用《几何画板4.07》中文版制作《圆内的随机点与圆周率》

用《几何画板4.07》中文版制作《圆内的随机点与圆周率》 湖北省宜昌市第八中学 史艳华 【问题】 如图1，在一个直径为1的圆中，有一个内接正方形.向圆内的随机投掷点，求点落在弓形区域的概率是多大,请设计一个数学实验来估计这一事件发生的概率. (图1) (图2) 【设计思路】 由于圆内的随机点不能直接得到，只有通过下面的方法变通得到.如图2，作出圆的外切正方形ABCD，设想向正方形ABCD区域任意投掷随机点，进而统计出这些随机点分别落在圆形区域和弓形区域的次数，从而得到随机点落在弓形区域的频率，用此频率来估计所求的概率. 【制作步骤】 1.新建一个画板文件，命名为:suijidian，保存. 2.利用[图]菜单下的[定义坐标系]工具建立一个平面坐标系，拖动单位点(1，0)，适当调节坐标系的大小. 3.利用[图表]菜单下的[绘制点]工具，分别输入坐标(0，1)，(1，1)，作出这两个点，依次选中单位点(1，0)，原点(0，0)，点(0，1)，点(1，1)，按“Ctrl+L”键，作出正方形. 4.从原点开始按逆时针方向，依次选中正方形的四个顶点，利用[显示]菜单下[点的标签]工具，将正方形命名为ABCD.(如图3) 5.选中线段AB，BC，利用[构造]菜单下的[线段上的点]工具，作出AB，BC上的两点E，F.(如图4) (图3) (图4) 6.选中点E和线段AB，利用[构造]菜单下的[垂线]工具，作出线段AB的垂线;同理，作出线段BC的垂线，选中这两条垂线，利用[构造]菜单下的[交点]工具，作出两条垂线的交点G.(如图5) 7.选中两条垂线，按“Crtl+H”，将两条垂线隐藏起来.再选中交点G，利用[度量]菜单下的[横坐标]和[纵坐标]工具分别度量出G的横纵坐标x，y. GG228.按“Alt+=”调出计算器，计算“0.25,((x,0.5)+(y,0.5))”，并将此结果的标签GG 命名为y.(如图6，图7) 1 图5 图6 图7 9. 按“Alt+=”调出计算器，分别计算“0.5,(x,y)”，“,0.5,(x,y)”，“0.5,(x+y)”，GGGGGG“1.5,(x+y)”并分别将这些结果的标签命名为y，y，y，y. GG2345 10.利用[图表]菜单下[新建参数]工具，分别建立三个参数t，t，n .默认值分别为0，0，3. 12 1111.按“Alt+=”调出计算器，分别计算“t+(1+sng(y))”和“t+(1+sng(y)*sng112222(y)*sng(y)*sng(y))”，并分别将这两个计算结果的标签命名为t，t.(如图8，图34511219)说明:此处t用于统计随机点落在圆形区域内的次数，t用于统计随机点落在圆内接正1121 方形区域内的次数，因而随机点落在弓形区域内的次数为t,t. 1121 图8 图9 12. 利用[图表]菜单下[新建参数]工具，再建一个参数t，默认值必须为0，依次选中t，t，3311利用[图表]菜单下[绘制(x，y)]工具，绘制点(t，t).同样操作绘制点(t，t). 31121313.依次选中点E，F，参数t，t，n，利用[变换]菜单下[带参数的迭代]工具(此处在操作时12 要注意按住“Shift”，才会出现“带参数的迭代”，否则只能出现“迭代”)，在弹出的对话窗口中，建立如下映射:E?E，F?F，t? t，t? t，在对话窗口的[显示]菜单下选择[最111221 终的迭代]，在对话窗口的[构造]菜单下选择[到所在对象的随机位置]，进行迭代变换.(如图10，图11) 图10 图11 14.此时上述迭代所生成的迭代象处于选中状态，再利用[变换]菜单下[终点]工具，作出点(t，3t)和点(t，t)最后一次迭代所生成的迭代象(其位置，默认(t，t)在y轴上，(t，1121331121t)在x轴上，可通过调节《几何画板》窗口下方和右侧的滚动条来查找这两点迭代象的终3 点)，并度量出点(t，t)的迭代象终点的纵坐标，将其标签命名为“投掷的总次数”，度311 量出点(t，t)的迭代象终点的横坐标，将其标签命名为“落在内接正方形内的次数”，213 按“Alt+=”，调出计算器，计算出“投掷的总次数,落在内接正方形内的次数”的值，将其 落在弓形的次数标签命名为“落在弓形内的次数”，再计算出“”，命名其标签为“落在弓形 投掷的总次数 内的频率”. 15.制作出正方形ABCD的内切圆和圆的内接正方形，选中参数“n”，利用[编辑]菜单下[动画]工具，在弹出的对话框中设置[方向]为[渐增]改变数值:[不连续]，范围:[0~4000] (如图12)，制作出参数动画按钮，命名此按钮标签为“开始投掷”，再选中参数“n”， 利用[编辑]菜单下[动画]工具，在弹出的对话框中设置[方向]为[自由(勾选只播放一次)，范围:][0~0](如图13)，制作出另一个参数动画按钮，命名此按钮标签为“初始化”. 图12 图13 17.分别选中参数“投掷的总次数”， “落在弓形内的次数”， “n”，单击右键，设置其值的精确度为:单位，同理设置“落在弓形内的频率”的精确度为:十万分之一. 218.因为随机点落在弓形内的理论概率为，可以利用蒙特卡洛方法通过此实验求出圆1,PI 2周率PI.按“Alt+=”调出计算器，计算“”，命名其标签为“PI的近似值”，1,落在弓形内的频率 隐藏其它不必要的对象，经过后期美化，完成制作.(如图14，图15) 图14 图15 作者信息:湖北省宜昌市第八中学 史艳华 邮编443005 Email:tiaodengfang@163.com