理论力学讲义 中科大潘海俊教授

坐标变换 考虑三维空间中的一点P，在某个坐标系中P点的坐标为( )1 2 3, ,x x x 。这 里我们用 1 2 3x x x、 、 而不是 x y z、 、 来标志坐标轴，主要是为了使得后面涉 及求和运算的公式尽可能的简单，而且暂时我们只考虑笛卡尔坐标系。现在假设 有一个新的坐标系，它由原来的坐标系作一个简单的转动得到。点P在新坐标 系中的坐标记为( )1 2 3, ,x x x′ ′ ′ 。我们的问是，这两组坐标间有什么联系？我们 先考虑最简单的二维平面问题（如图）。 P 1x –轴 2x –轴 1x′–轴 2x′ –轴 1x′ C D E F 2x′ 1x 2x A B O θθ 新的坐标 1x′等于 1x 在 1x′ –轴上的投影（OA）加上 2x 在 1x′ –轴上的投影 （ AB BC+ ），即 1 1 2 1 2cos cos cos sin2 x x x x xπθ θ θ⎛ ⎞′ = + − = +⎜ ⎟⎝ ⎠ θ 类似的，坐标 2x′等于两个投影之和： 2x OD DE′ = − ，但是这里 也等于 ，因此 DE OF 2 1 2 1 2cos cos sin cos2 x x x x xπ θ θ θ⎛ ⎞′ = + + = − +⎜ ⎟⎝ ⎠ θ 如果把 ix′–轴与 jx –轴之间夹角的余弦用下面的符号表示 ( )cos ,ij i jx xλ ′= 那么这两组坐标之间满足的关系可以写为 1 11 1 12 2 21 1 22 2 2 x x x x x x λ λ λ λ ′ = + ′ = + 推广到三维转动，我们有 3 1 1 2 2 3 3 1 , 1,2,3i i i i ij j j x x x x x iλ λ λ λ = ′ = + + = =∑ 其反变换为 3 1 1 2 2 3 3 1 , 1,2,3i i i i ji j j x x x x x iλ λ λ λ = ′ ′ ′ ′= + + = =∑ 引入记号 ( ) 1 111 12 1321 22 23 2 2 31 32 33 3 3 = , , ij x x x x x x x x λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ ′⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ′ ′= = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟′⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ K K = 变换方程可以写为 , Tx x x xλ λ′ ′= =K K K K 知道了两组坐标轴之间的方向余弦，那么任一点在两组坐标系中的坐标分量之间 的关系就完全确定了。如此定义的矩阵称为变换矩阵，或者转动矩阵。其中第i 行是新坐标系的 ix′轴相对于原来坐标系的三个方向余弦。 举一个例子，把一个坐标系绕 着其第三个轴转动一个角度θ ，此 时空间任一点在新坐标系中的坐 标由变换矩阵 cos sin 0 sin cos 0 0 0 1 θ θ λ θ θ ⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 1x 2x 3 3,x x′ 2x′ 1x′ θ θ 所确定。这里是逆时针方向（右手法则）转动的。 变换矩阵的 9个元素（9个方向余弦）并不是完全独立的，其中一些可以由 另外一些表示出来。实际上，9个量中只有 3个是独立的。这可以如下看出：从 变换方程可以得到 T Tx x xλ λ λ′= =K K K 这个方程对于空间中任意一点P，从而对于任意三个数 ix 都成立，因此 T Iλ λ = 类似的，可以得到 T Iλλ = 它实际上也可以从第一个关系式推出，这个条件无非是讲矩阵是一个正交矩阵。 写成分量形式就是 ik jk ij ki kjλ λ δ λ λ= = 9个方向余弦之间满足 6个关系，分别对应于( )ij 取( )11 、( )22 、( )、( )、 和 。几何上这些关系来源于坐标系的三个坐标轴之间是相互垂直的， 这样的坐标系称为正交系，而上面的条件称为正交性条件。 33 12 ( )13 (23) 所以我们得到结论：每一个旋转都对应一个正交矩阵。那么反过来是否正确 呢？也就是说，一个正交矩阵是否也与某个转动相联系呢？显然是这样的，只要 把正交矩阵的第i行看作是新坐标系的 ix′轴相对于原来坐标系的三个方向余弦， 那么这个正交矩阵就唯一地确定了一个直角坐标系，从而也就确定了从旧坐标系 到新坐标系的转动。 但是，这里有一点小小的问题。正交矩阵的行列式可以取 1+ 或者 。后者 如反演变换 1− 1 0 0 0 1 0 0 0 1 λ −⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ 实际上，任何一个行列式等于 1− 的正交矩阵都可以由某个行列式等于 的正1+ 交矩阵乘上反演矩阵得到。而三维空间中的反演是不能通过简单旋转实现的（反 演把右手系变为左手系，或者相反）。 值得指出的是：如果λ和μ都是特殊正交矩阵，它们分别对应于某个转动， 那么λμ也对应于某个转动（因为也是正交矩阵），当然，μλ也对应于一个转 动。但是，一般来讲，矩阵乘法是不满足交换律的，即λμ μλ≠ （通常说矩阵 乘法是不可对易的），因此，转动通常也是不可交换的（如图）。 最后讲一点，前面我们讨论了坐标系旋转下，空间任何一点在新旧坐标系中 的坐标分量是通过下式联系的 3 1 i i j j jx xλ = ′ = ∑ 对于这同一个表达式，我们完全也可以从另一个角度加以解释：我们可以把坐标 系看作是不动的，而是空间中的任一点（如P）按照相反的方向转过相同的角 度得到一个新的点（如P′），那么点P′的坐标 ix′和点P的坐标 jx 之间的联系 也是由上式给出的。对旋转的这种看法称为主动的观点，而前面我们讨论的则是 被动的观点。在数学上这两种观点式等价的，在物理上究竟采用哪种观点则要视 具体情况而定，实际上，有时我们会同时采用这两种观点。 1x 2x 1x′ 2x′ θ θ P θ P′ 1x 2x P 1 1 2 2 1 2 cos sin sin cos x x x x x x θ θ θ θ ′ = + ′ = − + 被动变换 主动变换 坐标变换