从课堂到奥数8年级(打印版)

从课堂到奥数8年级 从课堂到奥数8年级 目 录 2第1讲 全等三角形 5第2讲 轴对称 8第3讲 等腰三角形和等边三角形 11第4讲 直角三角形 14第5讲 实 数 17第6讲 一次函数及其应用 20第7讲 整式的乘法与乘法公式 22第8讲 整式的除法 25第9讲 因式分解 27第10讲 因式分解的应用 29第11讲 非负数及其应用 32第12讲 分式的运算 35第13讲 分式方程 38第14讲 有理式的恒等变形 41第15讲 待定系数法 44第16讲 反比例函数及其应用 47第17讲 勾股定理 50第18讲 平行四边形 53第19讲 菱形、长方形和正方形 56第20讲 梯形、三角形和梯形的中位线 59第21讲 类比与猜想 64第22讲 从整体上看问题 67第23讲 不变量原理 70第24讲 抽屉原理 73第25讲 染色问题与染色方法 76第26讲 赋值法 80第27讲 三角形中的不等关系 84第28讲 组合几何初步 88第29讲 完全平方数 90第30讲 简单的不定方程 第1讲 全等三角形 数学是一门演绎的学问，从一组公设，经过逻辑的推理，获得结论。 ——陈省身 知识方法扫描 1. 全等三角形的基本判定方法有“边角边”，“角边角”，“边边边”三种。 证明两个三角形全等的关键是证明它们满足判定方法中的三个条件，具体的分析步骤是：先找出这两个三角形中已知或容易证明的对应的角或边来，然后根据判定方法来确定还需要证明哪些角或边相等，再设法证明这些角或边相等。 在证题的过程中，要注意防止“角角边”这种错误。但是直角三角形可以用“斜边，直角边”来判定全等。 2．根据全等三角形的性质，它们的对应边，对应角，对应线段（角平分线，中线，高）都对应相等。我们常用全等三角形来证明线段或角的相等，线段或角的和差倍分等问题，还可以用来证明直线的垂直或平行问题 3．角平分线上的点，到角的两边距离相等；到角的两边距离相等的点，在角的平分线上。 4． 三角形的三条角平分线交于一点，这一点叫做三角形的内心，三角形的内心到三角形三边的距离相等。 经典例题解析 例1 （1996年河南省初中数学竞赛试题，1994年南京市数学竞赛试题）如图所示，已知BD，CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB。求证：（1）AP=AQ；（2）AP⊥AQ。 分析 要证明AP= AQ，可考虑用全等三角形对应边 相等来证，即考虑它们分别在哪两个三角形内，可 以看出它们分别在△AEQ和△ADP内，或在△ACQ 和△PBA内，而前者只有一个直角相等，后者有两 对边分别相等：CQ = AB，BP= AC．故只要寻求两 边所夹的角是否相等即可， 证明（1）因BD，CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，故∠ACQ=90º-∠BAC=∠PBA。 在△ACQ与△PBA中， AC=PB，∠ACQ=∠PBA，CQ=BA，于是△ACQ≌△PBA，从而AQ=AP。 （2）由△ACQ≌△PBA，知∠CAQ=∠BPA，于是 ∠QPA=∠CAQ+∠DAP=∠BPA+∠CAQ=90º，所以AP⊥AQ。 评注 证明线段互相垂直问题往往可转化为计算角的度数或证明角相等问题，从而利用全等三角形对应角相等证明． 例2．（2003年重庆市初中数学竞赛决赛试题）如图，AE是中外角的平分线，E为AE上不同于A的一点，则下列关系成立的是（　　　　） （A）AB+ACBE+EC （C）AB+AC=BE+EC （D）不能确定　 解 A 在BA的延长线上截取AD=AC,连结DE,在△ADE与△ACE中，AD=AC，∠DAE=∠CAE，AE=AE，所以△ADE≌△ACE, 于是ED=EC,从而AB+AC=AB+ADb, 自C作CE⊥AB，CF⊥AD, E,F为垂足。因对角线AC平分∠DAB，有CE=CF。 又BC=DC，于是Rt△CEB≌Rt△CFD，∠B=∠CDF, ∠ADC+∠B=∠ADC+∠CDF=180º; (2) 当a与b满足a=b 且∠B=90 º时，显然有∠D+∠B=180º。 第2讲 轴对称 几何，当它与艺术结合起来时，其力量是不可抗拒的。 ——欧里庇得斯 知识方法扫描 1、轴对称图形 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称， 线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴；角也是轴对称图形，角的平分线是它的对称轴。 2、轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点，这条直线叫做对称轴，两个图形关于直线对称也叫做轴对称。 3、线段和角都是轴对称图形，线段的垂直平分线和角的平分线是它们的对称轴；等腰三角形也是轴对称图形，它的对称轴是底边上的高。 经典例题解析 例1．在直角坐标系中，A点的坐标是(2,3), 则A点关于x轴的对称点的坐标是 ,A点关于y轴的对称点的坐标是 ,A点关于直线y=x的对称点的坐标是 ,A点关于直线y=-x的对称点的坐标是 . 解 A点关于x轴的对称点的坐标是（2，-3），A点关于y轴的对称点的坐标是（-2，3），A点关于直线y=x的对称点的坐标是（3，2），A点关于直线y=-x的对称点的坐标是(-3,-2). 评注 一般地，点(a,b) 关于x轴的对称点的坐标是(a,-b), 关于y轴的对称点的坐标是(-a,b), 关于直线y=x的对称点的坐标是(b,a), 关于直线y=-x的对称点的坐标是(-b,-a). 例2．如图, 已知∠AOB与线段CD, 求作一点P, 使点P到CD的两端点距离相等且∠AOB两边的距离也相等. 解 (1)作线段CD的垂直平分线MN； (2)作∠AOB的平分线OE交MN于点P, 由作法知点P既在CD的垂直平分线上, 又在∠AOB的角平分线 上, ∴点P为所求. 例3．有一张矩形纸片ABCD，上面画有一个角的两边m，n，但是这个角的顶点P在纸片的外部，试在纸片上作出∠P的平分线来。 作法：(1)在纸片上作直线h⊥m；作n关于h的对称直线n’, n’与m交于P’； (2)作∠P’的平分线p’; (3)作p’关于h的对称直线p.则p所在的直线也是∠P的平分线所在的直线。 评注 我们将这种类型的题称为不可及点作图问题 这个利用轴对称变换来解答的作法是解决不可及点作图问题的一般方法。 例4．设D为等腰△ABC底边BC的中点，E为△ABD内任一点，求证： 证明 如图，以AD为对称轴，作△AE'C对称于△AEB. 设EC交AD于F，EC=EF + FC= EF+ FB>BE． 于是E’必落在△AFC的内部. 延长AE'交EC于G，则 例5．（2001年广西“创新杯”初中数学竞赛试题）在直角坐标系xOy中，x轴上的动点M（x，0）到定点P（5，5），Q（2，1）的距离分别为MP和MQ，当点M的横坐标的值是多少时，MP＋MQ的值最小？ 解 作点Q关于x轴的对称点（2，－1）。 设直线PR为y＝kx＋b，则有 解得 所以直线PR的解析式为y＝2x－5。 令y＝0，解出x＝ 即为所求。 下面证明点M0（ ，0）使MP＋MQ取最小值。 设PR与x轴的交点为M0（ ，0），在x轴上任取一点M，因为点Q关于x轴的对称点为R，易知x轴垂直平分QR，于是 M0Q＝M0R，MQ＝MR， 由三角形三边关系，知 MP＋MR≥PR， 而PR＝PM0＋M0R＝M0P＋M0Q， 所以MP＋MQ≥M0P＋M0Q。 即M0（ ，0）使MP＋MQ取最小值。 例6．（2003年重庆市初中数学竞赛试题）某台球桌为如图所示的长方形ABCD，小球从A沿45。角击出，恰好经过5次碰撞到B处，则AB:BC=( )。 (A) 1:2 (B) 2:3 (C) 2:5 (D) 3:5 解 作A点关于BC的对称点A’，B点关于AD的对称点B’，设CD的中点为M，作M点关于AD的对称点M’，关于BC的对称点M”。 连A’M’交AD、BC于H、G，连B’M”交AD、BC于E、F。 小球路线为A→H→G→M→F→E→B.不难看出，AE=EG=2GD=CD，故AB:BC=2:5. 例7．在△ABC中， P是△ABC形内一点，且 AP=AC，PB=PC。求证： 证明 作PM⊥BC于M，作A关于PM的对称点A’，连结A'B、A'P、AA’． ∵A、A’关于PM对称，PM⊥BC，AA’∥BC. ∴A'B = A’A = AC= AP = A’P. ∴A'AP为等边三角形， 即 例8．（第十二届“希望杯”数学竞赛试题）如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形EFGH，若EH=3，EF=4，求线段AD与AB的比。 分析 将矩形ABCD四个角向内翻折，利用轴对称，知△AEH与△MEH重合，△BEF与△MEF重合． 解 将△AEH折起与△MEH重合，得AE=EM． 同理，将△BEF折起与△MEF重合，得BE=EM，故AE=BE. ∴E是AB的中点． 同理，可得G是CD的中点，连EG. ∴ EG∥AD，EG=AD. 又EG是矩形EFGH的一条对角线， ∴ EG=HF．AD=HF． 在矩形EFGH中，EH=3，EF=4， ∴ HF=5．AD=5． 又在Rt△EFH中， 又E是AB的中点， 评注 图形经过翻折，实际是做轴对称变换，可以带来很多的边、角相等条件，合理的利用这些条件，可快速、简捷的解决题目， 第3讲 等腰三角形和等边三角形 几何学是在不准确的图形上进行正确推理的艺术。                 ——波利亚 知识方法扫描 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，等腰三角形是一种轴对称图形，它的底角相等，它的底边上的高和中线，顶角的平分线重合。 三边相等的三角形叫等边三角形，等边三角形三个内角都是60º。 在出现等腰三角形的题目中，常用的辅助线作出等腰三角形底边上的高（对称轴）。这样可以得到一对全等的直角三角形。根据题目的条件与结论，选取合适的对称轴往往是解题的突破口。此外，在有一个角是60º的情况下，构造等边三角形也是常用的方法。 经典例题解析 例1．（2003年重庆市初中数学竞赛决赛试题）在等边三角形ABC所在平面内确定一点P,使、、都是等腰三角形。则满足条件的点P共有（　　　　） （A）1个 （B）4个 （C）7个 （D）10个 解 除了等边三角形ABC的中心外，我们考察BC垂直平分线上的点： P1是A点上方的点，A P1等于等边三角形ABC的边长； P1是BC下方的点，A P2等于等边三角形ABC的边长； P3也是BC下方的点，三角形P3BC是等边三角形。 在AB，AC的垂直平分线上也各有3个点，一共是3+3+3+1=10个点。选D。 例2．（2003年全国初中数学联赛试题）如图，AA′，BB′分别是∠EAB，∠DBC的平分线，若AA′＝BB′＝AB，则∠BAC的度数为________。 解 设∠BAC的度数为x。 因AB＝BB′， 所以∠B′BD＝2x，∠CBD＝4x。 又AB＝AA′， 故∠AA′B＝∠ABA′＝∠CBD＝4x。 因∠A′AB＝ （180°－x）， 所以 （180°－x）＋4x＋4x＝180°。 解之得 x＝12°。 评注 本题的结果告诉我们：两条外角平分线相等的三角形不一定是等腰三角形。 例3．（2002年河南省初中数学竞赛试题）如图，D为等边三角形ABC内一点，BF=AB，∠DBF=∠DBC，求∠BFD的度数。 解 因△ABC是等边三角形，故AC=BC=AB，∠ACB=60º。连结CD。 在△ACD和△BCD中，AC=BC，DA=DB，CD=CD， 于是△ACD≌△BCD， ∠ACD=∠BCD= ∠ACB=30º，BF=BC。 所以BF=BC。 在△BFD和△BCD中，BF=BC，∠DBF=∠DBC，BD=BD，于是 △BFD≌△BCD，故∠BFD=∠BCD=30º。 例4．（1999年重庆市初中数学竞赛试题） 如图，等腰直角ΔABC中，∠BAC=90°, AD=AE，AF⊥BE交BC于F， 过F作FG⊥CD交BE延长线于点G，求证：BG=AF+FG 证明 过C作AB的平行线交AF的延长线于P. 在△ABE和△APC中，因AF⊥BE，故∠ABE=∠CAP。 又因CP⊥AC,AB=AC，故△ABE≌△APC. 则有BE=AP. ① 在△ABE和△ACD中，因AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠CAB， 所以，△ABE≌△ACD，有∠ABE =∠ACD 因∠AEB和∠CMF分别是∠ABE和∠ACD的余角，所以∠AEB=∠CMF，则∠CMF=∠P。 因∠ACB=45º，故∠FCP=90º-45º=45º，有∠MCF=∠FCP。 又FC=FC，所以△MCF≌△PCF，则MF=PF。 ② 又因∠AEB=∠CMF，知△MGE为等腰三角形，所以EG=MG。 ③ 由①②③知 BE+EG=AP+MG=AF+FP+MG=AF+FM+MG 即 BG=AF+FG。 例5．（1997年荆州市初中数学竞赛试题）如图所示，ΔABC是边长为1的等边三角形，ΔBDC为等腰三角形，顶角∠BDC=120º，M,N分别是线段AB,AC上的点，且∠MDN=60º，延长AC到T，使CT=BM. （1）求证：∠CTD=∠BMD; （2）求ΔAMN的周长。 解 (1)∵△BDC是顶角∠BDC=120º的等腰三角形。 ∴∠DBC=∠DCB=30º. 又△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60º. ∴∠MBD=∠NCD=∠TCD=90º. 又DB=DC,MB=TC, ∴△MBD≌△TCD.故∠CTD=∠BMD. (2) 由上 △MBD≌△TCD 得 ∠CDT=∠BDM,且DT=DM. 而 ∠BDC=∠BDM+∠MDN+∠NDC=120º,∠MDN=60º, ∴∠BDM+∠NDC=60º,∴∠NDT=∠CDT+∠NDC=60º=∠NDM. ∴△NDT≌△NDM.. ∴ MN=NT=NC+CT=NC+MB. 故 △AMN的周长=AM+MN+AN =AM+NC+MB+AN=AB+AC=1+1=2. 例6．（第5届希望杯数学邀请赛试题）如图，五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠BAE=∠BCD=120°，∠ABC+∠AED=180°，连接AD．求证：AD平分∠CDE． 证明 延长DE到F， 使得EF=BC，连结AF，AC。 因∠ABC+∠AED=180°， 而∠AEF+∠AED=180°，所以∠ABC=∠AEF。 在△ABC与△AEF中，AB=AE，∠ABC=∠AEF， BC = EF， 所以△ABC≌△AEF，于是AC=AF。又CD=BC+DE=EF+DE=DF。 在△ACD与△AFD中，AC=AF，CD= DF，AD=AD，所以△ACD≌△AFD， 于是∠ADC=∠ADF，即AD平分∠CDE． 评注 由上面的证法可以看出：题目中的条件∠BAE=∠BCD=120°是多余的。 例7．（第6届“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题）在等腰ΔABC中，AB=AC，∠A＝20°，顶角在AB上取一点D，使AD=BC，求∠BDC的度数 解 因AD=BC，∠A＝20°， 故∠ABC=∠ACB=80º。 如图作△EAD≌△ABC，连结EC。 则∠EAD=∠EDA=80º，∠AED＝20° AE=DE=AB=AC。 因∠EAC=∠EAD-∠CAB=60º， 故△AEC是等边三角形。 ∠AEC＝∠ACE＝60º。 ∠DEC=∠CEA-∠AED=40º，而ED=EA=EC， 故∠EDC=∠ECD=70º。 于是∠BDC=180 º-∠EDC-∠ADE=180 º-70º-80º=30°。 评注 构造等边三角形来解题，是一种重要的解题方法。 例8．等腰三角形ABC中，AB= AC,∠A=100，BE是∠ABC的平分线，求证：AE+ BE=BC． 证法1 由已知条件不难算出：∠1=∠2=20º，∠5=60º，∠7=40º 延长BE到G，使BG=BC，连结CG，不难得到∠G=80º， ∠8=40º,∠6=60º。 在BC上截取BF=BA，连结EF，易证△ABE≌△FBE, 从而∠3=∠5=60º，EF=AE． 在△EFC与△EGC中，∠4=180º-（∠5+∠3）=60º=∠6，CE=CE，∠7=∠8，故△EFC≌△EGC，EF=EG，从而EG=AE． AE+BE=EG+BE=BG=BC. ∴AE+BE=EG+BE=BG=BC. 证法2 由已知条件可以算出：∠1=∠2=20º，∠5=60º,∠C=40º， 在BC上截取BG=BE，连结EG，计算后可知 ∠7 =∠BEG=80º，∠4=∠7-∠C=40º， 于是∠4=∠C，EG=GC． 又在BC上截取BF=BA，连结EF.显然△ABE≌△FBE， 从而∠5=∠3，于是∠3=60º，又AE=EF. 因∠6=∠3+∠1=60º +20º= 80º =∠7，故EF=EG， 从而AE= GC． ∴ AE+BE=GC+BG=BC. 证法3 在BC上截取BG=BE，连结EG．易求得 ∠4=40º，∠7=80º，从而∠5=100º=∠A． 过E作EF∥BC交AB干F，显然△AEF也是等腰三角形，从而AF=AE，于是有FB=EC.又∠3=∠1=∠2，故有 EF=FB. 又∠6=∠ABC= 40º=∠4，所以△AEF≌△GEC， 故有AE=GC． ∴ AE+BE=GC+BG= BC. 证法4 延长BE到G，使EG=EA.不难算出 ∠1=∠2=20º，∠4=60º。，从而∠G=∠5=300º， 再过A作AM⊥BC，M为垂足， 由等腰三角形性质知M是BC的中点． 连结GA，过B作BN⊥GA，垂足为N，∠GBN=90º-∠G=60º， ∠3= ∠GBN-∠2=60º-20º=40º =∠ABC. 又AB是公共边，故有Rt△ABN≌Rt△ABM，从而BN=BM. 但BN= BG, BM= BC，BG=BC,即BE+EG=BC，也就是BE+AE=BC. 第4讲 直角三角形 看不起欧氏几何，就好像是从国外回来看不起自己的故乡。 ——H.G.弗德 知识方法扫描 有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。它的两个锐角互为余角；两直角边的平方和等于斜边的平方（即勾股定理，我们会在另外一讲专题讨论）。 关于直角三角形有如下两个重要的定理： ①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； ②直角三角形中，如果有一个锐角是30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 上述两个命题的逆命题也是成立的： ①如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形； ②直角三角形中，若有一条直角边等于斜边的一半，则它所对的角等于30 º 判定两个直角三角形全等，除了一般的三角形全等的方法外，还有“斜边、直角边”的方法。 经典例题解析 例1．（2002年湖北省黄冈市初中数学竞赛试题）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，沿过点B的一条直线BE折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点为D，要使点D恰为AB的中点，问在图中还需添加什么条件？ （1）写出两个满足边的条件； （2）写出两个满足角的条件； （3）写出一个满足除过、角以外的其他条件。 解 要使D为AB 的中点，可添加下列条件之一： 角的关系： ①∠A＝∠DBE； ②∠A＝∠CBE； ③∠DEA＝∠DEB； ④∠DEA＝∠BEC； ⑤∠A＝30°； ⑥∠CBD＝60°； ⑦∠CED＝120°； ⑧∠AED＝60°。 边的关系： ①AB＝2BC；②AC＝ BC；③2AC＝ AB； ④BE＝AE。 三角形的关系：△BEC≌△AED。 例2．（1995年广州，武汉，福州，西安，洛阳五市初中数学联赛试题） 如图，D，E是等边△ABC两边上的两个点，且AE=CD， 连结BE，AD交于点P，过B点作BQ⊥AD于Q， 求证：BP：PQ=2。 证明 在△CAD与△ABE中，CA=AB，∠C=∠EAB，CD=AE， 故△CAD≌△ABE。于是∠CAD=∠ABE。 于是∠QPB=∠PAB+∠PBA=∠PAB+∠PAE=60º。 又BQ⊥AD，所以∠QBP=30º，于是PQ= BP，即BP：PQ=2。 例3．(1986年成都市初二数学竞赛试题)已知△ABC中,AB=AC，∠A=120°，D是BC的中点，DE⊥AB于E，求证：BE=3AE。 证明 因AB=AC，∠A=120°，故∠B=∠C=30°。 又D是BC的中点，故AD⊥BD。 在Rt△ADB中，AD= AB。 因DE⊥AB，∠ADE=90º-∠BAD=∠B=30°，所以AE= AD 。 于是BE=AB-AE=2AD-AE=4AE-AE=3AE。 例4．如图, 已知△ABC中, ∠B＝30°, ∠C＝15°, D是BC上一点, ∠CAD＝90°, 求证：CD＝2AB. 证明 取DC中点M, 连结AM, 则AM=NC=MD， 于是∠CAM＝∠C， 所以∠AMD＝∠CAM+∠C= 2∠C＝30°＝∠B, 即 AM=AB。 故CD＝2AM＝2AB. 例5．如图，ΔABC中，BD，CE是两条高，F，G分别是BC，DE的中点，求证：FG⊥DE。 证明 如图，连接FD,FE。 ∵BD⊥AC, F为BC的中点， ∴DF= BC. 同理，EF= BC, ∴DF=EF. 而 G为DE的中点， ∴FG⊥DE. 例6（1993年北京市初中数学竞赛试题）△ABC中，∠B=900，M为AB上一点，使AM=BC，N为BC上一点，使得CN=BM，连接AN，CM交于P点，试求∠APM的度数，并写出你的推理证明的过程。 解 如图，过C作CD∥AB，且CD=AM，连接AD，DN， 则四边形AMCD为平行四边形，有AD∥CM，AD=CM。 因AM=BC，故DC=BC， 又∠DCN=∠B=900，CN=BM，故Rt△DCN≌Rt△CBM, 所以DN=CM. 从而有DN=AD， 而且 ∠ADN=∠MQN= ∠MCB+∠QNC= ∠MCB+∠CMB =900, 故△AND是等腰直角三角形，∠DAN=450. 于是∠APM=∠DAN=450. 例7. (1998-1999学年度天津市初二数学竞赛试题)如图所示．∠A=90°，AB=AC，M是AC边的中点，AD⊥BM交BC于D，交BM于E．求证：∠AMB=∠DMC． 分析 从图形观察∠AME与∠DMC所在的两个三角形△AME与△DMC显然不全等，但是这两个三角形中有其他相等元素：AM=MC．若能利用已知条件在现有的三角形中构造出新的对应相等的元素，形成全等三角形，这是理想不过的事．由于∠C=45°，∠A=90°，若作∠A的平分线AG，则在△AGM中，∠GAM=45°=∠C．结合求证中的∠AMB=∠DMC(这当然不能作为已知，但在分析中可以“当作已知”来考虑，以便寻找思路)，我们可以断言△AGM“应该”与△CDM全等！为此，只要在这两个三角形中求得一组边相等即可．图形及条件启发我们可考虑去证明△AGB≌△CDA． 证明 作∠BAC的平分线AG，交BM于G。 在△AGB与△CDA中，因为AB=CA，∠BAG=∠ACD=45°， ∠ABG=90°-∠AMB， ① ∠MAD=90°-∠EAB． ② 由于在Rt△MAB中，AE⊥BM，所以∠AMB=∠EAB．由①，②，∠ABG=∠MAD， 所以△AGB≌△ADC(ASA)，于是 AG=CD． 在△AMG与△CMD中，还有 AM=MC，∠GAM=∠DCM=45°，所以 △AMG≌△CMD，从而 ∠AMB=∠DMC． 例8.（1999年武汉市初中选拔赛试题）如图，在RtΔABC中，CD是斜边AB上的高，O，O1，O2分别是ΔABC，ΔACD，ΔBCD的角平分线的交点，求证：（1）O1O⊥CO2；（2）O1O=CO2。 证明 (1)由题设O,O1都在∠A的平分线上， 设该平分线交C O2于E。 因∠A=∠DCB,故∠EAC=∠O2CB， 于是∠EAC+∠ACE=∠O2CB+∠ACE=90º， 故∠AEC=90º，O1O⊥CO2。 （2）由于点O1 ，O2分别在∠ACD和∠DCB角的平分线上， 故∠O1 CO2=45 º， 由（1）∠O1EC=90º，有CE=E O1 。 同理设O2O交C于F，则O2F⊥CF，∠O O2 E=45 º，有O2 E =EO。 又∠CEO=∠O2 E O1，故△CEO≌△O2 E O1，于是OC=O1O2. 第5讲 实 数 如果谁不知道正方形的对角线同边是不可通约的量，那他就不值得人的称号。 ——柏拉图 知识方法扫描 1. 平方根和立方根 如果一个数的平方等于a, 则称这个数为a的平方根。正数a有两个平方根, 表示a的平方根中非负的一个，称为a的算术平方根. 正数a的两个平方根是± 。显然，(± )2 = a . 在式子 中，a≥0；对于式子 ，有 =|a|. 如果一个数的立方等于a,则称这个数为a的立方根。数a的立方根记作 。( )=a . 2．实数 有理数和无理数统称为实数。有理数包括整数和分数，无限不循环小数是无理数。 两个有理数的和差积商都是有理数，一个无理数与一个非零有理数的积是无理数。有理数能够写成两个整数之商的形式，而无理数不能够写成两个整数之商的形式。 判断一个数是有理数的方法是：其一是证明它可以写成两个整数的商的形式，其二是证明它是循环小数。反之，判断一个数是无理数的方法是：其一是证明它不能写成两个整数的商的形式，其二是证明它不是循环小数，一般要用到反证法。 利用无理数不等于有理数这个结论来解题，是一种重要的方法。 经典例题解析 例1．（1）说明边长为1的正方形的对角线的长度为 ； （2）证明 是无理数； 解 （1）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形。 它的面积是1。三角形ABC的面积是 ，将4个与三角形ABC 一样大的三角形拼成一个正方形ACFE，它的面积是2， 所以它的边长为AC= ，也就是说正方形ABCD的对角线的长度为 。 （2）用反证法．假设 不是无理数，则 是有理数，设 = （p,q是互质的正整 数），两边平方后整理得p2=2q2. 所以p一定是偶数．设p=2m(m是自然数)，代入上式得 4m2＝2q2，q2＝2m2， 所以q也是偶数，p与q均为偶数和p与q互质矛盾，所以 不是有理数,于是 是无理数 。 评注 （1）只要p是质数， 就一定是无理数 ，这个结论的证明与p=2时类似，我们将它的证明留给读者。 （2）利用无理数不等于有理数这个性质，我们可以解答许多类似的问题。 例2．若a,b,c是三角形的三边，化简： 。 分析 解答这个问题的关键是会化简形如 一类式子。由算术平方根的定义知， 表示一个非负实数，它的平方等于a2，于是这个数就是a（a≥0）或-a（a<0）,故有 =|a|. 解 注意到a,b,c是三角形的三边，则有a+b>c,a+c>b,a0时，随的增大而增大；当k<0时，随的增大而减小。 在本讲中应该掌握以下各点： ① 利用待定系数法来确定一次函数的方法 ② 一般的一次函数没有最大值或最小值。但是当自变量的取值范围有限制时，在端点处可以取到最大值或最小值。 ③ 要注意运用数形结合的方法来解题。 ④ 在应用问题中，要特别注意自变量的取值范围。 经典例题解析 例1．（2002年江苏省初中竞赛试题）HJ牌小汽车的油箱可装气油30L，原来装有汽油10L，现在再加汽油xL。如果每升汽油2.95元，油箱内汽油的总价（y）元与x（L）之间的函数关系是 ，并在直角坐标系中画出其图像。 解 设y=kx+b，则由题意知,当x=0时，y=29.5; 当x=0时，y=88.5。于是有 29.5=b, 88.5=20k+b。 解得 k=2.95, b=29.5，且0≤x≤20. 所以函数关系是 y=2.95x+29.5（0≤x≤20）. 其图像如右图所示。 例2．（2008年第6届创新杯全国数学邀请赛8年级试题）已知y=kx-3k+2的图象与y轴正半轴，x轴正半轴分别交于A,B，且OA+OB=12，求k的值。 解 取x=0,得y=-3k+2, 所以A(0,-3k+2); 取y=0, 得x=3- 。 因 OA+OB=12, 故(-3k+2)+( 3- )=12, 3k2+7k+2=0, (3k+1)(k+2)=0, 所以 k=- 或k=-2. 例3 (1996年上海市初中数学竞赛试题)已知函数y=|x-a|+|x+19|+|x-a-96| 其中a为常数，且19N (B) M