浙大2010年数分真题解答

èÆk) · · · · · · uia.china@gmail.com· · · · · ·›Š 1 úŒ2010ê© To my parents 1 OŽe�4ÚÈ© 1.1 lim n→∞ (n+1)2∑ k=n2 1√ k )‰. d 2n+ 2 n+ 1 ≤ (n+1)2∑ k=n2 1√ k ≤ 2n+ 2 n  �ª = 2. 1.2 ∫∫ [0,pi]×[0,1] y sin(xy)dxdy )‰. �ª = ∫ 1 0 dy ∫ pi 0 y sin(xy)dx = ∫ 1 0 [1− cos(piy)] dy = 1. 1.3 lim x→0 ex sinx− x(1 + x) sin3 x )‰. �ª = lim x→0 ex sinx− x− x2 x3 = lim x→0 ex(sinx+ cosx)− 1− 2x 3x2 = lim x→0 2ex cosx− 2 6x = 1 3 lim x→0 ex(− sinx+ cosx) = 1 3 . èÆk) · · · · · · uia.china@gmail.com· · · · · ·›Š 2 1.4 OŽ ∫∫ Σ zdxdy Ù¥Σ´n�/ {(x, y, z); x, y, z ≥ 0, x+ y + z = 1},Ù{• †(1, 1, 1)ƒÓ. )‰. dGaussúª, �ª = ∫∫∫ x,y,z≥0 x+y+z≤1 dxdydz = 1 3 . 1.5 ∫ 2pi 0 √ 1 + sin xdx )‰. �ª = ∫ 2pi 0 |cosx|√ 1− sinxdx = ∫ pi 2 0 + ∫ 3pi 2 pi 2 + ∫ 2pi 3pi 2 |cosx|√ 1− sinxdx = −2 (1− sinx) 12 ∣∣∣pi2 0 + 2 (1− sinx) 12 ∣∣∣ 3pi2 pi 2 − 2 (1− sinx) 12 ∣∣∣2pi 3pi 2 = 2 + 2 √ 2− 2 ( 1− √ 2 ) = 4 √ 2. 1.6 ∫ 1 0 ln(1 + x) 1 + x2 dx )‰. �ª = ∫ pi 4 0 ln(1 + tan θ)dθ (x = tan θ) = ∫ pi 4 0 ln(sin θ + cos θ)dθ − ∫ pi 4 0 ln cos θdθ = ∫ pi 4 0 ln [√ 2 cos ( θ − pi 4 )] dθ − ∫ pi 4 0 ln cos θdθ èÆk) · · · · · · uia.china@gmail.com· · · · · ·›Š 3 = pi 8 ln 2 + ∫ 0 −pi 4 ln cosαdα ( θ − pi 4 = α ) − ∫ pi 4 0 ln cos θdθ = pi 8 ln 2. 2 �an = sin an−1,n ≥ 2,…a1 > 0.OŽ lim n→∞ √ n 3 an. )‰. • lim n→∞ an = 0. ¯¢þ, |an| ≤ |sin |an−1|| ≤ |an−1| , lim n→∞ |an| = A3.u an = sin an−1 ü>-n→∞,k A = lim n→∞ |an| = lim n→∞ ± sin |an−1| = ± sinA. A = 0. • lim n→∞ √ n 3 an =  1, e 2kpi < a1 < 2kpi + pi, 0, e a1 = kpi, −1, e 2kpi + pi < a1 < 2kpi + 2pi, k = 1, 2, · · · . ¯¢þ, F �a1 = kpiž,an = 0, lim n→∞ √ n 3 an = 0. F �a1 6= kpiž, an { > 0, e 2kpi < a1 < 2kpi + pi, < 0, e 2kpi + pi < a1 < 2kpi + 2pi. èÆk) · · · · · · uia.china@gmail.com· · · · · ·›Š 4 �dž,=Ly lim n→∞ n 3 a2n = 1. ùŒÏLStolzúªá=��: lim n→∞ n 3 a2n = 1 3 lim n→∞ n 1 a2n = 1 3 lim n→∞ 1 1 a2n − 1 a2n−1 = 1 3 lim n→∞ 1 1 sin2 an−1 − 1 a2n−1 = 1 3 lim n→∞ a2n−1 sin 2 an−1 a2n−1 − sin2 an−1 = 1 3 lim x→0 x2 sin2 x x2 − sin2 x = 1 3 lim x→0 x3 x− sinx · x x+ sinx · sin 2 x x2 = 1 6 lim x→0 x3 x− sinx = 1 6 lim x→0 3x2 1− cosx = 1 2 lim x→0 2x sinx = 1. 3 �¼êf(x)3(−∞,+∞)þëY,n Ûê.y:e lim n→+∞ f(x) xn = lim n→−∞ f(x) xn = 1. K§f(x) + xn = 0k¢Š. y². dK¿, ∃ A > 0, s.t. { x ≤ −A ⇒ f(x) xn ≥ 1 2 ⇒ f(x) ≤ 1 2 xn, x ≥ A ⇒ f(x) xn ≥ 1 2 ⇒ f(x) ≥ 1 2 xn. èÆk) · · · · · · uia.china@gmail.com· · · · · ·›Š 5 f(A) + An ≥ 3 2 An > 0 > −1 2 An ≥ f(−A) + (−A)n, u´dëY¼ê0Š½n,∃ ξ ∈ (−A,A), s.t. f(ξ) + ξn = 0. 4 y² ∫ ∞ 0 sinxy y dy 3[δ,+∞)þ˜—ëY(Ù¥δ > 0). y². • ∫ ∞ 0 sinxy y dy ˜—Âñu[δ,∞). ¯¢þ,Ϗ lim y→0 sinxy y = lim y→0 sinxy xy · x = x, 9 ∫ ∞ 0 sinxy y dy = ∫ 1 0 + ∫ ∞ 1 sinxy y dy, I�y‡~È© ∫ ∞ 1 sinxy y dy ˜—Âñ, ^Dirichlet�O{: F ∣∣∣∣∫ A 1 sinxydy ∣∣∣∣ ≤ 2x ≤ 2δ <∞, F 1 y 'uy4~… lim y→∞ 1 y = 0. • ∫ ∞ 0 sinxy y dy ˜—ëYu[δ,∞). d ∫ ∞ 0 sinxy y dy˜—Âñu[δ,∞)é?¿�½�ε > 0, ∃ A > 0, s.t. x ∈ [δ,∞)⇒ ∣∣∣∣∫ ∞ A sinxy y dy ∣∣∣∣ < ε3 , èÆk) · · · · · · uia.china@gmail.com· · · · · ·›Š 6 k ∣∣∣∣∫ ∞ 0 sinxy y − sinx ′y y dy ∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣∫ A 0 sinxy y − sinx ′y y dy ∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∫ ∞ A sinxy y dy ∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∫ ∞ A sinx′y y dy ∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∫ A 0 (x− x′) cos (ξxyy) dy ∣∣∣∣+ 2ε3 (Lagrange¥Š½n) ≤ A |x− x′|+ 2ε 3 ≤ ε, � |x− x′| < ε 3A ž. = ∫ ∞ 0 sinxy y dy'ux3[δ,∞)þ˜—Âñ. 5 �f(x)ëY.y²Possionúª:∫ x2+y2+z2=1 f(ax+ by + cz)ds = 2pi ∫ 1 −1 f (√ a2 + b2 + c2t ) dt. y². • �a = b = c = 0ž,w,¤áPossionúª. • ÄK,^²¡ ax+ by + cz√ a2 + b2 + c2 = t (t ∈ R)�¥¡x 2 +y2 +z2 = 1, ©¡¦È, d{¡Èúª,∫ x2+y2+z2=1 f(ax+ by + cz)ds = ∫ 1 −1 dt ∫ x2+y2+z2=1 ax+by+cz= √ a2+b2+c2t f = 2pi ∫ 1 −1 f (√ a2 + b2 + c2t ) dt. 6 �{an}n≥1 , {bn}n≥1 ¢êS�,÷v (1) lim n→+∞ |bn| =∞. (2) { 1 |bn| n−1∑ i=1 |bi+1 − bi| } n≥1 k.. èÆk) · · · · · · uia.china@gmail.com· · · · · ·›Š 7 y²:e lim n→∞ an+1 − an bn+1 − bn 3,K lim n→∞ an bn 3. y². P cn = an+1 − an bn+1 − bn , ؔb� lim n→∞ cn = c = 0.eØ,, ^an − cbn“Oan, lim n→∞ (an+1 − cbn+1)− (an − cbn) bn+1 − bn = 0, lim n→∞ an bn = lim n→∞ an − cbn bn + c. y lim n→∞ an bn = 0. d • { 1 |bn| n−1∑ i=1 |bi+1 − bi| } n≥1 k., �.M > 0. • lim n→∞ cn = 0é?¿�½�ε > 0, ∃ N1 > 0, s.t. n ≥ N1 ⇒ |cn| < ε 2M . • lim n→∞ bn = 0éþãN1, ∃ N > 0, n ≥ N ⇒ |aN1 ||bn| < ε 2 . yk an = an−1 + cn−1 (bn − bn−1) èÆk) · · · · · · uia.china@gmail.com· · · · · ·›Š 8 = · · · = aN1 + n−1∑ i=N1 ci (bi+1 − bi) , ∣∣∣∣anbn ∣∣∣∣ ≤ |aN1||bn| + maxN1≤i≤n−1 · n−1∑ i=N1 |bi+1 − bi| |bn| ≤ ε 2 + ε 2M ·M = ε, � n > N ž. � lim n→∞ an bn = 0.