a东南大学《工程矩阵理论》试卷样卷及答案(修改)3

工程矩阵理论试卷样卷10a 一、假如 。 1、记 。证明： 是 的子空间。 2、若A是单位矩阵，求 。 3、若 ， 。求这里V（A）的一组基及其维数。 4、假如 。问：对上一中的 和 ， 是否为直和？说明理由。 解： 1、证明子空间，即为证明该空间关于加法和数乘封闭。即若有 ， ， 。 设 ， ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 是 的子空间。 2、若A是单位矩阵，则 ，因为对单位阵I来说， 恒成立，故， 。 3、若 ， ，设 ，有 ，即， ，→ 有 ，故 = 故X的一组基为 ，维数为2。 4、 ，即 ，其基为 。 下面计算 ，若 ，则是直和。 。 =（ 、 基的极大线性无关组）， 为极大线性无关组（可以不求，从上式即可看出 ）， + 不是直和。 二、假如 ， ，在 上定义变换如下： 。 1、证明： 是 上的线性变换。 2、求 在 的基 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 下的矩阵M。 3、试求M的jordan标准形，并写出 的最小多项式。 4、问：能否找到 的基，使得 的矩阵为对角阵？为什么？ 解： 1、 有： ，有 ←加法封闭 ，有 ←数乘封闭 EMBED Equation.DSMT4 是 上的线性变换。 2、 3、 M的若当标准形为 ， 的最小多项式为 4、 ， ，基础解系为 ， ， ， ，基础解系为 这四个基础解系所对应的基均线性无关，故能找到找到 的基，使得 的矩阵为对角阵。 三、设 的子空间 ， ，求 ，使得 。 解： 思路：求V的基 → 由该基生成 ； 的含义是指在V中找一向量 ，使得 的距离最短，即寻找 在V中的正投影。作图如右侧。 由 ，得V的基为 ， 则 ， ， 或 四、设 ，求 及矩阵函数 。 解： （2重根） 时， ，故A的jordan标准形为 ，A的最小多项式为 。 令 ， （计算略） 令 ， (太麻烦了，不算啦！) 五、已知矩阵A的特征多项式 及最小多项式 都等于 ，并且矩阵 。 1、分别给出A和B的jordan标准形； 2、问：A与B是否相似？为什么？ 解： A的特征多项式 及最小多项式 都等于 ，故A的jordan标准形为： ， A和B有相同的jordan标准形，故A、B相似。 六、已知矩阵 ，求A的广义逆矩阵 。 解：对A进行分块： 对 进行满秩分解， 对 进行满秩分解， 七、证明题： 1、假如 是欧几里德空间V中单位向量，V上的线性变换 如下：对任意 ， （镜像变换）。证明： 是V上的正交变换。 证明：要证 是V上的正交变换，只要证明 下的矩阵是一个正交矩阵即可。 将 扩充V上的一组标准正交基 ， EMBED Equation.DSMT4 可看出， 下的矩阵中，所有的行向量或列向量均为单位正交向量，故 是V上的正交变换。 2、设H阵A，B均是正定的，并且AB=BA，证明：AB是正定矩阵。 证明： A，B均是正定的H阵，故 ， ，且 酉矩阵P、Q，st. , 要证明AB是正定矩阵，首先要证AB是H阵。 AB是H阵。 即 ∽ ， 是正定矩阵，故 的特征值均大于0，所认 特征值也大于0，故AB正定。 � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� V PAGE 7 _1338109063.unknown _1338111510.unknown _1338125306.unknown _1338147444.unknown _1339477440.unknown _1339477495.unknown _1339477665.unknown _1339477722.unknown _1339477866.unknown _1339477886.unknown _1339477984.unknown _1339477754.unknown _1339477699.unknown _1339477585.unknown _1339477595.unknown _1339477530.unknown _1339477555.unknown _1339477502.unknown _1339477466.unknown _1339477488.unknown _1339477451.unknown _1339477459.unknown _1338148679.unknown _1338149269.unknown _1338150180.unknown _1338150848.unknown _1338152121.unknown _1338152314.unknown _1338152571.unknown _1339477394.unknown _1338152414.unknown _1338152306.unknown _1338152016.unknown _1338152096.unknown _1338150935.unknown _1338150968.unknown _1338150864.unknown _1338150479.unknown _1338150521.unknown _1338150825.unknown _1338150507.unknown _1338150423.unknown _1338150461.unknown _1338150385.unknown _1338149486.unknown _1338149711.unknown _1338149751.unknown _1338149684.unknown _1338149354.unknown _1338149466.unknown _1338149311.unknown _1338148887.unknown _1338148972.unknown _1338149043.unknown _1338148922.unknown _1338148783.unknown _1338148222.unknown _1338148526.unknown _1338148538.unknown _1338148577.unknown _1338148447.unknown _1338148510.unknown _1338148178.unknown _1338148207.unknown _1338148105.unknown _1338147871.unknown _1338126137.unknown _1338147141.unknown _1338147427.unknown _1338147434.unknown _1338147332.unknown _1338126340.unknown _1338146633.unknown _1338146680.unknown _1338126472.unknown _1338126309.unknown _1338125513.unknown _1338126061.unknown _1338126089.unknown _1338125737.unknown _1338125423.unknown _1338125458.unknown _1338125370.unknown _1338112020.unknown _1338124296.unknown _1338124792.unknown _1338124953.unknown _1338124658.unknown _1338124778.unknown _1338124357.unknown _1338124101.unknown _1338124174.unknown _1338112266.unknown _1338113036.unknown _1338113037.unknown _1338112944.unknown _1338112067.unknown _1338111897.unknown _1338111940.unknown _1338111885.unknown _1338111684.unknown _1338111711.unknown _1338109840.unknown _1338111090.unknown _1338111233.unknown _1338111450.unknown _1338111466.unknown _1338111296.unknown _1338111182.unknown _1338111199.unknown _1338111160.unknown _1338110369.unknown _1338110960.unknown _1338111071.unknown _1338110449.unknown _1338110062.unknown _1338110215.unknown _1338110061.unknown _1338109392.unknown _1338109646.unknown _1338109749.unknown _1338109797.unknown _1338109659.unknown _1338109432.unknown _1338109518.unknown _1338109645.unknown _1338109416.unknown _1338109196.unknown _1338109223.unknown _1338109381.unknown _1338109213.unknown _1338109169.unknown _1338109137.unknown _1338109142.unknown _1338108969.unknown _1338108996.unknown _1338106631.unknown _1338107696.unknown _1338107824.unknown _1338108621.unknown _1338108940.unknown _1338107825.unknown _1338107822.unknown _1338107823.unknown _1338107708.unknown _1338107821.unknown _1338106826.unknown _1338106906.unknown _1338106998.unknown _1338107559.unknown _1338106961.unknown _1338106874.unknown _1338106745.unknown _1338106765.unknown _1338106665.unknown _1338106150.unknown _1338106369.unknown _1338106404.unknown _1338106582.unknown _1338106391.unknown _1338106326.unknown _1338106353.unknown _1338106162.unknown _1338105848.unknown _1338106036.unknown _1338106113.unknown _1338105860.unknown _1338105785.unknown _1338105797.unknown _1338105601.unknown _1338101339.unknown