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2013北京朝阳区高三一模数学(文)答案北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试答案（文史类）2013.4一、选择题：题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案ACBDDADB二、填空题：题号（9）（10）（11）（12）（13）（14）答案；；（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答题：（15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）……………………………………………1分.……………………………………………………4分因为最小正周期为，所以.………………………………………………5分于是.由，，得.所以的单调递增区间为[]，.……………………………8分（Ⅱ）因为，所以，…………………………………10分则.…………………………………………………12分所以在上的取值范围是[].………………………………………13分（16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）甲城市的空气质量指数的方差大于乙城市的空气质量指数的方差.……………3分（Ⅱ）根据上面的统计数据，可得在这五天中甲城市空气质量等级为2级良的频率为，则估计甲城市某一天的空气质量等级为2级良的概率为．………………6分,（Ⅲ）设事件A：从甲城市和乙城市的上述数据中分别任取一个，这两个城市的空气质量等级相同，由题意可知，从甲城市和乙城市的监测数据中分别任取一个，共有个结果，分别记为：（29，43），（29，41），（29，55），（29，58）（29，78）（53，43），（53，41），（53，55），（53，58），（53，78），（57，43），（57，41），（57，55），（57，58），（57，78），（75，43），（75，41），（75，55），（75，58），（75，78），（106，43），（106，41），（106，55），（106，58），（106，78）.其数据示两城市空气质量等级相同的包括同为1级优的为甲29，乙41，乙43，同为2级良的为甲53，甲57，甲75，乙55，乙58，乙78.[来源:学科网]则空气质量等级相同的为：（29，41），（29，43），（53，55），（53，58），（53，78）,（57，55），（57，58），（57，78），（75，55），（75，58），（75，78）.共11个结果.则.所以这两个城市空气质量等级相同的概率为．…………………………………………………………………13分PDABCFE（17）（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）因为分别为侧棱的中点，所以．因为，所以．而平面，平面，所以平面．……………………………………………………4分（Ⅱ）因为平面平面，平面平面，且，平面.所以平面，又平面，所以．又因为，，所以平面，而平面，所以平面平面．……………………………………………………8分（Ⅲ）存在点，使得直线与平面垂直.在棱上显然存在点,使得.由已知，，，，．由平面几何知识可得．由（Ⅱ）知，平面，所以，因为，所以平面．而平面，所以．[来源:学科网]又因为,所以平面.在中，，可求得，．可见直线与平面能够垂直，此时线段的长为．……………14分（18）（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由可知，函数定义域为，且.由题意，，解得.……………………………………………………………………………4分（Ⅱ）.令，得，.（1）当时，，令，得;令，得.[来源:学#科#网]则函数的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）当，即时，令，得或.则函数的单调递增区间为，.令，得.则函数的单调递减区间为.（3）当，即时，恒成立，则函数的单调递增区间为.（4）当，即时，令，得或，则函数的单调递增区间为，.令，得.则函数的单调递减区间为.……………………………………13分（19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）依题得解得，.所以椭圆的方程为.…………………………………………………4分（Ⅱ）根据已知可设直线的方程为.由得.设,则.直线，的方程分别为：，令，则,所以.所以.……………………………………………………14分（20）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）.………3分（Ⅱ）证明：由及其推广可得，=.……………………………7分（Ⅲ）的倍与倍共个数如下：其中最大数之和与最小数之和的差为，所以，对于，，所以的最大值为.……………………………………………………13分注：使得取得最大值的有序数组中，只要保证数字1，2，3，4互不相邻，数字7，8，9，10也互不相邻，而数字5和6既不在7，8，9，10之一的后面，又不在1，2，3，4之一的前面都符合要求.