922?可见，扭力偶矩M的许用值为[M]?[M]?1.922kN?m24-13图示阶梯形轴，由AB与BC两段等截面圆轴组成，并承受集度为m的均匀分布的扭力偶矩作用。为使轴的重量最轻，试确定AB与BC段的长度l与l以及直径d与d。2112已知轴总长为l，许用切应力为[]。?图4-13题．轴的强度条件解：1.A在截面处的扭矩最大，其值为mlT?max1由该截面的扭转强度条件Tml16max1?τ][???max13Wπdp11得ml163?d(a)1τ]π[BCB段上的最大扭矩在截面处，其值为mlT?2max2由该截面的扭转强度条件得l16m32?d2τ]π[．最轻重量设计2轴的总体积为ml16πππml162/3322/22]l()?(l?l))(l?l?dl?[()?Vd222212ττ]]444π[π[根据极值条件Vd0?ld2得516m16ml322/3/2/30l??()??()2??3π[]]π[由此得33/2l.465l?l?()0(b)25从而得33/2l5350)(.]l?ll??l?[1?(c)215ml16m1631/2/31/31d0.775)?d()?l?(?(d)3122??]5π[π[]该轴取式(a)~(d)所给尺寸，可使轴的体积最小，重量自然也最轻。4-14一圆柱形密圈螺旋弹簧，承受轴向压缩载荷F=1kN作用。设弹簧的平均直径D=40mm，弹簧丝的直径d=7mm，许用切应力[]=480MPa，试校核弹簧的强度。?解：由于40D10.??5?m71?7d故需考虑曲率的影响，此时，3)N?2(4?58?FD(4m＋2）81.00?10.?0.040?71???max233)m.?571?4πd(m?3)π?0.0073?(48372MPa10.?72Pa?3???]?[结论：，该弹簧满足强度要求。max4-20?与，横截面AB，两端承受扭力偶矩M作用。设壁厚为A图示圆锥形薄壁轴间的扭转角为，轴长为l，切变模量为G。试证明截面AB的平均直径分别为d和与dBBA)d（d?Ml2BA??B/A22?GddπBA题4-20图xxA处的平均半径为，轴在向右取坐标证明：自左端d?d11BAx)?(d(d??cx)R(x)?A0A2l2式中，d?dAB?clx截面的极惯性矩为πδ1333??)cxd)]??π?2([(d??I2πRcxApA024依据?T(xd)4M??3?GIxd)?cx(GπdpABA间的扭转角为得截面和4Md(d?cx)?2Mll?2?A???(dcx)|?0/ABA3?πcπGGδ)dc(?cx0A)Ml1Ml?212(?ddBA??()?2222)?d(δGπddδdGdπdABBAAB．4-21试求支反力偶矩。设扭转刚度图示两端固定的圆截面轴，承受扭力偶矩作用。为已知常数。题4-21图解：此为静不定轴，但有对称条件可以利用。(a)MMM和相反。由于左右端的支反力偶矩分别为B，它们的转向与扭力偶矩设A与BA对称，故知M?MBA?0?M由可得xM2M?2M??MAAB即MM?M?BAM，示如图。4-21b(b)解：此为静不定轴，可解除右端约束，代之以支反力偶矩B4-21b图变形协调条件为?0?(a)B利用叠加法，得)3aM()2aM(MaB????(b)BGIGIGIppp，可得代入式将式(b)(a)1M?MB3．进而求得1MMM?（转向与相反）BA3(c)解：此为静不定轴，与(a)类似，利用左右对称条件，容易得到ma?MM?BA2mM和M相反。的转向与BAM，从变形趋势不难判断，解：此为静不定轴，可解除右端约束，代之以支反力偶矩(d)BmM相反。的转向与B变形协调条件为??0(c)Bx利用叠加法，得到（从左端向右取）22Ma(2a)Mm(a?x)maaBB????dx??????(d)MB,mB,BGIGI2GIGI0Bpppp将式(d)代入式(c)，可得ma?MB4进而求得3maM?ma?M?BA4mM相反。的转向亦与A4-22图示轴，承受扭力偶矩M=400N?m与M=600N?m作用。已知许用切应力12?]=0.25(°)/m，切变模量G=80GPa，单位长度的许用扭转角[]=40MPa[。试确定轴径。?题4-22图解：1.力分析BM。此为静不定轴，设端支反力偶矩为4-22a，该轴的相当系统示如图B．图4-22利用叠