历届西部数学奥林匹克试题

西部数学奥林匹克 目录 2001年西部数学奥林匹克 ...................................................................................................... 2 2002年西部数学奥林匹克 ...................................................................................................... 4 2003年西部数学奥林匹克 ...................................................................................................... 6 2004年西部数学奥林匹克 ...................................................................................................... 7 2005年西部数学奥林匹克 ...................................................................................................... 8 2006年西部数学奥林匹克 .................................................................................................... 10 2007年西部数学奥林匹克 .................................................................................................... 12 2008年西部数学奥林匹克 .................................................................................................... 14 2009年西部数学奥林匹克 .................................................................................................... 16 2010年西部数学奥林匹克 .................................................................................................... 18 2011年西部数学奥林匹克 .................................................................................................... 21 2012年西部数学奥林匹克 .................................................................................................... 23 西部数学奥林匹克 2001 年西部数学奥林匹克 1. 设数列{𝑥𝑛}满足𝑥1 = 12，𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 + 𝑥𝑛2𝑛2.：𝑥2001 < 1001. （李伟固 供题） 2. 设 ABCD 是面积为 2 的长方形，P 为边 CD 上 的一点，Q 为△PAB 的内切圆与边 AB 的切点.乘积𝑃𝑃 ⋅ 𝑃𝑃的值随着长方形 ABCD 及点 P 的变化而变化，当𝑃𝑃 ⋅ 𝑃𝑃取最小值时， （1） 证明：𝑃𝑃 ≥ 2𝑃𝐵； （2） 求𝑃𝑄 ⋅ 𝑃𝑄的值. （罗增儒 供题） 3. 设 n、m 是具有不同奇偶性的正整数，且 n>m.求所有的整数 x， 使得𝑥 2𝑛−1 𝑥2𝑚−1 是一个完全平方数. （潘曾彪 供题） 4. 设𝑥、𝑦、𝑧为正实数，且𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≥ 𝑥𝑦𝑧.求𝑥2+𝑦2+𝑧2 𝑥𝑦𝑧 的最小值. （冯志刚 供题） 5. 求所有的实数 x，使得[𝑥3] = 4𝑥 + 3.这里[y]示不超过实数 y 的 最大整数. （杨文鹏 供题） 6. P 为⊙O 外一点，过 P 作⊙O 的两条切线，切点分别为 A、B.设 Q 为 PO 与 AB 的交点，过 Q 作⊙O 的任意一条弦 CD.证明：△PAB 与 △PCD 有相同的内心. （刘康宁 供题） 7. 求所有的实数𝑥 ∈ �0, 𝜋 2 �，使得(2 − 𝑠𝑠𝑠 2𝑥) 𝑠𝑠𝑠 �𝑥 + 𝜋 4 � = 1，并证 西部数学奥林匹克 明你的结论. （李胜宏 供题） 8. 我们称𝑃1,𝑃2,⋯ ,𝑃𝑛为集合 A 的一个 n 分划，如果 （1） 𝑃1 ∪ 𝑃2 ∪ ⋯∪ 𝑃𝑛 = 𝑃； （2） 𝑃𝑖 ∩ 𝑃𝑗 ≠ 𝛷, 1 ≤ 𝑠 < 𝑗 ≤ 𝑠. 求最小正整数 m，使得对𝑃 = {1,2,⋯ ,𝑚}的任意一个 14 分划 𝑃1,𝑃2,⋯ ,𝑃14，一定存在某个集合𝑃𝑖(1 ≤ 𝑠 ≤ 14)，在𝑃𝑖中有两个元素 a、b 满足𝑏 < 𝑎 ≤ 4 3 𝑏. （冷岗松 供题） 西部数学奥林匹克 2002 年西部数学奥林匹克 1. 求所有的正整数 n，使得𝑠4 − 4𝑠3 + 22𝑠2 − 36𝑠 + 18是一个完全 平方数. 2. 设 O 为锐角△ABC 的外心，P 为△AOB 内部一点，P 在△ABC 的三 边 BC、CA、AB 上的射影分别为 D、E、F.求证：以 FE、FD 为邻边 的平行四边形位于△ABC 内. 3. 考虑复平面上的正方形，它的 4 个顶点所对应的复数恰好是某个 整系数一元四次方程𝑥4 + 𝑝𝑥3 + 𝑞𝑥2 + 𝑟𝑥 + 𝑠 = 0的 4 个根.求这种正 方形面积的最小值. 4. 设 n 为正整数，集合𝑃1,𝑃2,⋯ ,𝑃𝑛+1是集合{1,2,⋯ ,𝑠}的 n+1 个非 空子集.证明：存在{1,2,⋯ ,𝑠 + 1}的两个不交的非空子集{𝑠1, 𝑠2,⋯ , 𝑠𝑘} 和{𝑗1, 𝑗2,⋯ , 𝑗𝑚}，使得𝑃𝑖1 ∪ 𝑃𝑖2 ∪ ⋯∪ 𝑃𝑖𝑘 = 𝑃𝑗1 ∪ 𝑃𝑗2 ∪ ⋯∪ 𝑃𝑗𝑚. 5. 在给定的梯形 ABCD 中，AD∥BC，E 是边 AB 上的动点，O1、O2 分别是△AED、△BEC 的外心.求证：O1O2的长为一定值. 6. 设𝑠(𝑠 ≥ 2)是给定的正整数，求所有整数组(𝑎1,𝑎2,⋯ , 𝑎𝑛)满足条 件： （1） 𝑎1+𝑎2 + ⋯+ 𝑎𝑛 ≥ 𝑠2； （2） 𝑎12 + 𝑎22 + +𝑎𝑛2 ≤ 𝑠3 + 1. 7. 设 α、β为方程𝑥2 − 𝑥 − 1 = 0的两个根，令𝑎𝑛 = 𝛼𝑛−𝛽𝑛𝛼−𝛽 ,𝑠 = 1,2,⋯. （1） 证明：对任意正整数 n，有𝑎𝑛+2 = 𝑎𝑛+1+𝑎𝑛； （2） 求所有正整数 a、b，𝑎 < 𝑏，满足对任意正整数 n，有 b 整除 𝑎𝑛 − 2𝑠𝑎𝑛. 西部数学奥林匹克 8. 设𝑆 = (𝑎1,𝑎2,⋯ ,𝑎𝑛)是一个由 0，1 组成的满足下述条件的最长的 数列：数列 S 中任意两个连续 5 项不同，即对任意1 ≤ 𝑠 < 𝑗 ≤ 𝑠 − 4， 𝑎𝑖 ,𝑎𝑖+1,𝑎𝑖+2, 𝑎𝑖+3, 𝑎𝑖+4与𝑎𝑗 ,𝑎𝑗+1,𝑎𝑗+2,𝑎𝑗+3,𝑎𝑗+4不相同.证明：数列 S 最前面的 4 项与最后面的 4 项相同. 西部数学奥林匹克 2003 年西部数学奥林匹克 1. 将1,2,3,4,5,6,7,8分别放在正方体的八个顶点上，使得每一个面上 的任意三个数之和均不小于 10.求每一个面上四个数之和的最小值. 2. 设 2n 个实数𝑎1,𝑎2,⋯ , 𝑎2𝑛满足条件∑ (𝑎𝑖+1 − 𝑎𝑖)2 = 12𝑛−1𝑖=1 .求(𝑎𝑛+1+𝑎𝑛+2 + ⋯+ 𝑎2𝑛) − (𝑎1+𝑎2 + ⋯+ 𝑎𝑛)的最大值. 3. 设 n 为给定的正整数.求最小的正整数𝑢𝑛，满足：对每一个正整数 d，任意𝑢𝑛个连续的正奇数中能被 d 整除的数的个数不少于奇数1,3,5,⋯ ,2𝑠 − 1中能被 d 整除的数的个数. 4. 证明：若凸四边形 ABCD 内任意一点 P 到边 AB、BC、CD、DA 的距离之和为定值，则 ABCD 是平行四边形. 5. 已知数列{𝑎𝑛}满足：𝑎0 = 0，𝑎𝑛+1 = 𝑘𝑎𝑛 + �(𝑘2 − 1)𝑎𝑛2 + 1,𝑠 =0,1,2,⋯,其中 k 为给定的正整数.证明：数列{𝑎𝑛}的每一项都是整数， 且2𝑘|𝑎2𝑛,𝑠 = 0,1,2,⋯. 6. 凸四边形 ABCD 有内切圆，该内切圆切边 AB、BC、CD、DA 的 切点分别为 A1、B1、C1、D1，连结 A1B1、B1C1、C1D1、D1A1，点 E、 F、G、H 分别为 A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点.证明：四边形 EFGH 为矩形的充分必要条件是 A、B、C、D 四点共圆. 7. 设非负实数𝑥1、𝑥2、𝑥3、𝑥4、𝑥5满足∑ 1 1+𝑥𝑖 = 15𝑖=1 .求证： ∑ 𝑥𝑖 4+𝑥𝑖 2 5 𝑖=1 ≤ 1. 8. 1650 个学生排成 22 行、75 列.已知其中任意两列处于同一行的两 个人中，性别相同的学生都不超过 11 对.证明：男生的人数不超过 928. 西部数学奥林匹克 2004 年西部数学奥林匹克 1. 求所有的整数 n，使得𝑠4 + 6𝑠3 + 11𝑠2 + 3𝑠 + 31是完全平方数. 2. 四边形 ABCD 为一凸四边形，I1、I2分别为△ABC、△DBC 的内心， 过点 I1、I2的直线分别交 AB、DC 于点 E、F，分别延长 AB、DC，它 们相交于点 P，且 PE=PF.求证：A、B、C、D 四点共圆. 3. 求所有的实数 k，使得不等式𝑎3 + 𝑏3+𝑐3 + 𝑑3 + 1 ≥ 𝑘(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑)对任意𝑎、𝑏、𝑐、𝑑 ∈ [−1, +∞)都成立. 4. 设𝑠 ∈ 𝑁+，用𝑑(𝑠)表示 n 的所有正约数的个数，𝜙(𝑠)表示1,2,⋯ ,𝑠 中与 n 互质的数的个数.求所有的非负整数 c，使得存在正整数 n，满 足𝑑(𝑠) + 𝜙(𝑠) = 𝑠 + 𝑐，且对这样的每一个 c，求出所有满足上式的 正整数 n. 5. 设数列{𝑎𝑛}满足𝑎1 = 𝑎2 = 1，且𝑎𝑛+2 = 1𝑎𝑛+1 + 𝑎𝑛,𝑠 = 1,2,⋯.求𝑎2004. 6. 将𝑚 × 𝑠棋盘（由 m 行 n 列方格构成，𝑚 ≥ 3,𝑠 ≥ 3）的所有小方 格都染上红蓝两色之一.如果 2 个相邻（有公共变）的小方格异色， 则称这 2个小方格为 1个“标准对”.设期盼中“标准对”的个数为 S.试问： S 是奇数还是偶数有哪些方格的颜色确定？什么情况下 S 为奇数？什 么情况下 S 为偶数？说明理由. 7. 已知锐角△ABC 的三边长不全相等，周长为 l，P 是其内部一动点， 点 P 在边 BC、CA、AB 上的射影分别为 D、E、F.求证：2（𝑃𝐵 + 𝑃𝐷 + 𝐵𝐵） = 𝑙的充分必要条件是：点 P 在△ABC 的内心与外心的连线上. 8. 求证：对任意正实数 a、b、c，都有1 < 𝑎 √𝑎2+𝑏2 + 𝑏 √𝑏2+𝑐2 + 𝑐 √𝑐2+𝑎2 ≤ 3√2 2 . 西部数学奥林匹克 2005 年西部数学奥林匹克 1. 已知𝛼2005 + 𝛽2005可表示成以𝛼 + 𝛽、𝛼𝛽为变元的二元多项式.求 这个多项式的系数之和. 2. 如图 1，过圆外一点 P 作圆的两条切线 PA、PB，A、B 为切点， 再过点 P 作圆的一条割线分别与圆交于 C、D 两点，过切点 B 作 PA 的平行线分别交直线 AC、AD 于 E、F.求证：𝑃𝐵 = 𝑃𝐵. 图 1 3. 设𝑆 = {1,2,⋯ ,2005}.若 S 中任意 n 个两两互质的数组成的集合中 都至少有一个质数，试求 n 的最小值. 4. 已知实数𝑥1, 𝑥2,⋯ , 𝑥𝑛(𝑠 > 2)满足|∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1 | > 1，|𝑥𝑖| ≤ 1(𝑠 =1,2,⋯ ,𝑠).求证：存在正整数 k，使得�∑ 𝑥𝑖𝑘𝑖=1 − ∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=𝑘+1 � ≤ 1 5. 如图 2，⊙O1、⊙O2交于 A、B 两点.过点 O1的直线 DC 交⊙O1 于点 D 且切⊙O2于点 C，CA 且⊙O1于点 A，⊙O1的弦 AE 与直线 DC 垂直.过点 A 作 AF 垂直于 DE，F 为垂足.求证：BD 平分线段 AF. 图 2 F E C B A P D F E B D O 1 O 2 A C 西部数学奥林匹克 6. 在等腰 Rt△ABC 中，𝐵𝑃 = 𝐵𝑃 = 1，P 是△ABC 边界上任意一点. 求𝑃𝑃 ⋅ 𝑃𝑃 ⋅ 𝑃𝐵的最大值. 7. 设正实数 a、b、c 满足𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 1.证明： 10(𝑎3 + 𝑏3+𝑐3) − 9(𝑎5 + 𝑏5 + 𝑐5) ≥ 1. 8. 设 n 个新生汇总，任意 3 个人中有 2 个人互相认识，任意 4 个人 中有 2 个人互不任何.试求 n 的最大值. 西部数学奥林匹克 2006 年西部数学奥林匹克 1. 设𝑠(𝑠 ≥ 2)是给定的正整数，𝑎1,𝑎2,⋯ ,𝑎𝑛 ∈ (0,1).求 ∑ �𝑎𝑖(1− 𝑎𝑖+1)6𝑛𝑖=1 的最大值，这里𝑎𝑛+1 = 𝑎1. 2. 求满足下述条件的最小正实数 k：对任意不小于 k 的 4 个互不相同 的实数 a、b、c、d，都存在 a、b、c、d 的一个排列 p、q、r、s，使 得方程(𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞)(𝑥2 + 𝑟𝑥 + 𝑠) = 0有 4 个互不相同的实数根. 3. 如图 1，在△ABC 中，∠𝑃𝑃𝐵 = 60°，过点 P 作△PBC 的外接圆⊙ O 的切线，与 CA 的延长线交于点 A.点 D、E 分别在线段 PA 和⊙O 上，使得∠𝐷𝑃𝐵 = 90°，PD=PE.连结 BE 与 PC 相交于点 F.已知 AF、 BP、CD 三线共点. （1） 求证：BF 是∠𝑃𝑃𝐵的角平分线； （2） 求𝑡𝑎𝑠 ∠𝑃𝐵𝑃的值. 图 1 4. 设正整数 a 不是完全平方数.求证：对每一个正整数 n， 𝑆𝑛 = �√𝑎� + �√𝑎�2 + ⋯+ �√𝑎�𝑛的值都是无理数.这里{𝑥} = 𝑥 − [𝑥]， 其中，[𝑥]表示不超过 x 的最大整数. 5. 设𝑆 = �𝑠�𝑠 − 1,𝑠,𝑠 + 1 都可以表示为两个正整数的平方和�.证明： 若𝑠 ∈ 𝑆，则𝑠2 ∈ 𝑆. F E A P O B C D 西部数学奥林匹克 6. 如图 2，AB 是⊙O 的直径，C 为 AB 延长线上的一点，过点 C 作 ⊙O 的割线，与⊙O 交于点 D、E，OF 是△BOD 的外接圆⊙O1的直 径，连结 CF 并延长交⊙O1于点 G.求证：O、A、E、G 四点共圆. 图 2 7. 设 k 是一个不小于 3 的正整数，θ是一个实数.证明：如果 𝑐𝑚𝑠(𝑘 − 1)𝜃和𝑐𝑚𝑠 𝑘𝜃都是有理数，那么，存在正整数𝑠(𝑠 > 𝑘)，使得 𝑐𝑚𝑠(𝑠 − 1)𝜃和𝑐𝑚𝑠 𝑠𝜃都是有理数. 8. 给定正整数𝑠(𝑠 ≥ 2)，求|𝑋|的最小值，使得对集合 X 的任意 n 个 二元子集𝑃1,𝑃2,⋯ ,𝑃𝑛，都存在集合 X 的一个子集 Y，满足： (1)|𝑌| = 𝑠; (2) 对𝑠 = 1,2,⋯ ,𝑠，都有|𝑌 ∩ 𝑃𝑖| ≤ 1. 这里，|𝑃|表示有限集合 A 的元素个数. G F O 1 D A O B C E 西部数学奥林匹克 2007 年西部数学奥林匹克 1. 已知𝑇 = {1,2,⋯ ,8}.对于𝑃 ⊆ 𝑇,𝑃 ≠ 𝛷，定义𝑆(𝑃)为 A 中所有元素 之和.问：T 有多少个非空子集 A，使得𝑆(𝑃)是 3 的倍数，但不是 5 的 倍数？ 2. 如图 1，⊙O1、⊙O2交于点 C、D，过 D 的一条直线分别与⊙O1、 ⊙O2交于点 A、B，点 P 在⊙O1的 AD 弧上，PD 与线段 AC 的延长 线交于点 M，点 Q 在⊙O2的 BD 弧上，QD 与线段 BC 的延长线交于 点 N，O 是△ABC 的外心.求证：𝑂𝐷 ⊥ 𝑀𝑁的充要条件为 P、Q、M、 N 四点共圆. 图 1 3. 设实数 a、b、c 满足𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 3.求证： 1 5𝑎2−4𝑎+11 + 1 5𝑏2−4𝑏+11 + 1 5𝑐2−4𝑐+11 ≤ 1 4 . 4. 设 O 是△ABC 内部一点.证明：存在正整数 p、q、r，使得|𝑝𝑂𝑃 + 𝑞𝑂𝑃 + 𝑟𝑂𝐵| < 1 2007 . 5. 是否存在三边长都为整数的三角形，满足以下条件：最短边长为 2007，且最大的角等于最小角的两倍？ M N O B C D O 1 O 2 A P Q 西部数学奥林匹克 6. 求所有的正整数 n，使得存在非零整数𝑥1, 𝑥2,⋯ , 𝑥𝑛, 𝑦,满足 � 𝑥1+𝑥2+⋯+ 𝑥𝑛 = 0, 𝑥1 2+𝑥22+⋯+ 𝑥𝑛2 = 𝑠𝑦2. 7. 设 P 是锐角△ABC 内一点，AP、BP、CP 分别与边 BC、CA、AB 交于点 D、E、F，已知△ 𝐷𝐵𝐵 ∼△ 𝑃𝑃𝐵.求证：P 是△ABC 的重心. 8. 将 n 枚白子与 n 枚黑子任意地放在一个圆周上.从某枚白子起，按 顺时针方向依次将白子标以1,2,⋯ ,𝑠.在从某枚黑子起，按逆时针方向 依次将黑子标以1,2,⋯ ,𝑠.证明：存在连续 n 枚棋子（不计黑白），它 们的标号组成的集合为{1,2,⋯ ,𝑠}. 西部数学奥林匹克 2008 年西部数学奥林匹克 1. 实数数列{𝑎𝑛}满足𝑎0 ≠ 0,1,𝑎1 = 1 − 𝑎0，𝑎𝑛+1 = 1 − 𝑎𝑛(1 − 𝑎𝑛)(𝑠 = 1,2,⋯ ).证明：对任意的正整数 n，都有𝑎0𝑎1 ⋯𝑎𝑛 � 1𝑎0 + 1𝑎1 + ⋯+ 1 𝑎𝑛 � = 1. 2. 如图 1，在△ABC 中，AB=AC，其内切圆⊙I 分别切边 BC、CA、 AB 于点 D、E、F，P 为弧 EF（不含点 D 的弧）上一点.设线段 BP 交⊙I 于另一点 Q，直线 EP、EQ 分别交 BC 于点 M、N.证明： (1) P、F、B、M 四点共圆； (2) 𝐸𝐸 𝐸𝐸 = 𝐵𝐵 𝐵𝐵 . 图 1 3. 设整数𝑚(𝑚 ≥ 2)，𝑎1, 𝑎2,⋯ , 𝑎𝑚都是正整数.证明：存在无穷多个 正整数 n，使得数𝑎1 × 1𝑛 + 𝑎2 × 2𝑛 + ⋯+ 𝑎𝑚 × 𝑚𝑛都是合数. 4. 设整数𝑚(𝑚 ≥ 2)，a 为正实数，b 为非零实数，数列{𝑥𝑛}定义如 下：𝑥1 = 𝑏, 𝑥𝑛+1 = 𝑎𝑥𝑛𝑚 + 𝑏(𝑠 = 1,2,⋯ ).证明： (1) 当 b<0且m为偶数时，数列{𝑥𝑛}有界的充要条件是𝑎𝑏𝑚−1 ≥ −2； (2) 当 b<0 且 m 为奇数，或 b>0 时，数列{𝑥𝑛}有界的充要条件是 𝑎𝑏𝑚−1 ≤ (𝑚−1)𝑚−1 𝑚𝑚 . M N Q E F I D B C A P 西部数学奥林匹克 5. 在一直线上相邻的距离都等于 1 的四个点上各有一只青蛙，允许 任意一只青蛙以其余三只青蛙中的某一只为中心跳到其对称点上.证 明：无论跳动多少次后，四只青蛙所在的点中相邻两点之间的距离不 能都等于 2008. 6. 设𝑥、𝑦、𝑧 ∈ (0,1)，满足�1−𝑥 𝑦𝑧 + �1−𝑦 𝑧𝑥 + �1−𝑧 𝑥𝑦 = 2.求 xyz 的最大值. 7. 设 n 为给定的正整数.求最大的正整数 k，使得存在三个由非负整 数组成的 k 元集𝑃 = {𝑥1, 𝑥2,⋯ , 𝑥𝑘}，𝑃 = {𝑦1,𝑦2,⋯ ,𝑦𝑘}，𝐵 ={𝑧1, 𝑧2,⋯ , 𝑧𝑘}满足对任意的𝑗(1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘)，都有𝑥𝑗+𝑦𝑗 + 𝑧𝑗 = 𝑠. 8. 设P为正 n边形𝑃1𝑃2 ⋯𝑃𝑛内的任意一点，直线𝑃𝑖𝑃(𝑠 = 1,2,⋯𝑠)交 正 n 边形𝑃1𝑃2 ⋯𝑃𝑛的边界于另一点𝑃𝑖.证明：∑ 𝑃𝑃𝑖𝑛𝑖=1 ≥ ∑ 𝑃𝑃𝑖𝑛𝑖=1 . 西部数学奥林匹克 2009 年西部数学奥林匹克 1. 设 M 是一个由实数集 R 去掉有限个元素后得到的集合.证明：对 任意正整数 n，都存在 n 次多项式 f(x)，使得 f(x)的所有系数及 n 个实 根都属于 M. 2. 给定整数𝑠 ≥ 3.求最小的正整数 k，使得存在一个 k 元集合 A 和 n 个两两不同的实数𝑥1, 𝑥2,⋯ , 𝑥𝑛，满足 𝑥1+𝑥2, 𝑥2 + 𝑥3,⋯ , 𝑥𝑛−1+𝑥𝑛, 𝑥𝑛 + 𝑥1均属于 A. 3. 设 H 为锐角△ABC 的垂心，D 为边 BC 的中点.过点 H 的直线分别 交边 AB、AC 于点 F、E，使得 AE=AF，射线 DH 与△ABC 的外接圆 交于点 P.求证：P、A、E、F 四点共圆. 4. 求证：对任意给定的正整数 k，总存在无穷多个正整数 n，使得2𝑛+3𝑛 − 1, 2𝑛+3𝑛 − 2,⋯ , 2𝑛+3𝑛 − 𝑘均为合数. 5. 设数列{𝑥𝑛}满足𝑥1 ∈ {5,7}及当𝑘 ≥ 1时，有𝑥𝑘+1 ∈ {5𝑥𝑘 , 7𝑥𝑘}.试确 定𝑥2009的末两位数字的所有可能值. 6. 如图 1，设 D 是锐角△ABC 的边 BC 上一点，以线段 BD 为直径的 圆分别交直线 AB、AD 于点 X、P（异于点 B、D），以线段 CD 为直 径的元分别交直线 AC、AD 于点 Y、Q（异于点 C、D）.过点 A 作直 线 PX、QY 的垂线，垂足分别为 M、N.求证△ 𝑃𝑀𝑁 ∼△ 𝑃𝑃𝐵的充分必 要条件是直线 AD 过△ABC 的外心. 西部数学奥林匹克 图 1 7. 有𝑠(𝑠 > 12)个人参加某次数学邀请赛，试卷由十五道填空题组成， 每答对一题得 1 分，不答或答错得 0 分.每一种可能的得分情况 发现：只要其中任意 12 个人得分之和不少于 36 分，则这 n 个人中至 少有 3 个人答对了至少三道同样的题.求 n 的最小可能值. 8. 实数𝑎1,𝑎2,⋯ ,𝑎𝑛(𝑠 ≥ 3)满足𝑎1+𝑎2 + ⋯+𝑎𝑛 = 0，且2𝑎𝑘 ≤ 𝑎𝑘−1 + 𝑎𝑘+1(𝑘 = 2,3,⋯ ,𝑠 − 1).求最小的𝜆(𝑠)，使得对所有的 𝑘 ∈ {1,2,⋯𝑠}，都有|𝑎𝑘| ≤ 𝜆(𝑠) ⋅ 𝑚𝑎𝑥{|𝑎1|, |𝑎𝑛|}. N M Y Q P X A B C D 西部数学奥林匹克 2010 年西部数学奥林匹克 1. 设 m、k 为给定的非负整数，𝑝 = 22𝑚 + 1为质数.求证： (1) 22𝑚+1𝑝𝑘 ≡ 1(𝑚𝑚𝑑 𝑝𝑘+1); (2) 满足同余方程2𝑛 ≡ 1(𝑚𝑚𝑑𝑝𝑘+1) 的最小正整数 n 为2𝑚+1𝑝𝑘. （靳 平 供题） 2. 如图 1，已知 AB 是⊙O 的直径，C、D 是圆周上异于点 A、B 且 在 AB 同侧的两点，分别过点 C、D 作圆的切线，它们交于点 E，线 段 AD 与 BC 的交点为 F，直线 EF 与 AB 交于点 M.求证：E、C、M、 D 四点共圆. 图 1 （刘诗雄 供题） 3. 求所有的正整数 n，使得集合{1,2,⋯ ,𝑠}有 n 个两两不同的三元子 集𝑃1,𝑃2,⋯ ,𝑃𝑛，满足对任意的𝑘(1 ≤ 𝑠 < 𝑗 ≤ 𝑠)，都有�𝑃𝑖 ∩ 𝑃𝑗� ≠ 1. （冯志刚 供题） 4. 设非负实数𝑎1,𝑎2,⋯ ,𝑎𝑛与𝑏1, 𝑏2,⋯ , 𝑏𝑛满足以下条件： （1） ∑ 𝑎𝑖+𝑏𝑖𝑛𝑖=1 = 1; （2） ∑ 𝑠(𝑎𝑖 − 𝑏𝑖)𝑛𝑖=1 = 0; （3） ∑ 𝑠2(𝑎𝑖 + 𝑏𝑖)𝑛𝑖=1 = 10. 西部数学奥林匹克 求证：对任意的𝑘(1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑠)，都有𝑚𝑎𝑥{𝑎𝑘, 𝑏𝑘} ≤ 1010+𝑘2. （李胜宏 供题） 5. 设 k 为大于 1 的整数，数列{𝑎𝑛}定义如下：𝑎0 = 0,𝑎1 = 1,𝑎𝑛+1 = 𝑘𝑎𝑛 + 𝑎𝑛−1(𝑠 = 1,2,⋯ ). 求所以满足如下条件的 k：存在非负整数𝑙、𝑚(𝑙 ≠ 𝑚)，及正整数 p、 q，使得𝑎𝑙 + 𝑘𝑎𝑝 = 𝑎𝑚 + 𝑘𝑎𝑞. （熊 斌 供题） 6. 如图 2，在△ABC 中，∠𝑃𝐵𝑃 = 90°，以 B 为圆心、BC 为半径作圆， 点 D 在边 AC 上，直线 DE 切⊙B 于点 E，过点 C 垂直于 AB 的直线 于直线 BE 交于点 F，AF 与 DE 交于点 G，作 AH∥BG 于 DE 交于点 H.求证 GE=GH. 图 2 （边红平 供题） 7. 有𝑠(𝑠 ≥ 3)名选手参加乒乓球比赛，每两名选手之间恰比赛一场 且没有平局.若选手 A 的手下败将不都是 B 的手下败将，则称 A 不亚 于 B.试求所有可能的 n，使得存在一种比赛结果，其中每一名选手都 不亚于其他任何一名选手. （李秋生 供题） H G F E B A C D 西部数学奥林匹克 8. 求所有的整数 k，使得存在正整数 a 和 b，满足𝑏+1 𝑎 + 𝑎+1 𝑏 = 𝑘. （陈永高 供题） 西部数学奥林匹克 2011 年西部数学奥林匹克 1. 已知0 < 𝑥、𝑦 < 1.求 𝑥𝑦(1−𝑥−𝑦)(𝑥+𝑦)(1−𝑥)(1−𝑦)的最大值. 2. 设集合满足：𝑀 ⊆ {1,2,⋯ ,2011}在 M 的任意三个元素中都可以找 到两个元素 a、b，使得𝑎|𝑏或𝑏|𝑎.求|𝑀|的最大值（|𝑀|表示集合 M 的 元素个数）. 3. 给定整数𝑠 ≥ 2. (1) 证明：可以将集合 {1,2,⋯ ,𝑠} 的左右子集适当地排列为 𝑃1,𝑃2,⋯ ,𝑃2𝑛，使得𝑃𝑖与𝑃𝑖+1(𝑠 = 1,2, , 2𝑛,且𝑃2𝑛+1 = 𝑃1)的元素个数 恰相差 1. (2) 对于满足(1)中条件的子集𝑃1,𝑃2,⋯ ,𝑃2𝑛，求∑ (−1)𝑖𝑆(𝑃𝑖)2𝑛𝑖=1 的所 以可能值，其中，𝑆(𝑃𝑖) = ∑ 𝑥𝑥∈𝐴𝑖 , 𝑆(∅) = 0. 4. 如图 1，AB、CD 是⊙O 中长度不相等的两条弦，AB 与 CD 交于 点 E，⊙I 内切⊙O 于点 F，且分别与弦 AB、CD 切于点 G、H.过点 O 的直线 l 分别于 AB、CD 交于点 P、Q，使得 EP=EQ，直线 EF 于 直线 l 交于点 M.证明：过点 M 且与 AB 平行的直线是⊙O 的切线. 图 1 5. 是否存在奇数𝑠(𝑠 ≥ 3)及 n 个互不相同的质数𝑝1,𝑝2,⋯ , 𝑝𝑛，使得 𝑝𝑖 + 𝑝𝑖+1(𝑠 = 1,2,⋯ ,𝑠,𝑝𝑛+1 = 𝑝1)都是完全平方数？请证明你的结论. l M P Q C D H B A G E O F I 西部数学奥林匹克 6. 设 𝑎、𝑏、𝑐 > 0 . 证 明 ： (𝑎−𝑏)2(𝑐+𝑎)(𝑐+𝑏) + (𝑏−𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑎+𝑐) + (𝑐−𝑎)2(𝑏+𝑐)(𝑏+𝑎) ≥(𝑎−𝑏)2 𝑎2+𝑏2+𝑐2 . 7. 在△ABC 中，𝑃𝑃 > 𝑃𝐵内切圆⊙I 与边 BC、CA、AB 分别切于点 D、 E、F，M 是边 BC 的中点，𝑃𝐻 ⊥ 𝑃𝐵于点 H，∠𝑃𝑃𝐵的平分线 AI 分别 与直线 DE、DF 交于点 K、L.证明：M、L、H、K 四点共圆. 8. 求所有的整数对(𝑎, 𝑏)，使得对任意的正整数 n 都有𝑠|(𝑎𝑛 + 𝑏𝑛+1). 西部数学奥林匹克 2012 年西部数学奥林匹克 1. 求最小的正整数𝑚，使得对任意大于 3的质数 𝑝，都有：105|9𝑝2 − 29𝑝 + 𝑚. 2. 证明：在正2𝑠 − 1边形(𝑠 ≥ 3)的顶点中，任意取出𝑠个点，其中 必有3个点，以它们为顶点的三角形为等腰三角形。 3. 设𝐵是一个给定的𝑠元集合，𝑃1,𝑃2,⋯ ,𝑃𝑘是𝐵的𝑘个两两不同的非 空子集，满足：对任意的1 ≤ 𝑠 < 𝑗 ≤ 𝑘，要么𝑃𝑖与𝑃𝑗的交集为空集， 要么𝑃𝑖与𝑃𝑗中的一个是另一个的子集，求𝑘的最大值。 4. 已知点𝑃为锐角△𝑃𝑃𝐵内部任意一点，点𝐵,𝐵分别为𝑃在边𝑃𝐵,𝑃𝑃 上的射影，𝑃𝑃,𝐵𝑃的延长线分别交△𝑃𝑃𝐵的外接圆于点𝑃1,𝐵1。设△ 𝑃𝑃𝐵的外接圆和内切圆的半径分别为𝑅和𝑟，求证： 𝐸𝐸 𝐵1𝐶1 ≥ 𝑟 𝑅 ，并确定 等号成立时点𝑃的位置。 5. 在锐角△𝑃𝑃𝐵中，𝐻是垂心，𝑂是外心（𝑃,𝐻,𝑂三点不共线），点𝐷是𝑃 在边𝑃𝐵上的射影，线段𝑃𝑂的中垂线交直线𝑃𝐵于点𝐵。求证：线段𝑂𝐻的 中点在△𝑃𝐷𝐵的外接圆上。 6. 设数列{𝑎𝑛}满足𝑎0 = 12 ,𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛22012 ,𝑠 = 0,1,⋯,，求整数𝑘， 使得𝑎𝑘 < 1 < 𝑎𝑘+1。 7. 一张𝑠 × 𝑠的方格表，称有公共边的方格是相邻的，开始时每个方 格中都写着+1，对方格表进行一次操作是指：任取其中一个方格， 不改变这个方格中的数，而将所有与这个方格相邻的方格中的数都改 变符号。求所有的正整数𝑠 ≥ 2，使得可以经过有限次操作，将所有 方格中的数都变为−1。 西部数学奥林匹克 求所有的质数𝑝，使得存在无穷多个正整数𝑠，满足𝑝|𝑠𝑛+1 + (𝑠 + 1)𝑛。 2001年西部数学奥林匹克 2002年西部数学奥林匹克 2003年西部数学奥林匹克 2004年西部数学奥林匹克 2005年西部数学奥林匹克 2006年西部数学奥林匹克 2007年西部数学奥林匹克 2008年西部数学奥林匹克 2009年西部数学奥林匹克 2010年西部数学奥林匹克 2011年西部数学奥林匹克 2012年西部数学奥林匹克