大学数学 不定积分必做习题

高等数学学习指导书第四章不定积分63第四章不定积分17世纪最伟大的成就之一就是微积分的创立。数学和科学中的巨大发展，几乎总是建立在几百年中作出一点一滴贡献的许多人的工作之上的。需要有一两个人来走那最高和最后的一步。这一两个人要能够敏锐地从纷乱的猜测和说明中清理出前人的有价值的想法，有足够想象力地把这些碎片重新组织起来，并且足够大胆地制定一个宏伟的计划。就微积分的创立而言，这一两个人就是Newton(牛顿1642-1727)和Leibniz（莱布尼兹1646-1716）Newton和Leibniz平分的对微积分的极端重要的贡献之一是把面积、体积与其他以前作为和来处理的问题归并到反微分，即我们现在所说的积分。因此，在17世纪促使微积分产生的四个主要科学问题—速率、切线、最值、求值—全部归结为微分和反微分（积分）。Newton利用导数与它的逆解决了微积分的诸多问题。Leibniz第一次表达出求和与微分之间的关系：作为求和的过程的积分是微分的逆。在他的手稿中第一次采用了积分号“∫”。记号“∫”是“sum”（和）的第一个字母s的拉长。不定积分是求导的逆，是讨论给定一个函数，如何寻求一些可导函数，使它们的导数等于所给定函数。这是积分学的基本问题之一。一、内容提要1、原函数如果在某区间I上可导函数()Fx的导函数为()fx，即对每一个xI∈，都有()()Fxfx′=或()()dFxfxdx=，则称函数()Fx为函数()fx在该区间I上的一个原函数。2222、原函数存在的条件（1）连续函数一定有原函数。（2）初等函数在其定义区间内都有原函数。（3）若()fx在I上有原函数，则必有无数个原函数。（4）任意两个原函数间只相差一个常数。高等数学学习指导书第四章不定积分64（5）若()Fx是()fx在区间I上的一个原函数，则()fx在区间I上的全体原函数记为()FxC+（C为任意常数）3、不定积分：在区间I上，()fx的所有原函数称为函数()fx在区间I上的不定积分，记为()()fxdxFxC=+∫，其中C为任意常数。4444、不定积分与微分的关系：先积后微，形式不变；先微后积，相差一个常数。即（1）[()]()fxdxfx′=∫或()()dfxfxdx′=；（2）()()FxdxFxC′=+∫或()()dFxdxFxC=+∫5555、不定积分的性质（1）两个函数和（差）的不定积分等于这两个函数的不定积分的和（差），即[()()]()()fxgxdxfxdxgxdx±=±∫∫∫（2）求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子可以提到积分符号外面，即()()kfxdxkfxdx=∫∫（k为常数，0k≠）6666、基本积分公式（1）0dxC=∫（2）kdxkxC=+∫（k为常数）（3）11(1)1xdxxCµµµµ+=+≠−+∫（4）1lndxxCx=+∫（5）lnxxaadxCa=+∫（6）xxedxeC=+∫（7）cossinxdxxC=+∫（8）sincosxdxxC=−+∫（9）221sectancosdxxdxxCx==+∫∫（10）221csccotsindxxdxxCx==−+∫∫（11）sectansecxxdxxC=+∫（12）csccotcscxxdxxC⋅=−+∫（13）21arctan1dxxCx=++∫（14）21arcsin1dxxCx=+−∫7777、求不定积分的基本方法（1）直接法：直接利用不定积分的性质，基本积分公式求积分，或者对被积函数作恒等变高等数学学习指导书第四章不定积分65形后再利用不定积分的性质和基本积分公式求不定积分的方法。（2）第一类换元法（凑微分法）设法将被积函数()fx凑成()[()]()fxgxxϕϕ′=，且[()]gxϕ的原函数容易求出，则()[()]()[()][()][()]fxdxgxxdxgxdxGxCϕϕϕϕϕ′===+∫∫∫，其中：[()][()]Gxgxϕϕ′=。常用的凑微分公式有：1()()()(0)faxbdxfaxbdaxbaa+=++≠∫∫11()()()(0)nnnnfaxbxdxfaxbdaxbaan−+⋅=++≠⋅∫∫（0n≠）21111()()()fdxfdxxxx⋅=−∫∫1()()2()()fxdxfxdxx⋅=∫∫1(ln)(ln)(ln)fxdxfxdxx⋅=∫∫1()()()(0)axaxaxaxfeedxfedeaa⋅=≠∫∫(sin)cos(sin)(sin)fxxdxfxdx⋅=∫∫(cos)sin(cos)(cos)fxxdxfxdx⋅=−∫∫21(tan)(tan)(tan)cosfxdxfxdxx⋅=∫∫21(cot)(cot)(cot)sinfxdxfxdxx⋅=−∫∫21(arcsin)(arcsin)(arcsin)1fxdxfxdxx⋅=−∫∫21(arccos)(arccos)(arccos)1fxdxfxdxx⋅=−−∫∫21(arctan)(arctan)(arctan)1fxdxfxdxx⋅=+∫∫()1(())ln()()()fxdxdfxfxCfxfx′==+∫∫高等数学学习指导书第四章不定积分66（3）第二类换元法先对积分变量进行换元，简化被积函数的形式，再求积分。1()()1()[()]()[()]()()[()]xttxfxdxftdtfttdtFtCFxCϕϕϕϕϕϕϕ−==−′======+====+∫∫∫其中()xtϕ=及()tϕ′都连续且()0tϕ′≠。常用的几种变量代换有：ⅰ）被积函数含有根式naxb+，令ntaxb=+ⅱ）被积函数含有根式22ax−，令sin()22xattππ=−<<或cos(0)xattπ=<<ⅲ）被积函数含有根式22ax+，令tan()22xattππ=−<<ⅳ）被积函数含有根式22xa−，令sec(0)2xattπ=<<（4）分部积分法分部积分公式：()()()()()()uxdvxuxvxvxdux=−∫∫，简记为udvuvvdu=−∫∫常用的分部积分类型有：ⅰ）被积函数是幂函数与正（余）弦函数（或指数函数）的乘积，将幂函数选为()ux，使用分部积分法可以降低幂函数的次数。（被积函数形如sin,cos,,nnnaxxaxxaxxe此时常选()nuxx=）ⅱ）被积函数是幂函数与对数函数（或反三角函数）的乘积，将对数函数（或反三角函数）选为()ux，使用分部积分可以在求积分的过程中去掉对数函数（或反三角函数）部分。（被积函数形如ln,arcsin,arctannnnxaxxxxx等，常将ln,arcsin,arctanaxxx选为()ux）。高等数学学习指导书第四章不定积分67ⅲ）被积函数是以e为底的指数函数与正（余）弦函数的乘积。()ux的选取可随意，使用若干次分部积分后，等式右边出现所求积分。此时只需解出所求积分即可。（被积函数形如：sin,cosaxaxebxebx，()ux选取随意）。8888、简单有理函数的积分将有理函数化成多项式与真分式之和，再把真分式部分利用待定系数法分解成若干个最简真分式的代数和。最简真分式只有如下四种：2211,,,()()nnMxNMxNxaxaxpxqxpxq++−−++++2(2,3,;40)npq=−<L二、课程基本要求基本要求1、理解原函数与不定积分的概念；2、掌握不定积分的性质；3、熟练运用不定积分的性质及基本积分公式求不定积分；4、灵活运用第一类换元法（凑微分法）、第二类换元法、分部积分法求不定积分；5、会计算简单有理函数的不定积分。重点与难点不定积分的计算既是本章的重点也是难点。掌握不定积分的性质，熟记基本积分公式，能熟练运用直接法计算不定积分是基础。把握被积函数的特点，灵活选用适当的积分方法是学好这一章的关键。要熟记常见被积函数类型及其采用的积分方法，也要有一定量的习题练习积累，熟能生巧。三、典型例题分析例1111231(2sin3)1xxdxxx−+−+∫分析：直接利用不定积分的性质及基本积分公式即可求高等数学学习指导书第四章不定积分68解：231(2sin3)1xxdxxx−+−+∫12212sin33132cos6arctanln3xxxdxxdxdxdxxxxxC−=−+−+=−−+−+∫∫∫∫例22223()(1)xxxdxx−+∫分析：分子去括号展开合并，再拆项就可以用直接法解。解：3()(1)xxxdxx−+∫716631376666137xxxdxxdxxdxxxxC−==−=−+∫∫∫例333322cos2cossinxdxxx∫分析：22cos2cossinxxx=−，再拆项就可用直接法解解：22cos2cossinxdxxx∫222222cossin11cottancossinsincosxxdxdxdxxxCxxxx−==−=−−+∫∫∫例44444221(1)xdxx−+∫分析：先代数恒等变形，再分子加、减同一项就可用直接法解。解：4221(1)xdxx−+∫高等数学学习指导书第四章不定积分69222222222(1)(1)1(1)11212112arctanxxxdxdxxxxdxdxdxxxxxC−+−==+++−==−++=−+∫∫∫∫∫说明：以上四例都是用直接法求解，例2，例3解法中的分项、拆项方法和例4解法中的加、减同一项的方法是不定积分的常用方法。例55558132dxx−∫分析：被积函数18(32)x−−属常用凑微分法中的()faxb+形式，可将dx凑成1(32)2dx−−解：17888114(32)(32)(32)2732dxxdxxCx−=−−−=−−+−∫∫例6666342xxdx−∫分析：被积函数342xx⋅−属常用凑成微分法中的1()nnxfaxb−+的形式。，可将3xdx凑成41(2)4dx−−。解：342xxdx−∫134442211(2)(2)(2)46xdxxC=−−−=−−+∫例777723cosxdxx∫分析：被积函数213cosxx⋅属常用凑微分法中211()fxx的形式，可将21dxx凑成13()3dx−。解：23cos13313cos()sin33xdxdCxxxx=−=−+∫∫例88884xedxx∫高等数学学习指导书第四章不定积分70分析：被积函数41xex⋅属常用凑微分中1()fxx的形式，可将1dxx凑成1(4)2dx。解：44411(4)22xxxedxedxeCx==+∫∫例99991(12ln)dxxx−∫分析：被积函数1(12ln)xx−属常用凑微分法中1(ln)fxx⋅的形式，可将1dxx凑成1(12ln)2dx−−。解：1111(12ln)ln12ln(12ln)212ln2dxdxxCxxx=−−=−−+−−∫∫例10101010sin(4)xxeedx+∫分析：被积函数sin(4)xxee+属常用凑微分法中()xxefe的形式，可将xedx凑成(4)xde+解：sin(4)sin(4)(4)cos(4)xxxxxeedxedeeC+=++=−++∫∫例1111111125cossinxxdx∫分析：被积函数2524222cossincossinsincos(1cos)sinxxxxxxxx==−246(cos2coscos)sinxxxx=−+，属常用凑微分中sin(cos)xfx⋅形式，可将sinxdx凑成(cos)dx−。解：25222cossincos(1cos)sinxxdxxxxdx=−∫∫246357(cos2coscos)(cos)121coscoscos357xxxdxxxxC=−−+=−+−+∫例1212121243sincosxxdx∫高等数学学习指导书第四章不定积分71分析：被积函数434242sincossincoscossin(1sin)cosxxxxxxxx=⋅⋅=⋅−⋅46(sinsin)cosxxx=−属常用凑微分法中cos(sin)xfx形式，可将cosxdx凑成(sin)dx。解：43sincosxxdx=∫4246sin(1sin)cos(sinsin)(sin)xxxdxxxdx⋅−⋅=−⋅∫∫5711sinsin57xxC=−+例131313136secxdx∫分析：被积函数642222242secsecsec(1tan)sec(12tantan)secxxxxxxxx=⋅=+=++属常用凑微分中2sec(tan)xfx⋅形式，可将2secxdx凑成(tan)dx解：6242sec(12tantan)secxdxxxxdx=++∫∫2435(12tantan)(tan)21tantantan35xxdxxxxC=++=+++∫例1414141453tansecxxdx⋅∫分析：被积函数5342tansectansectansecxxxxxx⋅=⋅⋅⋅222(sec1)sectansecxxxx=−⋅⋅⋅642(sec2secsec)tansecxxxxx=−+⋅属常用凑微分法中tansec(sec)xxfx⋅形式，可将tansecxxdx⋅凑成(sec)dx。解：5342tansectansectansecxxdxxxxxdx⋅=⋅⋅⋅∫∫642753(sec2secsec)(sec)121secsecsec753xxxdxxxxC=−+=−++∫例1515151521arcsin1dxxx⋅−∫分析：被积函数21arcsin1xx⋅−属常用凑微分法中21(arcsin)1fxx−形式，可将高等数学学习指导书第四章不定积分72211dxx−凑成(arcsin)dx。解：211(arcsin)lnarcsinarcsinarcsin1dxdxxCxxx==+⋅−∫∫例161616162arctan1xxdxx−+∫分析：被积函数222arctanarctan111xxxxxxx−=−+++前项属常用凑成微分法中1()nnxfaxb−+形式，后项属常用凑微分法中21(arctan)1fxx+形式，则前项可将xdx凑成21(1)2dx+，后项可将211dxx+凑成(arctan)dx形式。解：222arctanarctan()111xxxxdxdxxxx−=−+++∫∫2222arctan11(1)arctan(arctan)1121xxdxdxdxxdxxxx=−=+−+++∫∫∫∫2211ln(1)(arctan)22xxC=+−+例17171717arctan(1)xdxxx+∫分析：被积函数arctan(1)xxx+中1(arctan)2(1)xxx′=+属常用凑微分法中()()fxfx′的形式，可将1(1)dxxx+凑成2(arctan)dx。解：2arctan2arctan(arctan)(arctan)(1)xdxxdxxCxx==++∫∫说明：从例5~例17各题全部采用第一类换元法（凑微分法）求解。凑微分法是求不定积分最常用的方法。此方法的关键是通过对被积函数特点的分析进行适当的换元。熟记常用的几种凑微分形式对求不定积分是非常有益的。当然，通过一定量的习题练习积累解题经验对掌握凑微分法也是十分重要的。高等数学学习指导书第四章不定积分73例181818183111dxx++∫分析：被积函数含有naxb+形式，可用第二类换元法。设31tx=+解：设31tx=+，则321,3xtdxtdt=−=22321311133(1)11111(1)33()33ln112ttdxdtdttdttttxdttdtdttttCt−+=⋅==−+++++++=−+=−++++∫∫∫∫∫∫∫例1919191931dxxx+∫分析：被积函数含有两个naxb+的形式，且开方数不同，可用第二类换元法。设6tx=（6x是x与3x开方数的最小公倍数）解：设6tx=，则65,6xtdxtdt==6533323222363616116611116(1)6()116326ln16326ln(1)txtttdxdtdtdtttttxxttdtdttdttdtdtttttttCxxxxC=+−===++++=−+−=−+−++=−+−++==−+−++∫∫∫∫∫∫∫∫∫例202020202211dxxx+∫分析：被积函数含根式22ax+，可用第二类换元法。设tanxt=。利用三角公式消去根号，最后利用直角三角形进行三角变量代回。解：设tanxt=，则2secdxtdt=22222222221secseccostansectansincos1cos(sin)11sinsinsintdtttdxdtdtdttttttxxtdtxdtCCtttx===++===−+=−+∫∫∫∫∫∫高等数学学习指导书第四章不定积分74如图的直角三角形，tan,tx=则2sin1xtx=+例2121212129xxdx−∫分析：法一被积函数尽管含22xa−的形式，可用第二类换元法。但此被积函数又属常用凑微分法中1()nnxfaxb−+的形式，则可将xdx凑成21(9),2dx−用凑微分法求解。解：13222222119(9)(9)(9)23xxdxxdxxC−=−−=−+∫∫分析：法二被积函数含22xa−的根式，可用第二类换元法。设3secxt=。解：设3secxt=，3sectandxttdt=⋅2293sec9sec93sectanxxdxttttdt−=−⋅⋅⋅∫∫222327sectan27tan(tan)9tanttdttdttC===+∫∫33sec221(9)3xtxC====−+例222222223322(1)xdxx−∫分析：法一被积函数含22ax−，可用第二类换元法。设sinxt=解：设sinxt=，cosdxtdt=3322(1)xdxx−∫=33232222sinsinsinsincoscoscos(1sin)tttttdtdtdtttt==−∫∫∫2221cos1(cos)(cos)(cos)coscostdtdtdttt−=−=−∫∫∫21cos1221coscos111txtCtxCx=−=++=====+−+−分析：法二用凑微分法332222223322221(1)1[(1)1](1)(1)22(1)(1)xxdxdxxxdxxx−−−==−−−−−−∫∫∫高等数学学习指导书第四章不定积分7513222221[(1)(1)](1)2xxdx−=−−−−∫1122221[2(1)2(1)]2xxC−=−+−+22111xCx=+−+−说明：从例18~例22各题选用了第二类换元法求解。当被积函数含有根式时，一般可用第二类换元法，用适当的变量变换后去根号，应当熟记利用第二类换元法的四种被积函数主要形式及相应的变量代换方法。当然，有时尽管被积函数确含可用第二类换元法的形式，但并非一定要用变量变换求解。因此当被积函数含根式时，需要灵活应用凑微分法和第二类换元法。例23232323计算下列不定积分1、cosxxdx∫分析：被积函数cosxx属coskxax形式，可用分部积分法。选取,ux=cos(sin)xdxdxdv==解：cos(sin)sinsinsincosxxdxxdxxxxdxxxxC==−=++∫∫∫2、(4)sinxxdx−∫分析：被积函数(4)sinsin4sinxxxxx−=−，则原积分可以分成两部分积分，前一部分属sinnxax形式，可用分部积分法，选取,sin(cos)uxxdxdxdv==−=−。后一部分用直接法。解：(4)sinsin4sinxxdxxxdxxdx−=−∫∫∫(cos)4sinxdxxdx=−−∫∫coscos4sinxxxdxxdx=−+−∫∫cossin4cosxxxxC=−+++高等数学学习指导书第四章不定积分763、2xxedx−∫分析：被积函数2xxe−属naxxe形式，可用分部积分法。选取2,()xxuxedxdedv−−==−=−解：222()[2]xxxxxedxxdexeexdx−−−−=−=−−∫∫∫222()22xxxxxxexdexexeedx−−−−−=−−=−−+∫∫222()xxxxxexeede−−−−=−−−∫222xxxxexeeC−−−=−−−+例24242424计算下列不定积分1111、ln(1)xxdx−∫分析：被积函数ln(1)xx−属lnnxax形式，可用分部积分法。选取211ln(1),()22uxxdxdxdv=−==解：222111ln(1)ln(1)()ln(1)[ln(1)]222xxdxxdxxxxdx−=−=−−−∫∫∫2222111111ln(1)ln(1)221221xxxxdxxxdxxx−+=−−=−−−−∫∫2111ln(1)(1)221xxxdxx=−−++−∫22111ln(1)ln1222xxxxxC=−−−−−+2222、2(arcsin)xdx∫分析：被积函数2(arcsin)x属arcsinnxx形式，可用分部积分法。选用2(arcsin),uxdxdv==解：2(arcsin)xdx∫=22(arcsin)(arcsin)xxxdx=−∫22arcsin(arcsin)21xxxxdxx=−−∫22(arcsin)2arcsin(1)xxxdx=+−∫高等数学学习指导书第四章不定积分77222(arcsin)21arcsin21(arcsin)xxxxxdx=+−⋅−−∫22(arcsin)21arcsin2xxxxdx=+−−∫22(arcsin)21arcsin2xxxxxC=+−−+3333、2arctanxxdx∫分析：被积函数属arctannxx形式，可用分部积分法。选用2311arctan,()33uxxdxdxdv===解：2333111arctanarctan()arctan(arctan)333xxdxxdxxxxdx==−∫∫∫3333221111arctanarctan331331xxxxxxdxxxdxxx+−=−=−++∫∫332211111arctan(()arctan3313331xxxxxdxxxxdxdxxx=−−=−+++∫∫∫322111arctanln1366xxxxC=−+++例25252525sin2xexdx−∫分析：被积函数sin2xex−属sinaxebx形式，可用分部积分法，,udv的选取可任意。解：法一选取11,sin2(cos2)22xuexdxdxdv−==−=−111sin2(cos2)cos2cos2()222xxxxexdxedxexxde−−−−=−=−+∫∫∫11cos2cos222xxexexdx−−=−−∫11cos2(sin2)24xxexedx−−=−−∫111cos2sin2sin2()244xxxexexxde−−−=−−+∫111cos2sin2sin2244xxxexexexdx−−−=−−−∫移项：511sin2cos2sin2424xxxexdxexex−−−=−−∫则：sin2xexdx−∫=21cos2sin255xxexexC−−−−+高等数学学习指导书第四章不定积分78法二选取sin2,()xxuxedxdedv−−==−=−sin2sin2sin2(sin2)xxxxexdxxdeexedx−−−−=−=−+∫∫∫sin22cos2sin22cos2()xxxxexexdxexxde−−−−=−+=−−∫∫sin22cos22(cos2)xxxexexedx−−−=−−+∫sin22cos24sin2xxxexexexdx−−−=−−−∫移项：5sin2sin22cos2xxxexdxexex−−−=−−∫则：12sin2sin2cos255xxxexdxexexC−−−=−−+∫说明：被积函数形如sinaxebx或cosaxebx形式，利用分部积分法应注意的是须两次使用分部积分法。第一次选取u和dv可任意。但第二次选取的u和dv必须与第一次是同一类函数。另外，两次分部积分后，等式右边出现原来的不定积分，这时将它移项到左边与原积分合并，除去系数即求得解，同时在等式右边加上一个任意常数C。例262626263xedx∫分析：被积函数含3x，可先用换元法，设323,,3uxxudxudu===则被积函数变为23uue属naxxe形式，可用分部积分法。解：设323,,3uxxudxudu===，则3222233()33()xuuuuedxueduudeueedu===−∫∫∫∫223636()uuuuueeuduueude=−=−∫∫236()uuuueueedu=−−∫2366uuuueueeC=−++33332133366uxxxxxexeeC====−++说明：从例23~例26主要利用的是分部积分法求解。在分析被积函数特点的基础上，正确选取,udv是此法的关键。有时要将换元法和分部积分法结合使用。高等数学学习指导书第四章不定积分79例272727272122dxxx++∫分析：分母是二次质因式，不能分解成两个一次因式的乘积，分子为常数，此类型的有理函数可以对分母通过配方法再用第一类换元法求解。解：222111(1)arctan(1)22(1)1(1)1dxdxdxxCxxxx==+=++++++++∫∫∫例28282828222xdxxx++∫分析：分母为二次质因式，不能分解成两个一次因式的乘积。分子含x的一次因式，而分母的导数2(22)22xxx′++=+也是一次因式。可将分子凑成分母的导数再拆项，前项用凑微分求解，后项用例27的解法。解：22122222222xxdxdxxxxx+−=++++∫∫22122122222xdxdxxxxx+=−++++∫∫222111(22)(1)222(1)1dxxdxxxx=++−+++++∫∫21ln(22)arctan(1)2xxxC=++−++例292929292(1)dxxx+∫分析：分母能分解成一次因式与二次质因式的乘积，可利用待定系统法将原式分解成几个分式之和。22221()(1)1(1)ABxCABxCxAxxxxxx++++=+=+++，则2()1ABxCxA+++=比较对应项系数，得1,1,0ABC==−=故：2211(1)1xxxxx=−++解：22221111()()(1)(1)121dxxdxdxdxxxxxxx=−=−++++∫∫∫∫高等数学学习指导书第四章不定积分8021lnln12xxC=−++例30303030232xdxxx−+∫分析：分母可分解，利用待定系统法分项2()(2)32(1)(2)21(1)(2)xxABABxABxxxxxxxx+−+==+=−+−−−−−−则1(2)0ABAB+=⎧⎨−+=⎩解之：2,1AB==−解：22111()2322121xdxdxdxdxxxxxxx=−=−−+−−−−∫∫∫∫112(2)(1)21dxdxxx=−−−−−∫∫2ln2ln1xxC=−−−+例31313131设2()1fxdxxC=−+∫，求：(ln)fxdxx′∫分析：由已知可得()fx的一个原函数为21x−。故可利用不定积分的定义、性质及凑微分法求解。解：(ln)(ln)(ln)(ln)fxdxfxdxfxCx′′==+∫∫而22()(1)1xfxxCx−′=−+=−，于是有2(ln)ln(ln)1lnfxxdxfxCCxx′−=+=+−∫例32323232设()fx的一个原函数是2xe，求()xfxdx′′∫分析：由已知()fx的一个原函数是2xe，则222222()()2,()(2)24xxxxxfxexefxxeexe′′′====+再对所求不定积分利用分部积分即可求解。解：()(())()()xfxdxxdfxxfxfxdx′′′′′==−∫∫∫高等数学学习指导书第四章不定积分81()()xfxfxC′=−+又222222()()2,()(2)24xxxxxfxexefxxeexe′′′====+所以有2222()()()(24)2xxxxfxdxxfxfxCxexexeC′′′=−+=+−+∫=234xxeC+例33333333设2()lnfxx′=(0)x>，求()fx分析：导函数是对2x求导，所以可以先换元，也可以直接对2x积分。解：法一222()()ln()dfxfxxdx′′==，则22()ln()dfxxdx=两边对2x积分，有22222()()ln()lnlndfxfxxdxxxxdx===−∫∫∫222211lnln2xxxdxxxxCx=−=−+∫则1()ln2fxxxxC=−+法二先换元，再积分2()lnfxx′=，则1()lnln2fxxx′==两边对x积分，有111()lnln22fxdxxdxxxxdxx′==−⋅∫∫∫11ln22xxxC=−+即11()ln22fxxxxC=−+例34343434曲线过点2(,3)e，且在任一点处的切线斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线方程。分析：由导数的几何意义可知，1()fxx′=，则()fx为()fx′的一个原函数。利用不定积分求出()fx′的全体原函数，再由曲线过点2(,3)e确定积分常数C，即可求出曲线方程。解：设所求曲线方程为：()yfx=，则1()fxx′=。而1()()lnfxdxfxdxxCx′===+∫∫高等数学学习指导书第四章不定积分82又曲线过点2(,3)e，代入23ln1eCC=+⇒=。故所求的曲线方程为：ln1yx=+例35353535设物体的运动速度为cos(/)vtms=。当2tπ=时，物体所经过的路程为10sm=，求物体的运动规律。分析：由导数的物理意义可知()()cosvtstt′==，则()st是()st′的一个原函数。利用不定积分求出()st′的全体原函数，再由210tsπ==确定积分常数C。解：设物体的运动规律为：()sst=，则()()cosstvtt′==()cossinsttdttC==+∫又当2tπ=时，10s=。代入10sin2Cπ=+，则9C=。故所求物体运动规律为：()sin9stt=+。四、自测题（A）（一）填空题：1、若()fx的一个原函数是arctanxx+，则()_____________fx=；2、设2(),fxdxxC=+∫则2(1)____________xfxdx⋅−=∫；高等数学学习指导书第四章不定积分833、31_____________dxdxdx+=∫；4、cos()____________xxeedx⋅=∫；5、设(),xfxe−=则(ln)_____________fxdxx′=∫。（二）选择题1、421()2fxdxxxC=−+∫，则()()fx=；A）322xx−B）322xxC−+C）3xx−C）42xx−2、设xe是()fx的一个原函数，则()()xfxdx=∫A）(1)xexC++B）(1)xexC−+C）(1)xexC−+D）(1)xexC−++3、若2()xxfedxeC′=+∫，则()()fx=A）12xeC+B）2xeC+C）323xC+D）443xC+4、若()()fxdxFxC=+∫，则()()xxefedx−−=∫A）()xFeC+B）()xFeC−−+C）()xFeC−+D）()xFeCx−+5、设()fx具有连续的导数，则[()()]()xfxfxdx′⋅+=∫A）()xfxC+B）()xfxC′+C）()xfxC′++D）()xfxC++（三）计算题1、23lnxxedx+∫2、41cosdxx∫3、2arctan1xxdxx++∫4、33()xdxxxx+∫5、3221(4)dxx−∫6、2(1)xxedx−−∫7、ln(1)xxdx−∫8、cos2xxedx−∫9、arctanxdx∫10、228(1)xxdxxx+−−∫（四）应用题1、一曲线通过3(,4)e点且在其上任一点的切线斜率等于该点横坐标的两倍之倒数，求该曲线的方程。高等数学学习指导书第四章不定积分842、一物体由静止开始运动，在t秒末的速度是23mts，问1）在3秒后离开出发点的距离是多少？2）需要多少时间走完360米？自测题（B）（一）填空题1．若()fx的一个原函数是2x，则()______________fxdx′=∫；2．若()()fxdxFxC=+∫，则cos(sin)___________xfxdx⋅=∫；3．[(2)]_________dfxdxdx=∫；4．sin(12)____________xdx−=∫；5．22()()_____________xfxfxdx′⋅⋅=∫。（二）选择题1．设2()xfxe=，则()()2xfdx=∫；（A）2xeC+（B）xeC+（C）22xeC+（D）2xeC+2．若()xfxdxxeC−=+∫，则()()fx=；（A）(1)xxe−−（B）(1)xxe−−（C）xxe−（D）xxe−−3．(ln)1fxx′=+，则()()fx=；（A）1ln(2ln)2x+（B）22xxC++（C）xxeC++（D）22xxee+4．经过点(1,0)且切线斜率为23x的曲线方程为（）；（A）3yx=（B）31yx=+（C）31yx=−（D）3yxC=+6．不定积分21(1)(sin)()sindxx+=∫（A）1sinsinxCx−++（B）1sinsinxCx++（C）cotsinxxC−++（D）cotsinxxC−+。（三）计算题高等数学学习指导书第四章不定积分851．352xxdxx++∫2．1sin(ln)xdxx∫3．121xedxx−∫4．arcsin(1)xdxxx−∫5．31xdxx+∫6．231(1)dxx+∫7．sinxdx∫8．2ln()xdxx∫9．2cos3xexdx∫10．21dxxx+∫（四）已知曲线()yfx=上任意点的切线斜率为2336xx−−且1x=−时，112y=为极大值，求函数()fx及其极小值。自测题（A）答案（一）填空题1、2221xx++2、4212xxC−++3、31x+4、sin()xeC+5、1Cx+（二）选择题,,,,ACCBA（三）计算题1、2316xec+2、31tantan3xxC++3、2211ln(1)(arctan)22xxC+++高等数学学习指导书第四章不定积分864、6ln6ln1xxC−++5、2144xCx+−6、2(21)xexxC−−−−+7、221111ln(1)ln12422xxxxxC−−−−−+8、1(2sin4cos)522xxxeC−−+9、arctanarctanxxxxC−++10、8ln3ln14ln1xxxC−−−++（四）1、15ln22yx=+2、1）3(3)327();sm==2）3245()ts=自测题（B）答案（一）填空题1、2xc+；2、(sin)FxC+；3、1(2)2fx；4、1cos(12)2xC−+；5、221[()]4fxC+。（二）选择题1、（B）；2、（A）；3、（C）；4、（C）；5、（A）。（三）计算题1、13174101551015513172xxxC+++；2、cos(ln)xC−+；（凑微分1(ln)dxdxx=）3、1xeC−+；（凑微分211()dxdxx=−）4、2(arcsin)xC+；（凑微分112(),(arcsin)1dxdxdxdxxx==−）；5、751116666266366tan75xxxxarxxC−+−++；（第一类换元法，令6tx=）6、21xCx++；（第二类换元法，令tanxx=）7、2cos2sinxxxC−++；（第一类换元法，令tx=，再用分部积分法）高等数学学习指导书第四章不定积分878、2122(ln)lnxxCxxx−−−+；（二次分部积分）9、2223cos3sin31313xxexexC++；（分部积分，移项）10、lnln(1)xxC−++。（将有理分式拆成部分分式：21111xxxx=−++）（四）极小值：(2)8f=−。