(甘志国)离心率为2的双曲线的性质——2010年高考四川卷理科解析几何题及2011年华约自主招生题的课本题背景

离心率为2的双曲线的性质 ——2010年高考四川卷理科解析几何大题及2011年华约自主招生第14题的课本题背景 甘志国(该文已发表  中学数学(高中)，2011(1)：55-57) 离心率为2的双曲线均可表示为 的形式，本文先给出其一些优美性质(多与角有关，且其仅依赖于图形、不需计算)，再谈谈2010年高考四川卷理科解析几何大题及2011年华约自主招生题第14题的课本题背景. 课本题  (全日制普通高级中学教科书(必修)《数学·(第二册(上)》(2006年人民教育出版社)(下简称教科书)复习参考题八B组的第5题)两定点的坐标分别为 ，动点 满足条件 ，求动点 的轨迹方程. 与教科书配套使用的《教师教学用书》给出的答案是 .实际上，其解答过程不严谨，且答案也不完整.正确的答案应当是 ： . 由此结论，立得 定理1  若 分别是双曲线 的左顶点，右焦点和左支上的动点，则 . 还可证得 定理2  若 分别是双曲线 的左顶点，右焦点和右支上的动点(非顶点 )，则 . 下面用双曲线的第二定义给出定理1、2的简洁证明： 图1                                图2 用图1、2可分别证得定理1、2，下面只证定理2. 在图2中，已知双曲线的右准线 也是线段 的中垂线，作 关于直线 对称，得等腰梯形 也关于 对称，所以直线 的交点在直线 上.又由双曲线的第二定义可得 ，所以在图2中有 ，由此可得定理2成立. 定理3  若 分别是双曲线 的左顶点，右焦点和右支上的动点，则 恒成立 . 证明  由定理1知，只需证 ： 选 是直线 与双曲线的一个交点，可证得 . 定理4  若 分别是双曲线 的左顶点，右焦点和左支上的动点(非顶点 )，则 恒成立 . 证明  由定理2知，只需证 ： 图3 可不妨设点 在第三象限(如图3).当直线 的斜率为 时，由题设得直线 的斜率为 . 把直线 的方程 代入双曲线 ，得 由 ，得 . 再由 ，得 因为 ，所以 ，得 . (该证明确实复杂，其简洁证明见以下定理5(2)的证明.) 下面仅依赖于图形再证得更优美的结论： 定理5  若 ，则 (1) 点 在曲线 上； (2) 点 在曲线 上. 证明  由定理1、2可分别得结论(1)、(2)中的“ ”成立(且其证明仅依赖于图1、2，没有计算)，下面均只证“ ”. (1)在图1中，作线段 的中垂线 ，作 关于直线 对称，得等腰梯形 也关于 对称，所以直线 的交点在直线 上.可得 ，又 ，所以 .又 ，所以 ，由双曲线的第二定义，得点 在以 为准线、 为 对应的焦点的双曲线上，即在双曲线 上，进而可得点 在曲线 上(因为可通过画图知该双曲线上的其他点不满足题设). (2)在图2中，作线段 的中垂线 ，作 关于直线 对称，得等腰梯形 也关于 对称，所以直线 的交点在直线 上.可得 ，又 ，所以 .又 ，所以 ，……同上可得欲证. 高考题  (2010·四川·理·20)已知定点A(－1，0)，F(2，0)，定直线l：x＝ ，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N. (1)求E的方程； (2)试判断以线段MN为直径的圆是否过点 ，并说明理由. (答案：(1) ；(2)……过点 .) 下面用定理1、2给出高考题的简洁解答. 解  (1)由双曲线的第二定义可立得答案： . (2)分两种情形来解答. 当点 均在双曲线的右支上时，如图4，由定理1立得 ，又 ，所以 . 图4                                        图5 设线段 的中点是 ，由直线 是线段 的中垂线，得 ，所以以线段MN为直径的圆(圆心是 )过点 . 当点B、C分别在双曲线的两支上时，如图5，由定理1、2立得 ，又 ，所以 . ……所以以线段MN为直径的圆(圆心是 )过点 . 以下再给出该问的一种直接解法. 另解  如图3、4，可设直线 ，把它代入轨迹E的方程，得 设 ，得 由此可证得 ① 还可得 ，所以 .再由教科书第90页第3题的结论(此结论也可叫做圆的直径式方程)，立得以线段 为直径的圆的方程为 而由①可得该圆过点 .证毕！ 2011年华约自主招生题第14题   双曲线 是左、右焦点， 是右支上一点，且 . (1)求离心率 ； (2)若 为双曲线的左顶点， 为右支上的任一点，是否存在常数 使 恒成立？ 因为可以求得第(1)问的答案是 ，所以由定理3立得第(2)问的答案是 . 显然，该证明比文献[2]给出的证明要简洁自然. 定理6  若 分别是双曲线 的左顶点和右焦点，过点 作直线 (非 轴)交 于 两点，线段 的中垂线与直线 分别交于点 ，则 恒成立 以线段MN为直径的圆恒过点 . 证明  先证“ 恒成立 以线段MN为直径的圆恒过点 ”. 设线段 的中点是 ，得 .从而可得第一个“ ”成立. 下证“ 恒成立 ”. 可不妨设 ， .还可设 ，把它代入 的方程，得 从而，可得“ 恒成立 ”. 参考文献 1  甘志国著.初等数学研究(II)下[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009.255-257 2  范端喜.2011名校(华约、北约、卓越联盟等)自主招生试题解析[J].数学通讯，2011(5下)：44-50