【word】 焦点三角形内心和旁心性质
焦点三角形内心和旁心性质
2012年第1期河北理科教学研究问题讨论
焦点三角形内心和旁心性质
云南省广南一中玉邴图663300
圆锥曲线上一点和两焦点组成的三角形
叫焦点三角形.它是一个引人注目的三角形.
椭圆焦点三角形的内心和双曲线焦点三角形
的旁心有如下的重要性质.
定理1P是椭圆十:1(n>6>
0)上除去左右顶点外的任一点,E(一C,0)和
F(C,0)是左,右焦点,e是离心率,则aPEF
肭心圆+南eb12eO一C
0),且该椭圆长轴与原椭圆长轴之比等于原
椭圆离心率e.
?朋F的内心为A(,v),PA 证明:设
交轴于,由三角形内角平分线性质知
IBAIlEBIlFBIlEB{+1FB1
丽同面_T可
2C
故由定比分点公式知==
::.故Yp:
yp——yAyP——yA
(1).
又因为}=e,所以IPF1=
{(c一=.一.
另一方面,由椭圆焦半径公式知
If=a—ex.,与上式比较得=e.
由定比分点公式知XA==
=e所以=xa(2).
因为点P在椭圆上,故将(1)和(2)代人
椭圆方程得()一1(-l+.ey)=1.化
简整理得所求轨迹为椭圆+南=\J
1(Y?0)(因为点P不能在轴上,故Y?
0).因此椭圆的长半轴长为c,它是原椭圆的
半焦距,而原椭圆的长半轴长为a,所以两椭
圆长轴长之比等于原椭圆的离心率e.
定理2设P是双曲线一=1(
ao
>0,b>0)上除去左右顶点外的任一点,
E(一c,0)和F(C,0)是左,右焦点,e是离心
率,则APEF的旁心轨迹是双曲线一
南=l(),?0),且该双曲线实轴与原\J
双曲线实轴之比等于原双曲线离心率e.
证明:设PA交轴于B,不妨设旁心
A(,),)是PEF内角平分线和EPF,
EFP外角平分线的交点,由三角形内外角
平分线性质知::}:
故=一BA
PFaAP.
由IPEJ—
JJ一一’…一’
上式及定比分点公式知:=.三
::..从而得:(1).由
ye—yA
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佩
[FBI=,
得『PFI=?(一c)=警一
另一方面,由双曲线的焦半径公式知
lPF『:eP—a,比较两式得口=eP.由
定比分点公式知==
气=e所以=xa(2).
由(1)和(2)得=詈,yP:y.因
为点P在双曲线上,所以()一
去(y):1.化简整理得所求轨迹为双
一
南酌不
能在轴上,故Y?0).
因为此双曲线实半轴长为c,它是原双
曲线的半焦距,而原双曲线的实半轴长为a,
所以两双曲线实轴长之比等于原双曲线的离
心率e.
有了上述两个定理,我们可容易得到下
面的结论.
推论1P是椭圆+=1(口>6>
0)或双曲线一:l(0>0,b>0)上的
一
点,E(一C,0),F(c,0)是两焦点,若椭圆
焦点APEF的内切圆或双曲线焦点APEF
的旁切圆半径为r,则APEF的面积S=
r(a+c).
证明:(1)对于椭圆,由定理2的证明得
=),,又因为I),I=r,所以I弦l=
fyAJ.:r,故s=1IEFI『l=
:,(口+).
(2)对于双曲线,由定理2的证明得Y
=,又因为ly{=r,所以ll=
fy小=r,故s=1lEFIl『=
?:,(0+.).
推论2P是椭圆x+告=1(?>b>
0)或双曲线x一=1(?>0,b>0)上的
一
点,E(一C,0),F(C,0)是两焦点,若椭圆
焦点APEF的内心A或双曲线焦点PEF
的旁心A的纵坐标的绝对值为m,则PEF
的面积S=ITt(aq-c).
证明:设P(,y),则由定理1和定理2
的证明得y尸=半y.
故由题意得If=}l=
Lm.
所以Js:1fEFIJf:cm.p.
推论3P是椭圆+=1(0>b>
IU
,’
o)或双曲线一=1(0>0,b>0)上的
UU
一
点,E(一C,0),F(c,0)是两焦点,若椭圆
焦点APEF的内切圆或双曲线焦点PEF
的旁切圆圆心A的横坐标为,则
(1)对于椭圆,l船l:a+,『PFl=
a—:
(2)对于双曲线,IPI:Ia+I,
lPFl:la—f.
证明:(1)由定理1的证明知=,
故由椭圆焦半径公式得l船l=a+eN,=a
?
11?
m
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(2)根据定理2的证明,由}:e,得
PF1:(一c):—X—B一8.
另一方面,由双曲线的焦半径公式知
PFI=exP一0,比较两式得B=eP.由
(上接第3页)
例8已知函数厂():l一口l+
?(>0),欲使,()?专恒成立,求口的
取值范围.
解:欲使f()
?
1恒成立
,即是
使l一.I?一
{(>0)恒成立,
也.就是府满足什
J
g)=口I
\
.二0.5
Da9”-2
,1f,11/J一
2一一X
图1
么样的条件,使得左边的譬()=
l一口I的函数图像在右边的()={一二
函数图像上方.如图,由():,
是双曲线,与轴交点是(2,0),在(0,+?)
上单调递增.所以,当且仅当口?2时,
I一0l?1一1.恒成立.
故口的取值范围是(一?,2].
?
l2?
定比分点公式知一==
=e所以:詈(2).
故由双曲线焦半径公式得fPEf:
f.+ef:l.+.f:fn+
lPFI=I?一l=I.一e?l=
10一1.
评注:某些含参不等式恒成立的问题,不
等式两边的式子,函数模型较明显,函数图像
较容易作出的,可以考虑作出函数图像,用函
数图像的直观性解决不等式或方程的恒成立
的问题,也非常容易得到意想不到的效果.
含参不等式恒成立问题形式多样,方法灵
活多变,技巧性较强.这就要求我们要以变应
变,在解题过程中,要根据具体的题设条件,认
真观察题目中不等式的结构特征,从不同的角
度,不同的方向,加以分析探讨,从而选择适当
转化方法快速而准确地解出.当然除了以上的
方法外,还有许多其它的方法,值得一提的是,
各种方法之间并不是彼此孤立的.
参考文献
1蔡德华.含参数的不等式Ia—f(x)I—g(x)恒成
立问题的一个常见错误解法[J].中学数学教学
参考(上半月?高中),2008(8):32—33
2褚人统.”2009年高考:我的优质训练题”征文选
登[J].中学数学教学参考(上半月?高中),2009
f1/2):55—98
一
口
=
P
一
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