线性代数(杨怡 铁道出版社)习题4课后答案

线性代数(杨怡 铁道出版社)习题4课后 习题4(P130-P132) 1. 求下面每对向量的夹角: ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,? ，; ? ，. x,y,x,y,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,解 [x,y],,，,，,，,，,，(,,)，,，,,,? ， ,,,,,,,, ，， ,,x,,,,，,，,，,,,,,y,,,,，,，(,,)，,,, 得 [x,y],,,,， ,,x,,,,,y,,,,，, ,故的夹角为. x,y, ,[x,y],,，,，,，,，,，(,,)，,，,,,，于是得知，的夹角为. ? x,y, [x,y],,,,y,,,,[x,z],,[y,z],,,[,x，y,y,,z]2. 已知，，，. 求. [,x，y,y,,z],,[x,y],,[x,z]，[y,y],,[y,z]解 , ,,[x,y],,[x,z]，,,y,,,,[y,z] ,,,，,,,，,，,,,(,,) . ,,, ,,,3. 证明:当与正交时，. y,,x，y,,,,,x,,，,,y,,x [x,y],,证明 当与正交时，，于是得 yx ,,, . ,,x，y,,,[x，y,x，y],[x,x]，,[x,y]，[y,y],[x,x]，[y,y],,,x,,，,,y,, nR,,,,？,,,,,,,,？,,,,4. 设是中一组向量，且可由线性表示. 证明:如果与每一,,r,,r ,,0,i,,,,,？,r个正交，，那么. i ,,,,？,,k,k,？,k,证明 因可由线性表示，故存在数，使 ,,r,,r ,,k,，k,，？，k,. ,,,,rr,,i,,,,,？,r[,,,],,又因与每一个正交，，得. 于是得 ii [,,,],[k,，k,，？，k,,,] ,,,,rr ,k[,,,]，k[,,,]，？，k[,,,] ,,,,rr ,k,,，k,,，？，k,, ,,r . ,, ,,0由内积的性质?，得. 5. 设 ,,,,,,,,,,,,,,,,,，，. ,,,,aaa,,,,,,,,,,,,,,,,？,,,,,,, 试用施密特正交化方法把这组线性无关的向量化成正交向量组. b,a解 ; ,, ,,,,,,,,,,[a,b],,,,,,,,,,,,,,,,, ; bab,,,,,,,,,,[b,b],,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,[a,b][a,b],,,,,,,,,,,,,,,, ， ,,,,,,,,,,,,babb,,,,,,,,,,,,,,,[b,b][b,b],,,,,,,,,,,,？,,,,,,,,,,,b,b,b则为正交向量组. ,,, ,A,,,6. 设为正交矩阵，且. 试证:，这里是中元素的代数余子式. AA,(a)A,aAaijijijijij ,,,,,,,TA,A,,, 证明 因，则可逆，得. 又因为正交矩阵，得 ，得 AAA,,A,A,AA, ,T,,TTT(A),(A),(A),A， 于是得，. A,aijij 7. 证明:正交变换保持两向量的夹角不变. x,xy,Pxy,Pxy,Px证明 设是任意两个向量，是正交变换，，. ,,,,,, x,x,y,y,的夹角为，的夹角为. 因为正交变换保持两向量的内积不变，保持向量的长又设,,,,,, 度不变，于是 [y,y][x,x],,,,arccosarccos. ,,,,,,,,,y,,,,y,,,,x,,,,x,,,,,,,, AB8. 设是阶矩阵的特征值，证明也是阶矩阵BA的特征值. ,,,,mnm，nn，m 证明 设是矩阵的对应于特征值的一个特征向量，则有 ABp, ABp,,p . ? ,p,0Bp,0Bp,0p,0显然. 因为若，由?式得，而，得，出现矛盾. ,,, (BA)(Bp),,(Bp)B,ABp,B,,pBp,0用左乘?式两边，得，得. 而，得是的特征值，BBA, Bp是其中一个对应的特征向量. 9. 求下列矩阵的特征值和特征向量: ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ? ,,,,; ? ,,,; ? . ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,解 ? 设所给矩阵为A. 则A的特征多项式为 ,,,,,,,,,,,,,,,c(,)c,，,,,,A,,E,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,, ,,c,c按r展开,,,,,,,,,,,,, ,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,, 提c公因,,,,,,, ,，, (),,,,,, ,,,(,，,) ， ,,,,,,,,A所以的特征值为. ,,, ,,,,,,,,(A，E)x,0当时，解方程组. 由 ,,, ,,,,,,,,,,,r,,,,，,,,,,,,,， AE,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,得基础解系 ， p,,,,,,,,,, kp(k,,),,,,,,,,所以是对应于的全部特征向量. ,,, ? 设所给矩阵为. 则的特征多项式为 AA ,,,,,,,,,,,c,c,,,,,,,,,,,,,，,,, ,AE, ,,,,,,,,,, ,,,,,,，rr按c展开,,,,,,,,, ,,,,,，,(),,,,,,,,, ,,,(,，,)(,,？) ， ,,,,,,,,,？所以的特征值为，，. A,,, ,,,当时，解方程组. 由 Ax,0, ,,,,,,,,,,r,,,,， ,,,,,,,A,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,得基础解系 ， ,,,p,,,,,,,,kp(k,,),,,所以是对应于的全部特征向量. ,, ,,,,当时，解方程组. 由 (A，E)x,0, ,,,,,,,,,,r,,,,，,,,,,,,， AE,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,得基础解系 ， ,,p,,,,,,,,kp(k,,),,,,所以是对应于的全部特征向量. ,, ,,？当时，解方程组(A,？E)x,0. 由 , ,,,,,,,,,,,,r,,,,,？,,,,,,,,,， AE,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,x,,得基础解系 ， (注:这里选了为自由未知量) p,,,,,,,,,kp(k,,),,？所以是对应于的全部特征向量. ,, AA ? 设所给矩阵为. 的特征多项式为 ,,,,,,,,,,r,r,,r,r,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,AE,c,c,,,,,,,,,,,,,,,,,,c,c,,,,,,,,,,,, ,,,,,(,,,),(,,,)(,，,) ， ,,,,,,,,,,,A所以的特征值为，. ,,,, ,,,,,(A,E)x,0 当时，解方程组. 由 ,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,r,,,,,,,,,,,,,,,,， AE,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,得基础解系 ，， ,pp,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,所以对应于的全部特征向量为 ,, kp，kpk,k (不同时为 , ). ,,,,,, ,,,,,,当时，解方程组. 由 (A，E)x,0,, ,,,,,,,,,,,,,,,,r,,,,,,,,,,,,， ，,AE,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,得基础解系 ，， ,,pp,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,所以对应于的全部特征向量为 ,, kp，kpk,k (不同时为 , ). ,,,,,, ,,10. 设是方阵的特征值，向量为的对应于的特征向量，多项式 AAp,, m， ,(x),ax，？，ax，a,,m ,(,),(A)证明，是的特征值，其对应的特征向量仍是. p, Ap,,pp,0证明 由题目条件得，，. , nn先用数学归纳法证明一个结论:对任意自然数，有. Ap,,pn,当时，结论显然成立. n,, kk假设当时，结论成立，即有. n,kAp,,p, 当时， n,k，, k，,kkkkkk，,， Ap,(AA)p,A(Ap),A(,p),,(Ap),,(,p),,p,,,,, 得结论也成立. nn故对任意自然数，有. Ap,,pn, 下面再证题目结论: 我们有 mm ,(A)p,(aA，？，aA，aE)p,aAp，？，aAp，aEp,,,,mm mm ,a,p，？，a,p，ap,(a,，？，a,，a)p,,,,,,,,mm ,,(,)p ， , ,(,),(A)p,0而，得是的特征值，其对应的特征向量是. p, ,A,,A，,E,O11. 设A，证明的特征值只能是 , 或 ,. ,(A,E)(A,,E),O,(A,E)(A,,E),,,O,A,,A，,E,O证法一 由，得. 得，得 ,A,E,,,A,,E,,,,A,E,,,,A,,E,,,A,,，得或. 故的特征值只能是或. ,,,,,,，,A,,A，,EA6证法二 设是的特征值，由特征值与特征向量的性质得，得是的特, ,,A,,A，,E,O,,,,，,,,征值. 因，而零矩阵的特征值全是，得，得或. ,,,,,,, ,,,,,,,A12. 已知阶矩阵的特征值为，求. ,,A,,A，,A, ,,解 设，则 ,(x),x,,x，,x ,,,(,),,,(,),,,(,),,，，，. ,(A),A,,A，,A ,(,),,(,),,(,),(A),,,,,A因是阶矩阵且其特征值为，则的特征值为. 于是 , ,,. ,A,,A，,A,,,,(A),,,(,),,(,),,(,),,，,，,,,, ,,,,,,,13. 已知阶矩阵的特征值为，求. A,,A，,A，,E, ,,,,A,,,，,，(,,),,,解 因的特征值全不为 ,，知可逆，故. 而，所以 AAA,,A,A ,,,A，,A，,E,,,A，,A，,E. ,,,,,(A),(,),,,,(,),,设，则，故的特征值为，，,(x),,,x，,x，,,(A),,,A，,A，,E,(,,),,,. 于是 ,. ,A，,A，,E,,(,,)，,，(,,),,, A,B14. 设都是阶矩阵，且可逆，证明与相似. AABBAn A,BAB,BA证明 因都是阶矩阵，得也都是阶矩阵. 因可逆，于是有 Ann ,,,,， A(AB)A,(AA)(BA),BA得知与相似. ABBA ,,,,,,,,,,,,,15. 已知是矩阵的一个特征向量. A,,a,p,,,,,,,,,,,,,,b,,,,,, a,b? 求参数及特征向量所对应的特征值; p ? 问是否可对角化,并说明理由. A 解 ? 设所对应的特征值为. 由题目条件，得 p, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(AE)pa,,,,,,,,， ,,,,,,,,,,,,b,,,,,,,,,,,,,,,得 ,,,,,,,,,,,,,,，a,,,,,, , ,,,，b，,，,,,,, 得 ，，. a,,,b,,,,,, ? 由?的结果，得 ,,,,,,,,A,,,,,. ,,,,,,,,,,,得 ,,,,,,,， ,A,,E,,,,,,,,,,(,，,) ,,,,,,,,,,,,,,,得. ,,, 而 ,,,,,,,,,,,r,,,,，,,,,,,,,， AE,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,R(A，E),,,,,,A得，由定理4.6推论2得，不可对角化. ,,,,,,,,,,A16. 设阶矩阵的特征值为，，，对应的特征向量依次为 ,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,，,,，,,， ppp,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 求. A 解 由题意知，存在有可逆矩阵 ,,,,,,,， P,,,,,,,,,,,,,使得 ,,,,,,,. ,,,PAP,,,,,,,于是得 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,. APP,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,A17. 设，求. A,,,,,,,,,,,,,, 解 的特征多项式为 A ,,,,, ， ,A,,E,,,,,,,,,(,,,)(,,,)(,，,) ,,,,, ,,,,,,,,,,所以的特征值为，，. A,,, ,,,当时，解方程组. 由 (A,E)x,0, ,,,,,,,,,,r,,,,,,,,,,,,,， AE,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,得基础解系 ,,. p,,,,,,,, ,,,当时，解方程组(A,,E)x,0. 由 , ,,,,,,,,,,,,r,,,,,,,,,,,,,,,， AE,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,得基础解系 . ,,p,,,,,,,, ,,,,当时，解方程组(A，,E)x,0. 由 , ,,,,,,,,,,,r,,,,，,,,,,,,,， AE,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,得基础解系 ,,,. p,,,,,,,, 于是有可逆矩阵 ,,,,,,,P,,,,,， ,,,,,,,,,使 ,,,,,,,. ,,PAP,,,,,,,,则 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,APP ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,. ,,,,,,,,,,,,,,,, 18. 求正交矩阵，将下列矩阵化为对角矩阵: P ,,,,,,,,,,,,,,,,? ; ? . ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 解 ? 设所给矩阵为. 的特征多项式为 AA ,,,,,, ， ,A,,E,,,,,,,,,,,(,，,)(,,,)(,,,) ,,,,, ,,,,,,,,,,所以的特征值为，，. A,,, ,,,,对应，解方程组(A，,E)x,0. 由 , ,,,,,,,,,,,,r,,,,， ，,,,,,,,,,,,AE,,,,,,,,,,,,,,,,,,,得基础解系 ,,,,,. ,,,,,,,,,,, 单位化，得 ,,,,,,. ,,p,,,,,,,,, ,,,(A,E)x,0对应，解方程组. 由 , ,,,,,,,,,,,r,,,,,,,,,,,,,,， AE,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,得基础解系 ,,,,,,. ,,,,,,,,,,,,单位化，得 ,,,,,,,,,,. p,,,,,,,,, ,,,(A,,E)x,0 对应，解方程组. 由 , ,,,,,,,,,,,,,r,,,,,,,,,,,,,,,,， AE,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 得基础解系 ,,,,,. ,,,,,,,,,,,,单位化，得 ,,,,,,. ,,,p,,,,,,,,, P,(p,p,p) 令，即 ,,, ,,,,,,,,,， P,,,,,,,,,,,,,,,,则是正交矩阵，且 P ,,,,,,T,,. ,,,PAPPAP,,,,,,, ? 设所给矩阵为. 的特征多项式为 AA ,,,,,,. ,A,,E,,,,,,,,,(,,,)(,，,) ,,,, ,,,,,,,,,所以的特征值为，. A,,, ,,,,,对应(A,E)x,0，解方程组. 由 ,, ,,,,,,,,,,,,,r,,,,， ,,,,,,,,,,AE,,,,,,,,,,,,,,,,,,,得基础解系 ,,,,,,,,,,,，. ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,正交化，得 ,,,,,,,,,,,,，， ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 单位化，得 ,,,,,,,,,,,,,,,，,,. pp,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,(A，,E)x,0对应，解方程组. 由 , ,,,,,,,,,,,r,,,,，,,,,,,,,,， AE,,,,,,,,,,,,,,,,,,得基础解系 ,,,,,,,,,. ,,,,,,,,,单位化，得 ,,,,,,,,,,. p,,,,,,,,, P,(p,p,p)令，即 ,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,， P,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 是正交矩阵，且 则P ,,,,,T,,. ,,,PAPPAP,,,,,,,, p,,,,,,,,,,,,19. 设阶实对称矩阵的特征值为，，与特征值对应的特征向量为 A,,,,,, T，求. A,(,,,,,) p,p解 因是实对称矩阵的重特征值，故对应特征值有两个线性无关的特征向量，且A,,,,, TTp,ppp,p与正交. 于是应是齐次线性方程组的非零解. 而即 px,0px,0,,,,,,, x,,,,,. (,,)x,,,,,,,,,,x,,, 此齐次线性方程组的基础解系为 ,,,,,,,,,,,,，. ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, p,,p,,取，，且根据题目条件有 ,,,, Ap,,pAp,,pAp,,p，，， ,,,,,,则 A(p,p,p),(Ap,Ap,Ap),(,p,,p,,p)， ,,,,,,,,,得 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,. A(p,p,p)(p,p,p),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,A,,A20. 设A为阶实对称矩阵，且，又R(A),s()，求A的全部特征值. ns,n ,,A,,A,,,,解 设为A的任意一个特征值. 因，得，由此可得，或. ,,,,,,, 因为A为阶实对称矩阵，所以A必可对角化. 于是得，A与 n ,,,,,？,,,,,,, ,,,,,？,,,,,相似，且R(A),R(,). 故,的个数为A的秩数. A,于是得知，的全部特征值为个及个. ,sn,s