二阶系统的阶跃响应与线性系统的稳定性和稳态误差分析与自动控制系统的校正

二阶系统的阶跃响应与线性系统的稳定性和稳态误差分析与自动控制系统的校正 ------------------------------------------------------------------------------------------------ 二阶系统的阶跃响应与线性系统的稳定性和稳态误差分析 与自动控制系统的校正 二阶系统的阶跃响应 一:实验目的 1( 学习二阶系统阶跃响应曲线的实验测试方法 2( 研究二阶系统的两个重要的参数对阶跃瞬态响应指标的影响 二:实验设备 带有自动控制仿真软件matlab软件的计算机 三:实验原理 典型二阶系统的结构图如图所示。 不难求得其闭环传递函数为 ?nY(s)GB(s)??2R(s)s?2??n??n22 其特征根方程为s2?2??n??n2=0 方程的特征根: 式中, ?s2?2??n??n2=(s?1)(s?T11)?(s?s1)(s?s2)?0 T2称为阻尼比; ?n称为无阻尼自然振荡角频率(一般为 固有的)。当?为不同值时，所对应的单位阶跃响应有不同的形式。 四:实验 研究特征参量?和?n对二阶系统性能的影响 标准二阶系统的闭环传递函数为: 2?nC(s)?2R(s)s2?2??ns??n —————————————————————————————————————— ------------------------------------------------------------------------------------------------ 二阶系统的单位阶跃响应在不同的特征参量下有不同的响应曲线。 我们研究?对二阶系统性能的影响，设定无阻尼自然振荡频 ?=0.2,0.4,1，率?n?1(rad/s)，考虑3种不同的?值:利用MATLAB 对每一种?求取单位阶跃响应曲线，分析参数?对系统的影响。 五:仿真程序和结果图 1、二阶系统阶跃响应曲线 程序 for j=1:1:3 kais=[0.2,0.4,1]; w=[1/0.47,1/1,1/1.47]; subplot(3,1,j) hold on for i=1:3 num=w(j)^2; den=[1,2*kais(i)*w(j),w(j)^2] step(num,den);grid on end hold off end 结果图 2、变换?和?n的值: for j=1:1:3 kais=[0.2,0.4,1]; —————————————————————————————————————— ------------------------------------------------------------------------------------------------ w=[1/0.47,1/1,1/1.47]; subplot(3,1,j) hold on for i=1:3 num=w(i)^2; den=[1,2*kais(j)*w(i),w(i)^2] step(num,den);grid on end hold off end 3、增加一组?值: for j=1:1:3 kais=[0,0.2,0.4,1]; w=[1/0.47,1/1,1/1.47]; subplot(3,1,j) hold on for i=1:4 num=w(j)^2; den=[1,2*kais(i)*w(j),w(j)^2] step(num,den);grid on end hold off end 结果图: —————————————————————————————————————— ------------------------------------------------------------------------------------------------ 分析: 六:结论与收获 结论: (1) 当??0时，输出响应为等幅振荡。 (2) 当0<?<1时，输出响应为衰减振荡曲线，y(?)?1，?的 变化影响动态性能指标。随着?增大，上升时间增大，超调量变大，调节时间变短，峰值时间变大。 (3) 当?>1时，响应是非振荡的，无超调量，该系统不存 在稳态误差。 收获: 应用MATLAB软件可以绘出响应曲线，进而直观形象地从图像中看出二阶系统的动态性能指标变化。 第三次试验内容: 系统的稳定性研究 开环增益和时间常数 实验一 一、二阶系统的阶跃响应 实验 ,,,系,,专业,,,班级 学号,,,姓名,,,成绩,,,指导教师,,一、实验目的 1、学习实验系统的使用方法。 2、学习构成一阶系统(惯性环节)、二阶系统的模拟电路，分别推导其传递函数。了解电路参数对环节特性的影响。 —————————————————————————————————————— ------------------------------------------------------------------------------------------------ 3、研究一阶系统的时间常数T对系统动态性能的影响。 4、研究二阶系统的特征参数，阻尼比?和无阻尼自然频率?对系统动态性能的影响。 n 二、实验仪器 1、EL-AT-II型自动控制系统实验箱一台 2、计算机一台 三、实验内容 (一) 构成下述一阶系统(惯性环节)的模拟电路，并 测量其阶跃响应。 惯性环节的模拟电路及其传递函数如图1-1。 R2 R1 图1-1 一阶系统模拟电路图 (二)构成下述二阶系统的模拟电路，并测量其阶跃响应。 典型二阶系统的闭环传递函数为 2?n??s??22s?2??ns??n (1) 其中?和?对系统的动态品质有决定的影响。 n 构成图1-2典型二阶系统的模拟电路，并测量其阶跃响应: 电路的结构图如图 1-3 图1-2 二阶系统模拟电路图 R2 图1-3 二阶系统结构图 系统闭环传递函数为 ??s??U2?S?/U1?s??1/T2 s2?K/TS?1/T2 —————————————————————————————————————— ------------------------------------------------------------------------------------------------ 式中 T=RC，K=R2/R1。 比较(1)、(2)二式，可得 ?n=1/T=1/RC ?=K/2=R2/2R1 (3) 由(3)式可知，改变比值R2/R1，可以改变二阶系统的阻尼比。改变RC值可以改变无阻尼自然频率?。 n 今取R1=200K，R2=0K?，50K?，100K?和200K?，可得实验所需的阻尼比。电阻R取100K?，电容C分别取1?f和0.1?f，可得两个无阻尼自然频率?。 n 操作步骤: 1. 启动计算机，在桌面双击图标[自动控制实验系统]运行软件。 2. 测试计算机与实验箱的通信是否正常，通信正常继续。如果信不正常查找原因使通信正常后才能可以继续进行实验。 3. 连接被测量典型环节的模拟电路(图1-1)。电路的输入U1接A/D、D/A卡的DA1输出，电路的输出U2接A/D、D/A卡的AD1输入。检查无误后接通电源。 4. 在实验课题窗口中单击选择实验一[典型环节阶跃响应]， 5. 鼠标双击实验课题弹出实验课题参数窗口。在参数窗口中设置响应的实验参数后，鼠标单击确认等待屏幕显示去显示实验结果。 6. 观测计算机屏幕显示出的响应曲线及数据。 7. 记录波形及数据于表1-1。 8. 关闭电源，拆线。 9. 测试计算机与实验箱的通信是否正常，通信正常继续。如果—————————————————————————————————————— ------------------------------------------------------------------------------------------------ 信不正常查找原因使通信正常后才能可以继续进行实验。 10. 连接被测量典型环节的模拟电路(图1-2)。电路的输入U1接A/D、D/A卡的DA1输出，电路的输出U2接A/D、D/A卡的DA1输入。检查无误后接通电源。 11. 在实验课题窗口中单击选择实验二[二阶系统阶跃响应]。 鼠标双击实验课题弹出实验课题参数窗口。在参数窗口中设置响应的实验参数后，鼠标单击确认等待屏幕显示区显示实验结果。 12. 观测计算机屏幕显示出的响应曲线及数据。 13. 记录波形及数据于表1-2。 四、实验结果与分析 1. 分析推导一阶系统的传递函数 2. 记录一阶系统实验数据于表1-1，并计算Ts(秒)理论值。 表1-1 一阶系统实验数据记录表 3. 进行电路分析，推导得到二阶系统的传递函数。 4. 记录二阶系统实验数据于表1-2 表1-2 二阶系统实验数据记录表 5. 定量分析?和?与最大超调量?和调节时间t之间的关n?s系。 6. 在实验过程中出现了什么问题,你是如何解决的, 实验二 系统频率特性测量 实验报告 ,,,系,,专业,,,班级 学号,,,姓名,,,成 绩,,,指导教师,, 一、实验目的 —————————————————————————————————————— ------------------------------------------------------------------------------------------------ 1、加深了解系统频率特性的物理概念。 2、掌握系统频率特性的测量分析方法。 二、实验仪器 1、EL-AT-II型自动控制系统实验箱一台 2、计算机一台 三、实验内容 1、模拟电路图及系统结构图分别如图2-1和图2-2。 图2-2 系统结构图 图2-1 系统模拟电路图 2、系统传递函数 取R3=500K?，则系统传递函数为 U2?S?500 G?S???U1SS2?10s?500 若输入信号U1?t??U1sin?t，则在稳态时，其输出信号为 U2?t??U2sin??t??? 改变输入信号角频率?值，便可测得二组U2/U1和?和?变化的数值，这个变化规律就是系统的幅频性和相频特性。 操作步骤 1. 连接被测量典型环节的模拟电路。电路的输入U1的A/D、D/A卡的DA1输出，电路的输出U2接A/D、D/A卡的AD1输入。检查无误后接通电源。 2. 启动计算机，在桌面双击图标[自动控制实验系统]运行软件。 3. 测试计算机与实验箱的通信是否正常，通信正常继续。如通信不正常查找原因使通信正常后才可以继续进行实验。 测波德图 4. 鼠标双击选中[实验课题?系统频率特性测量?可测性检查]—————————————————————————————————————— ------------------------------------------------------------------------------------------------ 菜单项，系统进行数据采集，等待观察波形，如图2-3所示。分别取2~3组不同信源频率，记录系统输入输出波形并由图形计算幅频和相频特性。 图2-3 数据采集 5. 待数据采样结束后鼠标双击[实验课题?系统频率特性测量?数据采集] 系统进行数据自动采集。 6. 待数据采样结束后鼠标双击[实验课题?系统频率特性测量?波德图观测]即可在显示区内显示出所测量的波德图。 四、实验结果与分析 1. 进行电路分析，求出系统传递函数，根据传递函数绘制波德图。 2. 利用可测性检查工具，观察记录信源频率分别取不同值时系统输入及响应曲线，并由图形计算出系统幅频特性及相频特性。 实验三 连续系统串联校正 实验报告 ,,,系,,专业,,,班级 学号,,,姓名,,,成 绩,,,指导教师,, 一、实验目的 1、加深理解串联校正装置对系统动态性能的校正作用。 2、对给定系统进行串联校正，并通过模拟实验检验设计的正确性。 二、实验仪器 1、EL-AT-II型自动控制系统实验箱一台 —————————————————————————————————————— ------------------------------------------------------------------------------------------------ 2、计算机一台 三、实验内容 1、串联超前校正 (1)系统模拟电路图如图3-1，图中开关S断开对应未校情况，接通对应超前校正。 图3-1 超前校正电路图 (2)系统结构图如图3-2 图中 Gc1?s??2 Gc2?图3-2 超前校正系统结构图 2?0.055s?1? 0.005s?1 2、串联滞后校正 (1)模拟电路图如图3-3，开关S断开对应未校状态，接通对应滞后校正。 (2)系统结构图示如图3-4 图3-4 滞后系统结构图 图3-3 滞后校正模拟电路图 图中Gc1?s??10 Gc2?s??10?s?1? 11s?1 操作步骤 1、启动计算机，在桌面双击图标[自动控制实验系统]运行软件。 2、测试计算机与实验箱的通信是否正常，通信正常继续。如通信不正常查找原因使通信正常后才可以继续进行实验。 —————————————————————————————————————— ------------------------------------------------------------------------------------------------ 超前校正 3、连接被测量典型环节的模拟电路(图3-1)。电路的输入U1接A/D、D/A卡的DA1输出，电路的输出U2接A/D、D/A卡的AD1输入。检查无误后接通电源。 4、开关S放在断开位置。 5、选中[实验课题?连续系统串联校正?超前校正]菜单项，鼠标单击将弹出参数设置窗口。系统加入阶跃信号。参数设置完成后鼠标单击确认测量系统阶跃响应，并记录超调量?%和调节时间ts。 6、开关S接通，重复步骤5，将两次所测的波形进行比较。并将测量结果记入表3-1中: 滞后校正 7、连接被测量典型环节的模拟电路(图3-3)。电路的 输入U1接A/D、D/A卡的DA1输出，电路的输出U2接A/D、D/A卡的AD1输入。检查无误后接通电源。 8、开关S放在断开位置。 9、选中[实验课题?连续系统串联校正?滞后校正]菜单项，鼠标单击将弹出参数设置窗口，系统加入阶跃信号。参数设置完成后鼠标单标确认测量系统阶跃响应，并记录超调量?%和调节时间ts。 10、开关S接通，重复步骤9，将两次所测的波形时行比较。并将测量结果记入表3-2中: 四、实验结果与分析 1. 记录的实验数据，分析校正前后系统性能。 —————————————————————————————————————— ------------------------------------------------------------------------------------------------ 表3-1 表3-2 2. 根据超前校正前后的系统传递函数，绘制超前校正前 后系统的波德图，并从图上查出系统的幅值穿越频率?c及相位裕度v。分析校正结果。 实验四 状态空间分析与设计 实验报告 ,,,系,,专业,,,班级 学号,,,姓名,,,成 绩,,,指导教师,, 一、实验目的 1. 加深理解能控性、能观性的概念及其判别准则。 2. 运用状态反馈配置极点。 3. 了解直线倒立摆系统的组成。 4. 了解MATLAB的使用。 二、实验仪器 二级倒立摆。 三、实验内容 1. 直线一级倒立摆的牛顿—欧拉方法建模。 2. 分析得到直线一级倒立摆的状态空间方程。 3. 研究一级倒立摆的能控性和能观性。 4. 分析一级倒立摆的稳定性。 5. 计算得到状态反馈阵，使一级倒立摆闭环极点位于-1+2j，-1-2j，-2+j，-2-j，画出模拟结构图。 —————————————————————————————————————— ------------------------------------------------------------------------------------------------ 6. 演示二级倒立摆控制。 四、实验结果与分析 1、写出直线一级倒立摆的状态空间方程。 2、 使用MATLAB分析一级倒立摆的能控性和能观性。 3、 用MATLAB分析一级倒立摆稳定性。 4、 计算得到状态反馈阵，使一级倒立摆闭环极点位于-1+2j，-1-2j，-2+j，-2-j，画出模拟结构图。 5、 本次实验你有何收获, 实验五 自动控制系统的稳定性和稳态误差分析 一、实验目的 1、研究高阶系统的稳定性，验证稳定判据的正确性; 2、了解系统增益变化对系统稳定性的影响; 3、观察系统结构和稳态误差之间的关系。 二、实验任务 1、稳定性分析 欲判断系统的稳定性，只要求出系统的闭环极点即可，而系统的闭环极点就是闭环传递函数的分母多项式的根，可以利用MATLAB中的tf2zp函数求出系统的零极点，或者利用root函数求分母多项式的根来确定系统的闭环极点，从而判断系统的稳定性。 (1)已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为G(s)?0.2(s?2.5)，用s(s?0.5)(s?0.7)(s?3)MATLAB编写程序来判断闭环系统的稳定性，并绘制闭环系统的零极点图。 —————————————————————————————————————— ------------------------------------------------------------------------------------------------ 在MATLAB命令窗口写入程序代码如下: z=-2.5 p=[0,-0.5,-0.7,-3] k=0.2 Go=zpk(z,p,k) Gc=feedback(Go,1) Gctf=tf(Gc) dc=Gctf.den dens=poly2str(dc{1},'s') 运行结果如下: dens= s^4 + 4.2 s^3 + 3.95 s^2 + 1.25 s + 0.5 dens是系统的特征多项式，接着输入如下MATLAB程序代码: den=[1,4.2,3.95,1.25,0.5] p=roots(den) 运行结果如下: p = -3.0058 -1.0000 -0.0971 + 0.3961i -0.0971 - 0.3961i p为特征多项式dens的根，即为系统的闭环极点，所有闭环极—————————————————————————————————————— ------------------------------------------------------------------------------------------------ 点都是负的实部，因此闭环系统是稳定的。 下面绘制系统的零极点图，MATLAB程序代码如下: z=-2.5 p=[0,-0.5,-0.7,-3] k=0.2 Go=zpk(z,p,k) Gc=feedback(Go,1) Gctf=tf(Gc) [z,p,k]=zpkdata(Gctf,'v') pzmap(Gctf) grid 运行结果如下: z = -2.5000 p = -3.0058 -1.0000 -0.0971 + 0.3961i -0.0971 - 0.3961i k = 0.2000 输出零极点分布图如图3-1所示。 图3-1 零极点分布图 —————————————————————————————————————— ------------------------------------------------------------------------------------------------ (2)已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为G(s)?k(s?2.5)，当取k=1，10，100s(s?0.5)(s?0.7)(s?3)用MATLAB编写程序来判断闭环系统的稳定性。只要将(1)代码中的k值变为1，10，100，即可得到系统的闭环极点，从而判断系统 的稳定性，并讨论系统增益k变化对系统稳定性的影响 k=1时 z=-2.5 p=[0,-0.5,-0.7,-3] k=1 Go=zpk(z,p,k) Gc=feedback(Go,1) Gctf=tf(Gc) dc=Gctf.den dens=poly2str(dc{1},'s') 运行结果如下: dens是系统的特征多项式，接着输入如下MATLAB程序代码: den=[1,4.2,3.95,2.05,2.5] p=roots(den) 得到: p为特征多项式dens的根，即为系统的闭环极点，所有闭环极点不都是负的实部，因此闭环系统是不稳定的。 k=10时 —————————————————————————————————————— ------------------------------------------------------------------------------------------------ z=-2.5 p=[0,-0.5,-0.7,-3] k=1 Go=zpk(z,p,k) Gc=feedback(Go,1) Gctf=tf(Gc) dc=Gctf.den dens=poly2str(dc{1},'s') 运行结果如下: dens是系统的特征多项式，接着输入如下MATLAB程序代码: den=[1,4.2,3.95,11.05,25] p=roots(den) 得到: p为特征多项式dens的根，即为系统的闭环极点，所有闭环极点不都是负的实部，因此闭环系统是不稳定的。 k=50时 z=-2.5 p=[0,-0.5,-0.7,-3] k=50 Go=zpk(z,p,k) Gc=feedback(Go,1) Gctf=tf(Gc) —————————————————————————————————————— ------------------------------------------------------------------------------------------------ dc=Gctf.den dens=poly2str(dc{1},'s') 运行结果如下: dens是系统的特征多项式，接着输入如下MATLAB程序代码: den=[1,4.2,3.95,51.05,125] p=roots(den) 得到: p为特征多项式dens的根，即为系统的闭环极点，所有闭环极点不都是负的实部，因此闭环系统是不稳定的。 2、稳态误差分析 (1)已知如图3-2所示的控制系统。其中G(s)?s?5，s2(s?10)试计算当输入为单位阶跃信号、单位斜坡信号和单位加速度信号时的稳态误差。 图3-2 系统结构图 从Simulink图形库浏览器中拖曳Sum(求和模块)、Pole-Zero(零极点)模块、Scope(示波器)模块到仿真操作画面，连接成仿真框图如图3-3所示。图中，Pole-Zero(零极点)模块建立G(s)，信号源选择Step(阶跃信号)、Ramp(斜坡信号)和基本模块构成的加速度信号。为更好观察波形，将仿真器参数中的仿真时间和示波器的显示时间范围设置为300。 图3-3 系统稳态误差分析仿真框图 信号源选定Step(阶跃信号)，连好模型进行仿真，仿真结束后，—————————————————————————————————————— ------------------------------------------------------------------------------------------------ 双击示波器，输出图形如图3-4所示。 图3-4 单位阶跃输入时的系统误差 信号源选定Ramp(斜坡信号)，连好模型进行仿真，仿真结束后，双击示波器，输出图形如图3-5所示。 图3-5 斜坡输入时的系统误差 信号源选定加速度信号，连好模型进行仿真，仿真结束后，双击示波器，输出图形如图3-6所示。 图3-6 加速度输入时的系统误差 从图3-4、3-5、3-6可以看出不同输入作用下的系统的稳 态误差，系统是II型系统，因此在阶跃输入和斜坡输入下，系统稳态误差为零，在加速度信号输入下，存在稳态误差。 (2)若将系统变为I型系统，G(s)?5，在阶跃输入、s(s?10) 斜坡输入和加速度信号输入作用下，通过仿真来分析系统的稳态误差。 三、实验要求 1、完成实验任务中的所有内容; 2、撰写实验报告。 实验报告内容包括: (1) 实验题目和目的; (2) 实验原理; (3) 实验任务中要求完成实验的程序代码、仿真框 图、波形和数据结果; —————————————————————————————————————— ------------------------------------------------------------------------------------------------ (4) 讨论下列问题: a) 讨论系统增益k变化对系统稳定性的影响: 增益k可以在临界k的附近改变系统的稳定性。 b) 讨论系统型数以及系统输入对系统稳态误差的影响 增大系统开环增益k，可以减少0型系统在阶跃输入时的位置误差;可以减少i型系统在斜坡输入时的速度误差;可以减少ii型系统在加速度输入时的加速度误差。 (5)实验体会。 ?熟悉了高阶系统的稳定性的判定，进一步验证了验证稳定判据的正确性。 ?了解系统增益变化对系统稳定性的影响。 ?更深刻地练习了MATALAB软件。 第五章 自动控制系统的校正 本章要点 在系统性能分析的基础上，主要介绍系统校正的作用和方法，分析串联校正、反馈校正和复合校正对系统动、静态性能的影响。 第一节 校正的基本概念 一、校正的概念 当控制系统的稳态、静态性能不能满足实际工程中所要求的性能指标时，首先可以考虑调整系统中可以调整的参数;若通过调整参数仍无法满足要求时，则可以在原有系统中增添一些装置和元件，人为改变系统的结构和性能，使之满足要求的性能指标，我们把这种方法—————————————————————————————————————— ------------------------------------------------------------------------------------------------ 称为校正。增添的装置和元件称为校正装置和校正元件。系统中除校正装置以外的部分，组成了系统的不可变部分，我们称为固有部分。 二、校正的方式 根据校正装置在系统中的不同位置，一般可分为串联校正、反馈校正和顺馈补偿校正。 1( 串联校正 校正装置串联在系统固有部分的前向通路中，称为串联校正，如图5-1所示。为减小校正装置的功率等级，降低 校正装置的复杂程度，串联校正装置通常安排在前向通道中功率等级最低的点上。 图5-1 串联校正 2(反馈校正 校正装置与系统固有部分按反馈联接，形成局部反馈回路，称为反馈校正，如图5-2所示。 3(顺馈补偿校正 顺馈补偿校正是在反馈控制的基础上，引入输入补偿 图5-2 反馈校正 构成的校正方式，可以分为以下两种:一种是引入给定输入信号补偿，另一种是引入扰动输入信号补偿。校正装置将直接或间接测出给定输入信号R(s)和扰动输入信号D(s)，经过适当变换以后，作为附加校正信号输入系统，使可测扰动对系统的影响得到补偿。从而控制和抵消扰动对输出的影响，提高系统的控制精度。 —————————————————————————————————————— ------------------------------------------------------------------------------------------------ 三、校正装置 根据校正装置本身是否有电源，可分为无源校正装置和有源校正装置。 1(无源校正装置 无源校正装置通常是由电阻和电容组成的二端口网络，图5-3是几种典型的无源校正装置。根据它们对频率特性的影响，又分为相位滞后校正、相位超前校正和相位滞后—相位超前校正。 无源校正装置线路简单、组合方便、无需外供电源，但本身没有增益，只有衰减;且输入阻抗低，输出阻抗高，因此在应用时要增设放大器或隔离放大器。 a)相位滞后 b)相位超前 c)相位滞后-超前 图5-3 无源校正装置 2(有源校正装置 有源校正装置是由运算放大器组成的调节器。图5-4是几种典型的有源校正装置。有源校正装置本身有增益，且输入阻抗高，输出阻抗低，所以目前较多采用有源校正装置。缺点是需另供电源。 图5-4 有源校正装置 第二节 串联校正 一、三频段对系统性能的影响 1(低频段的代表参数是斜率和高度，它们反映系统的型别和增益。表明了系统的稳态精度。 2(中频段是指穿越频率附近的一段区域。代表参数是斜率、宽—————————————————————————————————————— ------------------------------------------------------------------------------------------------ 度(中频宽)、幅值穿越频率和相位裕量，它们反映系统的最大超调量和调整时间。表明了系统的相对稳定性和快速性。 3(高频段的代表参数是斜率，反映系统对高频干扰信号的衰减能力。 二、串联校正方法 1( 比例微分校正(相位超前 图5-5 PD调节器 校正) 图5-5为一比例微分校正装置，也称为PD调节器，其传递函数为 G(s)=-K(Ts+1) 式中 K=R1/R0 ——比例放大倍数 T=R0C0——微分时间常数 其Bode图如图5-6所示。从图可见，PD调节器提供了超前相位角，所以PD校正也称为超前校正。并且PD调节器的对数渐近幅频特性的斜率为+20dB/dec。因而将它的频率特性和系统固有部分的频率特性相加，比例微分校正的作用主要体现在两方面: (1)使系统的中、高频段特 性上移(PD调节器的对数渐近 幅频特性的斜率为 +20dB/dec)，幅值穿越频率增 —————————————————————————————————————— ------------------------------------------------------------------------------------------------ 大，使系统的快速性提高。 图5-6 PD调节器的Bode图 (2)PD调节器提供一个正的相位角，使相位裕量增大，改善了系统的相对稳定性。但是，由于高频段上升，降低了系统的抗干扰能力。 例5-1设图5-7所示系统的开环传递函数为 G(s)?K s(T1s?1)(T2s?1) 其中T1=0.2，T2=0.01，K=35，采用PD调节器(K=1 ,T=0.2s)，对系统作串联校正。试比较系统校正前后的性能。 解:原系统的Bode图如图5-8中曲线I所示。特性曲线以 图5-7 具有PD校正的控制系统 -40dB/dec的斜率穿越0dB线，穿越频率ωc=13.5dB，相位裕量γ=12.3o。 采用PD调节器校正，其传递函数Gc(s)=0.2s+1，Bode图为图5-8中的曲线II。 校正后的曲线如图5-8中的曲线III。 由图可见，增加比例积分校正装置后: (1) 低频段，L(ω)的斜率和高度均没变，所以不影响系统的 稳态精度。 (2) 中频段，L(ω)的斜率由校正前的-40dB/dec变为校正后 的-20dB/dec，相位裕量由原来的13.5o提高为70.7 o，提高了系统的相对稳定性;穿越频率ωc由13.2变为35，快速性提高。 (3) 高频段，L(ω)的斜率由校正前的-60dB/dec —————————————————————————————————————— ------------------------------------------------------------------------------------------------ 变为校正后 图5-8 PD校正对系统性能的影响 的-40dB/dec，系统的抗高频干扰能力下降。 综上所述，比例微分校正将使系统的稳定性和快速性改善，但是抗高频干扰能力下降。 2.比例积分校正(相位滞后校正) 图5-9为一比例积分校正装置，也称为PI调节器，其传递函数为 GC(s)?KC(TCs?1) TCs 式中 KC=R1/R0 ——比例放 大倍数 T1=R1C1——积分时间 常数 图5-9 PI调节器 其Bode图如图5-10所示。从图可见，PI调节器提供了负的相位角，所以PD校正也称为滞后校正。并且PI调节器的对数渐近幅频特性在低频段的斜率为-20dB/dec。因而将它的频率特性和系统固有部分的频率特性相加，可以提高系统的型别，即提高系统的稳态精度。 从相频特性中可以看出，PI调节器在低频产生较大的相位滞后，所以PI调节器串入系统时，要注意将PI调节器转折频率放在固有系统转折频率的左边，并且要远一些，这样对系统的稳定性的影响较小。 图5-10 PI调节器的Bode图 但是，由于高频段上升，降低了系统的抗干扰能力。 例5-2设—————————————————————————————————————— ------------------------------------------------------------------------------------------------ 图5-11所示系统的固有开环传递函数为 G (s)?K1 (T1s?1)(T2s?1) 其中T1=0.33，T2=0.036，K1=3.2。采用PI调节器 图5-11 具有PI校正的控制系统 (K=1.3 ,T=0.33s)，对系统作串联校正。试比较系统校正前后的性能。 解:原系统的Bode图如图5-12中曲线I所示。特性曲线低频段的斜率为0dB，显然是有差系统。穿越频率ωc=9.5dB，相位裕量γ=88o。 采用PI调节器校正，其传递函数GC(s)?1.3(0.33s?1)，Bode0.33s 图为图5-12中的曲线II。 图5-12 PI校正对系统性能的影响 校正后的曲线如图5-12中的曲线III。 由图可见，增加比例积分校正装置后: (1) 在低频段，L(ω)的斜率由校正前的0dB/dec变为校正后的 -20dB/dec，系统由0型变为I型，系统的稳态精度提高。 (2) 在中频段，L(ω)的斜率不变，但由于PI调节器提供了负的 相位角，相位裕量由原来的88o减小为65 o，降低了系统的相对稳定性;穿越频率ωc有所增大，快速性略有提高。 (3) 在高频段，L(ω)的斜率不变，对系统的抗高频干扰能力影 响不大。 综上所述，比例积分校正虽然对系统的动态性能有一定的副作用，—————————————————————————————————————— ------------------------------------------------------------------------------------------------ 使系统的相对稳定性变差，但它却能将使系统的稳态误差大大减小，显著改善系统的稳态性能。而稳态性能是系统在运行中长期起着作用的性能指标，往往是首先要求保 证的。因此，在许多场合，宁愿牺牲一点动态性能指标的要求，而首先保证系统的稳态精度，这就是比例积分校正获得广泛应用的原因。 第三节 反馈校正 在主反馈环内，为改善系统性能而加入的反馈称为局部反馈。反馈校正除了具有串联校正同样的校正效果外，还具有串联校正所不可替代的效果。 一、反馈校正的方式 通常反馈校正可分为硬反馈和软反馈。硬反馈校正装置的主体是比例环节(可能还含有小惯性环节)，Gc(s)= α(常数)，它在系统的动态和稳态过程中都起反馈校正作用;软反馈校正装置的主体是微分环节(可能还含有小惯性环节)，Gc(s)= αs ，它只在系统的动态过程中起反馈校正作用，而在稳态时，反馈校正支路如同断路，不起作用。 二、反馈校正的作用 在图5-13中，设固有系统被包围环节的传递函数为G2(s) ，反馈校正环节的传递函数为GC(s) ，则校正后系统被包围部分传递函数变为 X2G2(s) ?X11?GC(s)G2(s) —————————————————————————————————————— ------------------------------------------------------------------------------------------------ 图5-13 反馈校正在系统中的作用 1(可以改变系统被包围环节的结构和参数，使系统的性能达到所要求的指标。 (1)对系统的比例环节G2(s)=K进行局部反馈 ? 当采用硬反馈，即GC(s)= α时，校正后的传递函数为G(s)?K 1??KK1??K ，增益降低为倍，对于那些因为增益过大而影响系统性能的环节，采用硬反馈是一种有效的方法。 ? 当采用软反馈，即GC(s)= αs时，校正后的传递函数为G(s)?K 1??Ks ，比例环节变为惯性环节，惯性环节时间常数变为αK，动态过程变得平缓。对于希望过度过程平缓的系统，经常采用软反馈。 (2) 对系统的积分环节G2(s)=K/s进行局部反馈 ? 当采用硬反馈，即GC(s)= α时，校正后的传递函数为 G(s)?K1/?? 1s??Ks?1?K 含有积分环节的单元，被硬反馈包围后，积分环节变为惯性环节，惯性环节时间常数变为1/(αK)，增益变为1/α 。 有利于系统的稳定，但稳态性能变差。 ? 当采用软反馈，即GC(s)= αs时，校正后的传递函数为G(s)?K/sk ?1??K(?K?1)s，仍为积分环节，增益降为1/(1+αK)倍。 (3)对系统的惯性环节G(s)?K进行局部反馈 Ts?1 ? 当采用硬反馈，即GC(s)= α时，校正后的传递函数为 G(s)?KK/(1??K)? TTs?1??Ks?11??K —————————————————————————————————————— ------------------------------------------------------------------------------------------------ 惯性环节时间常数和增益均降为1/(1+αK)，可以提高系统的 稳定性和快速性。 ? 当采用软反馈，即GC(s)= αs时，校正后的传递函数为G(s)?K (T??K)s?1，仍为惯性环节，时间常数增加为(T+αK)倍。 2( 可以消除系统固有部分中不希望有的特性，从而可以削弱被 包围环节对系统性能的不利影响。 当G2(s)GC(s)》1时，X2 X1?G2(s)1 ?1?GC(s)G2(s)GC(s) 所以被包围环节的特性主要由校正环节决定，但此时对反馈环节 的要求较高。 第四节 复合校正 一、按输入补偿的复合校正 当系统的输入量可以直接或间接获得时，由输入端通过引入输入 补 偿这一控制环节时，构成复合控制系统，如图5-14所示。 图5-14 具有输入补偿的复合校正 C(s)=G2(s),GC(s)R(s)+G1(s)〔R(s)-C(s)〕, = G2(s)GC(s)R(s)+G1(s)G2(s)R(s)-G1(s)G2(s)C(s) 整理得 C(s)?G2(s)GC(s)?G1(s)G2(s)R(s) 1?G1(s)G2(s) 误差 E(s)?R(s)?C(s)?GC(s)G2(s) 1?G1(s)G2(s) —————————————————————————————————————— ------------------------------------------------------------------------------------------------ 如果满足1-GC(s)G2(s)=0 ，即GC(s)=1/G2(s)时，则系统完全复现输入信号(即E(s)=0),从而实现输入信号的全补偿。当然，要实现全补偿是非常困难的，当可以实现近似的全补偿，从而可大幅度地减小输入误差改善系统的跟随精度。 二、按扰动补偿的复合校正 当系统的扰动量可以直接或间接获得时，可以采用按扰动补偿的复合控制，如图5-15所示。 不考虑输入控制，即R(s)=0时，扰动作用下的误差为 E(s)?R(s)?C(s)??C(s)G(s)G1(s)G2(s)G2(s)??D(s)?dD(s) 1?G1(s)G2(s)1?G1(s)G2(s) ??G2(s)?Gd(s)G1(s)G2(s)D(s)1?G1(s)G2(s) 图5-15 具有输入补偿的复合校正 如果满足1+Gd(s)G1(s)=0 ，即Gd(s)=-1/G1(s)时，则系统因扰动而引起的误差已全部被补偿(即E(s)=0)。同理，要实现全补偿是非常困难的，但可以实现近似的全补偿，从而可大幅度地减小扰动误差，显著地改善系统的动态和稳态性能。由于按扰动补偿的复合校正具有显著减小扰动稳态误差的优点，因此，在一切较高的场合得到广泛应用。 小 结 系统校正就是在原有的系统中，有目的地增添一些装置 (或部件)，人为地改变系统的结构和参数，使系统的性能得到改善，以满足所要求的性能指标。根据校正装置在系统中所处位置的—————————————————————————————————————— ------------------------------------------------------------------------------------------------ 不同，一般可分为串联校正、反馈校正和复合校正。 串联校正对系统结构、性能的改善，效果明显，校正方法直观、实用。但无法克服系统中元件(或部件)参数变化对系统性能的影响。 反馈校正能改变被包围环节的参数、性能，甚至可以改变原环节的性质。这一特点使反馈校正，能用来抑制元件(或部件)参数变化和内、外扰动对系统性能的消极影响，有时甚至可取代局部环节。 在系统的反馈控制回路中加入前馈补偿，可组成复合控制。只要参数选择得当，则可以保持系统稳定，减小乃至消除稳态误差，但补偿要适度，过量补偿会引起振荡。 思考题与习题 5-1 什么是系统校正,系统校正有哪些类型, 5-2 PI调节器调整系统的什么参数,使系统在结构上发生怎样的变化,它对系统的性能有什么影响,如何减小它对系统稳定性的影响, 图5-16 5-3 PD控制为什么又称为超前校正,它对系统的性能有什么影响, 5-4 图5-16为某单位负反馈系统校正前、后的开环对数幅频特性曲线，比较系统校正前后的性能变化。 5-5 图5-17为某单位负反馈系统校正前、后的开环对数幅频特性曲线，写出系统校正前后的开环传递函数G1(s)和G2(s); 分析校正对系统动、静态性能的影响。 —————————————————————————————————————— ------------------------------------------------------------------------------------------------ 图5-17 5-6 试分别叙述利用比例负反馈和微分负反馈包围振荡环节起何作用, 5-7 若对图5-18所示的系统中的一个大惯性环节采用微分负反馈校正(软反馈)，试分析它对系统性能的影响。 设图中1=0.2，K2=1000，K3=0.4，T=0.8s，β=0.01。求: ? 未设反馈校正时系统的动、静态性能。 ? 增设反馈校正时，再求系统的动、静态性能。 图5-18 摘要 二阶系统控制系统按数学模型分类时的一种形式，是用数学模型可表示为二阶线性常微分方程的系统。二阶系统的解的形式，可由对应传递函数W(s)的分母多项式P(s)来判别和划分，P(s)的一般形式为变换算子s 的二次三项代数 式。 代数方程P(s)=0的根，可能出现四种情况。 1.两个实根的情况，对应于两个串联的一阶系统。如果两个根都是负值，就为非周期性收敛的稳定情况。 2.当a1,0，a2>0，即一对共轭虚根的情况,将引起频率固定的等幅振荡，是系统不稳定的一种表现。 3.当a1<0，a1-4a2<0，即共轭复根有正实部的情况，对应于—————————————————————————————————————— ------------------------------------------------------------------------------------------------ 系统中发生发散型的振荡,也是不稳定的一种表现。 4.当a1>0，a1-4a2<0，即共轭复根有负实部的情况，对应于收敛型振荡，且实部和虚部的数值比例对输出过程有很大的影响。一般以阻尼系数δ来表征，取在0.4~0.8之间为宜。当δ>0.8后，振荡的作用就不显著，输出的速度也比较慢。而δ<0.4时，输出量就带有明显的振荡和较大的超调量，衰减也较慢，这也是控制系统中所不希望的。 当激励为单位阶跃函数时，电路的零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应。阶跃响应g(t)定义为:系统在单位阶跃信号u(t)的激励下产生的零状态响应。 关键词:二阶系统 阶跃响应 MATLAB/Simulink MATLAB在求二阶系统中阶跃响应的分析及应用 1 训练目的和要求 通过对MATLAB仿真软件的语言的学习，学会在MATLAB中解决《电路原理》、《模拟电子技术基础》、《数字电子技术基础》等所学课本上的问题，进一步熟悉并掌握MATLAB在电路、信号与系统、自动控制原理、数字信号处理等中的应用。 通过对软件的应用，巩固已学知识。以求达到通过训练能熟练掌握MATLAB的应用，能够深入到实际问题中。 要求通过理论分析所要求题目并通过MATLAB仿真比较实验结果。 2 理论分析计算 1 2s已知系统的传递函数为?2?s?1，求其阶跃响应。并分析?变 —————————————————————————————————————— ------------------------------------------------------------------------------------------------ 化时，其阶跃响应的变化情况。 本题要求求解一个简单的二阶系统的传递函数的阶跃响应，研究二阶系统的特征参数，当无阻尼自然频率?n为1时阻尼比?对系统动态性能的影响。 了解一下基础知识后就可以很自然的解决题目了，我们可以对二阶系统的传递函数进行分析后对无阻尼自然频率赋值1来求解。然后再用MATLAB仿真。 二阶系统传递函数标准形式: ?n21G(s)?22?2Ts?2?Ts?1s?2??ns??n2其中，T—为时间常数，也称为无阻尼自由振荡周期 ?n—自然频率(或无阻尼振荡周期) δ ,阻尼比(相对阻尼系数) 二阶系统的特征 特征根为: 方程: S2?2??nS??n?02S1,2????n??n2?1 由题目可知，?n=1，δ为一参数，因此对于δ的取值进行分类 说明 (1)欠阻尼 0 < δ < 1 S1,2????n?j?n?? 22 ?n1C(s)??(s)R(s)?2?2S?2??nS??nSS???n??n1???222S(S???n)??d(S??? n)2??dh(t)?1?e???nt[cos?dt????2sin?dt]?1?e???ntsin(?dt??)t?0 将?n=1 (2)临界阻尼δ = 1 —————————————————————————————————————— ------------------------------------------------------------------------------------------------ ?n2?n111C(s)?????22SSS??n(S??)(S??)nn 临界阻尼情况下的二阶系统的单位阶跃响应称为临界c(t)?1?e 阻尼响应 ??nt?nt?e??nt?1?e??nt(1??nt)t?0 将?n=1带入，可得到阻尼比在此区间内时的阶跃响应。 特点:单调上升，无振荡，无超调，趋近于1，无稳态误差。 (3)过阻尼 S1,2????n??n2?1 ?n2ζ > 1 2?n1C(s)???(S?S1)(S?S2)S[S??n(??2?1)][S??n(??2?1)]S ?A1 S?A2A 3 S??2?1)? n(?????n(??2?1) A1?1 A?1 2?S??n(??2?1) A1 3? 2 2?1(??2?1) c(t)?1??nt?(?nt ?(?将?n=1带入，可得到阻尼比在此区间内时的阶跃响 应。 特点:单调上升，无振荡，过度过程时间长，趋近于1，无稳态—————————————————————————————————————— ------------------------------------------------------------------------------------------------ 误差。 (4)无阻尼状态 δ = 0 s1,2??jwn 系统有一对共轭虚根 t?0 系统在无阻尼下的单位阶跃响应为: c(t)?1?coswnt(t?0)结论:二阶系统的阻尼比ξ决定了其振荡特性 δ< 0 时，阶跃响应发散，系统不稳定; δ? 1 时，无振荡、无超调，过渡过程长; 0<δ<1时，有振荡，ξ愈小，振荡愈严重,但响应愈快; δ= 0时，出现等幅振荡。 3 MATLAB仿真 根据以上理论分析，用MATLAB编程分析。可以用两种方法求解。 3.1 程序一(用函数来求解) 由传递函数与阶跃响应的关系，编程如下: ?n1C(s)??(s)R(s)?2?2S?2??nS??nS %定义系统参数s %定义阻尼比x %拉普拉斯逆变换函数2syms s syms x ilaplace( (1/(s^3 + 2*x*s^2 + s ))) 求解 ans = 1-(cosh(t*(x^2-1)^(1/2)) (x*sinh(t*(x^2-1)^(1/2)))/(x^2-1)^(1/2))/exp(t*x) %带有阻—————————————————————————————————————— ------------------------------------------------------------------------------------------------ 尼比参数的阶跃响应 + 3.2 程序二(使用内置函数step) kosai=[0.1:0.1:1.0,2.0]; figure(1) hold on for i=kosai num=1; den=[1,2*i,1]; step(num,den) end title('The Step Response of Two Order System'); hold off 结果如图3-1所示: 图3-1 二阶系统传递函数阶跃响应 4 Simulink仿真 4.1 Simulink简介 Simulink是MATLAB中的一种可视化仿真工具， 是一种基于MATLAB的框图设计环境，是实现动态系统建模、仿真和分析的一个软件包，被广泛应用于线性系统、非线性系统、数字控制及数字信号处理的建模和仿真中。Simulink可以用连续采样时间、离散采样时间或两种混合的采样时间进行建模，它也支持多速率系统，也就是系统中的不同部分具有不同的采样速率。为了创建动态系统模型，Simulink提供了一个建立模型方块图的图形用户接口(GUI) ，这个创建过程只—————————————————————————————————————— ------------------------------------------------------------------------------------------------ 需单击和拖动鼠标操作就能完成，它提供了一种更快捷、直接明了的方式，而且用户可以立即看到系统的仿真结果。 4.2 仿真过程 1.根据实验选择好仿真元件，设置仿真参数和选择解法器 2.运行仿真 3.仿真结果分析 建立仿真界面如图，输入几个函数进行验证。 图4-1δ=0.1时仿真图 图4-2 δ=0.1时仿真结果 对δ取不同值进行 验证，结果如下: 图4-3δ=0.3时仿真结果 图4-4δ=1时仿真结果 图 4-5 δ=0.1时仿真结果 分析比较可知以上几种方法结果一样。 5 小结 通过本次强化训练，我基本了解并掌握了MATLAB在电路原理中的应用，知道了如何在MATLAB以及simulink 里面 处理分析电路方面的问题，对待电子方面知识学习我又了解了一个强有力的仿真工具，对以后也会有很大的帮助。 通过本次实验了解到，MATLAB是矩阵实验室(Matrix Laboratory)的简称，是美国MathWorks公司出品的商业学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环—————————————————————————————————————— ------------------------------------------------------------------------------------------------ 境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。MATLAB的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学、工程中常用的形式十分相似，故用MATLAB来解算问题要比用C，FORTRAN等语言完成相同的事情简捷得多，并且mathwork也吸收了像Maple等软件的优点,使MATLAB成为一个强大的数学软件。在新的版本中也加入了对，，，的支持。可以直接调用,用户也可以将自己编写的实用程序导入到MATLAB函数库中方便自己以后调用。应用到自动控制方面也很方便。 通过MATLAB在电路原理二阶系统求阶跃响应的分析实验过程中，不仅了解到了MATLAB强大的功能，而且分析起来非常方便，各种参数调整起来很简洁，生成图像后分析结果一目了然。可以非常直观的比较分析随阻尼比参数变化节约相应的变化，比较可以得出工程中适合的阻尼比范围。对以后的学习以及工程中的可能应用打下了基础。 这次实验后，深深的被MATLAB强大的计算分析仿真功能所吸引，决心以后要更加深入的了解并且掌握与运用它来解决实际问题。总之，受益匪浅。 参考文献 [1] 陈晓平等.MATLAB在电路与信号及控制理论中的应用.中国科学技术大学出版社.2008 [2] 钟麟等.MATLAB仿真技术与应用教程.国防工业出版社.2004 [3] Charles K.Alexander等.Fundamentals of Electric Circuits.清华大学出版社.2006 [4] 邱关源.电路.高等教育出版社.2006 —————————————————————————————————————— ------------------------------------------------------------------------------------------------ [5] 楼顺天.基于MATLAB的系统分析与设计.西安电子科大.1999 ——————————————————————————————————————