从同伦论的观点看李群：为纪念Alex Zabrodsky而作

2 同亿 ， 群 款 上 l 从同伦论的观点看李群 为纪念Alex Zabrodsky而作 Jam es P in 番 中 L ，自 I C 我打算通过本文对近年来在有限 H一空间方面的一些研究作 一综述．但我想从 回 顾李群 的一些重要事实以及同伦论的某些基本事实开始． 那么，什么是李群呢?李群首先是一个群 G，其次，它是解析流形 (因此它的转换函数 (transition function)可展为幂级数)，第三，若取映 射 0：G×G—G为 0( ， )； · 。。，则 要求0是解析映射．由于具有流形的乘积结构的G×G是解析流形，固此要求0为解析映 射 是有意义的 ． 李群的例子有：圆周 S ，R ，行列式非 0的n× 阶矩阵组成的一般线性群GL( ，只)，酉 群 U(n)和正交群 O(n)．因此李群的例子非常多． 李群方面最早获得的事实之一，是它们可以完全分类．这个分类可以粗略地叙述如 F： 为简单起见 ，设我们讨论的李群单连通．取李群 G并侔对应的李代数 ．口是李群在G上左 变向量场的全体．即，给定G在单位元处的一个切赢 ，它可唯一扩充为 G上的一个左不变 向量场．左不变方量场在一个反交换的 “括号” (bracket)运算下封闭． 从群 G过渡到李代数 日的重要性在于：两个李群如果屙构，那么它们的李代数也同构 反过来，若两个李代数 同构，则对应的李群 “局部同构”，印，在单位元的邻城 里，存{ E着 “局部”同构，它将一个李群的这种邻域变为另一个李群的单位元的邻域．在单 连 通 的 情 形，这个局部同构可扩充为第一个李群到第二个李群的同构．田为在李群为单连通时，李群 与李代数之间存在着l—l对应． 因此，单连通李群的分类归结为李代数的分类．后者主要由 Cartan和 Killing ”完成． 他们对 “单”李代数作了完垒分类． “过渡”回李群便得到对应的 “单”李群．我们知道有 4族单李群 A⋯ B 、G 和 D ，以及 5个例外单李群称为 G。，F ，E6，E 和 E ． 这样便完成了单李群的完全分类．而它们的上同谰的计算，历史上的作法是通过分类定 理逐个进行。整个计算的框架可为下图 }原 题l Lje 0roups from a HOVO0toPY Po-I1 L of V】ew Vo1． 1370 (1g舯 ) ， l— l8． 44 本文下载来源:世纪图书馆 www.redlib.cn Cartan—Killing 李群 G 呻李代数 9⋯ ⋯一 单李代数的分类 ； 一 I i 局部同构 i 单李群的分类： i (A) ； ^，B ，Cn，Dn， i G2，F‘，EB，E 7，E8． i 』 ； 一计算单李群的上同调 今天我要讲的是：是否有其它计算李群的上同调的方法，这个方法不 依 赖 于 Cartan和 Killing的、有关李代数的复杂的分类定理．为此我要介绍李群的一些拓扑性质． 第～批性质之一是 [w38awa 注意到的，他证明了每个李群可分解为一个紧 李 群 与一 个欧氏空间的乘积．这样每个李群有紧李群的伦型，因此它有有限复形的伦型．以后， “有 限”用来表示任意 一个有有限复形伦型的空间． 我要提到的第二个事实在历史上曾经是很有兴趣的，称为希尔伯特第五问题．希尔伯特 第五问题用下面的方式刻画李群． 窆 1 (Montgomery，Gleason，Zippin)”。 每个局部欧氏的拓扑群是李群 ． 注意到拓扑群是这样一个拓扑空间：它是一个群且其乘法与逆映射连续．在希尔伯特第 五问题中，李群的解析结构”变了，但群结构保持不变．即有一个包含关系； 解析流形c C 流形c C 流形[拓扑流形． 希尔伯特第五问题是说：如果我们将解析结构减弱为拓扑结构，群流形仍为李群． 对这些问题的研究最近已集中在同伦论方面 ．因此我们介绍一下同伦的概念．若有两个 拓扑空间 和 y及两个连续映射 ／， ： —y，我们说 “，和 同伦” (记为，=口)是指存在 映射F： X，一y使得F( ，。)=／( )，F( ，1)= 矗)．形象地说，这意味着给定点 ，可用 一 道路连接 点／( )和9( )： ， 一 — — — ＼ 、 ( ：【 ) 并且这个道路作为 的函数连续。 在初等拓扑课程里就知道同伦的映射在上同调上诱导出相同的同态 ．类似地，我们说空 间 和 y有相同的 “伦型” (记为XmY)是指存在映射 |l X—，Y瓤 g：Y—，x 使得 9，=id：， 一id ．此时，H ( )同枸于 H (y)．因此如果要计算李群的上同调，只 要考虑与这个李群有同样伦型的空阃． 现在回顾希尔伯特第五问题，流形结构改变了，但群结构保持不变．为什么我们不让群 结构也变化呢?这里的意思是我们可引人 “同伦单位元”的概念，这就是说有一个拓扑空间 及某个二元运算 X —÷ ， ( 1， 2)= 1 t， 1)原文为t0Po10gy， 疑误． —— 译 注． 4B 以及一个特殊的点e∈X，我们希望 在x中起类似于单位元的作用． 一 个同伦单位元 e应该具有性质：映射 (e， )： X— X ， ( ，e)： X— X ． 同伦于单位映射lx．直观地说，对每个X∈X存在道路： 这些道路应该随 而连续变化． 带有配对 (Pairing) 以 及 同伦单位的空间 称为 “H一空间”．用以表示对首先给出这 个概念的Heinz Hopf[11 的敬意． 注意群总是结合的，因此，还有另一个要扩充的概念，即 “同伦 结 合”的 概 念．给定 H一空间(x， ，p)及点x， ，g∈X，我们有两种不同的方式将它们配对： ( ) = ( ( ， )， )， ( )= ( ， ( ， ))． 若有一条道路连接(xy)z与 ( ) I 。 一 ～ ／ (" 1 而且它作为 ， 、g三个变量的函数连续，则称(x， ， )“同伦结合”． 我们还可继续考虑 4个点 、 、=、 的情况，此时我们得到下图 五边形的边对应于(x，e， )的同 伦 结合性．若给定的H一空间同伦结合，那 么 在 把这 个五边形缩为一个点时，将有一个潆一层的障碍．粗略地讲，假如这个收缩存 在 并 且 作为 、 、 z、 的函数连续，则 (x，e， )称为 “(14-空间”．事实上有这样的 H一空 问：它 不是 同伦结合的或虽同伦结合但不是nr空间． Sugawara和Stasheff[22Ⅲ 研究了这些概念，实际上，H一空间可以细分．若 记 H一空 间 为 8。一空间，同伦结合H一空 间 为 d。一空间，Stasheff对 每个正整数 n≥2，定义了an一空问· 我们定义 “ 一空间”为这样一个空间：它对每个正整数 n≥2是 n 一空问．下列定理属 于 Stasheff[ ]： 定理 2 d 一空间有回路 (Loop)空间 B的伦型． Milnor的下列定理则描绘了拓扑群的伦型： 定理 5 拓扑群有回路空间DB的伦型． 6 ● 因此有空间的细分： 李群[有限拓扑群[有限回路空间C有限d 空间[有限 H一空间． 一 个合理的问题是：有限H一空问的上同调有些什么性质? 给定有限 H一空间( ，e， )，应用上同调到映射 ： X ×X ÷ ， 我们得到同态 A = ： H tX1— H ’(X xX)． 如果系数是域，Kunneth定理告诉我们 H ( × )--H ( ) H ( )．此外 H ( )对杯积 是 环．故我们得同态 d： H ( )斗 H ( ) H ( ) u{H ( )0H ( )÷日 ( ) 4称为 “倒代数结构”(Coalgebra str~etu re)．当 是代数同态时，称 H ( )是Hopf代数． 下面的定理是 Hopf代数定理 ”． 定理 4 (a)(Hopf)：作为代数，H (Xj O)兰^( ．-， 1)，这里 degree( {)为奇数． (b)(Bor~1)：作为代数，H ( }z2) 0A( ‘)0z2[ 】j ； ． 由此立即知道某些空间不能有李群结构．例如偶维球不是李群或有限 H一空间，因为它 的有理系数上同调不合乎要求． 第二个工具是 Borel结构定理的加强定理．Borel结构定理只与H ( }z )的环结构有 关．而没有考虑可能的倒代数结构．若设H ；z。)是结合环，我们就可对倒代数 结 构得 到若干结果． 定义 d：，H ( ；z2)斗，H ( }z2) 』H ( ；z2)为 d =dx—10 —x0I．它 称 为 “约化倒乘积”(reduced coproduct)．设 }， ( ；z2)一H ( z2)是平方映射．令 R=( ∈ H ( ；z2)I d ∈fH ( }z2)@H (XJ z2)) 注意 R本身是一个倒代数．这里我们用到H ( j z )结合这一事实． 令S(R)为倒代数R生成的 自由、交换 Hopf代数．定义 是 由形为 一 @ ( ∈R)的 项所生成的理想，则 IC-S(R)是 Hopf理想．且 定理 5 (Lin[14]) 作为 Hopf代数，H ( z2) s(R)／I． 这个定理说明倒代数结构由子模 R决定，而 Bore1分 解 中的所有生成元可在R中选取． 进一步可证明有一个正合列 0斗 H ( } Z2)斗 R斗 OH ( ； Z2)斗 0 这里OH ( ；z2)=IH ( j z。)／fH ( j ) 是 “不可分元”所构成的模． 第三个工具是 Steenrod代数 n(2)．存在着函数H ( ；z )间的一序列 自然变换 S口 ： H ( J Z2) 日 ( } Z2)， S目‘∈n(2)． 给定连续映射 ，： —y，下图交换： 47 日 ( z2)兰 Ⅳi ，( ；Z2) f， f l， s目 f， H 2(y； Z2)— —}日 (y Z2) 下面我要列出本文所需的另一些事实． Cattan： 牡u )=∑ USq ． 2—0 若 degree( )= ．则 =X。． 若0日 ( ，Z2)=IH*( j Z2)／肚， (Xj z?) ，那么注意 i诱 导出 自然变换 ： OH ( ； Z2)-'OH ( ； Z2)． 我们要问 问题 1 当x是有限H一空间时， 日 如何作甩在 0H ( ，zz)上? 我们有如下一些结果。设 日 ( ，Z )是结合环，则任给整数 n，找它的二进展开式中第 一 个不出现的 2的幂次． n=l+2+⋯ +2 一1+2 +⋯ +2。=2 +2H 一l，对某个 ≥0。 定理 8(Lin[17~) 对 >0， (a)OH 。 2 “ 一 ( }z!)=sq。 0H +2 I (b) 。 QH 2 2 ( ； Z2)=0 (c) 0日 2 +2 k一 ( ；Z2) q ff (O ； 是同纬映像同态 (suspension homomorphism)． ( Z2) Z2)这里 ：H ( j Z2)斗日 (D ，z2) (d)若￡=2 l上2 2+⋯ +2‘z 这里 1< 2<⋯ij，则 Sq 0H ( Z2)=S目。 Sq。 ⋯ Sq 0日 (X Z2) 下面给一个侧子说明如何应用定理 5和定理 6． E 的模 2上同调为 日 (岛j Z2)=Z 8， ， 9， 1 5]／啊； ， ，x ， { )@A( ⋯ 咖 27， 2日) 由定理5，所有 t可在 R中选取，故有 d {∈ 日 (E8； Z2) R 从定理 6(a)和(d)，得 ： =l： 5=S日 3 。= 5 " Sq。 D t。=S矿Sq‘S目 x15 r=2： 2T=S Sq 1 5 r=3： 23：Sq。 1 5 用定理6(c)作一简单计算可证 l7 Sq 15． 这就完垒划划了d(2)在日 (E }z2)的生成元上的作用．可证明 s不是本原元 (P i i— tire) ． 48 定理 6有许多应用．其中fa1有下列推论 ： 推论 7(Lin[17])．第一个非零的 mod2上同调群的度数是2‘一 1．事实 I 它只能是 、 3、7或15． 由于第一个1#零的 mod 2 l二同调与第一个非零的同伦群 出现在周一度数 上，因此我们有 推论 8(Lia[17])． 有限H一空间的第 一 非零的同伦群也现在度数l、3、7或l5上．若 H }z)没有 2挠，则第一非零的同伦群出现在度数l、3或 7上． 推论 8是 Adams的 Hopf不变 为 1的定理 ⋯ 的推广，这个定理说的是：在球面 里，只 有 S 、s。或 s 是 H一空间．ThomasⅢ 在H (，Y；Z2)为本原 (primitive)生成时曾获得过 选种类型的定理． r：0时，定理 6说 QⅣ。 ( ； Z2)=Sq QH (，Y；Z2， 注意到 degx=k时，s4 = ，故QH⋯ Lx；Z：)=0．可以证明这等价于 推论 9(Lin[187)． H (gXj z、没有 2挠． 当 是李群时，R．Bott 用几何方法证明了推论9．他的证明方法涉及 Morse理论．因 而 不 能适用于有限H一空问． 另一个简单应用是 推论 10(Lin[172)． n≠2 一l时，mod 2 Hurewicz映射 ^0z 2：丌 r，Y)0Z 2一H ( ；Z ) 为 0． 由于某些 自旋群 (Spin group)的 rood2 Hurewicz映射在度数2 一1时 }平 ．因此这 个结果是最佳的． 推论 11(Lin~133)．例外李群的 rood2上 同调可由它的有理 上同调 决 定．事实 E．作为 Steenrod{~数上的代数，例外李群的rood2上同调由其有理上 同调决定． 推论l】是用Bockstein谱序列来证明的．历史上，计算例外李群的 rood2上同调是非常困 难的．关于E 的结果是Araki和 Shikata“ 于 1961年宣布的．但计算的细节用到李群 的性质 直到1984年才发表 “ ． 下面转到 Adams和 Wilkerson最近提出的问题．这个问题最广泛的提法应 该 像 下 面这 样． 问题 2． 给定有限回路空间．QB．D日的rood2上=同调同构于某个李群的rood2上同调吗? 为使H (D口；Z。)成为有限维向量空间，对H ( jZz)有些限制．近年来，有两个Hopf 代数被认为可能是有限回路空间的 mod2上同调但 不 是 任 何 李群 的 mod2 同谰．这两个 ltopf代数是 ： Al=Z2[ 7]／ @A( Il， l 3)， A 2=Z2[x1 5] 50九( 23， 27， 。)． 由定理6，下列生成元必须由Steenrod运算联系． 】I s4 7， I 3=sq ll， ￡3 sq 1 5， 2 7 sq 23， 29 sq 27． 有几个试图用 理论证明 ^不 是H一空间的 rood2上同调的尝试但都没能成功．U Suter 证明了 (未发表)A z不是有限H一空间的mod2上同调．最近我们得到 49 定理 1 2． (Lin~153)A 不是 H一空间的 rood2上 同调 (Lin—Williams) (Suter)A2不是H一空间的 mod2 E同调． 下面我把注意力转到另一个问题上，即 问题 5．给定有限回路空间 口B，DB的有理上同调同枸于某个李群的有理上同调吗? 由Hopf定理知：有 Hopf代数同构 H (OB；Q)兰^( n ⋯ ⋯ ，Yn。 1 ， 其中 n L≤n2≤⋯≤n ，n 为偶． 由 Borel的一个定理知道，B的有理上同调是生成元 ⋯ ⋯， 上的多项式代数 H (B；Q)=QCx ’．．·， ． ] 我们称数组 “， ]为DB的 “型”(type)．r称为口B的 “秩 (rank)．因此问题 3卿 结为验证有限回路空 间的型与李群的型相同． 关于有理上同调 与modp上同调的关系我们有 定理 1 5(Borel，Browderf5，73)．若对每个 l，P f nf，则 H (B；ZP)：ZP[ ” ，⋯ ， n ． ]． 近年来获得的两个重要结果使我们有可能回 答 第 3个 问 题，第 一 个 结 果 是 Clark和 Ewing 给出的．本质上他们造出了一张能够实现的型的表 ，第二个是Adams和Wilkerson 的 定理 1 4．若对每个 i，p十n{，则fn ”，n，]必定是Clark-Ewing表 中的型的并． J．Aguade注意到 Clark—Ewing表中绝大多数的型只在这样 的 素数 p时出现，其中 P--=--I modm，而这里的m满足 存在 ，使得m{n ．用 Dirichlet定理找素数 P使得 下 列 条 件成 立 对任何m1d，p l，modm，其中 为” ．．'n 的最大公因子．从而可删掉表中很多型并 可得下列定理 定理 1 5(Aguade[33)．若H (DB；z)无挠，型[ ”，n ]满足n1<⋯