第六章_假设检验 6.2 一个正态总体的统计假设检验

第六章_假设检验 6.1假设检验的基本概念 6.2一个正态总体的统计假设检验 6.3用Excel作假设检验 6.4上机实验五用Excel进行假设检验【实例描述】 随便掷一枚一元的硬币，假设硬币是均匀的，你觉得正面朝上的概率是多大？然后自己动手做做实验看看，实践和理论是否总是一致的？ 法国自然主义者布方伯爵做过类似的实验：他共掷了4040次铜板，得到了2048次正面，可以算出正面朝上样本的比例是：。结果比我们通常所认为的“一半”稍多了点。难道铜板正反面出现的概率不是的吗？问题出现在哪？6.1假设检验的基本概念 6.1.1假设 6.1.2假设检验6.1.1假设 1．什么是假设 假设是对总体参数的具体数值所作的陈述，如：“我认为这种新药的疗效比原有的药物更有效”。总体参数可以是总体均值、比例、方差等，在对总体参数分析之前必需先陈述。6.1.1假设 2．提出假设 研究者想收集证据予以反对的假设称为原假设（或0假设），一般有符号,或，用H0示，如原假设H0：μ=50。 研究者想收集证据予以支持的假设称为备择假设，总有符号,或，用H1表示，如备择假设H1：μ<50或μ>50。 又如引例中，研究者想收集证据以证明“投掷硬币正面朝上的概率不是“”，建立的原假设和备择假设为H0：，H1：。6.1.1假设 例6-1：一家研究机构估计，某城市中家庭拥有汽车的比例超过30%。为验证这一估计是否正确，该研究机构随机抽取了一个样本进行检验。试陈述用于检验的原假设与备择假设。 解：研究者想收集证据予以支持的假设是“该城市中家庭拥有汽车的比例超过30%”。建立的原假设和备择假设为： H0：30%，H1：30%6.1.1假设 注意： （1）原假设和备择假设是一个完备事件组，而且相互对立。在一项假设检验中，原假设和备择假设必有一个成立，而且只有一个成立。 （2）先确定备择假设，再确定原假设。 （3）等号“=”总是放在原假设上。 （4）因研究目的不同，对同一问题可能提出不同的假设(也可能得出不同的结论)。6.1.2假设检验 假设检验又叫显著性检验，是统计推断的另一个重要内容。假设检验是先对总体的参数(或分布形式)提出某种假设，然后利用样本信息判断假设是否成立的一种统计。它是在对总体的数量特征和变动规律做出一定假设的基础上，运用观察到的样本实际资料和一定的数理程序，对事先所作的假设给出是否合理可信的判断，从而决定接受或拒绝这个假设。 如：对某地人口的平均年龄作调查，提出假设：“我认为人口的平均年龄是50岁”，经过随机抽样调查得样本的平均年龄是20岁，然后作出判断：“人口平均年龄不是50岁”。6.1.2假设检验 1.假设检验的基本思想 小概率原理：小概率事件在一次试验中是几乎不可能发生的，假若在一次试验中小概率事件事实上发生了，那只能认为事件不是来自我们假设的总体，也就是认为我们对总体所做的假设不正确。 在许多实际问题中，总体分布的类型已知，仅其中一个或几个参数未知，只要对一个或几个未知参数做出假设，就可以确定总体的分布，这种只涉及总体分布的未知参数的假设检验称为参数检验。6.1.2假设检验 例：对某地人口的平均年龄作调查，根据上一次调查的数据显示，该地区人口的平均年龄是50岁，并服从正态分布（50，52）。经过随机抽样调查100个对象得样本的平均年龄是20岁，判断该地区平均年龄是否还是50岁？6.1.2假设检验 首先，根据上一次调查的数据该地区人口平均年龄是50岁，于是假设：该地区平均年龄还是50岁，即H0：µ=50。如果原假设成立，则x~N（50，52），从而由单个总体的抽样分布的结论可知：，统计量。6.1.2假设检验 对于给定的置信水平1-α，服从正态分布的统计量z落在区域外的概率是α，这是一个小概率。这也就是说，如果原假设H0：µ=50成立，那么由抽出的样本观测值计算出的统计量z的观测值|z0|大于|zα/2|的可能性非常小，而它又在一次抽样中发生了，这是不合理的。产生这种不合理的根源在于假设的H0：u=50不合理，因此只有拒绝原假设，别无他法。6.1.2假设检验 假设检验的基本原理：首先对所研究的命题提出一种假设——无显著性的假设，并假定这一假设成立，然后由此导出其必然的结果。如果能证明这种结果出现的可能性很小，那么我们就有理由认为原假设是错误的，从而拒绝接受这个假设。否则，我们就认为原假设是可能的，从而予以接受。 假设检验的原理实质上是考察事件发生的可能性问题，其理论依据是“小概率原理”，即小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的判断原理。6.1.2假设检验 2．假设检验中的两类错误 假设检验就好像一场审判过程。在作出拒绝或不能拒绝原假设的决策时，我们是基于样本信息来判断的，而由于样本的随机性，就使我们有可能会犯错误。原假设嫌疑人是无罪的，在陪审团审判后可能有两种结果：有罪或无罪。审判结果与实际情况的可能结果如下两张表中所示。 H0:无罪 陪审团审判 裁决 实际情况 无罪 有罪 无罪 正确 错误 有罪 错误 正确 H0检验 决策 实际情况 H0为真 H0为假 未拒绝H0 正确决策(1–a) 第Ⅱ类错误() 拒绝H0 第Ⅰ类错误(a) 正确决策(1-)6.1.2假设检验 陪审团审判裁决实际情况无罪有罪无罪正确错误有罪错误正确H0检验决策实际情况H0为真H0为假未拒绝H0正确决策(1–a)第Ⅱ类错误()拒绝H0第Ⅰ类错误(a)正确决策(1-) 陪审团的裁决有可能是错误的，一类错误是嫌疑人确实无罪，但审判结果却是有罪；还有一类错误是嫌疑人有罪，但审判结果是他无罪。 同陪审团审判一样，假设检验也存在这两类错误。 第Ⅰ类错误是原假设为真时拒绝原假设，叫做弃真错误，第Ⅰ类错误发生的概率记为；第Ⅱ类错误是原假设为假时未拒绝原假设，也叫取伪错误，第Ⅱ类错误发生的概率记为。见表5-1。6.1.2假设检验 和的关系就像翘翘板，小就大，大就小，但是在假设检验的过程中不能同时减少两类错误。如果要避免其中的任何—种错误，都会使犯另一类错误的机会增加。表5-1假设检验的两种错误类型6.1.2假设检验 3．假设检验的基本步骤 （1）构造假设（原假设、备择假设）。 （2）确定检验的统计量及其分布（正态分布、t分布）。 （3）确定显著性水平（α）。 （4）确定决策规则（找出接受域、拒绝域；有临界值法和P值法）。 （5）判断决策（接受或不接受）。 如果检验统计量的值落于拒绝域，则我们有理由不接受原假设，反之，则不拒绝接受原假设。6.2一个正态总体的统计假设检验 6.2.1构造检验统计量 6.2.2总体标准差已知条件下的均值检验 6.2.3总体标准差未知条件下大样本的均值检验 6.2.4总体标准差未知条件下小样本的均值检验6.2.1构造检验统计量 设总体X服从正态分布，方差已知，可以通过构造一个服从正态分布的统计量z来进行关于均值μ的假设检验。 设是来自正态总体X的一个简单随机样本，样本均值为，根据单个总体的抽样分布结论，选用统计量。6.2.1构造检验统计量 如果给定一个常数μ0，根据不同的问题可以做出不同的假设。 （1）μ是否等于μ0， 假设：（双侧检验）。 （2）μ是否不大于μ0， 假设：（右侧检验），它与模型有相同的拒绝域。 （3）μ是否不小于μ0， 假设：（左侧检验），它与模型有相同的拒绝域。6.2.1构造检验统计量 当H0成立时，~N（0，1）。 对于假设（1），当时，拒绝H0，否则不拒绝H0；其拒绝域是{}，如图5-1所示阴影部分。6.2.1构造检验统计量 对于假设（2），当时，拒绝H0，否则不拒绝H0；其拒绝域是{}，如图5-2所示阴影部分。6.2.1构造检验统计量 对于假设（3），当时，拒绝H0，否则不拒绝H0；其拒绝域是{}，如图5-3所示阴影部分。6.2.1构造检验统计量 在一个正态总体均值的检验中，用到的统计量有z统计量，t统计量。但在假设检验时选用什么统计量进行检验，需要考虑样本量的大小，总体的标准差σ是否已知。 采用双侧检验还是采用单侧检验（以及左侧还是右单尾），取决于备择假设的形式。见表5-2.表5-2拒绝域的单、双侧与备择假设之间的对应关系6.2.2总体标准差已知条件下的均值检验 例6-2：某电子元器件生产厂对一批产品进行检测，根据该产品生产质量标准，其使用寿命不低于2000小时。根据以往经验，该电子元器件的使用寿命服从正态分别，标准差为100小时。质量部从该批产品中随机抽取了120个产品进行检测，测得样本均值为1960小时，在α=0.01的显著性水平下检验该批电子元器件的质量是否符合要求。6.2.2总体标准差已知条件下的均值检验 解：由题可知总体服从正态分布，样本均值，样本容量。 这是一个单侧检验的问题。 （1）建立原假设，备择假设， （2）构造统计量， （3）查表得，因为,统计量Z值落在拒绝域内，不能接受原假设。所以，我们有理由认为该批电子元器件的质量不符合质量标准。6.2.3总体标准差未知条件下大样本的均值检验 在大样本条件下，如果总体为正态分布，样本统计量服从正态分布；如果总体为非正态分布，样本统计量近似服从正态分布。所以，在正态总体的标准差未知，大样本条件下，我们可以用样本标准差ѕ代替标准差σ。 构造统计量， 原假设， 备选假设 （1）（检验总体均值与µ0是否有显著差异）， （2）（若已知µ不可能小于µ0，检验总体均值是否显著变大）， （3）（若已知µ不可能大于µ0，检验总体均值是否显著变小），6.2.3总体标准差未知条件下大样本的均值检验 对于给定α的显著性水平，其拒绝域：6.2.3总体标准差未知条件下大样本的均值检验 例6-3：某医学科研机构对从事某作业男性工人进行了研究，测量了80名从事该作业男性工人的血红蛋白含量，算得其均数为130．83g/L，标准差为25．74g/L。已知成年男性血红蛋白含量服从正态分布，问：在α=0.05的显著性水平下检验从事该作业男性工人血红蛋白含量是否不同于正常成年男性平均值140g/L。 解：由题可知总体服从正态分布，σ未知，大样本，µ0=140g/L，样本均值x=130．83g/L，样本标准差s=25．74g/L，样本容量n=80。 这是一个双侧检验的问题。 （1）建立原假设H0:µ=140g/L，备择假设H1：µ≠140g/L， （2）构造统计量=， （3）查表得Z0.05/2=1.96，因为>Z0.05/2=1.96,统计量Z值落在拒绝域内，不能接受原假设。所以，我们有理由认为该作业的男性工人的血红蛋白含量与正常成年男性的血红蛋白含量有显著差异。6.2.3总体标准差未知条件下大样本的均值检验6.2.4总体标准差σ未知条件下小样本的均值检验 当总体服从正态分布且σ2未知，且在小样本的条件下，则需用样本方差代替σ2，样本统计量服从t分布， 原假设 备选假设 （1）（检验总体均值与µ0是否有显著差异） （2）（若已知µ不可能小于µ0，检验总体均值是否显著变大） （3）（若已知µ不可能大于µ0，检验总体均值是否显著变小） 对于给定α的显著性水平，其拒绝域： （1），:; （2）,:; （3）,:;6.2.4总体标准差未知条件下小样本的均值检验6.2.5总体方差的假设检验 检验方差的基本思想是：利用样本方差建立一个统计量，并为这个总体方差的统计量构造一个置信区间。这个置信区间包括总体方差的概率是1-α，显著性水平是α。在确定α的水平下，统计量有固定的拒绝区域，在单侧检验中，拒绝域分布在统计量的分布曲线的一边；在双侧检验中，拒绝域分布在统计量的分布曲线的两边。如果检验统计量大于或等于临界值而落入拒绝域，或P值小于显著性水平而落入拒绝域，便拒绝原假设；反之，则接受原假设。6.2.5总体方差的假设检验 方差检验的基本步骤如下： （1）提出原假设H0和备择假设H1，H0：；H1：。 （2）构造检验统计量，在H0成立的条件下，统计量服从自由度为n-1的分布。6.2.5总体方差的假设检验 （3）确定显著性水平。 （4）规定决策规则。 在双侧检验的情况下，拒绝域在两侧，如果检验统计量大于右侧临界值，或小于左侧临界值，则拒绝原假设。若是单侧检验，拒绝区域分布在一侧，具体左侧还是右侧根据备择假设H1的情况而定。 （5）进行判断决策。6.2.5总体方差的假设检验 例6-5：灌装机是用来包装如牛奶、软饮料、油漆等各种液体的机器。一家公司新开发的一种灌装机，号称能连续稳定地灌装1000毫升的容器，灌装量的方差低于1。为了检验该说法的准确性，随机抽取了25灌1000毫升灌装作为一个样本（如下），通过这些数据能否在5%的显著性水平下证明该说法是正确的？6.3用Excel作假设检验 6.3.1用Excel进行一个正态总体的均值检验 6.3.2用Excel进行方差检验6.3.1用Excel进行一个正态总体的均值检验 例6-9：根据例6-2中的资料，利用Excel检验在显著性水平的条件下该批电子元器件的质量是否符合要求。 已知总体服从正态分布，，，样本均值，样本容量。 （1）建立“产品质量均值检验”工作表，如图5-4所示。6.3.1用Excel进行一个正态总体的均值检验 （2）在单元格B6中输入“=ABS(NORMSINV(B5))”，回车后显示2.326348，为临界值z。 （3）在单元格B7中输入公式“=(B4-B1)/(B2/SQRT(B3))”，回车后显示-4.38178，为检验统计量。 （4）在单元格B8中输入公式“=IF(B7<-B6,"拒绝","接受")”，回车后显示“拒绝”，如图5-5所示。6.3.1用Excel进行一个正态总体的均值检验 例6-10：根据例6-3中的资料，利用Excel检验在α=0.05的显著性水平下从事该作业男性工人血红蛋白含量是否不同于正常成年男性平均值140g/L。 解:已知总体服从正态分布，未知，大样本，，样本均值，样本标准差样本容量。6.3.1用Excel进行一个正态总体的均值检验 （1）建立“双侧检验”工作表，如图5-6所示。图5-6“双侧检验”工作表6.3.1用Excel进行一个正态总体的均值检验 （3）在单元格B7中输入公式“=(B4-B1)/(B2/SQRT(B3))”，回车后显示-3.18644，为检验统计量。 （4）在单元格B8中输入公式“=IF(ABS(B7)>B6,"拒绝","接受")”，回车后显示“拒绝”，如图5-7所示。 （2）在单元格B6中输入公式“=ABS(NORMSINV(B5/2))”，回车后显示1.959964，为临界值z。6.3.1用Excel进行一个正态总体的均值检验 例6-11：根据例6-4中资料，利用Excel检验在显著性水平的条件下新技术采用前与采用后生产的显像管的平均寿命是否有显著差异。 解：已知总体服从正态分布，未知，小样本，，样本均值，样本标准差s=1300，样本容量n=20。6.3.1用Excel进行一个正态总体的均值检验 （1）建立“t检验”工作表，如图5-8所示。 （2）在单元格B6中输入公式“=ABS(TINV(B5/2,19))”，回车后显示2.43344，为t临界值。 （3）在单元格B7中输入公式“=(B4-B1)/(B2/SQRT(B3))”，回车后显示6.364193，为检验统计量。 （4）在单元格B8中输入公式“=IF(ABS(B7)>B6,"拒绝","接受")”，回车后显示“拒绝”，如图5-9所示。6.3.2用Excel进行方差检验 例6-12：某厂生产的某种电池，其寿命长期以来服从方差=5000（小时）的正态分布。今有一批这种电池，随即抽取26个进行测试，测得其寿命的样本方差为=6500（小时）。试问，在检验水平下这批电池寿命的波动性较以往是否有显著变化？6.3.2用Excel进行方差检验 根据题意，已知总体方差=5000，样本方差S2=6500，样本容量n=26，为小样本。构造原假设H0：σ2=5000，备择假设H1：σ2≠5000，这是一个双侧检验问题，选择作为检验统计量。6.3.2用Excel进行方差检验 （1）建立“总体方差检验”工作表，如图5-10所示。图5-10“总体方差检验”工作表 （2）在单元格B5中输入公式“=CHIINV(B4/2,B3-1)”，回车后显示40.64647，为临界值。6.3.2用Excel进行方差检验 （3）在单元格B6中输入公式“=(B3-1)*B2/B1”，回车后显示32.5，为检验统计量。 （4）在单元格B7中输入公式“=IF(B6<ABS(B5),"不拒绝","拒绝")”，回车后显示“不拒绝”。表明在显著性水平0.05的条件下，不能证明这种电池寿命的方差不是5000小时。计算结果如图5-11所示。6.4上机实验五用Excel进行假设检验 一、实验目的及要求 1．理解假设检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，会根据需要正确建立原假设与备择假设。 2．掌握用Excel进行假设检验的基本方法，会用Excel正确进行假设检验，并做出判断。 3．会利用Excel数据分析工具进行假设检验，并能做出正确的判断。6.4上机实验五用Excel进行假设检验 二、实验内容 （一）某高中校在今年高三学生参加高考之前，对学生进行了2次模拟考试。根据模拟考试成绩显示，该校10个高三班的平均成绩如下：（1）试分析两次模拟考试成绩有无显著性差异？显著性水平0.05。（2）若已知上一年高考的平均成绩为475分，标准差为20分，这两次模拟考试成绩是否与上年的高考成绩有显著性差异？=0.05。（3）假设方差不变，今年学生成绩是否比上一年提高？ 班级 模拟1 模拟2 1 458 462 2 469 471 3 472 475 4 461 451 5 485 475 6 502 498 7 482 492 8 473 467 9 463 472 10 471 4686.4上机实验五用Excel进行假设检验 （二）某车间生产钢丝,用表示钢丝的折断力,由经验判断,其中,今换了一批材料,从性能上看,估计折断力的方差不会有什么变化(即仍有),但不知折断力的均值和原先有无差别.现抽得样本,测得其折断力为：578572570568572570570572596584取试检验折断力均值有无变化?6.4上机实验五用Excel进行假设检验 （三）从一批零件中任取100件,测其直径,得平均直径为5.2,标准差为1.6.在显著性水平下,判定这批零件的直径是否符合5的标准。 （四）某地某年高考后随机抽得15名男生、12名女生的物理考试成绩如下: 男生:494847535143395756464244554440 女生:464047514336433848544834 从这27名学生的成绩能说明这个地区男女生的物理考试成绩不相上下吗?(显著性水平)【小结】 本章介绍了假设检验的基本思想和基本步骤；总体标准差已知条件下的均值检验；总体标准差未知条件下大样本的均值检验；总体标准差未知条件下小样本的均值检验；总体方差的假设检验；两个独立总体方差已知，两个独立总体均值之差的检验；两个独立总体方差未知，两个独立总体均值之差的检验；两个独立总体方差未知且不相等，两个独立总体均值之差的检验；两个独立总体直接的方差检验。【思考与练习题】 1.设某厂生产一种灯管,其寿命ξ服从正态分布.N(μ;40000),从过去较长一段时间的生产情况来看,灯管的平均寿命为μ=1500小时.现在采用新工艺后,在所生产的灯管中抽取25只,测得平均寿命为1675小时.问采用新工艺后,灯管寿命是否是显著提高? 2.每盒所装的麦片平均数是否超过368克?随机抽取25盒为样本，均值为X=372.5。公司确定在α=0.05，标准差为σ=15克的条件下进行检验。