一元二次方程电子课本

第23章一元二次方程    2 §23.1 一元二次方程    3 §23.2 一元二次方程的解法    4 阅读材料    13 §23.3 实践与探索    14 小结    16 复习    17 第23章一元二次方程 绿苑小区规划时，准备在每两幢楼房之间，安排面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？ 设宽为x米，可列出方程 ， 整理得        ． 方程 中未知数x的最高次数是2，它是一个一元二次方程． §23.1 一元二次方程 问题1 绿苑小区规划设计时，准备在每两幢楼房之间，安排面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？ 分析 我们已经知道可以运用方程解决实际问题． 设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程 x（x＋10）＝900， 整理可得 ．                        （1） 问题2 学校图馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7．2万册．求这两年的年平均增长率． 分析 设这两年的年平均增长率为x． 已知去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1＋x）万册；同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1＋x）倍，即 万册．可列得方程 ， 整理可得 ．                        （2） 思考 这样，问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）．显然，这两个方程都不是一元一次方程．那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ 概括 上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数都是2，这样的方程叫做一元二次方程（quadric　equation　with　one　unknown）．通常可化成如下的一般形式：　 （a、b、c是已知数，a≠0）， 其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项． 练习 将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：　 （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 习题23．1 1．关于x的方程 是一元二次方程，m应满足什么条件？ 2．已知关于x的一元二次方程 有一个解是0，求m的值． 3．根据题意，列出方程（不必求解）：　 （1）学校中心大草坪上准备建两个相等的圆形花坛，要使花坛的面积是余下草坪面积的一半．已知草坪是长和宽分别为80米和60米的矩形，求花坛的半径． （2）根据科学分析，舞台上的节目主持人应站在舞台前沿的黄金分割点（即该点将舞台前沿这一线段分为两条线段，使较短线段与较长线段之比等于较长线段与全线段之比），视觉和音响效果最好．已知学校礼堂舞台前沿宽20米，问举行文娱会演时主持人应站在何处？ §23.2 一元二次方程的解法 试一试 解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流． （1） ；（2） ． 概括 对于方程（1），有这样的解法：　 方程        ， 意味着x是4的平方根，所以 ， 即            x＝±2． 这种方法叫做直接开平方法． 对于方程（2），有这样的解法：　 将方程左边用平方差公式分解因式，得 （x－1）（x＋1）＝0， 必有        x－1＝0或x＋1＝0， 分别解这两个一元一次方程，得 ． 这种方法叫做因式分解法． 思考 （1）方程 能否用因式分解法来解？要用因式分解法解，首先应将它化成什么形式？ （2）方程 能否用直接开平方法来解？要用直接开平方法解，首先应将它化成什么形式？ 做一做 试用两种方法解方程 ． 例1    解下列方程：　 （1） ；（2） ． 解    （1）移项，得 ． 直接开平方，得 ． 即            ． （2）移项，得 ． 方程两边都除以16，得 直接开平方，得 ． 即            ． 例2    解下列方程：　 （1） ；（2） ． 解    （1）方程左边分解因式，得 x（3x＋2）＝0． 所以            x＝0或3x＋2＝0． 得                ． （2）移项，得 ． 方程左边分解因式，得 x（x－3）＝0． 所以            x＝0或x－3＝0， 得                ． 练习 1．解下列方程：　 （1） ；（2） ；（3） ； （4） ；（5） ；（6） ． 2．小明在解方程 时，将方程两边同除以x，得到原方程的解x＝3，这种做法对吗？为什么？ 例3    解下列方程：　 （1） ； （2） ． 分析    两个方程都可以转化为 的形式，用直接开平方法求解． 解（1）原方程可以变形为 ， 直接开平方，得 x＋1＝±2． 所以        ． （2）原方程可以变形为 ____________________， 有    ____________________， 得    ． 读一读 小张和小林一起解方程 x（3x＋2）－6（3x＋2）＝0． 小张将方程左边分解因式，得 （3x＋2）（x－6）＝0， 所以            3x＋2＝0或x－6＝0． 得                ． 小林的解法是这样的：　 移项，得        x（3x＋2）＝6（3x＋2）， 方程两边都除以（3x＋2），得 x＝6． 小林说：“我的方法多简便！”可另一个根 哪里去了？小林的解法对吗？你能解开这个谜吗？ 练习 解下列方程：　 （1） ；（2） ； （3） ；（4） ． 例4    解下列方程：　 （1） ；（2） ． 思考 能否经过适当变形，将它们转化为 的形式，用直接开平方法求解？ 解（1）原方程两边都加上1，得 ， _______________________, _______________________, _______________________． （2）原方程化为 ， _______________________， _______________________， _______________________． 归 纳 上面，我们把方程 变形为 ，它的左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而能直接开平方求解．这种解一元二次方程的方法叫做配方法． 例5用配方法解下列方程：　 （1） ；（2） ． 解（1）移项，得 ． 方程左边配方，得 ， 即            ． 所以            x－3＝±4． 得            ． （2）　移项，得 ． 方程左边配方，得 ， 即 ． 所以 ． 得 x． 练习 1．填空：　 （1） +6x+(  )=(x+  ) ； （2） -8x+(  )=(x-  ) ； （3） +(  )=(x+  ) ； （4）4 -6x+(  )=4(x-  ) =(2x-  ) ． 2．用配方法解下列方程：　 （1） ＋8x－2＝0；（2） －5x－6＝0． 试一试 用配方法解方程 ＋px＋q＝0（ ≥0）． 思考 如何用配方法解下列方程？ （1）4 －12x－1＝0；（2）　3 ＋2x－3＝0． 讨论 请你和同桌讨论一下：　当二次项系数不为1时，如何应用配方法？ 探索 我们来解一般形式的一元二次方程 a ＋bx＋c＝0（a≠0）． 因为a≠0，方程两边都除以a，得 ． 移项，得 ． 配方，得 ， 即 ． 因为a≠0，所以4 ＞0，当 －4ac≥0时，直接开平方，得 ． 所以 ， 即 ． 由以上研究的结果，得到了一元二次方程a ＋bx＋c＝0的求根公式：　 ． 利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的根．这种解方程的方法叫做公式法． 例6    解下列方程：　 （1）2 ＋x－6＝0；（2） ＋4x＝2； （3）5 －4x－12＝0；（4）4 ＋4x＋10＝1－8x． 解 （1）这里a＝2，b＝1，c＝－6， －4ac＝ －4×2×（－6）＝1＋48＝49， 所以 ， 即 ． （2）将方程化为一般式，得 ＋4x－2＝0． 因为 －4ac＝24， 所以 ． 即 ． （3）　因为 －4ac＝256， 所以 ． 得 ． （4）　整理，得 4 ＋12x＋9＝0． 因为 －4ac＝0， 所以 ， 即 ． 练习 用公式法解下列方程：　 （1） －6x＋1＝0；（2）2 －x＝6； （3）4 －3x－1＝x－2；（4）3x（x－3）＝2（x－1）（x＋1）． 思考 根据你学习的体会小结一下： 解一元二次方程有哪几种方法？通常你是如何选择的？和同学交流一下． 应用 现在我们来解决§23．1的问题1：　 x（x＋10）＝900， ＋10x－900＝0， ， ． 它们都是所列方程的根，但负数根x1不符合题意，应舍去．取 x＝ ≈25．4， x＋10≈35．4， 符合题意，因此绿地的宽约为25．4米，长约为35．4米． 例7    学校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道．要使种植面积为540 ，小道的宽应是多少？ 分析    问题中没有明确小道在试验田中的位置，试作出图23.2.1，不难发现小道的占地面积与位置无关．设道路宽为xm，则两条小道的面积分别为32x 和20x ，其中重叠部分小正方形的面积为 ，根据题意，得 32×20－32x－20x＋ ＝540． 试一试 如果设想把道路平移到两边，如图23．2．2所示，小道所占面积是否保持不变？在这样的设想下，列方程是否符合题目要求？是否方便些？ 在应用一元二次方程解实际问题时，也像以前学习一元一次方程一样，要注意分析题意，抓住主要的数量关系，列出方程，把实际问题转化为数学问题来解决．求得方程的根之后，要注意检验是否符合题意，然后得到原问题的解答． 练习 1．学生会准备举办一次摄影展览，在每张长和宽分别为18厘米和12厘米的长方形相片周围镶上一圈等宽的彩纸．经试验，彩纸面积为相片面积的 时较美观，求镶上彩纸条的宽．（精确到0．1厘米） 2．竖直上抛物体的高度h和时间t符合关系式 ．爆竹点燃后以初速度 ＝20米/秒上升，经过多少时间爆竹离地15米？（重力加速度g≈10米/秒 ） 例8    某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31．5元．已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率． 分析    若一次降价百分率为x，则一次降价后零售价为原来的（1－x）倍，即56（1－x）元；第二次降价百分率仍为x，则第二次降价后的零售价为56（1－x）的（1－x）倍． 解        设平均降价百分率为x，根据题意，得 56（1－x） ＝31．5． 解这个方程，得 ． 因为降价的百分率不可能大于1，所以 不符合题意，符合本题要求的是x＝0．25＝25%． 答：　每次降价百分率为25%． 练习 1．某工厂1月份的产值是50000元，3月份的产值达到60000元，这两个月的产值平均月增长的百分率是多少？（精确到0．1%） 2．据某中学对毕业班同学三年来参加市级以上各项活动获奖情况的统计，初一阶段有48人次获奖，之后逐年增加，到初三毕业时共有183人次获奖．求这两年中获奖人次的平均年增长率．