英文简历的四个关键点

[ˆa·(αˆa+βˆb)]ˆb-[ˆb·(αˆa+βˆb)]ˆa=(ˆa·ƒc)ˆb-(ˆb·ƒc)ˆa.性质3　ˆa·(ˆb׃c)=(ˆa׈b)·ƒc=(ƒc׈a)·ˆb.证明　令ƒc=αˆa+βˆb+γˆa׈b,因为ˆa·(ˆb׃c)=ˆa·(ˆb×(αˆa+βˆb+γˆa׈b))=ˆa·(αˆb׈a+γˆb×(ˆa׈b))=γˆa·(ˆb×(ˆa׈b))=γˆa·((ˆb·ˆb)ˆa-(ˆb·ˆa)ˆb)=γ(|ˆa|2|ˆb|2-(ˆa·ˆb)2)=γ|ˆa|2|ˆb|2(1-cos2(ˆa,ˆb))=γ|ˆa׈b|2,(ˆa׈b)·ƒc=(ˆa׈b)·(αˆa+βˆb+γˆa׈b)=γ|ˆa׈b|2,所以ˆa·(ˆb׃c)=(ˆa׈b)·ƒc.同理可得(ˆa׈b)·ƒc=(ƒc׈a)·ˆb.参考文献[1]同济大学教研室.高等数学[M].北京:高等教育出版社,1996.[2]钱昌本.高等数学解题过程中的分析和研究[M].北京:科学出版社,2005.[3]孙本旺,汪浩.数学分析中典型例题和解题[M].长沙:湖南科学技术出版社,1983.[4]徐利治,王兴华.数学分析的方法及例题选讲[M].北京:高等教育出版社,1984.方法与技巧空间曲线在一般平面上投影方程的求法李勇,汪民乐(西安市第二炮兵学院,西安,710025)收稿日期:2009-09-20;修改日期:2010-01-27.作者简介:李勇(1979-),男,江苏江都人,硕士,讲师,从事组合优化、作战决策与模拟研究,Email:ly200309010@163.com;汪民乐(1964-),男,安徽枞阳人,博士,教授,从事计算智能、决策理论等研究,Email:wang2ml@sohu.com.摘要　介绍了两种求空间曲线在一般平面上投影曲线方程的方法,方法一是将投影曲线看作是柱面与一般平面的交线,而方法二是将投影曲线看作是空间曲线上各点在一般平面上的投影点组成的曲线.关键词　空间曲线;投影曲线;曲线方程.中图分类号　O182大一新生在学完高等数学中“空间解析几何与向量代数”这一章后,基本上已经掌握了求直线在一般平面上的投影直线的方程和空间曲线在坐标平面上的投影曲线的方程,而善于思考的学生自然就会有“如何求空间曲线在一般平面上投影曲线方程”的疑问,并且许多学生为此而困惑好久,在此,作者介绍两种方法,以作参考.问题　求空间曲线C在一般平面P:Ax+By+Cz+D=0上的投影曲线l的方程.方法一　空间曲线C可看成两个空间曲面的交线,即可用F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0(1)示,(1)式称为曲线C的一般方程.所求投影曲线l可看成由两个空间曲面的交线,一个是已知平面P,另一个是经过已给空间曲线C且垂直于已知平面P的柱面Σ,故问题转化为求这一柱面方程.设柱面Σ的准线Г的方程为F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0,母线方向ˆb=(A,B,C),点M(x,y,z)属于柱面Σ的充要条件是点M在某一条母线上,即存在准线Г上一点M1(x1,y1,z1),使得点M位于过点M1且以ƒb为方向向量的直线上.因此,有F(x1,y1,z1)=0,G(x1,y1,z1)=032Vol.13,No.2Mar.,2010　　　　　　　　　　高等数学研究STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICSx=x1+At,y=y1+Bt,z=z1+Ct.从以上诸式中消去x1,y1,z1及t可得方程H(x,y,z)=0,它就是以(1)为准线,母线方向为ˆb的柱面Σ的方程.因此,空间曲线C在一般平面P上的投影曲线方程为H(x,y,z)=0,Ax+By+Cz+D=0.方法二　空间曲线C也可用参数方程表示,即x=x(t),y=y(t),z=z(t),其中t为参数.所谓空间曲线C在平面P上的投影线,是将C上的每一点作P的垂直线与P的交点的集合.经过C上任意一点(x(t),y(t),z(t))作P的垂直线方程为x-x(t)A=y-y(t)B=z-z(t)C引入s,则该垂直线方程可写成参数式:x=x(t)+sA,y=y(t)+sB,z=z(t)+sC.代入平面P的方程求出s,记为s0:s0=-Ax(t)+By(t)+Cz(t)+DA2+B2+C2,于是得到投影点的坐标:x=x(t)+s0A,y=y(t)+s0B,z=z(t)+s0C.设t在C的定义域内变动,即得l的参数方程如上,注意,当t变动时,s0不是常数.特别地,若P为xOy平面,则A=B=D=0,　C=1,于是l的参数方程为x=x(t),y=y(t),z=z(t)+s0C=0.即曲线C在xOy平面上的投影曲线只要将其参数方程中的z=z(t)换成z=0即可.例1　求空间曲线C:　x=y2+z2,x=2z在平面π:　x-2z=3上的投影曲线的方程.解　投影曲线的方程可看作平面π和经过空间曲线C且垂直于平面π的柱面的交线.先求柱面方程:柱面的准线Г方程为x-y2-z2=0,x-2z=0,母线方向为ˆb=(1,0,-2),设点M(x,y,z)是柱面上一点,点M1(x1,y1,z1)为准线Г上一点,则有x1-y21-z21=0,x1-2z1=0;x=x1+t,y=y1,z=z1-2t.由以上两式消去x1,y1,z1及t,可得柱面方程为4x2+25y2+z2+4xz-20x-10z=0.故投影曲线方程为x-2z=3,4x2+25y2+z2+4xz-20x-10z=0.例2　求曲线C:　x=3cosθ,y=4sinθ,z=5,　(0≤θ≤2π)在平面x+y+z+1=0上的投影曲线的方程.解　经过已知曲线C上任意一点(x(θ),y(θ),z(θ))作已知平面的垂直线方程为x-3cosθ1=y-4sinθ1=z-51引入s,则该垂直线方程可写成参数式:x=3cosθ+s,y=4sinθ+s,z=5+s.代入已知平面方程求出s,记为s0:s0=3cosθ+4sinθ+5+13,于是得到投影点的坐标:x=3cosθ+s0,y=4sinθ+s0,z=5+s0.上式即为所求投影曲线的参数方程.参考文献[1]李养成,郭瑞芝.空间解析几何[M].北京:科学出版社,2007:77-79.42高等数学研究　　　　　　　　　　　　　　　　　　2010年3月