2019年3月2019届高三第一次全国大联考（新课标Ⅰ卷）-理科数学全解全析

理科数学第1页（共9页）123456789101112BCAACABCCADD1．B【解析】由意可得，集合{|(3)0,}{|03,}PxxxxxxxxZZ或，所以UPð{|0x3,}{1,2}xxZ，又{|0}Qxx，所以(){12}UPQ,ð，故选B．2．C【解析】由题意可得，21i(1i)2ii1i(1i)(1i)2z,所以20192019iiz，故选C．4．A【解析】20=2||||,abababab，设(0)mmab，则21+1+24mm,即221mm0,解得1m或12m（舍去），即1ab，因此22+244||ababab1443，故选A．5．C【解析】由题意得，a=1，1111()(1)1kkakkkk，∴执行程序框图可得1(1)2S111116()()123117kkk，即k>6，∴跳出循环时k=7，故选C.学科*网6．A【解析】由题意得()||sin(2)||sin2()fxxxxxxxfx，所以函数()fx是奇函数，排除C、D选项；当πx时，2(π)π|π|sin2ππ0f，因此排除B，故选A．7．B【解析】由题意得：21CC9nn，即n=6，则该展开式的通项为61612C()()2rrrrTxx661C()2rr62(2)rrx，令6−2r=0，得r=3，所以该展开式中的常数项为33361C()(2)202.故选B．8．C【解析】由三视图可得其直观图为如图所示的三棱锥A−BCD，且BD=x，CD=2，∠BDC=90°，点A到平面BCD的距离为2，所以该三棱锥的体积为118(2)2=323Vx，解得x=4，故选C．理科数学第2页（共9页）10．A【解析】由正弦定理及2sin2sinsin0ABC，得22abc，根据余弦定理222abc2cosbcA，得22()2(1cos)abcbcA，令sinsinsinBCbcpAa，所以bcpa，因此2222=(1cos)apaaA，即2=2+cospA，由题意可知A是锐角，所以0cos1,A因此223,p又0,p所以23p.故选A.学科&*网11．D【解析】当0x时，12()()2xfxx为减函数，令12()0,2xx易得1x，所以只需()ln(0)fxxxax有两个零点，令()ln,(),gxxxhxa则问题可转化为函数()gx的图象与()hx的图象有两个交点.求导可得()ln1gxx，令()0gx，即ln1x，可解得10ex；令()0gx，即ln1x，可解得1ex，所以当10ex时，函数()gx单调递减；当1ex时，函理科数学第3页（共9页）数()gx单调递增，由此可知当1=ex时，函数()gx取得最小值，即min1()egx．在同一坐标系中作出函数()gx与()hx的简图如图所示，据图可得10.ea故选D.理科数学第4页（共9页）13．20【解析】作出约束条件满足的可行域如图中阴影部分所示，22zxy示可行域内一点到原点(0，0)的距离的平方，由图可知点(4,2)A到原点(0，0)的距离最大，所以z的最大值为22(4)220.14．(,1)(3,)【解析】由题意得，23321()log(1)2log()1fxxxxxx2x23log(1)2()xxxfx，所以()fx是R上的奇函数，又易知()fx在R上单调递减，且(0)f=0，所以2(23)0fmm，即2(23)(0)fmmf，所以2230mm，解得1m或3m，即m的取值范围为(,1)(3,).16．510xy【解析】由题意联立方程得：xykxy412，所以01)42(22xkxk，由已知可得：=（2k−4)22401kk，设A（11,yx），B(22,yx)，则有,24221kkxx2211kxx，12yy122424(1)(1)11kkxkxkkk，所以1212214104kOAOBxxyykk，由题意可得(1,0)P，令()mkPAPB=221212222552114(1)(1)15(),55kkxxyykkkk=理科数学第5页（共9页）故函数()mk在5k处取得最小值，即PAPB取最小值时5k，此时直线l的方程为510xy.18．（本小题满分12分）【解析】（1）以C为坐标原点，1,,CCCBCA所在直线分别为zyx,,轴建立空间直角坐标系，则1111(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(0,2,2),(0,0,2),(1,0,2),(,1,0)2CABBCAM，（2分）所以11(1,2,2),(1,0,2)ABCA，学&科网所以11(1,2,2)(1,0,2)5cos,595ABCA，即异面直线11,ABCA所成角的余弦值为55.（4分）（2）设点N的坐标为(1,0,)z,则1(0,2,2),(1,2,)CBBNz，∴1(0,2,2)(1,2,)420,CBBNzz即2z，（6分）∴当2AN，即点N与点1A重合时，1CB⊥BN.（8分）（3）设平面1MCB的一个法向量为(,,1)xyn，1(,1,0)2CM，1(0,2,2)CB，理科数学第6页（共9页）则11020210220CMxxyyCBynn，∴(21,1),n，（10分）易知平面MCB的一个法向量为1(0,0,2)CC，∵1226cos,62112CCn.∴二面角BCMB1的余弦值为66.（12分）12155320CC305(=2)==C22838P，03155320CC21(=3)==C228114P，（6分）0123P9122835765381114所以9110530257=0+1+2+3=22822822822876E.（8分）（2）列联表如下：不是“A类”调查对象是“A类”调查对象总计男51520女15520总计202040理科数学第7页（共9页）所以2240(551515)=10>6.63520202020K，（10分）所以有99％的把握认为是否是“A类”调查对象与性别有关.（12分）（2）假设存在符合条件的直线l，由已知得l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为)2(xky，（5分）联立方程得：22(2)24ykxxy，消去y并整理得：2222(12)42440kxkxk，由题意知0恒成立，设112212(,)(,),0,0MxyNxyxx,，则222122212144,2124kkxxkkxx，（8分）学&科网由1140||||||QMQNQF得：||||4||||QFQFQMQN，作yMM1轴，垂足为1M，yNN1轴，垂足为1N，所以12111212()||||||||4||||||||cxxQFQFOFOFccQMQNMMNNxxxx，（10分）所以212122xxxx，即2,221)44(22212422222kkkkkk，故存在符合条件的直线l，且直线l的方程为2(2)yx或2(2)yx，即直线l的方程为22yx或22yx.（12分）理科数学第8页（共9页）（2）当2a时，函数1()()gxfxx2111ln1ln,xxxxx定义域为(0,)，22111()xgxxxx，（5分）()0(0,1),()0(1,)gxxgxx，()gx的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,).∴函数()gx在x=1处取得极大值，也即最大值，即max()(1)0gxg；函数()gx无最小值.（8分）学科&网（3）由（2）可得2a时，()gx11ln,xx且1()1lngxxx在1x处取得最大值0，即11()1ln0ln1gxxxxx,，即11lnxxx，（10分）令*()1nxnnN，则01x，所以2n时，111lnln(1)lnnnnnnn，所以1lnln(1)ln2[ln(1)ln][lnln(1)](ln3ln2)2nnnnnn1111234n.（12分）22．（本小题满分10分）选修4−4：坐标系与参数方程【解析】（1）消去直线l参数方程中的t，得4xy，由cos,sinxy，得直线l的极坐标方程为cossin4，故4cossin．（2分）由点Q在OP的延长线上，且||3||PQOP，得||4||OQOP，设(,)Q，则(,)4P，理科数学第9页（共9页）由点P是曲线1C上的动点，可得2cos4，即8cos，所以2C的极坐标方程为8cos．（5分）（2）因为直线l及曲线2C的极坐标方程分别为4cossin，8cos，所以4||cossinOM，||8cosON，（7分）所以||π2cos(cossin)1cos2sin212sin(2)||4ONOM，所以当π8时，||||ONOM取得最大值，为21．（10分）（2）依题意，|3|||1xmx，故|3|||1xmx（*），（6分）显然0m时，（*）式不恒成立，（7分）当0m时，在同一直角坐标系中分别作出|3|,||1yxymx的图象如下图所示，（8分）观察可知，13m，即实数m的取值范围为1(,]3.（10分）