第六章Laplace 变换　

第六章Laplace 变换　 Methods of Mathematical Physics (2011.04) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU Chapter 6 Laplace Transform History of Integral Transforms 计算在任何时候都是数学之核心。人们发明了很多符号来简化运算，例如 d,和等。莱布尼兹可算是符号演算的鼻祖。十八、九世纪，求解微积,,,dx 分方程是数学、物理学家面临的重要任务。 1862年，俄数学家瓦申科--扎哈尔钦科创造了一种符号算法解线性微分方程。 1890年左右，英电气工程师亥维赛采用符号法计算了大量的微分方程，他将 nddn,,xpx,()()微分看做“乘法”: ，，将积分看做“除法”: ,,,()()xpxnxddx xxx1111nn,,x1.，，以及 ,,,,,x,,,,,x()d()()(d)()n,,,npn!pp000 例如，求解 yyy'1,(0)0.,,, ,11111pyyy,,,,,,,,11(1),n1pppp,1,n0,1p x,,,,111111，，nnnnx11,,,,,,,,xxxed1.,,,,,pnnnnn，，!!!1(1)!,,,,nnnn00000 他用此法解了大量的微积分方程，包括一些当时人们认为几乎不可能解决的问，这使职业数学家大为吃惊，责难他的方法毫无根据。他对此不睬，并推广此法去解一些偏微分方程。不过他也的确由于没有根据地滥用此法，出过一些错误。 二十世纪，布朗威奇、长松、杰弗里斯、德挈等人对符号法进行了深入的研究，找到了他的数学根据。原来符号法与一百年前Laplace引进的积分变换是一脉相通的，符号法是Laplace变换的特殊情形。从此肯定了符号法是解微分方程 的一种方法，并称之为运算微积或算符演算。 1782年，Laplace研究概率论时得到一种特殊形式的积分，，,px,,,()().xp, 这种变换以及逆变换很多人研究过。 exxp,,()d():,,0 ai，,1px1823年，泊松得到这是Riemann-Mellin变换。 ,,xepp,()()d,,i2,ai,, 1 Methods of Mathematical Physics (2011.04) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 积分变换简介(Introduction to integral transforms) 1(积分变换是一种函数之间的用积分表示的变换关系。 2(积分变换法是求解某些微分方程的方法。对于常微分方程通过积分变换可以转化为代数方程或降低方程的阶数;对于偏微分方程，可以消去一个自变量的微分。 3(积分变换法解微分方程的特点类似对数运算，不直接求未知函数，而是求变换后未知函数的象，然后通过反演即求得未知函数。 b4(积分变换的定义:(a,b可为有限或无穷)，其中,,()(,)()dpKpxxx,,a ,px,称为积分变换的核。例如拉普拉斯变换的核为K(p,x),,()()dpexx,,0 ,,px,ipxipx,;傅里叶变换的核为;其它还有汉克尔变换ee,,()()dpexx,,,, ,,p1,，梅林变换等等。 ,,()()()dpxJpxxx,,,()()dpxxx,n,,00 5. 积分变换的应用:求解常微分方程的初值问题，求解积分方程;求定积分。 LT应用:?求解常微分方程的初值问题。?求解积分方程。?求定积分。 LT特点:以定理形式讲授(但不)，再例题分析。 一、Laplace 变换的定义和基本性质 1. 定义:若对于上的函数，下述积分收敛于，即(0,,),(t),(p) ,pt,，则称为的Laplace 变换，记为。 ,(p),(t),(p),,(t)()()dpett,,,,0 1 t,0,引入阶梯函数(Heaviside step function)，那么 H(t),,0 t,0, ,pt, ()()()d.petHtt,,,,,, 2. Laplace 变换存在的条件: (i) 在区间[0,,)中，,(t)和,'(t)除具有第一类间断点外都是连续的，而 且在任何有限区间中这种间断点至多只有有限个; t,tlim,(t)第一类间断点是指在此点不连续，但左极限和右极限0t,t,00 2 Methods of Mathematical Physics (2011.04) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU lim(t),均存在且有限，所以可积。 t,t，00 st0随增长的速度不超过某一指数函数，即 (ii) ,(t)t,(t),Me ，，M,0,s,0,t,0. 0 Rep,s,s定理:当时，(1) 存在并一致收敛，即lim,(p),0.,(p)0Rep,, ,,，，或者说，当时， p,,. ,(p),0,，,,argp,,,22 (2) 为p的解析函数。 ,(p) 证明:设，则 p,s，i, ,,,M,,sst，，,,ptpt0()()d()dd,,,,,,,, ptettetMet,,,000,ss0 Rep,s,slim,(p),0因此，当时，存在并一致收敛，即. ,(p)0Rep,, ,,,pt，，s,s()dtet,Rep,s对于任何实常数，考虑时的积分 101,，，0p, ,,,,,,st,,ptpt1，，，，,,,()d()d()dtettetttet,,,,,，，，，000pp,, ,M,,sst，，10Mtetd,,2,0ss,，，10 ,,,pt因此，是一致收敛的，根据含参变量广义积分的性质，，，,()dtet,，，0p, 于是可以交换求导和积分的次序，即 ,,,dd,pt,pt,,，，p,(t)edt,(t)edt,,, ,,00,dpdpp Rep,s,s由此可见，,(p)的导数在上处处存在且有限， 10 即,(p)是解析的。 3. Laplace 变换的基本性质: ,(t),,(p),,(t),,(p)c,c(1) 线性定理:如果，是两个复常112212 c,(t)，c,(t),c,(p)，c,(p)数，则，. 11221122 3 Methods of Mathematical Physics (2011.04) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 1p,,,,(at),(2) 相似定理:如果，a是一正数，则. ,(t),,(p),,aa,, p,,,,,p1,,,,pt,a证明:atatete. ,,,,,,,,()()d()d,,,,,,00aaa,,,, (3) 原函数求导定理:如果，则，，. ,'(t),p,p,,(0),(t),,(p) 一般地，对自然数n，有(带初值) ，，nnn,1n,2n,1，，,(t),p,(p),p,(0),p,'(0),？,,(0).证 明: ,,ptpt,,,,,'(t),'(t)edt,ed(t),,00 ,t,,ptpt,,，， ,,(t)e，p,(t)edt ,p,p,,(0),0t,0 ,pt,(t)e,0其中，t,,时，，这是因为，所以,(t),,(p) st0,(t),MeRep,s,s，而，因此 0 ,，，s,st,pt0,(t)e,Me,0 . (t,,) 两个极限: ,limp,(p),,(0)1(，这是因为p,(p),,(0)作为,(t)的象函p,, ,,limp,(p),,(0),0limp,(p),,(0)数，应满足，即. p,,p,, lim()lim(),,,2(， pt,,,0 ,pt,这是因为， ，，'(t),'(t)edt,pp,(0),,,,,0 ,,pt,，，lim()lim'()d(0)'()d(0)pptettt,,,,,,，,，,,,,0000pp,,，， lim().t,,t,, tp，，,()d,(4) 原函数积分定理:如果,(t),,(p)，则(无初,,,,0p 值)。 t证明:记，显然，,(0),0. ()()dt,,,,,,0 ，，，，,'(t),p,p,,(0),p,p于是有 . ，，,'(t),,(t),,p另一方面，. 比较两式可得， 4 Methods of Mathematical Physics (2011.04) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU ，，,p(),，，，所以 p. p,(p),,p,p t,p，，p，，,()d,t(),这就是说 ，即. ,,,,,0pp (5) 延迟定理:如果，,是一,(t),,(p) 正数，则 ,p,，，,(t,,)H(t,,),e,p (). t,,证明: ,,,()()tHt,,, ,,ptpt,,()()d()d.tHtettet,,,,,,,,,,,0, 在积分中作变换u,t,,，即得， ,,p,,pu,p,. (t,)H(t,),e(u)edu,e(p),,,,,,0 4. 例题分析(已知原函数求象函数): (1)从定义，性质出发 例1 求的象函数。 H(t) ,,1ptpt,,,p,Htet,,et,()()d1d(Rep,0)[解], ,,00p 1H(t),(Rep,0), . p ,1pt,1'例: ,,,etp1d(Re0).,p0 at例2 求的象函数，a是一复常数。 e ,,1atpt，，pat,,,p,eet,et,,()dd(Rep,Rea)[解], ,,00p,a 1ate,(Rep,Rea), . p,a ,,11,,,ttptpt(),,,2'例. teteettep,,,,,,dd(ReRe)2,,pp,,(),,00 例3 求的象函数。 sint 5 Methods of Mathematical Physics (2011.04) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 11atit,ite,[解] 由，而，所以 ，，sint,e,ep,a2i ,,1111,,, . sint,,,，，Rep,02,,2ip,ip，ip，1,, 例4 求的象函数。 sin,t 1[解一] 由， sint,2p，1 ,11,，，当时，, Rep,0. sint,,,,0222,p，,p,,1，,,,,, [解二] ,,1,,,,，ptpitpit()(),,，，pteteet,,,,,()sindd,,，，002i ,,1,,,,()()pitpit，，,,,,etetdd ,,,,00，，2i ，，111,,,,,, ReImp，，,,,222ipipip,，，，，,,, ,,sint,, . ，，Rep,Im,22p，, cos,t例5 求cost，的象函数。 1sint,[解] 由于 ，所以， 2p，1 1p,，，cost,sint,p,sin(0),，，Rep,0，. 22p，1p，1 ,,sint,同样，由 , ，所以， ，，Rep,Im,22p，, ，，11,p . ，，Rep,Im,cossin'sin(0),ttp,,,,,,,,，，,,2222pp，，,,,,，， nt(n,0,1,2,？)例6 求的象函数。 1H(t),，，Rep,0[解] 由 和积分定理得 p 6 Methods of Mathematical Physics (2011.04) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 1 t1p,,,tH(t)dt, ，，, Rep,02,0pp ,,,111,,,ptptptttetteet,,,,，,dd0d,，，或者 Rep,0. 2,,,000tt,,ppp 1 22tt2!1p2t,，，,,,,tt, 或, Rep,0. d33,0ppp2! 2! 333ttt13!2!p32,t,，，,,,,tt, 所以，，或 Rep,0. d444,03!pppp3 n1n!tn,t,，，Rep,0一般地有 , 或 . n，1n，1!npp ,1,,ttpt,eeet,,d,,0,p,例7 n!nt,？,,ten,(0,1,2,).1n，p,(), ,t(Re,,,1)例 求的象函数。 7' ,,pt,,1(1),，,,,pt,,,ptete()dd,,,，，Rep,0[解] , . ,,,11，，,,,,00pp ,(,，1),t,，，Rep,0所以 , . ,，1p 例8 求的象函数。 H(t,,) 1H(t),，，Rep,0[解]由 ，所以，根据延迟定理，有 p ,p,1e,p,,,,,,,,,,HtHtHte()()()，，Rep,0 ，. pp ，，，，sin,(t,,)Ht,,sin,(t,,)Ht例9 求，的象函数。 ,,sint,[解]由 ， 22p，, 7 Methods of Mathematical Physics (2011.04) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU ,,p,,,,，，，，sint,Ht,,e应用延迟定理，有.(t,,) 22，,p sin()sincoscossin(),,,,,,,,tHtttHt,,,，，，， ,,sin()coscos()sintHttHt,,,,,, p, ,,cossin,,,,2222pp，，,, 1,,,cossin(0).pt，，22,,,,,p，, 注意:*或约定上述所有应理解为 ？t,,[0,],()0(0)tt,,,()t,()(),tHt , ,,()()().tHtp,即 **在容易引起混淆的情况下，要特别标明阶梯函数～ 11111,t,？,,,,tt1(0).***， 22pppp 1,p,tt,,,().又 ,,2p (2)周期函数的象函数 设是周期为T的函数，即 由定义有 ,(t),,()().tTt，, ,(n1)T,，ptpt,,,(p),,(t)edt,,(t)edt， ,,,0nTn0, 作代换，上式成为 ,,t,nT T,,p,,,,,()deTT,(),，,,pnTpnpT,,0,，,,, ()()d()d.pnTeee,,,,,,,,,,pT,,00,1e00,,nn (3)作幂级数展开 例10 求的象函数。 ,(t),sint 2m1m，,,1，，2(),sin,[解] ，而 ,ttt,，，2，1!mm0, 2m1，(1),，2m，1，，,2m，1!!22t,,，于是 2m，13，m，1m，122p2p 8 Methods of Mathematical Physics (2011.04) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU mm,,,，,，121!!121!!,mm，，，，，，，，,()p,,,,,33mm，m21!21!2mmp，，，，，，00,,mm1m，2222pp m1,,,1，，,,4p,,e.,33mmp!40m,，，2222pp 1,,4psin,te,所以， 322p 1其中用到了，以及. ,(,，1),,,(,),(),,2 二、Laplace变换的反演问题与 梅林反演公式 (Mellin inversion formule) 1.反演问题 [习惯于正问题，换种思维问反问题(有时候特别管用);正问题有必然结果，反问题不一定，存在性,唯一性,]: i. 位移定理:如果，,是复常数，则 ,(p),,(t) ,,t ,,,().pte，,，， ,,,t,tpt，，p,t,,,,，证明:. ,,，，，，，，te,teedt,tedt,(p，),,,,,,,00 ,，，,(p),(,t),tii. 象函数求导定理:如果，则 . ,(p),,(t) 一般地，对自然数n，有一般地，对自然数n，有 ，，nn，，,(p),(,t),t. 证明: ,,d,,,ptpt,，，,,,ptettet,,dd，，，，，，,,，，00ppd, ,,ptttettt,,,,()d().，，，，,,,0 ,，，Rep,s,(z)dz,(p),,(t)iii. 象函数积分定理:如果，而且收敛，0,p ,,()t则 ,()d.zz,,pt [说明]这里的积分是复变积分，其上限应理解为Rep,,，并且因 其积分路径在,(p)的解析区域，所以与积分路径无关(沿正 实轴积分)。 9 Methods of Mathematical Physics (2011.04) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 证明: ,,,,,ztzt,,，，，，,,,()d()dd()ddzztetztezt,,,,,,,,,,,00ppp，，，， ,t，，()t,,,ptetd.,,,0tt ,,(t),(z)dz,dt,[补充说明]上式中如果令，则有， p,0,,00t ,f(t)可以用来计算形的积分，例如: dt,0t ,,sin1t,,,dd.tp 2,,00，tp12 iv. 卷积定理:如果,(p),,(t),,(p),,(t)，则 1122 tt ()()()()d()()d.pptt,,,,,,,,,,,,,,,,121212,,00 证明: t,,,,,,,()(t)d12,0 ,t,pt，，,(,),(t,)d,edt,12,,,,00，， 这个先积,、后积t的二次积分， 其积分区域如图所示，改变积分次序， 上式成为 t,,,pt，， ,,,,,,,,,,()()d()()dd.ttet,,,1212,,,,00,,，， u,t,,作变量代换，且t,,时(即位移常量) ,u,0 ,,,,,,,ptppu,，，,,,,,,,,,()()dd()d()dteteueu,,,1212,,,,,,000,，， ,pp.，，，，,,12 ，,,1itt,('),ettd('),,,,,,2,,,,it,?.平面波的FT为函数，其定义为 e,,，,,fttttft()(')d(').,,,,,,,, ,,，,1,it,,fftet()()d,,,,,,,2,?. ,,，,1,it,ftfe()()d.,,,,,,,2,, ,stfttHte()()(),,?. Consider ，其FT: 10 Methods of Mathematical Physics (2011.04) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU ,，,，,11itstit,,,,,fftetteet,,,,()()d()d. ,,0,,22,, ,，,1stit'',,,fteet,ss,,,()(')d'i.e. (). 0,02, ?.反演(反变换) ,，,，,，,11itstittst,,'('),,,ftfeteettHte,,,,,,,,()()d(')[d]d'()(). ,,,0,,,,2,2, ,，,1stit,,,,tHtefe,,,()()()d. ,,,2, ?.故 ,，,1，()sit,,,,()()()d,tHtfe,,,,2, ,，,11,ptftetp()()d(),, ,,,,,,22,, ，,，,si1(,dd/,dd).psipip,，,,,,,,,,,,,sii si，,,1pt?. 结论: ,,tHtpedpss,,()()()()0,i2,si,, 2. 梅林反演公式和展开定理: i. 梅林反演公式:若函数，满足:(1)在区域,(p),(p)p,s，i, Rep,sRep,sp,,中解析，(2)在区域中，当时，,(p)一00 Rep,s,s致地趋于0，(3)对于所有的，沿直线L:Rep,s的0 s，i,Rep,s,s无穷积分收敛，则对于，是 ,(p)，，(p)d s,s,,00,s,i, s，i,1pt ,(t),,(p)edp,s,i,2i, 的Laplace变换，其中t为实变量。 证明:分三步证明上面给出的,(t)就是,(p)的 原函数。 s，i,1pt1/ 证明中的积 ,(t),,(p)edp,s,i, 2i, 图6.1 ,(t)分与s无关，而作为自变量t的函数 11 Methods of Mathematical Physics (2011.04) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 具有有限的增长指数。 Rep,s在区域中，作闭曲线如图6.1所示，由于在此区域,(p)0 pt是解析的，因此，由Cauchy定理，， ,(p)edp,0,C固定s,s，而让，则由已知条件(2)， ,,,12 s,i,si，,21ptptlim,(p)edp,0lim()d0.,pep,， ,,si，s,i,,,,,,,,21 s，i,s，i,12ptpt,(p)edp,,(p)edp因此，， ,,s,i,s,i,12 s，i,1pt由于s,s是任意的，说明与无关，它只是变量s,(p)edp12,s,i,2i, 的函数。再根据已知条件(3)，有 t st，,，,，,sisisi11eMptptst,,,,(p)edp,(p),e,dp,(p)d,e,,,s,i,s,i,s,i,,2,22,2,i s故具有有限的增长指数，收敛横标就是。从上面的不等式，,(t)0同时也可证积分是一致收敛的。 2/ 证明当， ,()0.t,t,0 这时可选取图6.2中的闭合路径，其 C RC中是以原点为圆心，为半径的圆 R 弧。由Cauchy定理得， pt,()d0.pep, ,C 当时，可以证明，在时，沿t,0R,, C的积分趋于(作变量代换，p,iz0R Cz这相当于将p平面上的圆弧变为平R 图6.2 ,C面上的下半平面内的圆弧，则由R Jordan引理，可证)。那么， s，i,s,i,ptpt，即 (p)edp,,(p)edp,0 (t,0),,,,s,i,s，i, si，,1pt ,,tpept,,,()()d0 (0).,si,,i2, 3/ 证明这个积分定义,(t)的Laplace变换 12 Methods of Mathematical Physics (2011.04) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU si,,，,1ptqtpt,,，，Rep,s () ,,(t)edt,(q)edqedt0,,,,,00si,,，，2i, 就是 ,().p 因上式右端的内层积分与无关，故可取s Rep,s,s，并交换积分次序(根据积分的一0 致收敛性)，有 ,s，i,,1,pt,p,qt，，，，,,,(t)edt(q)edtdq,,,,,s,i,00，，,2i s，i,1,(q),dq,s,i,,2ipq, 这个积分可用留数定理计算。取积分闭曲线如 图6.3 图6.3所示，由条件(2)可知， q(),limq,,0， q,,pq, ,(q)q,pC因此，根据引理2，沿的积分为0. 又因为是的单极点，并Rp,q注意积分方向，可得 ,，,si1(),q,pt,,()dd().tetqp ,,,,0si,,,2ipq, Cii. 推广的Jordan引理:设是以为圆心，以R为半径的圆周在p,0R 直线Rep,a(a,0)左侧的圆弧，若当时，,(p)在p,,,,3(是任意小的正数)中一致地趋于0，则 ,,,argp,，,,22 pt (t,0). lim,(p)edp,0,C,,RR 证明: ptpt,,(p)edp,(p)edp,,CABR ptpt ，,(p)edp，,(p)edp,,BCDDE 对右端第二个积分，作变量代换，这p,iz pz相当于将平面上的左半圆周BCD变为 图6.4 13 Methods of Mathematical Physics (2011.04) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU ,平面上的上半圆，则由Jordan引理，有 CR ptitz. lim,(p)edp,ilim,(iz)edz,0,,,BCDCR,,R,,R ABR上的积分值，任给，取足够大，使现在来计算圆弧,,0 ，则 ,(p),, ,cos，sinptR，，itatat,,2 ,(p)edp,,(p)edp,,eRd,,,eR,,,,,ABAB,,2 当时，，但，因此上式右边可任意R,,,,0R,~Rsin,,a ptlim,(p)edp,0小，从而有 ， ,ABR,, ptlim,(p)edp,0同理，， ,DER,, pt于是 . (t,0)lim,(p)edp,0,C,,RR iii. 展开定理:设象函数是单值的，而且在内有,(p)0,argp,2, ，则 ,(p),0 (p,,) pt,,,(t),Res,(p)e 。 (t,0),全平面 a,s证明:设，当时，参考图6.4有 t,00 ，,aiA11ptpt， ,(t),,(p)edp,lim,(p)edp,,,,,,aiER2i2i,, 由于在是解析的，所以沿直线EA的积分可以,(p)Rep,a 用沿圆弧EFA的积分代替，所以， 11ptpt，，,,,tpeppep,,，()lim()dlim()d,,,,,EFAEFAC,,,,RRR，，22ii,, 11ptpt，， pepipe,,,lim()dlim2Res(),,,,,，，C,,,,RRii22,, pt，，,peRes().,,，，全平面 3. 例题分析(已知象函数求原函数): (1)由定义和基本性质出发。 p,(p),例1(求 (,是复常数，,是正数)的原函数。 22，，p，,，, 14 Methods of Mathematical Physics (2011.04) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 解: pp，,,()p,,,,222222ppp，，，，，，，，，，，，,,,,,, p，,,,,, (Rep,,Re,)2222pp，，，，，，，，,,,,, ,,,,,,,,ttt,,,,,,cossincossin.tetette,,,,,,,,,, 例2(求，tcost的象函数。 tsint ,,,1,2p,,解:由求导定理，,tsint,,，所以， 22,,2p，1，，p，1,, 2ptsint, . (Rep,0)22，，p，1 ,222,,pp，1,2p1,p,,,tcost,,,由求导定理，， 222,,22p，1，，，，p，1p，1,, 2p,1所以 tcost,, . (Rep,0)22，，p，1 tsin,例3(求 的象函数。 (,,0)t ,,,,,sint1p,,,ddarctan,z,,,解:由积分定理，，,,p222,,p,,,，，12tz,,, ,,sintp,,,,arctan所以 , . (Rep,0),,,t2,, 1例4(求 (,,0)的原函数。 p(p，,) 11,,t,H(t),H(t)e[解一]:由，，根据卷积定理， ,pp， tt11()(),,t,,,,t,,,,t,,,,，，,H()H(t,)ed,ed,1,e. ,,00,,p(p，) tt11,,,,,,,,t,,,,，，,H(t,)H()ed,ed,1,e. ,,00,,p(p，) 1,(p),p,0p,,,[解二]:有单极点和，由展开定理， p(p，,) 15 Methods of Mathematical Physics (2011.04) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 111ptpt,,t,,t,,,. ,,,,，，(t),Res(p)e，Res(p)e,,e,1,e0p,p,,,,,, [解三]: 111111,,,,tt,,,,,,HtHtee()[()()](1). ,,,,,pppp，，() ,,,_e,()p,例5(求之原函数。 pp()，, 延迟111,,,,,t,？,,,Htete，而,()H().解: 定理ppp+, 故 tt,,,_卷积e,,,,()()tt,,,,,,,,,,()()()pHedHted,,,,,,,定理()，pp,00 11,,,,()()tt,,,,,,,,,()[1]().HteeHt,,,, (2)由展开定理(仅适用单值函数)。 1,,()p例1(求 的原函数。 2，,(1)(1)pp 1,,()p[解一]:由单极点，，由展开定理， p,1p,,i2，,(1)(1)pp ptptpt，，，，，，,,,,()Res()Res()Res()tpepepe,，，，，，，，，pipip,,,,1 ititt,eee,，，2(1)2(1)2iiii,,,,，， 1111titit,,，,，,,eieie[(1)(1)]2222i 1t,,,(sincos).ett2 11t,sint,H(t)e[解二]:由，，由卷积定理， 2p，1p,1 tttsincose,t,t,,,,tt()sin()dsind,,,,,,p,Ht,e,,e,. ,,002[解三]:因式分解法 _1111p，t,()()(sincos).pett,,,,, 22112pP,， 16 Methods of Mathematical Physics (2011.04) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU (3)由梅林反演公式。 1,例1(求的原函数。 (p), p pta，i,1e,解:， (p),dp,a,i,,2ip p,,和是的两个支点(多p,0,(p) 值函数)，沿负实轴作割线，并取上岸 argp,,argp,,,，下岸。选取积分闭曲线如图所示，在所围区域内无奇点，所以，由Cauchy定理，有， pte，，， ，，，，dp,0,,,,,,,EACllCR12r，，p 1lim,0当取时，因为，根据推广的Jordan引理，R,,,r,0p,,p pte. limdp,0,CR,,Rp ptptee又因为，根据引理2，， plim,,0limdp,0,C,0r,0prpp i,,i,，，，，p,,er,,,Rp,,er,,,Rll在上，在上有，所以， 21 i,pt,te,t,t,,r0,ee1eei,limd,limd,，，,,d,,,d,pei， ,,,,ilR,0R,,R,,,1ip,,e,00r,r, ,i,pt,te,t,t,,R,,ee1ee,i,，，limd,limd,,d,,,d,pei， ,,,,,ilr00R,,R,,,2ip,,e,00r,r, 因此， ptptpt,t,a，i,,eeee，，limd,d,,lim，d,2d,pppi， ,,,,,,,0,,EAaill,,,,RR12，，ppp,00,,rr 即， ptt,,ai，,,11ee,,()ddpp,,,,ai,,02i,,p, 1,,,1,,,,112,,,2,,,,ed.,,,0ttt,,, 17 Methods of Mathematical Physics (2011.04) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU ,,p延迟e11'例 . ,定理,,(t-)p 1,,p,(p),e，，例2(求,,0的原函数(习题6.5，虽然多值但是避之)。 p ,,pa，i,1ept,[解一]:(p),edp，与例1的做法相似，这里有， ,a,i,,2ip ,i,,,,,p,ei,,r,i,eeept,e,i,t,， ，，limedp,limed,e,,ied,,,,i0lR,RR,,,,1p,e,00rr,, ,,i,,,,,p,ei,r,,i,eeept,e,i,t,,， ，，limedp,limed,e,,ied,,,,i0,lR,RR,,,,2p,e,00rr,, 因此， ,,,,ppii,,,,,，，ai，,,,eeeeptpttt,,,,limdddd,,epepiee,,，,,,,,,00EAai,,R,,pp,,,,0r,，， ii,cos,,,,,,，，,,ee，,,tt,,d2d,ieie,,,,,,00,, ,,t,,p,,pa，i,,,,，，cosee1e1pt,(),,d,d,即 pep. ,,0,,ai2i,,pp, 2,,,作变换，得 2,,t,,,,2，，cose,,,,t,4t，，d,2cosed,e， ,,,,,,00t, 2b,,21,ax,4acosd其中用到了积分. ，，ebxx,e,02a 2,,t,,p,,,,,，，ecose114t,,,ed因此，. ,0,,,pt 1,1,p4t[解二]:由(见下面例题)，根据相似定理， e,e3 22,t 1/4,2211,2pp,,,,,t,/4t,/ eeee,,,.223/23/2,tt2(/)2,,, ,1,,,p,,p又因为，，所以，根据求导定理， ，，e,,e2p 18 Methods of Mathematical Physics (2011.04) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 22,,,,,,,p,,44tt，因此， etttee(),,,,,,,，，3/222tt,, 2,,,,1,p,4t,e,,e，即 22,pt 2,,11,p,4te,e. ,pt 2,,,,,p,4t或者是: ee,tp 2，,b2,,,ax4aIaebxdxeab()cos(,0),,,Note:. ,,,a (4)求解微分方程。 ,p例1(求的原函数(虽然多值但是避之)。 ,(p),e 1,p,,(p),,e,解一: 2p ,,111,,pp,,,,,,,,ppeepp()()()2(),,,，,， ,,,,,,44ppp,, ,,,即,(p)所满足的微分方程为，4()2()()0pppp,,,， ，,,,,(p),(t) ,,,(p),,t(t)() n,1 2,,,(p),t,(t) ,,为了找到p,(p)，利用原函数求导定理，有 22,,,,，，,,,,,()'()'()()()tttppttpp,,,,，即 ，，，，t,0 2,,,p,(p),t,(t)，2t,(t)，因此得到,(t)满足的微分方程为 2,4()(61)()0.tttt,,，,, 解此一阶微分方程得 1313,t，得 ,tttln()()d(ln)|,,,,t2,0ttt4242 13,,4t2(t),Cte,，是积分常数。 C 为定出积分常数，按定义，有 C 19 Methods of Mathematical Physics (2011.04) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 13,,,,,,p,ptt42,,eCteedt,， ,,,0,, 13,,,142t令，则上式成为，，作代换， u,p,01,Ctedt,04t 1,,1,,u,2， 1,2Cuedu,2C,,2,C,,,02,, ,21v,,(或者:)所以， uvduvdvCedv,,,,,,2222,,0 11,p,1/4tee,.C,，最后得到， 3/22,,t2 a，i,1,p,ppt, 解二:由梅林反演公式， ， (p),e,eedp,a,i,,2i p,,和是的两个支点，沿负实轴作割线，并取上岸p,0,(p) argp,,argp,,,，下岸。选取积分闭曲线如图所示，在所围区域内无奇点，所以，由Cauchy定理，有 ,ppt，，， ，，，，eedp,0,,,,,,,EACllCR12r，， ,p当取时，因为，根据推广的Jordan引理，R,,,r,0lime,0p,, ,ppt limd0.eep,,CR,,R p,p,ptpt又因为，根据引理2，， limp,ee,0limeedp,0,C0r0p,,r i,,i,，，，，p,,er,,,Rp,,er,,,Rll在上，在上有，所以，21 ,r0i,i,,p,,,,ei,i,pt,te,i,,t,,t，，limeedp,limeed,e,,eed,,eed,,,,,lR,0R,,R,,1r,0r,0 R,,i,,i,,p,,,eiptteit,,,,,limdlimdd.eepeeeee,,,,, 因此， ，，,,,lr0RR,,,,2rr,,00 ptptai，,ee,ppt，，limddlimdppeep,,,，,,,,,,EAaill,,,,,,RR12，，pp00,,rr ,,,,,ii,,,,tt， ,,,,,,,d2sindeeeie，，,,00 ,2,t,4sind.,ie,,,,0 20 Methods of Mathematical Physics (2011.04) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 2b,,,221,t,t,,,4t为了求积分，令，等()cosdIb,eb,ee,sin,d,,,,,002t 式两边对求导，左边有 b ,,,222dI(b)d,,tt,t,,,, ,,,ecosb,d,,ecosb,d,,,e,sinb,d,,,,000dbdb,b 22bb，，,,d1,,b44tt右边有， ee.,,,,d24bttt,,，， 1,,21,,t,4teesind.,令，则 ,,,b,1,04tt 11pt,,,2ei1,,,t,44tt,,,,limd4sind4pieiee因此，， ,,,,,EA0R,,4ttttpr,0 11,,ai，,111i,,,,pppttt44即 ,,,,,()d.peeepee,3,ai,,22iittt,,22t, 三、Laplace变换的应用——求解线性常微分方程的初值问题(特解) 例1( 求LC串联电路当电容器C放电时的 电流(右图)，设开始时电容器的极板上 ,q带有电荷，且电流为零。 0 t[解]由 ， QtQI()()d,,,, 0,0 dIQ,,L，,,0(Qq=)， ,,00dtC,, tqd()1It0得，这是关于的积分微分方程，其初始条I(t)，,,,LI()d,0dtCC I(t),I(p)件是I(0)0., 设，则有 qIp()0LpIp()，,，解之得 CpCp qq11/LC00Ip().,, 222LCpLC，1/LCpLC，1/，， qt0I(t)sin,所以，。(振荡解) LCLC 21 Methods of Mathematical Physics (2011.04) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 例2(质量为m、倔强系数为k的弹簧振子在外力作用下的振动方程是 ，，，，设位移x的初始条件是. 在mx(t)，kx(t),f(t)x(0),0,x(0),0如下几种情况下求解此初值问题: f(t),FH(t);(1) 0 ,,f(t),FH(t),H(t,t);(2) 00 f(t),Fcos,t 或 Fsin,t;(3) 00 (4)是任意的已知函数。 f(t) ] [解 (1) 设，则的方程是 x(t),x(p)x(p) F20mpxpkxp()，(),，(千万不要忘记常数项的变换～～) p Fk10,,xp,所以，()，其中， 022m，，mpp，,0 tFF00，，x(t),H(t,,)sin,,d,,1,cos,t.(振荡) 002,0mm,,00 FF,pt2000mpx(p)，kx(p),,e(2). pp ,pt0FFe100， xp,,()2222mp，，p，,mpp，,，，00 tF0()()()sind,,,,,,,,,,xtHtHtt,,00,0m,0 ttF0，，,,,,,()sind()sindHtHtt，，，，,,,,,,,,000,,,,00，，m,0 F0,,,,,,1cos()1cos()tHtttHtt，，，，，，,, 0000,,2，，m0, F,01cos() 0tt;,,,tHt，，002,,m,0,,,2Ftt,,0000,,sinsin tt.,,t00,,2,,m22,,0,, 22 Methods of Mathematical Physics (2011.04) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU (3) 由于方程的系数全为实数，因此我们可以考虑初值问题 i,t，，,mX(t)，kX(t),Fe,0， ,，,X(0),0,X(0),0, f(t),Fcos,t一旦求得，对于，我们取实部，;X(t)x(t),ReX(t)0 f(t),Fsin,t而对于，我们取虚部，. x(t),ImX(t)0 X(t),X(p)X(p)设，则的方程为 F20mpXp，kXp,()()， p,i, F10Xp,， 所以，()22，，，，mp,i,p，,0 ,,,如果，由卷积定理，可得 0 ,it,i,t,it00，，Feee0()， ,,,Xt,,22，，，，,,2,,,2,,,,,，m00000，， F0，，x(t),ReX(t),cos,t,cos,t因而，，或 022，，m,,,0 ,,,F0,,。 x(t),ImX(t),sint,sint,,022,,，，m,,,,00,, ,,,如果(共振)，则 0 F0x(t),ReX(t),tsin,t，或 02m,0 F0xtXtttt()Im()sincos.,,,,,, ，，00022m,0 f(t),f(p)(4) 设，则x(p)的方程是 2mpx(p)，kx(p),f(p)， t1fp1()xtft,,,,,,()()sind所以， ，. xp,()，，022,0mmp，,,00 23 Methods of Mathematical Physics (2011.04) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU (5) 若 F0)()(1cos)(0);,,,,,ixtttt002,则 0 ,,,tt()0)()().,,iiftFett00 t,,pt00Fe,F,t,,,，ptpt()000dd FetFeet，,,00p,,()pp,，0t0 t,,,,或0[当退回到(i)] 0 ptt(),0eRe(),stt,022()(),，，,ppppC, ,,,,,,,,()()()ttittitt0000eeee,，，，222(0)(0)()(2)()(2)(),，，,,,，,，,,,,iiiiii,,,,,,,, ,,,()tt011eii,,,，ittitt()(),,,,,00,,,,，，[].ee22222,,，,22,,,,2a11,,,,,tt()0,,,,,,,,,，,,,xttHtaHttetttt()(1cos)()(){[cos()sin()]}00022222,，,,,,, 0,,tt讨论:LT不改变区间的物理规律，因果律和时序性均未被破坏。 0 ，，，ty(t)，y(t)，ty(t),0,例3( 求解微分方程 ,，y(0),1;y(0),0, (变系数线性微分方程，实为零阶Bessel方程) [解] 设，由求导定理，有 y(t),y(p) ，y(t),py(p),y(0),py(p),1 & 22，，，y(t),py(p),py(0),y(0),py(p),p. ,又 ,ty(t),y(p) & ,22,，，,ty(t),，，py(p),p,py(p)，2py(p),1. 因此得到y(p)的方程， 2,，，p，1y(p)，py(p),0. 1,22解之得. ，，y(p),Cp，1 我们用幂级数展开的方法求原函数(*): 24 Methods of Mathematical Physics (2011.04) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU ，，13,,,,11,2,,,,,,,,,2,,,,111C221,,,,,2,,ypCp()11,，,，，，,,,,222pppp1!2!,,,,,, ,,，， n,(1)(2)!1,n,C.,221，nnp0,nn2!，， n,(1),2nJ(t)所以，()，零阶Bessel函数，记为. ytCt,0,2nn0，，2!,n 由，可定出积分常数，因此 y(0),1C,1 1y(t),J(t),. 02p，1 ,,留数111d,,itsin,,,,Jted().,0,,2定理，22sinpi,,,，p1,,,,亦可:已知， ,1,,,,ypytJt()()()02，p1 ,1int(sin),,,(,) 试求阶Bessel函数的象函数。 nJte,,()dn,2,,,解:阶Bessel函数本身满足微分方程 n 2'''22， tJttJttnJt()()()()0，，,,nnn , 由象(原)函数求导定理得: JpJt()[()]nn ,,''2'JtpJppJJ()()(0)(0),,,nnnn,,,' JtpJpJ()()(0),,n,nn ,, ,JtJp()(),nn, 因而象函数满足的微分方程为: 22,,,,ddd2'2pJppJJpJpJJpnJp,,,,，,,[()(0)(0)][()(0)]()()0 nnnnnnn22pppddd 2,,,dd22，,,,pJppJpnJp[(1)()][()]()0即: nnn2ppdd 25 Methods of Mathematical Physics (2011.04) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU ,,,,d22，,,,，，1)，Eq: [(1)()]()(1)'()()pJppJpCpJppJp n,000001dp ,, C常数有限，. lim()lim()1,lim'()0pJpJtJp,,,0010ptp0,,,,, 另外 ,,2' pJptJttJtpJptJtJttJt'()[()]'()()|,lim'()lim[()]'[()()]|1,,，,,,,,,,,00tt0000000,,pt0,,, ,,,,Jpp'()02cJp(),即，解得 ,,？,，，,CpJppJplim[()(1)'()]00001,22p,,，1p1，pJp()0 ,tt,,Jp()0定C: ,,？,,,,,,,,,,HtJJpJJ()()dlim()lim()d()d10000,,,0pt,,,p000 1. ？,C1,故J(t)=021，p 2):象函数仍满足而阶微分方程，不能简化，但可按定义来求解 n,0 ,,in,,11e(sin)int,,, ,,,,,JteddJp()()nn,,，22sinpi,,,,,,, nn，1,1dzziz,i,， ze,Jpz()d,,n2,,1,,221izzpz，,,1zz,,11pzz，,()2 22zpzzczccpp，,,,,,,,，21()(),1[] 121,2 s确定: 0 ,1 Jtspccccccz,,？,,,,,？,,在内外()d1,0,Re0,1,1n0121212,2,,, 2nn,,(1)，,ppc,i11，当然,. ,？,,Jpi()2Jp()0n22cc,,，1，p1p12 t3例4:求解积分方程. ,(t),t，,(,)sin(t,,)d,,0 t13!3()sin(t,)d,(p),,,,,t,[解] ，， 42,0p，1p 3!(p),(p),，于是 . ,42pp，1 26 Methods of Mathematical Physics (2011.04) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 66,(p),，解之得 . 46pp 613535因此 . (t),t，t,t，t,5!20 ,,,22例5:计算定积分，. IxdxIxdx,,,,sincossc,,800 ,2,(1),I解:构造函数，显然. ,()sin()ttxdx,s,0 ,，,222由定义,xxxxzzd1d1d LT:,,,,()p,,,242424直接计算，，，pxpxpz220,, 244222由得上半平面奇点: pzzpiezzzzzz，,,,,，，,0,,..()()()0jjjj ii,,344zpezpe,,&. 12 所以: ii,,/23/2,111pepeii,,,,ii42,,,，,，,，()2{}()(1)piee,,3/23/43/29/4434iiii,,,,244pepeee44pp i1,,,,,,(1)(1).ii 4222pp ,,,所以: (),.tII,,,.同理,sc8822t, 27 Methods of Mathematical Physics (2011.04) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 四、点源和瞬时源 函数(Delta function) , 1(函数简介: , 函数是物理学家Dirac首先引入的，用它来描述一切点量，如质点、点, 电荷、瞬时源等。 在今天的数学中，函数可以象其它普通函数一样进行运算，如进行微分、, 积分运算，也可用来解微分方程。 但是，函数又是一类“奇怪”的函数，按照20世纪前的数学概念是无, 法理解的。它的严格数学理论，要涉及泛函分析的知识。 2(函数引入: , q为了描写电量为位于处的点电荷在x轴上的电荷分布，我们可以先x,0 ,,,,/2,,/2认为它均匀分布在范围内，即在区间外无电荷分,,/2,x,,/2 布，那么在x轴上的电荷密度为 ,q, x,,,,q,,22,,(x),，显然 . (x)dx,dx,q,,,,,,,,,,,2,x0 ,,,2 为此(抽象地)引入函数 ,1, x,,,,2,(x),， ,,,,0 x,,2, ,,12,(x),q,(x),显然有 和 . (x)dx,dx,1,,,,,,,,,,2 ,, x0,当，我们得到，但是要保证 ,,(x)lim(x),,,,0,,,0,0 x,0, ,lim,(x)dx,q. ,,,,0,, ,,, x0,,,相似地 ，并且 lim,(x)dx,1. (x)lim(x),,,,,,,,0,,,0,,0 x0, 28 Methods of Mathematical Physics (2011.04) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 3(函数定义: , , x,0,,同时满足和的函数，称为函数，记为. (x),,(x),(x)dx,1,,,,,,0 x,0, , x,x,,0一般地，同时满足,,和的函数，称为函,(xx),(x,x)dx,1,,00,,,0 x,x0, ,(x,x)数，记为. 0 注意:(1)函数有量纲[]. ,()x,1/x (2)函数的函数值只有在积分运算中才有意义。 , 4(函数的其它定义(光滑函数～): , 函数作为广义函数的一种，它给出的不是普通的数值之间的关系，因此它, 也不像普通函数那样具有唯一的、确定的表达式。 图1. 图2. 图3. 2xx，，,0,1,,x,x,e()lim(图1, Gauss 分布), 00,,,, ,,(x,x),lim(图2, Lorentz 分布), 0,,022,,，，,x,x，,0 ,，，sinkxx0,,,(图3, 光学分布)。 (xx)lim0k,,，，,,xx0 函数的最重要的积分表示式(Fourier transform for delta function): , 29 Methods of Mathematical Physics (2011.04) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU a1ikxx,，，0,xxek,,积分后为上述光学分布limd()，，0,,a,,a2, ,1，，,ikxx0 ,ekd(continue variable);,,,2,,n，,(),,ixx01l,,,,elxl(,dicrete variable).,l2,,,n 5(函数的导数: , ,，，，，,x,xx,x,x,x的导数定义为:对于在处具有连续导数的缓变函数000 ,，，,x,x，如果满足(当作一般函数) f(x)0 ,,,fxxxxfxxx()d()d,,,,,，，，，00,,x,,,,, ,,, ,,,,fxxxfxxxx()()d，，，，,,00,,,,, ,fx()[see below 6(1)],,0 ,，，，，,x,x,x,x则称为的导数。 00 ,n()()()nnn相似地，如果满足，则称，，，，f(x),x,xdx,,1f(x)，，,x,x000,,, ()n，，,x,x为的阶导数。 n，，,x,x00 6(函数的性质: , ,，，,,,,(1) 对任意在上的连续函数，. f(x)f(x),(x,x)dx,f(x)00,,, 这也称为函数的挑选性。 , 证明:对任意小(引入函数时之)， ,,0,,/20, ,,,,，xx00,,,f(x)(x,x)dx,f(x)(x,x)dx，f(x)(x,x)dx000,,,,,,,,,x0 ,，f(x),(x,x)dx0,，x,0 上式右边第一、三项积分为零，对第二项积分用中值定理，有 ,,x，0,,f(x)(x,x)dx,f(x)(x,x)dx00,,,,,x,0 x，,0,f,(),(x,x)dx,f(,)0,x,,0 ,,,,x,,,x，,其中，. 令，即 ,,000 ,说明:此式也可以作为函数的定义式。 fxxxxfx()()d().,,,,00,,, 30 Methods of Mathematical Physics (2011.04) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU ,(2)是偶函数，是奇函数，即有算子 ,(x),(x) , ,(,x),,(x) ,,. ,(x),(x),,, 证明:因为对任意的连续缓变函数，有 f(x),,. f(x),(,x)dx,f(x),(x)dx,f(0),,,,,, ,,,fxxxfxx()d()d,,,,,,，，，，,,x,,,,, ,,, ,,,，,fxxfxxx()()d，，，，,,,,,,, ,,,,,,,,,,ffxxxfxxx(0)()d()d.，，，，，，,,，，,,,,,, ,(3), .(发散性弱于) x,(x),0x,(x),,,(x)1/x证明:因为对任意的连续缓变函数，有 f(x), fxxxxfxx()()d()0.,,,,,,x0,,, 因为对任意的在处具有连续导数的缓变函数，有 f(x)x,0 ,,,fxxxxfxxx()d()d,,,，，，，,,x,,,,, ,,,,,，fxxxxfxfxxx()()()d，，，，,,,,,,,,, ,,fxxxxfxxx'()d()d,,,，，，，,,,,,,,, ,,,fxxx()d，，，，,，，,,, 其中利用了. x,(x),0 x,x(4)对于在处连续的缓变函数，,()x有 f(x)0 ，，，，f(x),x,x,f(x),x,x. 000 证明:因为对任意的连续缓变函数，有 f(x) ,,. ,(x)f(x,)(x,x)dx,,(x)f(x),,(x)f(x),(x,x)dx00000,,,,,, dH(x)(5). ,,(x)dx 31 Methods of Mathematical Physics (2011.04) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU x1 0x,,证明:因为 ,()d()(step function),ttHx,,,,,,0 0x,, dH(x)所以 . ,,(x)dx (6)的Laplace变换 ,(t,,)(,,0) ,ptp,,,，，. Rep,0()()d,ttete,,,,,,,,,0 ,，，x,xk,,,,，，xx,(7)设的实根全是单根，则 . ,(x),0,k,，，,xkk ,, x,0，，,,,证明:按照定义，， (x),,,,，，0 ,x,0, ，，，，x,,,,x,c,x,x既然的实根全是单根，那么， ， ,(x),0,kkkk ，，x,,,x，,cx现在确定这些系数，在第n个根附近取小区间， nnkn 是如此小，使得在这区间无其它根，在这区间上积分， , x，,x，,nn，，， ,,,,xdx,c,(x,x)dx,kk,,x,x,,,nnk ,，,，,xx，，,d，，x1nn,,,,,,，，,,，，xdx,x,上式左边积分 ， ,,,，，,xx,,,nn,,,(x),(x)n ,,()0.x,因为的实根全是单根，因此 式中的绝对值符号是考虑到 ,(x)n ,,,(x),0,(x),0,(x，,),,(x,,)的可能性。在的情况下，，应调 nnnn换积分的上、下限，这就引入了一个负号，因此积分结果仍为正。 x而对上式的右边，除外均为零(此区间只有单根)，即 k,nn x，,1nc,c,(x,x)dx,c，由此得到，. ,nkkn,x,,,n,(x)kn ,，，x,xk,,,,，，x,所以 . ,,，，,xkk ,(x),(ax)，，a,0 特例:(1) ; ,a (xa)(xa)(xa)(xa),,，,，,,，,，22，，xa,,,，，a,0(2) ,2a2x 32 Methods of Mathematical Physics (2011.04) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU ,(x)2，，,当时，. x,a,0x (8)连续分布的作用量(如质量、电荷、持续的作用力等)也可以用函, b数表示:. f(t),f(,),(t,,)d,,a 理解:我们可以把,,a,b分成许许多多小段，在每一小段内，可以把 它们看作点量(用函数表示)，然后把这些点量加起来，即积分，, 就是连续分布的作用量。 ,,,，，，，，，，，7(多维函数定义:三维函数,r,r,,x,x',y,y',z,z'的定义,, 为:满足方程 ,,,,,, fxyzxxyyzzxyzfxyz(,,)ddd(',','),,,,,,,，，，，，，,,,,,,,,, ，，的函数[其中x',y',z'是在点连续的函数]。 f(x,y,z) Fourier transforms in 3D and 3+1D for the delta functions: ,1ikrr',,，，33 ,rrek,,'()d;，，,,,,2 ,1ikrritt'('),,,,,，，43 ,,rrttek,,,','()dd.，，,,,,2 8(函数的应用举例: , mxtkxtft()()(),，,,例1( 求解微分方程 ,xx(0)0,(0)0.,,, f(t),F,(t,,)F[解] 先设外力是瞬时力，其大小为，即 (,,0). 00 利用Laplace变换求解初值问题 ,,,,，，，，mx(t,)，kx(t,),Ft,,0,， ,，x(t,,)0,x(t,,)0,,,t,0t,0, 设x(t,,),x(p,,)x(p,,)，则的方程是 2,p,， mpx(p,,)，kx(p,,),Fe0 ,Fk,p,00,,x(p),e所以，，其中， 022m,，,mp00 33 Methods of Mathematical Physics (2011.04) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU F0因此，由延迟定理得，x(t,),sin(t,)H(t,)。 ,,,,0m,0 因为持续作用力可以看作许许多多瞬时力的相继作用，如果这种瞬时力的 作用时刻是，大小是，即 f(,), ,. f(t),f(,),(t,,)d,,0 ，位移为 既然外力是瞬时力f(,),(t,,) 1x(t,,),f,()sin,(t,,)H(t,,)， 0m,0 那么在一般外力的作用下，其位移应是上式的迭加，即 f(t) ,,1xtxtftHt,,,,,,,,,,,()(,)d()sin()()d0,,00m,0 t1,,ft()sin()d.,,,,0,0m,0 222,,,1,22,,，，例2( 证明，其中，称为Laplace ,,,4,,(r)222,x,y,zr ,222算符，r,x，y，z，. ,(r),,(x),(y),(z)证明:当时，直接微商可得， r,0 ,1x,,, 3222,x222x，y，z2，，x，y，z 22222，，,13x,x，y，z， ,25222,x222x，y，z2，，x，y，z 同理 22222，，,13y,x，y，z, ,25222,y222x，y，z2，，x，y，z 22222，，,13z,x，y，z， ,25222,z222x，y，z2，，x，y，z 12，，r,0所以证得， . ,,0r 当时，不能直接微商，应该证明 r,0 ,,,12. ,dxdydz,,4,,,,,,,,,,r 34 Methods of Mathematical Physics (2011.04) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 12232我们知道所以 ,,,,,,rrrr(),ddd,rrr2r 3211113,,ra22 ,,,,,,,[].rrrr5/222223/2222222rrra()，rara，，ra，，， ,,,,,,1122,,,dddlimdddxyzxyz,,,,,,22,,,,,,,,,,,,a,0rra， 2,,2,3a2 ,,,,,limsindddrr5/2,,,000a,022ra，，， 2,a2,,12limd.rr,5/2,0a,022ra，，， 令，即可证明上面的积分与无关，再令，即得 ax,r/ax,tan, ,22,,,,1tanx,22,,,,,ddd12d12dtanxyzx,,,，，5/25/2,,,,,,,,,,,,0022,r，，x1tan1,，，，， ,,2322,,,,,,,12sincosd4sin4.,,,,,,,,00 q,物理上，设坐位原点处放置一个点电荷其密度为 已知势 ,,,qr(). 2E,,,,,,,,()/4,rqr, 场满足并且 即 ,,,E,,/,,,,,,,/.000 12故 ,,,,,4().rr Home work: 6.3, 6.9, 6.11,6.13. 35 Methods of Mathematical Physics (2011.04) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 36