微分中值定理与导数的应用 利用导数证明不等式及导数应用题 不定积分的概念与换元积分法 不定积分的分部积.doc

(xx ,在单调减。 (0,)(-?，(1，+2 x0 (0，-1) 1 0 ?) 2,,xx,0fx()20(设确定fx(){,xxxarctan,0, y'' + — + 单调的区间。 2拐拐,,x0 y凹 凸 凹 解:(1) f'(0)lim0.,,,点 点 x,0x 5(,0),,答:拐点(0，)及(1，);,1，xxarctan ,,f'(0)lim0.9，x0,,x0 为凹区间，(0，1)为凸区间。(1,)，, f'(0)0,故有为驻点 1xx18(求曲线ye,，(1)的水平渐近线与垂直x,0fxxfxx'()20()(0),,,,,,(2)当时， 渐近线。 x1x,0时， fxx'()arctan0,，,x20x解:(1)是曲lim(1)111，,,？,ey1，x,,,x 线的一条水平渐近线。 ,,,fxx()(0) 0xln(1)，e1,，，limx,，,fx()(,),,，,x,0fx'()0,xx(3)除外，(在x(2) lim(1)ee,，,，,x 单调增加。 xxeelimlimxx四、综合题(每小题10分，共,,分) ,，,,，,xx，1ee eee,,'21 已知函数的图形上有一拐点(2，4)，在拐ye,是曲线的另一条水平渐近线 ？,3点处曲线的切线斜率为，而且该函数满足1x，,x(3)? lim(1)20，,,,？,ex''，yxa,，6，求此函数 x,0 4 专业精神 诚信教育 高等数学内部教材 严禁翻印 ''',1,2yyy(2)3,(2)0,(2)4,,,,fe(1),(2,2)e解(1)已知; 极大值，拐点 (4)渐近线与函数变化趋势 ''''ayxay:6,(2)0,，,由(2)求常数 , ''得120，,aayx,,,,12612即， x1,是曲线的limlim00y,？,xxxx,，,,，,ee y'yx''612,,(3)求: ,x 一条水平渐进线，limxe,,,x,,,'2yxxc,,，312， 1(5)描点作图 'y,0x,0当时 ycc(2)3,122439,,,，,,,知由 11 '2即yxx,,，3129 '2yxx,,，3129(4)求函数y: 3？,,，，,,yxxxcyc69(2)42由得22 32xxx,，，692答:所求函数y= 五、证明题(每小题9分，共18分) ,xxfxf,,0,()(0)0,连续，23 设 yxe,22 利用导数描绘的图形 (,),,，,解:(1)定义域，非奇非偶函数 fx'()当时xfx,0'(),存在且单调增加， ''y,0fx(2)求驻点和的点 ，，x,0证明当时单调增加 x,xy'0,x,1yxe'1,,，令，驻点 ，，fx()证明:1)令 Fxx()(0),,,xxy''0,x,2yxe''2,,，令，得 ，，xfxfx'()(), (2)'()Fx,2(3)列表 x f(0)0,(,1),,(2,)，, x 1 (1,2) 2 xfxfxf'()[()(0)],, 2x'y + _ _ 微分中值定理xfxxf'()'(),,(0),,x,''2y _ _ + x fxf'()'(),,极拐 ,y x大 点 5 专业精神 诚信教育 高等数学内部教材 严禁翻印 fx'()()在3()fx-q-p,q-p[]连续x,0当时，单调增加 且 fqpqppqqp()cos0,,,,,，,,,,ffxfxf'()'(),'()'()0,,,,,即 ？，， fx()fq-p=q-p+p+qcosqp>0()(),故有单调增加 Fx'()0.(0,),，,即在x 在可导(a,b)，？由零点定理知:fx()0,至少有一实根fxab()[,]在连续，证 24 设 nnn,1fx()0,(4)综上所述:有且仅有一个实根 nfbfabaf[()()]()'(),,,,,明， ,,(,)ab 第六讲:利用导数证明不等式及证明:1)构造辅助函数: nnnFxxfbfabafx()[()()]()(),,,, 导数应用题的强化练习题答案 在可导(a,b)，Fxab()[,]在连续，(2)且 nnnn111Faafbafabfaafa()()()()(),,,，,,x,01(当时,证明成立. ,，,ln1,,xxx，1,,nnnnFbbfbbfabfbafb()()()()(),,,， 1,,证:(1)变形:,这ln1ln1ln，,，,xx，，,,nnFaFbafbbfa()()()(),,, x,, 是对数函数的增量形式 'F()0.,即,由罗尔定理知 ？ ftttxx,,，ln,,1令 ，，,,nnn,1nfbfabaf[()()]()'(),,,,, ftt()ln,xx,1，(2)在应用拉格朗日中值,,,,(,)ab 1定理: ln1ln1，,,，,xxxx，，，，, 选做题 , xpqx，，,cos0证明方程:恰有一实根， 111 ,,,,,，,1xxpq,01,,q其中常数，且 xx，,1 111fxxpqx()cos,，，证明:(1)令 (3) xx,,,，？,,1,xx，,1(2)'()1sin0()fxqxfx,,,, 111,,故有 ,，,,ln10x，，,,故最多有一实根fx()0, xxx，1,, 6 专业精神 诚信教育 高等数学内部教材 严禁翻印 证毕～ 1,x,0 证:(1)令,，,fxxarctan，，，，x2arctanarctanabab,,, 2(证明:成立 111,,(2) fx,,,,0，，证:(1)构造辅助函数, 22221，xxxx1，，，fxxbaba,,arctan,,,令 ，，,, ？fx0,，,在单调减少 ，，，， fxx,arctanba, (2)在应用拉格朗日，，,, fx0,，,(3) 在单调减少,且 ，，，， 1定理: ,,,arctanarctan()abab,1,,,，,1 fxx,，,,limlimarctan0，，,,xx,，,,，,x2,,ba,,, x,0？,fx0故当时, ，， 1 ,,,arctanarctanabab1,, 证毕 ，,arctanx，,1x2 ,215(当时,证明成立. 0,,x,sinxx(3) 01arctanarctan,,？,,,abab,2,1，,sin2x证:(1)变形, ,？,x0ba,对于 的情形,同理可证. ,x证毕 sin2x,,,令 ,,,,fxx0，，,,xxx,0xexe,,,13(证明:当时,有成立. x2,,,证:(1) 构造辅助函数: xxxcossin,,(2) fx,，，2xxx0eee,,,1 gxxxx,,cossin令 ，，tftetx,,,0,?令 ，，,, ,gxxxxxxx,,,,,,cossincossin0，，tfte,0,x(2) 在应用拉格朗日中值定，，,,,,,gx 0,,x，，x0,2eeexx,,,,,,0,0理, ，， ggxg0000,,,,且 ，，，，，， xe (3) 是单调增函数 gx，，,从而 fx,,0,，，0,xxx2x,0？,,eeexexe,,,1，故有, x证毕 ,,,fx0,在单调减少 1,，，,,x,04(当时,证明成立. ，,arctanx2,,x2 7 专业精神 诚信教育 高等数学内部教材 严禁翻印 ,fxxx,，,,4ln422 (2),，，,,,fx(3)?且f=0 ，，,,2,, ,,,4ln(22)xx ,,, fxf0？,,，，,,,x,1fx,0令,驻点 ，，2,, 24,,,,f(1)4220,,,,成立 (3) ，即有,sinxxfx,,2,，，,x x,1为极小值点. xx,0exx,，,,11cos6(当时,证明成，，x,1由单峰原理,是最小值点 立. f110,,最小值 ，，x证:(1)变形，令fxexx,,，,，(1)1cos ，， fxf,,10故有,即 ，，，，x,,，,exxcos2 24ln24002xxxxx,,，,,, ，，x,fxex,,,1sin(2) ，，证毕 ,,01,1,,,xpfx(一阶导数符号不易判定,借助) 8(设,证明 ，， 1pxp,,fxexx,,,cos00= ,成立. ,，,,xx，，，，11，，,1p2 pp,,fxf00,且 ,，，，，fxxx,，,1证:(1)令 ，，，，,,px,,,1,01fxf,,,00 ，，，， p,1p,1,fxfx,,0单调增加 ,，，，，fxpxpx,,,,10(2) ，，，， 1fx0,，,(3)在单调增,且 xx,,1,驻点 ，，，，x,2 ppf00,？,,fxf00, ，，，，，，1111,,,,,,(3) f,，,,,12,,,,,,p2222,,,,,,xexxx,，,,,(1)1cos0故有 ，，1 ,,,ff,01,11，，，，p,1证毕 2 (4)比较上述函数值的大小: 202,,x4ln240xxxx,,，,7(当时,证明:1 mM,,,1p,1成立. 2 2(02),,xmfxM,,fxxxxx,,,，4ln24解:(1)令 故有,即 ，，，， 8 专业精神 诚信教育 高等数学内部教材 严禁翻印 1ppfx,0有且只有一个实根. (3)综上所述: ,，,,xx，，11，，,1p2 证毕 px,,,1,01 3xxx，,cos11(证明方程只有一个正根. 证毕 34fxxxxx()cos0,，,,证(1) 45xx,,x,19(证明:当时,有. ，， 42,fxxxx,,,4,1fxxx,，，,31sin0证:(1)令 ，，，， 3,fxx,,44,fx(2) 单调增 ，，，， 3fx,0故最多有一实根 ,,,410xx,1, ，，，， ,fx,1,1在单调增加 ,，，,,，，fx(2)在连续且 0,，，,,2，， mf,,,,,,,1415 (3) ，， f010,,, ，，Mf,,,,1413 ，，3,,,,,,, f0,，,4,,,,mfxM,,,,,,543xx由,得 ，，222,,,, 4fx,045xx,,?由零点定理知: 从而有 证毕 ，，二、证明方程根的个数 至少有一个正根. 5fx,0(3)综上所述:有且仅有一个正根 p,0xpxq，，,0，，10(证明:当时,方程仅 有一个实根. 12(证明方程: 5fxxpxqp,，，,,0xxxx,,，,,1223 证:(1)令 ，，，，，，，，，， 4,fxxp,，,50，,,,xx310 ，，，，，， 有且仅有两个实根. ,fxfx,0单调增,故最多有一个实，，，， fxxx,,,，12解:(1)令 ，，，，，，根 5fxxpxq,，，,0xxxx,,，,,2331(2) ，，，，，，，，，，是一元五次方程 fx1,2在连续且 ，，,,？,fx0至少有一个实根 ，， f1121320,,,,, ，，，，，， 9 专业精神 诚信教育 高等数学内部教材 严禁翻印 f210,,, ，， ?由零点定理知: fx1,2在至少有一个实根 ，，，， fx2,3fx,00,，,同理:=0在至少有一实根 在有 即，，，，，，，， 且只有两个实根. fx1,3总之, =0在至少有两个实根 ，，，，三、 应用题(每小题10分，共50分) 1fx(2) =0是一元二次方程,最多有两个 14(已知曲线. ，，y,2x 实根( x(1)求曲线在横坐标为的点处的切线方程. 0 fx(,)综上所述:=0有且仅有两个实根 ，，(2)求曲线的切线被两坐标轴所截线段的最 短长度. k,0,13(设常数 ,,1解:(1)求切线方程:切点 x,x,,020,，,证明方程,在内有且ln0xk,，,，，x0,,e 仅有两个正根. ,,33yxyxx'2,'2,,,, ，，00x证:(1)令 (x>0) fxxk()ln,,，e12,切线方程: yxx,,,，，110'23,fx,0(2) ;令 fx(),,，，xx00xe 驻点 xe,23x即 y，,,1,132,,,,<0, fx,fe,,0xx，，，，0022xe 为极大值点. xe,3x0由单峰原理:是最大值点 (2)令 xe,yx,,,0;2 ,,，,110kfe最大值 ，， 3令 xy,,0,2limfx,,,且, ，，x，0x,0 22limfx,,, ，，,,339,,,224x,，,dxxx,，,，9(3) ,,000,,224x,,,,0yfx,故与轴有且仅有两个交点 x，，9,25, ,,，dxx49，，00(如示意图) 2 1,26令 dxxy,,,,,0,8,2,，，0002 10 专业精神 诚信教育 高等数学内部教材 严禁翻印 ,6公里,求客轮最经济的速水流速度为每小时9c,,2(4) ,，，,,d20920，，，，度? 2 最小值 解:(1)列出函数关系式:设从甲城沿江到乙城 的路程为.消耗总费用为.依题意: sy293213，,,sd,，，,,,293 3,,t,其中是甲城到乙城所ykvtt,,,,4242,,vc, 15(在半径为R的半径内作一个圆柱体,求最需要的时间 大体积时的底半径与高. 3v解:(1)画出示意图 yks,vc, (2)求驻点: 2333vvcv,,，，,yks,, 2vc,，， 2 vvcks23,，，, (2)依题意,设所求圆柱体体积为V 2vc,，，2222VrhrRh,,,,, 3,y,0令,驻点 vc,22232VRhhRhh,,,,,,, ，，(3)求最值:由实际问题的意义知道: (3)求驻点 3最小值存在,且驻点唯一,当时, vc,222,,V,0VhRh,,3,,,令, ，，客轮消耗燃料总费用最省. 31m17(欲做一个容积是3000的无盖圆柱形的22Rh,3,驻点 hR, 3蓄水池,已知池底单位面积造价为池壁单位面 ,,Vh,,6,(4)求最值点: 积的3倍,问蓄水池的尺寸怎样设计,才能使总 造价最低? ,,3R,,, 解:(1)列出函数关系式:设池底半径为,池V,0hR,r,,33,,h高为,池壁单位面积造价为元,总造价为a ,依题意: y1222为最大值点 rRRhR,,,22yarrha,，32,3000rh,,,, 33 60002 ？,，,yara323答:当,时,所得圆柱体体hR,rR,r336000,(2) 求驻点: ,,,yara62积最大 r16(某客轮每小时消耗燃料的费用速度的立方10,y,0,令,驻点 r正比,若该客轮从甲城到已城沿江逆流而上,设3, 11 专业精神 诚信教育 高等数学内部教材 严禁翻印 (3) 求最值: 由实际问题意义知道:漏斗最大容积存在,且 10120008,,,,, ,,,，y()0ya6驻点唯一,当时,漏斗的容积最大. ,,,33r,3 10当时,总造价最省. ,r3,第七讲:不定积分的概念与换元积 10300030(4) 当时, ,,,hr233分法的强化练习题答案 ,,,,10 ,,3,,, 一、单项选择题(每小题4分,共24分) hr,3答:当时,总造价最低. 18(从一块半径为R的圆铁片上挖去一个扇Fxfx,,，,,1(设是在上的一个原，，，，，，形,把留下的中心角为取多大时,做成的漏, 斗的容积最大? Fxfx函数,且为奇函数,则是 ，，，， ( ) A (偶函数 B( 奇函数 C( 非奇非偶函数 D(不能确定 解:可导奇函数的导函数必为偶函数. 解:(1)列出函数关系式:设漏斗体积为V ,？,fxFx必为偶函数.选A ，，，，12222Rhr,，依题意:, ,,Vrh3fxgx2(已知的一个原函数为,的cosx，，，，12222,rR,, , ,,,VrRr23fgxx，，一个原函数为,则的一个原函数，，，，(2) 求驻点 为 ( ) 3,,,r22,VrrRr2,,, ，，,,2222xcosxA ( B( 3Rr,,, 22rcosxC( D ( cosx22,Vr令=0. ,,,Rr，，22Rr,,fxxx,,,cossin解:(1),，，，， 22232rR,,驻点 rR,,2gxxxfgxx,,？,,2sin2，， ，，，，，，3，， ,2cos2cos(sin)xxx,,228,(2) ，，又 ,,～？,,,2rRR,,R33,,？sin2x 选B (3) 求最值 fx3(设为连续导函数,则下列命题正确的，， 12 专业精神 诚信教育 高等数学内部教材 严禁翻印 是 ( ) ,2x,2x2e8e B( A(1,A( fxdxfxc22,，，，，，,2,2x,2x,2e4eC( D( ,fxdxfxc22,，B ( ，，，，, 解:(1) ,fxxfx,,,,22，，，，，，，，,( Cfxdxfx222,，，，，，，，，,原式= lim,,x0,,,x,fxdxfxc2,，D( ，，，，, ,,,2fx ，，1,, 解: fxdxfxdx222,，，，，,,,2x2Fxe,(2) ，，1 ,，fxc2，，2,,,22xxfxee2 ？,,,，，，，选A 22,,22xx,fxxcossin,4(设且 ,,,2(2)4ee(3) 原式= 选D ，， f00,fx ,则=( ) ,，，，，fxln，，,xfxe,6(设,则=( ) dx，，,x1122A ( B( ,xxx,122,，lnxcA( B( ,，c1x31,xC( D ( xx,13lnxc，C( D( ，c22x,fxxcos1cos,,(1) 解:，， ,fxln，，,解:(1) dxfxdx,lnln，，,,,？,,fxx1 ，，x 2,，fxcln ，，xfxxc,,， (2) ，，2,xfxe,,(2) ，， c,0f00,且得 ，， 1ln1,xlnx ？,,,fxeeln，，2xxfxx,,,选A ，，21(3)原式= 选C ，c,2xxefx5(设是的一个原函数,则 ，，二、填空题 xxlnfx7(若是的一个原函数,则 ，，fxxfx,,,2()，， ( ) lim,,,x0,x ,fx = ，， 13 专业精神 诚信教育 高等数学内部教材 严禁翻印 ,,xxFxxx,ln 解:(1) efedx, ，，，，, ,,,xxx,？,,，fxFxx1ln ,,,，fedeFec 解:原式= ，，，，，，，，, 1,,,(2) fxx,，,1ln，，，，12(若lncosfxx,,则 ，，，，，，x fxkx,tan2fx,8(设的一个原函数为 ，，，，，，2,k, ,则 lncos2x解:lncosfxdxxdx, ，，，，，，,,3 2lnsinfxxc,， 解: ，，Fxx,lncos2，，13 2sin2,xcx,sinsinx1fxece,,, ，，？,,fx2，，，，3cos2x 44三、计算题 ,故 k,,,,,，tan21lnxFxx，，，，233xxedx，3( 13，，,2fxdxxc,，9(若,则 ，，,2xxxx2，， 解:原式= eedx，，,323，，,,,，，23xfxdx1,= ，，,x2xx,，，edxdxedx923 ，，,,,133 解: 原式= ,,,fxdx11，，，，,3xxx1923,,e2x1 ,，，，ec3 ,,,，1xc，，2ln91ln3，3 cos2,，，，，，，sinlncoslnxx，，，，，，，，10( ,d,14( dx2,,sin2，，,x 22sinlncoslnlnxxdx, 解:原式= ，，，，cossin,,,, 解:原式= d,,224sincos,, ,sinlnsinlnxdx ，，，，,11dd,, ,,22,,2144sincos,,= ，，sinlnxc，，，，，112 ,,,，,,cottantcln(tan)x4415( dx,sincosxx1,,,或 ,,，cscc,,lntanx，，2,, 解:原式= dx2,tancosxx fxdxFxc,，11(若,则 ，，，，, 14 专业精神 诚信教育 高等数学内部教材 严禁翻印 2lntanxxtxtdxtdt，,,,,1,1,2 解:令，， ,dxtan,tanx21t原式= dtdt,22,,21，t,lntanlntanxdx 1，tt，，，，，，, 22arctantc，= 1 ,，，，lntanxc，，，，2回代 12arctan1xc，，arctanx16( dx2,1，x3x19( dx,211，xarctanx解:原式= dx,1,,2x，1,,2x,, 1arctan21,,xxtdxtdt,,tan,sec解:令 ,,d ,,2,x,,1,,1，,,3tantx,,2原式= sectdt,sect11 ,,arctanarctand,2xxtansectdt= ,211,, ,,，arctanc2,,,,sec1sectdt ，，2x,,, 11317( dx,,，secsecttc,1sin，x3 1sin,x31 解:原式= dx回代1222,22 11，,，，xxc1sin,x，，，，31sinx ,,dxdx2,,cosxcosx120( dxdxcos,2 ,，tanxxx4,2,cosx 1,,，tanxc cosx 1 18( dx,xx，，21，， xtdxtdt,,2sin,2cos 解:令 15 专业精神 诚信教育 高等数学内部教材 严禁翻印 2costxx2原式= dtetet,,,，1,1, 解:令,2sincostt 12t2 ,csctdtxtdxdt,，,ln1,，，,221，t 2公式1ttt,，,211 原式= lncsccotttc,，dtdt,2，，,,22211，，tt 2回代2arctanttc,，= 124,,x，，ln，c 2x 回代xx四、综合题(每小题10分，共20分) 21arctan1eec,,,，，， 121( dx五、 证明题(每小题9分，共18分) ,2xx,9 Fx,0fx23(设是 的一个原函数,且，，，，11,解:(倒代换)令 xdxdt,,,2ttfx，，xF02,,, ,，，21,,Fx1，x，，tdt,,,2dtt,,,,原式= ,,22x119,t证明: fx,，，,9221，xt dt3，，,11Fxx，， ,,,,，arcsin3tc, 证: fxFx,？,，，，，,2233Fx1，x，，13,t，， ,Fx，，x回代13 dxdx, ,，arcsinc2,,Fx1，x，，3x 1312 ,，arccosclnln1lnFxxc,，，，，，，13x2 2xt,3sec,(注:(三角代换)令 c,2Fxcx,，1F02,,由,得 ，，，，1dxttdt,3sectan, 2Fxx,，21 ，，3sectan1tt原式= dttc,，,9sectan3tt222,xx ？,,fx，，22回代13211，，xx) arccos，c3x Gx()Fxfx24(设是的一个原函数，是，，，， xedx,122( , 16 专业精神 诚信教育 高等数学内部教材 严禁翻印 11 1(dx的一个原函数且 ,10xx，2fx()，， 1010xx，,2，，FxGxf,,,1,01,证明: 1，，，，，，解:原式= ,,102xx，2，，x,xfxe,fxe,或 ，，，，9，，1dxx ,,dx,,,,10FxGx,,,1.证:(1) ，，，，2xx，2，， 10，，dx，2，，,,？，,FxGxFxGx0 11，，，，，，，，,,,,,lnx 10,210x，2,,，，1 ,，,fxGxFx0，，，，，，11fx，，，，10 ,,，，lnln2xxc，，,,210，， ,11 ,，,fxFx0，，，，xFxfx，，，，ex,sin选做题2( dx,xex，cos22,,Fxfx ，，，， xdex，cos，，解:原式= iFxfx,(2)讨论,若,即 ,，，，，，，xex，cos x,fx，，,，，lncosexc , fxfx,,,1，，，，fx，，1选做题3( dx4,xsinxln,fxxc,，fxce, ，，，，12csccotxdx,解:原式= ，，, c,1f01,由,得 ，，2,,，1cotcotxdx ，，,xfxe,故有 ，，13 ,,,，cotcotxxc3,iiFxfx,,fxfx,,若,即 ，，，，，，，，，， ,x,,,，lnfxxcfxce,, ，，，，2第八讲:不定积分的分部积分法 c,1f01,由,得 ，， 等的强化练习题答案 ,xfxe,故有 证毕 ，， 一、单项选择题(每小题4分，共24分) 选做题 17 专业精神 诚信教育 高等数学内部教材 严禁翻印 ,x22efx1(设是的一个原函数,则 ，，xxxxA( B( 1xec，，xec,，，，，22 xfxdx,( ) ，，,22xxxxC( D( 1xec,，xec,,，,x,x，，exc，，1,，，exc1A( B( ，，，，22 ,x,xlnx,exc1,，exc,，1C( D( fxexln1ln,，解:(1) ，，，，，，，， ,,xxx,,FxefxFxe,,,,,解: ？,，fxex1 ，，，，，，，，，， xxdFxfxxedx,，1原式= (2) ？，，，，，，,, 22,,xFxFxdx ，，，，xxxxx, ,，xde,，,，xeec,22,,,xxx,,,，，xeedxxec1 ，，,选B 选A ,,xfxdx4(= ( ) ，，,2fxlnx2(若的一个原函数为,则 ，， ,xfxfxdx,A( ，，，，, ,xfxdx,( ) ，，, xfxfxc,，B( ，，，， 22lnlnxxc,，2lnlnxxc，，A( B( ,xfxfxc,，C( ，，，， 222lnlnxxc,，lnlnxxc，，C( D( ,fxxfxc,，D( ，，，，2Fxx,ln,解: ，， ,xdfx解: 原式= ，，,2, fxFxx,,ln，，，，x,,,,xfxfxdx ，，，，, ,xfxdxxdfx, ，，，，,, ,,,xfxdfx ，，，，,,,xfxfxdx ，，，，, ,,,，xfxfxc 选C ，，，， 2,,，2lnlnxxc xdx,5( ( ) 2,选C cosx ,fxxxln1ln,，xxxctanlncos,，3(设,则 A( ，，，， fxxxxctanlncos，， =( ) B( ，， 18 专业精神 诚信教育 高等数学内部教材 严禁翻印 ,,，xxxcln xxxctanlnsin,，C( xedx,8( , xxxctanlnsin，，D( xt,t解: 原式 2etdt,,xdxtan解: 原式= , sinxttt,,,，222tdeteec ,,xxdxtan,,cosx dxcos= 回代xxtan，xx, 22xeec,，cosx xxxctanlncos，，= 19(= dx选B ,xx，，12，，，， 16( ( ) dx,,22xx，,，21拆项，，，，xx1，，， 解: 原式 dx,xx，，12，，，，1A( ，，arctanxc1dxx ,,dx,,1xx，，12B( ,，arctanxcx,，,，，ln1ln2xxc 1C( ,,，arctanxcxx，1 ,，lnc1D( ,，，arctanxcx，2x 22xxx，,1,fexx,，,1010(若,则 ，，，，,dx解: 原式 ,22xx1，，， fx= ，，11 ,,dxdx22,,xxxx1，,fee,，1ln解:(1) ，，1 ,,,，arctanxcx,？,，fxx1ln ，，选C 二、填空题(每小题4分，共24分) fxxxxxcxxc,，,，,，lnlnlnxdx(2) 7(= ，，,,, x,,xxxdxlnln解: 原式 dx,11( ,2,sinx 1xdx,cot 解: 原式=? ，，,,,xxxdxln,x 19 专业精神 诚信教育 高等数学内部教材 严禁翻印 cosx,1，，,,，xxcot? =dxxxxdxcos2cos2,,，，sinx4 ,11,,，xxxcotlnsin =，cxxxecos2sin2，，48 2223,x,xfxfxdx,12( xedx16( ，，，，,, 12222, 解: 原式= fxfxdx,2x，，，，,x2,.解:原式= xed2,2 2凑微分112222，， fxdfxfxc,，xt,11，，，，，，,,tt,，， tedttde,,,24,,22三、计算题(每小题8分，共64分) lnsinx1,,tt，，13( teedt,,,dx2,,，，2cosx 1,,ttlnsintanxdx，，.解:原式= teec,,，，,，，2 cosx= 回代tanlnsintanxxxdx,,,2，，12,x,，， xec,，，1sinx，，，，2tanlnsinxxdx,,= ，，,2xxdxcos17( ,tanlnsinxxxc,,，= ，，2,xdxsin 解: 原式 ,211，,x214( arctanxdx2,2,,xxxdxsinsin 1，x, 22,,xxxxdxsin2sin x,解:原式= arctanxdx,21，x2,，xxxdxsin2cos ,x= xdxxdxarctanarctanarctan,,2,,1，x2cosxdx,，,xxxxsin2cos2 ,1122= xxxxcarctanln1arctan,，,，，，，，222xxxxxcsin2cos2sin，,，= xxxdxcossin15( ,3xedx18( ,1解:原式= xxdx,sin2,23xt,t2,1解: 原式 3etdt,,= xdxcos2,4 2ttde=3? 20 专业精神 诚信教育 高等数学内部教材 严禁翻印 2tt，，fx 有二阶连续导数,证明 21(已知,,,32teetdt，，,，， 2tt，，,, xfxdx21,,,32tetde，，,,，， x12ttt，， ,,，322teteedt, ,,,,，fxxc2121，，，，,，，24 11121,,333xfxdx21, 证 ，，xxx33, ,,，，36xexeec 14,, ,,,xfxdx2121x，，，，,19( dx2,21，x1, ,,xdfx21，，,24x,，111 解: 原式 ,dx,2，，,, ,,,,fxxfxdx2121，，，，1，x,，，2 1211 ,,，xdxdx1，，，，,,2,,,,,,,fxxfxdx212121，，，，，，1，x,,,22，，3xx1 ,,，，xxcarctan, ,,,,，fxfxc2121，，，，324 x五、综合题 dx20( 2,xx,,63secxdx22( ,xx(1) 解:,32,secxdx解: 原式 xx,，32xx,,6，，，，,AB2,，1tansecxxdx AxBxx，，,,23,，， ，，，，，，,xx,，32 3,，tansecsecxdxxdxx,3 令,5A=3,, A,,,5 22x,,2令,得 B,,sectanxxsecxdxsecsecxx-?+? 5 32,,，，sectanlnsectanxxxx 55dxdx，(2) 原式= ,,xx,，3233,secxdxsecx 移项: ,, dx，2，，321= ln3x,，, ,，，，，，sectanlnsectanxxxxc552x，，，232sinxfx 23(已知的一个原函数为, ,,，，，ln3ln2xxc，，x55 四、证明题(本题8分) 3,xfxdx求 ，，, 21 专业精神 诚信教育 高等数学内部教材 严禁翻印 sinx2x2解: exdx1tan， 选做题1(计算Fx,，，，，,x xxxcossin,22xexxdx1tan2tan，，, 解: 原式= ？,,fxFx，，，，，，,2x 32x2x,xdfx,，edxexdxtan2tan原式 ，，,,, 32222xxx,,,xfxfxxdx3,,,,，exxedxexdxtantan22tan ，，，，,,, xxxxxxcossincossin,,22xx22,,,exxedxtan2tan ,,,xxdx3,,22xx 22x2x,,,，xxxxxdxxdxcossin3sin3sin，2tanxedx,，exctan ,,, 2x,,,，，xxxxxxxdxxdxcossin3sin3sin3sine,1,,选作题2( dx,xe，12,,,，xxxxxccos4sin6cos xe,1解: 原式=? dxx，12x24( dxe,12,xx,，29 x21epq,,,,44360解: = dxdx,,,2x2x1e,1e,配方x,，12原式 ？dxxx,2,deedxx,，18，， ,,,,22xx,11,,eetdttdtxtt,,，12 ,，2dt222,,,,xtt，，88t，8dexx2,，,，ln1ee 2，，,,x2dt，8，，12te1,,，，arctanc 2,2t，888xxx2, ,，,，，ln1arcsineeec，，回代121x,2ln29arctanxxc,，，，，， 2222 1224x,，(注:原式= , 2,2xx,，29 2 dxx,，29，，dx,1，，1,，dx2 ,,222xx,，29x,，18，， 121x,2) ,,，，，ln29arctanxxc，，2222 22