平面向量教材分析与教学建议

平面向量教材分析与教学建议 《平面向量》教材分析与教学建议 盐城市龙冈中学高一数学备课组 一、新旧教材对比分析 1、在章节编排上有了一定的调整，对原教材中的某些小节作了合并，原教材中的“向 量的加法与减法”与“实数与向量的积”合并为“向量的线性运算”，原教材中的“线段 的定比分点”并入“向量的坐标运算”，原教材中的“平面向量的数量积及运算律”与“平 面向量数量积的坐标示”合并为“向量的数量积”。 2、部分内容作了删减，平移及解斜三角形在新教材中均已删去。 3、部分内容的编排位置发生了改变，原材料中“平面向量基本定理”编排在“向量 的线性运算”中，而新教材中却编排在“向量的坐标表示”中。 4、新教材很注重“问题情境”，如一开始引入向量概念时用了“湖面上游艇送客” 之例。引入“平面向量基本定理”时用了“火箭升空”之例，以激发学生 学习数学的兴趣。 5、新教材比较注重知识的发生、发展的过程。如对向量共线定理及其坐标形式的定 理均作了比较详细的证明。 6、新教材充分体现了分层教学的要求，如课后的习题均有“感受?理解”、“思考?运 用”、“探索?拓展”三个层次，满足不同层次的学生需要。 二、课时划分 向量的概念及其表示 约1课时 1 向量的线性运算 约4课时 向量的坐标表示 约4课时 向量的数量积 约4课时 向量的应用 约1课时 复 习 约2课时 三、教学中应注意的问题 1、向量是数学中重要的、基本的概念，它是从诸如“位移”“力”等物理概念中抽 象出来的，教学中要展现并让学生 经历这个抽象的过程。 2、位移的合成可以作为向量加法的原型，教学中应该以此为依托，探索向量加法的 含义及其运算律，启发学生将向量的加法和数、字母、式的加法进行比较，加深对数学 运算的认识和理解。 3、求两个向量的和应突出三角形法则，在使用这个法则时，要强调“首尾顺次相连”。 4、在教学中要突出数形结合思想，注意从形和数两个方面来理解、研究向量及其运 算。 5、由于充要条件的概念在选修教材中才出现，所以向量共线定理的教学中，应让学 生正确理解定理包含的两层意思，并在后面的运用中加深理解。 6、向量共线定理中条件 a0?的限制，应让学生自己先体验；若无此限制，会有什 么结果？再感悟到只有用非零向量a，才能表示与它共线的所有向量。 7、平面向量的正交分解是平面向量坐标表示的基础，要求学生理解、掌握，对于向 量的非正交分解只要求学生作一般了解，教学中要注意把握分寸。 2 8、在向量坐标运算的教学中要让学生感受到坐标运算的简捷，体会到形式化运算的 优点。 9、在向量的数量积教学中，应该让学生参与从“功”抽象出向量的“乘法”的活动， 应该让学生讨论“求功运算”的特点，进而抽象出向量数量积的意义。 10、对于向量的数量积运算律，可以先让学生类比猜想，再进行验证（可以用“特 殊化”的思想，如分别令θ= 000ab，θ= 180和=来进行验证）最后由教师明确给出结论， 对运算律的证明不作要求，但学生要会运用它们来进行运算和化简。 11、向量的应用中例3体现了向量方法的简捷性，教学中可让学生将它与解析几何 中的方法加以比较，平面解析几何中，直线方程的两点式y,yx,x11不能表示平行,y,yx,x2121 于坐标轴的直线，而方程(x,x)(y,y),(y,y)(x,x)表示的直线更具有一般性。 211211 一．选择题 ABADABAD1．在平行四边形ABCD中，若|+|=|-|，则必有 （ ） 000ADABADA、 = B、 =或= C、ABCD是矩形 D、ABCD是正方形 PAPBPCAB，，,,ABC,ABC2．已知的三个顶点A、B、C及平面内一点P，且，则点P与的位 置关系是（ ） ,ABC,ABCA、P在内部 B、P在外部 C、P在AB边上或其延长线上 D、P在AC边上 3 P1P2P2P３．已知点P分有向线段的比是–3，则点P分所成的比是（ ） 1 4213,,,,3322（A） （B） （C） （D） 000ababcc４．下面5个有关向量的数量积的关系式? •= ? （•）• =•（•）? abbaabababab•=• ? |•|?• ? |•|?||•|| 其中正确的是（ ） (A) ? ? (B) ? ? (C) ? ? (D) ?? PQ５．已知点P（4，–9）与Q（–2，3），则直线PQ与y轴的交点分有向线段所成的比为（ ） 11 32（A） （B） （C）2 （D）3 ,,,, 6.若a=(2,x),b =(1,3),且a?b ,则x的值是( ) A.2 B.4 C.5 D.6 ,,,,,,1,,,,7．已知a,10,b,123a,bab，且=—36，则与的夹角是（ ） ,,,,5,,,, :::: A 60120135150 B C D ,，，， b,(,,,1)(,,R)aab,8.已知平面向量=（-2，1），，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ） 111 A ,,,,,,,, ＞－ B ＞２ C ＞－ 且 ２ D ＞－ 且 －２ 222 ，9.已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括点A，C），则等于（ ） AP ,,2,,,,,,,,,,,0,，,A．，，,AB，AD,,,0,1,ABBC, B. ,,,,,,2,,,,,, ,,,,,,2,,,,,,C. ,0,,,，，,AB,AD,,,0,1,ABBC, D. ,,,,,,2,,,,,, 4 ,,,,:b3510.若平面向量与向量的夹角是，且=，则等于（ ） 180bba,(1,,2) A．（-3，6） B.（3，-6） C.(6,-3) D. (-6,3) ,,,,,,,,ABAC,,11.O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，,OPOA,，，,,,,ABAC,,,,则P过的( ) ,ABC A.外心 B内心 C 重心 D垂心 ,,,,,,,,,,,,:12．若向量60与夹角为， b,4,a，2b,a,3b,,72 则向量的模是（） aba,,,,,,,, A 2 B 4 C 6 D 12 二．填空题 13．已知||1ab,,b,(3,4)||a，，则的最小值为 最大值 ； 14．设I为?ABC的内心，当AB=AC=5且BC=6时， BC=λ+μ，那么λ= ，μ= . AIAB 15．下列有五个命题: ?单位向量都相等； ?若向量ababab，共线，则?=-|||| ?向量abcabcabc满足+=时，则||，||，||是一个三角形的三条边长； ?对于任意向量ababababab，必有|+|?||+||；?若?，则与的方向相同或相反，其中正 确命题序号是 ； ,,,,,,,,016．已知a=3，|b|=2，a与b夹角为60，如果（3a+5b）?（ma–b），则m值为____ ,,,,,,,,17．设向量ab3a,2b3a，bab，满足==1，=3，则 = ,,18．在直角三角形ABC中，已知AC=（2，3），=（1，k），求实数k=_____ AB 三．解答题 eeeeBCeeCDee19.设两非零向量AB和不共线，如果=+，=2+8，=3（+），求证： 12121212 eeeeA、C、D三点共线。?试确定k，使k+和+k共线？ 1212 5 ,,,320．已知a,(cos,sin),,，b,(cos,sin),,，，，，求. sin,,,ab,,,,(,),544421．设向量a,(cos23,cos67)b,(cos68,cos22)，且uatb,，（t?R） （1）求ab, ； （2）求uatb,，的模的最小值 22．平面内有向量OAOBOP=(1，7)，=(5，1)，=(2，1)，点X为直线OP上的一个动点. （1）当OX取最小值时，求的坐标； XAXB （2）当点X满足（1）的条件和结论时，求cos?AXB的值. ，，，，，，，，31223.若3t=（，-1），=（，），且存在实数k和t，使得=+（-3），＝-k+t,yabxabab22 2，，，kt且。试求的最小值 yx,t 6