[初二数学]二次根式全章教案

( 答案: 5一、1(D 2(B 3(B二、1(1，-5 2(正 3(x-y= 4 22三、1((1)y-2y-=0，y-2y=，(y-1)=，y-1=?，y=+1，y=1- 12333999 22333 (2)x-2x=-3 (x-)=•0，x=x= 12 27 ,,268222((x+2)+(y-3)=0，x=-2，y=3，?原式= ,,121313 23((1)设每件衬衫应降价x元，则(40-x)(20+2x)=1200，x-30x+200=0，x=10，x=20 12 (2)设每件衬衫降价x元时，商场平均每天赢利最多为y， 2222则y=-2x+60x+800=-2(x-30x)+800=-2[(x-15)-225]+800=-2(x-15)+1250 ? 2-2(x-15)?0， ?x=15时，赢利最多，y=1250元( 答:略 22.2.3 公式法 教学内容 1(一元二次方程求根公式的推导过程; 2(公式法的概念; 3(利用公式法解一元二次方程( 教学目标 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程( 2 复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax+bx+c=0(a?0)•的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程( 重难点关键 1(重点:求根公式的推导和公式法的应用( 2(难点与关键:一元二次方程求根公式法的推导( 教学过程 一、复习引入 (学生活动)用配方法解下列方程 222 (1)6x-7x+1=0 (2)4x-3x=52 (老师点评) (1)移项，得:6x-7x=-1 717717222 二次项系数化为1，得:x-x=- 配方，得:x-x+()=-+()666612122 28 725755775，2 (x-)= x-=? x=+==1 2 5775,1+== x=-26121212 (2)略 总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结，老师点评)( (1)移项; (2)化二次项系数为1; (3)方程两边都加上一次项系数的一半的平方; 2 (4)原方程变形为(x+m)=n的形式; (5)如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解( 二、探索新知 2 如果这个一元二次方程是一般形式ax+bx+c=0(a?0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题( 2,，,bbac422 问题:已知ax+bx+c=0(a?0)且b-4ac?0，试推导它的两个根x=，12a 2,,,bbac4x= 22a 分析:因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c•也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去( bc22 解:移项，得:ax+bx=-c 二次项系数化为1，得x+x=- aa 2bac,4bbbbc2222 配方，得:x+x+()=-+() 即(x+)= 24aa2aa2a2a 22bac,4bac,4b22 ?b-4ac?0且4a>0 ??0 直接开平方，得:x+=? 22a4a2a 222,,,bbac4,，,bbac4,,,bbac4 即x= ?x=，x= 122a2a2a 29 2 由上可知，一元二次方程ax+bx+c=0(a?0)的根由方程的系数a、b、c而定，因此: 2 (1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax+bx+c=0，当b-4ac?0时， 2,,,bbac4•将a、b、c代入式子x=就得到方程的根( (2)这个式子叫做一元2a 二次方程的求根公式( (3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法( (4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根( 例1(用公式法解下列方程( 222 (1)2x-4x-1=0 (2)5x+2=3x (3)(x-2)(3x-5)=0 (4)4x-3x+1=0 分析:用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可( 解:(1)a=2，b=-4，c=-1 ,,,,,(4)244262622,, b-4ac=(-4)-4?2?(-1)=24>0 x= 2242， 26，26, ?x=，x= 1222 2 (2)将方程化为一般形式 3x-5x-2=0 22 a=3，b=-5，c=-2 b-4ac=(-5)-4?3?(-2)=49>0 ,,,,(5)49571, x= x=2，x=- 12236，3 (3)将方程化为一般形式 2 3x-11x+9=0 22 a=3，b=-11，c=9 b-4ac=(-11)-4?3?9=13>0 ,,,,(11)1311131113，1113,, ?x= ?x=，x= 1266236， (3)a=4，b=-3，c=1 22 b-4ac=(-3)-4?4?1=-7<0 30 因为在实数范围内，负数不能开平方，所以方程无实数根( 三、巩固练习 教材P 练习1((1)、(3)、(5) 42 四、应用拓展 2m，2x 例2(某数学兴趣小组对关于x的方程(m+1)+(m-2)x-1=0提出了下列问题( (1)若使方程为一元二次方程，m是否存在,若存在，求出m并解此方程( (2)若使方程为一元二次方程m是否存在,若存在，请求出( 你能解决这个问题吗, 2 分析:能((1)要使它为一元二次方程，必须满足m+1=2，同时还要满足(m+1)?0( (2)要使它为一元一次方程，必须满足: 22m，,10,,m，,11m，,10,?或?或? ,,,m,,20m,,20(1)(2)0mm，，,,,,, 2 解:(1)存在(根据题意，得:m+1=2 2 m=1 m=?1 当m=1时，m+1=1+1=2?0 当m=-1时，m+1=-1+1=0(不合题意，舍去) 2 ?当m=1时，方程为2x-1-x=0 a=2，b=-1，c=-1 ,,,,(1)913122, b-4ac=(-1)-4?2?(-1)=1+8=9 x= x=，x=- 12224，2 1 因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x=1，x=-( 122 22 (2)存在(根据题意，得:?m+1=1，m=0，m=0 因为当m=0时，(m+1)+(m-2)=2m-1=-1?0 所以m=0满足题意( 2 ?当m+1=0，m不存在( ?当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3?0 所以m=-1也满足题意( 31 当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0， 解得:x=-1 1 当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0 解得x=- 因此，当m=0或-1时，3 该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1;当m=-•1时，其一元一次方程的根 1为x=-( 3 五、归纳小结 本节课应掌握: (1)求根公式的概念及其推导过程; (2)公式法的概念; (3)应用公式法解一元二次方程; (4)初步了解一元二次方程根的情况( 六、布置作业 1(教材P 复习巩固4( 2(选用作业设计: 45 一、选择题 2 1(用公式法解方程4x-12x=3，得到( )( ,,3636,,,323323,A(x= B(x= C(x= D(x= 2222 2322 2(方程x+4x+6=0的根是( )( 362222A(x=，x= B(x=6，x=C(x=2，x= D(x=x=- 12121212 222222 3((m-n)(m-n-2)-8=0，则m-n的值是( )( A(4 B(-2 C(4或-2 D(-4或2 二、填空题 2 1(一元二次方程ax+bx+c=0(a?0)的求根公式是________，条件是________( 2 2(当x=______时，代数式x-8x+12的值是-4( 22 3(若关于x的一元二次方程(m-1)x+x+m+2m-3=0有一根为0，则m的值是_____( 222 三、综合提高题 1(用公式法解关于x的方程:x-2ax-b+a=0( bc2 2(设x，x是一元二次方程ax+bx+c=0(a?0)的两根，(1)试推导x+x=-，x?x=;121212aa 32 3322(2)•求代数式a(x+x)+b(x+x)+c(x+x)的值( 121212 3(某电厂规定:该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A千瓦时，•那么这户居民这个月只交10元电费，如果超过A千瓦时，那么这个月除了交10•元用电费外超过部分 A还要按每千瓦时元收费( 100 (1)若某户2月份用电90千瓦时，超过规定A千瓦时，则超过部分电费为多少元,(•用A表示) (2)下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况 月份 用电量(千瓦时) 交电费总金额(元) 3 80 25 4 45 10 根据上表数据，求电厂规定的A值为多少, 2,,,bbac42答案: 一、1(D 2(D 3(C 二、1(x=，b-4ac?0 2(4 3(-3 2a 2222444aaba,，,三、1(x==a??b? 2 22,，,bbac4,,,bbac422((1)?x、x是ax+bx+c=0(a?0)的两根， ?x=，x= 12122a2a 22,，,,,,bbacbbac44b ?x+x==-， 122aa 22,，,bbac4,,,bbac4cx?x=?= 122a2aa 222 (2)?x，x是ax+bx+c=0的两根，?ax+bx+c=0，ax+bx+c=0 121122 323222 原式=ax+bx+cx+ax+bx+cx =x(ax+bx+c)+x(ax+bx+c) =0 1111222111222 A19A23((1)超过部分电费=(90-A)?=-A+A (2)依题意，得:(80-A)?=15，10010010010 A=30(舍去)，A=50 12 33 22.2.4 判别一元二次方程根的情况 教学内容 22 用b-4ac大于、等于0、小于0判别ax+bx+c=0(a?0)的根的情况及其运用( 教学目标 222 掌握b-4ac>0，ax+bx+c=0(a?0)有两个不等的实根，反之也成立;b-4ac=0，222ax+bx+c=0(a?0)有两个相等的实数根，反之也成立;b-4ac<0，ax+bx+c=0(a?0)没实根，反之也成立;及其它们关系的运用( 222 通过复习用配方法解一元二次方程的b-4ac>0、b-4ac=0、b-4ac<0各一题，•分析它们根的情况，从具体到一般，给出三个结论并应用它们解决一些具体题目( 重难点关键 22 1(重点:b-4ac>0一元二次方程有两个不相等的实根;b-4ac=0一元二次方程,, 2有两个相等的实数;b-4ac<0一元二次方程没有实根( , 2(难点与关键 22 从具体题目来推出一元二次方程ax+bx+c=0(a?0)的b-4ac的情况与根的情况的关系( 教学过程 一、复习引入 223 (学生活动)用公式法解下列方程( (1)2x-3x=0 (2)3x-2x+1=0 (3)24x+x+1=0 2 老师点评，(三位同学到黑板上作)老师只要点评(1)b-4ac=9>0，•有两个不相等的 22实根;(2)b-4ac=12-12=0，有两个相等的实根;(3)b-4ac=?-4?4?1?=<0，•方程没有实根 二、探索新知 2 从前面的具体问题，我们已经知道b-4ac>0(<0，=0)与根的情况，现在我们从求根公式的角度来分析: 34 2,,,bbac422 求根公式:x=，当b-4ac>0时，根据平方根的意义，等bac,42a 22,，,bbac4,,,bbac4于一个具体数，所以一元一次方程的x=?x=，即有两112a2a ,b22相等的实根(当b-4ac=0时，•根据平方根的意义=0，所以x=x=，即个不bac,4122a 2有两个相等的实根;当b-4ac<0时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以没有实数 22解( 因此，(结论)(1)当b-4ac>0时，一元二次方程ax+bx+c=0(a?0)•有两个不 22,，,bbac4,,,bbac4相等实数根即x=，x=( (2)当b-4ac=0时，一元122a2a ,b22二次方程ax+bx+c=0(a?0)有两个相等实数根即x=x=( (3)当b-4ac<0时，122a 2一元二次方程ax+bx+c=0(a?0)没有实数根( 例1(不解方程，判定方程根的情况 2222 (1)16x+8x=-3 (2)9x+6x+1=0 (3)2x-9x+8=0 (4)x-7x-18=0 分析:不解方程，判定根的情况，只需用b-4ac的值大于0、小于0、等于0•的情况 进行分析即可( 2 解:(1)化为16x+8x+3=0 2 这里a=16，b=8，c=3，b-4ac=64-4?16?3=-128<0 所以，方程没有实数根( 2 (2)a=9，b=6，c=1， b-4ac=36-36=0， ?方程有两个相等的实数根( 22 (3)a=2，b=-9，c=8 b-4ac=(-9)-4?2?8=81-64=17>0 ?方程有两个不相等的实根( 22 (4)a=1，b=-7，c=-18 b-4ac=(-7)-4?1?(-18)=121>0 ?方程有两个不相等的实根( 三、巩固练习 322不解方程判定下列方程根的情况: (1)x+10x+26=0 (2)x-x-=0 (3)423x+6x-5=0 35 11222 (4)4x-x+=0 (5)x-3x-=0 (6)4x-6x=0 (7)x(2x-4)416 =5-8x 四、应用拓展 2 例2(若关于x的一元二次方程(a-2)x-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集(用含a的式子表示)( 分析:要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、 22负或0(因为一元二次方程(a-2)x-2ax+a+1=0没有实数根，即(-2a)-4(a-2)(a+1)<0就可求出a的取值范围( 22 解:?关于x的一元二次方程(a-2)x-2ax+a+1=0没有实数根(?(-2a)-4(a-2) 322(a+1)=4a-4a+4a+8<0 a<-2 ?ax+3>0即ax>-3 ?x<- ?所求不等式的a 3解集为x<- a 五、归纳小结 22 本节课应掌握: b-4ac>0一元二次方程ax+bx+c=0(a?0)有两个不相等的实, 222根;b-4ac=0 一元二次方程ax+bx+c=0(a?0)有两个相等的实根;b-4ac<0一,, 2元二次方程ax+bx+c=0(a?0)没有实数根及其它的运用( 六、布置作业 1(教材P 复习巩固6 综合运用9 拓广探索1、2( 2(选用课时作业设计( 46 第五课时作业设计 一、选择题 2 1(以下是方程3x-2x=-1的解的情况，其中正确的有( )( 22A(?b-4ac=-8，?方程有解 B(?b-4ac=-8，?方程无解 22 C(?b-4ac=8，?方程有解 D(?b-4ac=8，?方程无解 2 2(一元二次方程x-ax+1=0的两实数根相等，则a的值为( )( A(a=0 B(a=2或a=-2 C(a=2 D(a=2或a=0 2 3(已知k?1，一元二次方程(k-1)x+kx+1=0有根，则k的取值范围是( )( 36 A(k?2 B(k>2 C(k<2且k?1 D(k为一切实数 二、填空题 2 1(已知方程x+px+q=0有两个相等的实数，则p与q的关系是________( 2 2(不解方程，判定2x-3=4x的根的情况是______(•填“二个不等实根”或“二个相等实根或没有实根”)( 22 3(已知b?0，不解方程，试判定关于x的一元二次方程x-(2a+b)x+(a+ab-2b)•=0的根的情况是________( 三、综合提高题 1(不解方程，试判定下列方程根的情况( 2233 (1)2+5x=3x (2)x-(1+2)x++4=0 2 2(当c<0时，判别方程x+bx+c=0的根的情况( 2 3(不解方程，判别关于x的方程x-2kx+(2k-1)=0的根的情况( 4(某集团公司为适应市场竞争，赶超世界先进水平，每年将销售总额的8%作为新产品开发研究资金，该集团2000年投入新产品开发研究资金为4000万元，2002年销售总额为7.2亿元，求该集团2000年到2002年的年销售总额的平均增长率( 答案: 2一、1(B 2(B 3(D 二、1(p-4q=0 2(有两个不等实根 3(有两个不等实根 222三、1((1)化为3x-5x-2=0 b-4ac=(-5)-4?3?(-2)=49>0，有两个不等实根( 233(2)b-4ac=1+4+12-4-16=-3<0，没有实根( 22(?c<0 ?b-4?1?c>0，方程有两个不等的实根( 22223(b-4ac=4k-4(2k-1)=4k-8k+4=4(k-1)?0，•?方程有两个不相等的实根或相等的实根( 40000000224(设平均增长率为x，(1+x)=720000000，即50(1+x)=72 解得x=20%， 8% ?年销售总额的平均增长率是20%( 22.2.5 因式分解法 37 教学内容 用因式分解法解一元二次方程( 教学目标 掌握用因式分解法解一元二次方程( 通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法??因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题( 重难点关键 1(重点:用因式分解法解一元二次方程( 2(•难点与关键:让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便( 教学过程 一、复习引入 (学生活动)解下列方程( 22 (1)2x+x=0(用配方法) (2)3x+6x=0(用公式法) 老师点评:(1)配方法 11112将方程两边同除以2后，x前面的系数应为，的一半应为，因此，应加上()，2244 12同时减去()((2)直接用公式求解( 4 二、探索新知 (学生活动)请同学们口答下面各题( (老师提问)(1)上面两个方程中有没有常数项, (2)等式左边的各项有没有共同因式, 2 (学生先答，老师解答)上面两个方程中都没有常数项;左边都可以因式分解:2x+x=x 2(2x+1)，3x+6x=3x(x+2) 因此，上面两个方程都可以写成: (1)x(2x+1)=0 (2)3x(x+2)=0 因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是(1)x=0或2x+1=0， 1所以x=0，x=-( 122 38 (2)3x=0或x+2=0，所以x=0，x=-2( 12 因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法( 例1(解方程 22 (1)4x=11x (2)(x-2)=2x-4 分析:(1)移项提取公因式x;(2)等号右侧移项到左侧得-2x+4提取-2因式，即-2(x-2)，再提取公因式x-2，便可达到分解因式;一边为两个一次式的乘积，•另一边为0的形式 2 解:(1)移项，得:4x-11x=0 因式分解，得:x(4x-11)=0 于是，得:x=0 11或4x-11=0 x=0，x= 124 22 (2)移项，得(x-2)-2x+4=0 (x-2)-2(x-2)=0 因式分解，得:(x-2)(x-2-2)=0 整理，得:(x-2)(x-4)=0 于是，得x-2=0或x-4=0 x=2，x=4 12 22abab，22,, 例2(已知9a-4b=0，求代数式的值( baab 22abab，,, 分析:要求的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出baab a与b的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比较容易发生错误( 2222ababb,,,222,, 解:原式= ?9a-4b=0 ?(3a+2b)(3a-2b)=0 aba 2222b3a+2b=0或3a-2b=0，a=-b或a=b 当a=-b时，原式=-=3 当2333,b32a=b时，原式=-3( 3 三、巩固练习 39 教材P 练习1、2( 45 四、应用拓展 22 例3(我们知道x-(a+b)x+ab=(x-a)(x-b)，那么x-(a+b)x+ab=0就可转化为(x-a)(x-b)=0，请你用上面的方法解下列方程( 222 (1)x-3x-4=0 (2)x-7x+6=0 (3)x+4x-5=0 22 分析:二次三项式x-(a+b)x+ab的最大特点是x项是由x?x而成，常数项ab是由-a?(-b)而成的，而一次项是由-a?x+(-b?x)交叉相乘而成的(根据上面的分析，•我们可以对上面的三题分解因式( 2 解(1)?x-3x-4=(x-4)(x+1) ?(x-4)(x+1)=0 ?x-4=0或x+1=0 ?x=4，x=-1 12 2 (2)?x-7x+6=(x-6)(x-1) ?(x-6)(x-1)=0 ?x-6=0或x-1=0 ?x=6，x=1 12 2 (3)?x+4x-5=(x+5)(x-1) ?(x+5)(x-1)=0 ?x+5=0或x-1=0 ?x=-5，x=1 12 上面这种方法，我们把它称为十字相乘法( 五、归纳小结 本节课要掌握: (1)用因式分解法，即用提取公因式法、•十字相乘法等解一元二次方程及其应用( (2)三种方法(配方法、公式法、因式分解法)的联系与区别: 联系?降次，即它的解题的基本思想是:将二次方程化为一次方程，即降次( ?公式法是由配方法推导而得到( ?配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程( 区别:?配方法要先配方，再开方求根( ?公式法直接利用公式求根( ?因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，•再分别使各一次因式等于0( 40 六、布置作业 教材P 复习巩固5 综合运用8、10 拓广探索11( 46 第六课时作业设计 一、选择题 1(下面一元二次方程解法中，正确的是( )( A((x-3)(x-5)=10?2，?x-3=10，x-5=2，?x=13，x=7 12 232 B((2-5x)+(5x-2)=0，?(5x-2)(5x-3)=0，?x= ，x= 1255 22 C((x+2)+4x=0，?x=2，x=-2 D(x=x 两边同除以x，得x=1 12 22 2(下列命题?方程kx-x-2=0是一元二次方程;?x=1与方程x=1是同解方程;?方 2程x=x与方程x=1是同解方程;?由(x+1)(x-1)=3可得x+1=3或x-1=3，其中正确的命题有( )( A(0个 B(1个 C(2个 D(3个 2 3(如果不为零的n是关于x的方程x-mx+n=0的根，那么m-n的值为( )( 11 A(- B(-1 C( D(1 22 二、填空题 2 1(x-5x因式分解结果为_______;2x(x-3)-5(x-3)因式分解的结果是______( 2 2(方程(2x-1)=2x-1的根是________( 22 3(二次三项式x+20x+96分解因式的结果为________;如果令x+20x+96=0，那么它的两个根是_________( 三、综合提高题 1(用因式分解法解下列方程( 2222 (1)3y-6y=0 (2)25y-16=0 (3)x-12x-28=0 (4)x-12x+35=0 2(已知(x+y)(x+y-1)=0，求x+y的值( 3(今年初，湖北武穴市发生禽流感，某养鸡专业户在禽流感后，打算改建养鸡场， 2建一个面积为150m的长方形养鸡场(为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙 41 长am，另三边用竹篱围成，如果篱笆的长为35m，问鸡场长与宽各为多少,(其中a?20m) 答案: 1一、1(B 2(A 3(D 二、1(x(x-5)，(x-3)(2x-5) 2(x=，x=1 3((x+12)122(x+8)，x=-12，x=-8 12 422三、1((1)3y(y-2)=0，y=0，y=2 (2)(5y)-4=0 (5y+4)(5y-4)=0，y=-，1015 4y= 25 (3)•(x-14)(x+2)=0 x=14，x=-2 (4)(x-7)(x-5)=0 x=7，x=5 12122(x+y=0或x+y-1=0，即x+y=0或x+y=1 3(设宽为x，则长为35-2x，依题意，得x(35-2x)=150 22x-35x+150=0 (2x-15)(x-10)=0，x=7.5，x=10，当宽x=7.5时，长为35-2x=20， 121 当宽x=10时，长为15，因a?20m，两根都满足条件( 22.3 实际问题与一元二次方程(1) 教学内容 由“倍数关系”等问题建立数学模型，并通过配方法或公式法或分解因式法解决实际 问题( 教学目标 掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题( 通过复习二元一次方程组等建立数学模型，并利用它解决实际问题，引入用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决实际问题( 重难点关键 1(重点:用“倍数关系”建立数学模型 2(难点与关键:用“倍数关系”建立数学模型 教学过程 一、复习引入 (学生活动)问题1:列方程解应用题 42 下表是某一周甲、乙两种股票每天每股的收盘价(收盘价:股票每天交易结果时的价格): 星期 一 二 三 四 五 甲 12元 12.5元 12.9元 12.45元 12.75元 乙 13.5元 13.3元 13.9元 13.4元 13.75元 某人在这周内持有若干甲、乙两种股票，若按照两种股票每天的收盘价计算(不计手续费、税费等)，则在他帐户上，星期二比星期一增加200元，•星期三比星期二增加1300元，这人持有的甲、乙股票各多少股, 老师点评分析:一般用直接设元，即问什么就设什么，即设这人持有的甲、乙股票各x、y张，由于从表中知道每天每股的收盘价，因此，两种股票当天的帐户总数就是x或y乘以相应的每天每股的收盘价，再根据已知的等量关系;星期二比星期一增加200元，星期三比星期二增加1300元，便可列出等式( 解:设这人持有的甲、乙股票各x、y张( x,1000(股)0.5(0.2)200xy，,,,, 则 解得 答:(略) ,,0.40.61300xy，,y,1500(股),, 二、探索新知 上面这道题大家都做得很好，这是一种利用二元一次方程组的数量关系建立的数学模型，那么还有没有利用其它形式，也就是利用我们前面所学过的一元二次方程建立数学模型解应用题呢,请同学们完成下面问题( (学生活动)问题2:某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少, 老师点评分析:直接假设二月份、三月份生产电视机平均增长率为x(•因为一月份是1万台，那么二月份应是(1+x)台，三月份应是在二月份的基础上以二月份比一月份增长 2的同样“倍数”增长，即(1+x)+(1+x)x=(1+x)，那么就很容易从第一季度总台数列出等式( 2 解:设二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率为x，则1+(1+x)+(1+x)•=3.31 43 22 去括号:1+1+x+1+2x+x=3.31 整理，得:x+3x-0.31=0 解得:x=10% 答:(略) 以上这一道题与我们以前所学的一元一次、二元一次方程(组)、分式方程等为背景建立数学模型是一样的，而我们借助的是一元二次方程为背景建立数学模型来分析实际问题和解决问题的类型( 例1(某电脑公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、•二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率( 分析:设这个增长率为x，由一月份的营业额就可列出用x表示的二、三月份的营业额，又由三月份的总营业额列出等量关系( 22 解:设平均增长率为x 则200+200(1+x)+200(1+x)=950 整理，得:x+3x-1.75=0 解得:x=50% 答:所求的增长率为50%( 三、巩固练习 (1)某林场现有木材a立方米，预计在今后两年内年平均增长p%，那么两年后该林场有木材多少立方米? (2)某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为x，可列出方程为__________( 四、应用拓展 例2(某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率( 分析:设这种存款方式的年利率为x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000+2000x?80%;第二次存，本金就变为1000+2000x?80%，其它依此类推( 解:设这种存款方式的年利率为x 则:1000+2000x?80%+(1000+2000x?8%)x?80%=1320 整理，得: 221280x+800x+1600x=320，即8x+15x-2=0 44 1 解得:x=-2(不符，舍去)，x==0.125=12.5% 答:所求的年利率是12(5%( 128 五、归纳小结 本节课应掌握: 利用“倍数关系”建立关于一元二次方程的数学模型，并利用恰当方法解它( 六、布置作业 1(教材P 复习巩固1 综合运用1( 2(选用作业设计( 53 作业设计 一、选择题 1(2005年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家，后来二、•三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x，依题意列出的方程是( )( 22 A(100(1+x)=250 B(100(1+x)+100(1+x)=250 22 C(100(1-x)=250 D(100(1+x) 2(一台电视机成本价为a元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，•所以就按销售价的70%出售，那么每台售价为( )( A((1+25%)(1+70%)a元 B(70%(1+25%)a元 C((1+25%)(1-70%)a元 D((1+25%+70%)a元 3(某商场的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，•售价的折扣(即降低的百分数)不得超过d%，则d可用p表示为( )( 100p100pp A( B(p C( D( 100，p100，p1000,p 二、填空题 1(某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x，第一年的产量为6万kg，•第二年的产量为_______kg，第三年的产量为_______，三年总产量为_______( 2(某糖厂2002年食糖产量为at，如果在以后两年平均增长的百分率为x，•那么预计2004年的产量将是________( 3(•我国政府为了解决老百姓看病难的问题，•决定下调药品价格，•某种药品在1999年 45 涨价30%•后，•2001•年降价70%•至a•元，•则这种药品在1999•年涨价前价格是__________( 三、综合提高题 1(为了响应国家“退耕还林”，改变我省水土流失的严重现状，2000年我省某地退耕还林1600亩，计划到2002年一年退耕还林1936亩，问这两年平均每年退耕还林的平均增长率2(洛阳东方红拖拉机厂一月份生产甲、乙两种新型拖拉机，其中乙型16台，•从二月份起，甲型每月增产10台，乙型每月按相同的增长率逐年递增，又知二月份甲、乙两型的产量之比是3:2，三月份甲、乙两型产量之和为65台，•求乙型拖拉机每月的增长率及甲型拖拉机一月份的产量( 3(某商场于第一年初投入50万元进行商品经营，•以后每年年终将当年获得的利润与当年年初投入的资金相加所得的总资金，作为下一年年初投入的资金继续进行经营( (1)如果第一年的年获利率为p，那么第一年年终的总资金是多少万元?(•用代数式 年利润来表示)(注:年获利率=?100%) 年初投入资金 (2)如果第二年的年获利率多10个百分点(即第二年的年获利率是第一年的年获利率与10%的和)，第二年年终的总资金为66万元，求第一年的年获利率( 答案: 22一、1(B 2(B 3(D 二、1(6(1+x) 6(1+x) 6+6(1+x)+6(1+x) 100a22(a(1+x)t 3( 39 2三、1(平均增长率为x，则1600(1+x)=1936，x=10% 2(设乙型增长率为x，甲型一月份产量为y: y，103,,yx,，2414,,16(1)2，x 则 ,,21632290xyx，，,,2,,(20)16(1)65yx，，，,, 12 即16x+56x-15=0，解得x==25%，y=20(台) 4 23((1)第一年年终总资金=50(1+P) (2)50(1+P)(1+P+10%)=66，整理得:P+2.1P-0.22=0， 46 解得P=10% 22.3 实际问题与一元二次方程(2) 教学内容 建立一元二次方程的数学模型，解决如何全面地比较几个对象的变化状况( 教学目标 掌握建立数学模型以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题( 复习一种对象变化状况的解题过程，引入两种或两种以上对象的变化状况的解题方法( 重难点关键 1(重点:如何全面地比较几个对象的变化状况( 2(难点与关键:某些量的变化状况，不能衡量另外一些量的变化状况( 教学过程 一、复习引入 (学生活动)请同学们独立完成下面的题目( 问题:某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，•商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元? 老师点评:总利润=每件平均利润?总件数(设每张贺年卡应降价x元，•则每件平均 x利润应是(0.3-x)元，总件数应是(500+?100) 0.1 100x 解:设每张贺年卡应降价x元 则(0.3-x)(500+)=120 解得:x=0.1 0.1 答:每张贺年卡应降价0.1元( 二、探索新知 刚才，我们分析了一种贺年卡原来平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了减 47 少库存降价销售，并知每降价0.1元，便可多售出100元，为了达到某个目的，每张贺年卡应降价多少元?如果本题中有两种贺年卡或者两种其它东西，量与量之间又有怎样的关系呢?即绝对量与相对量之间的关系( 例1(某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，乙种贺年卡平均每天可售出200张，每张盈利0.75元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张;如果乙种贺年卡的售价每降价0.25元，•那么商场平均每天可多售出34•张(•如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元，那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大( 0.30.75100 分析:原来，两种贺年卡平均每天的盈利一样多，都是150元;，,,0.10.2534从这些数目看，•好象两种贺年卡每张降价的绝对量一样大，下面我们就通过解题来说明这个问题( 解:(1)从“复习引入”中，我们可知，商场要想平均每天盈利120元，甲种贺年卡应降价0.1元( y (2)乙种贺年卡:设每张乙种贺年卡应降价y元， 则:(0.75-y)(200+?0.2534)=120 ,,49648132 即(-y)(200+136y)=120 整理:得68y+49y-15=0 y= 268，4 ?y?-0.98(不符题意，应舍去) y?0.23元 答:乙种贺年卡每张降价的绝对量大( 因此，我们从以上一些绝对量的比较，不能说明其它绝对量或者相对量也有同样的变化规律( (学生活动)例2(两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t•乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t•乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大? 48 老师点评: 绝对量:甲种药品成本的年平均下降额为(5000-3000)?2=1000元，•乙种药品成本的年平均下降额为(6000-3000)?2=1200元，显然，•乙种药品成本的年平均下降额较大( 相对量:从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢?下面我们通过计算来说明这个问题( 解:设甲种药品成本的年平均下降率为x， 则一年后甲种药品成本为5000(1-x)元，两年后甲种药品成本为5000(1-x)元( 2 依题意，得5000(1-x)=3000 解得:x?0.225，x?1.775(不合题意，舍去) 12 2 设乙种药品成本的平均下降率为y( 则:6000(1-y)=3600 整理，得:(1-y)2=0.6 解得:y?0.225 答:两种药品成本的年平均下降率一样大( 因此，虽然绝对量相差很多，但其相对量也可能相等( 三、巩固练习 新华商场销售甲、乙两种冰箱，甲种冰箱每台进货价为2500元，市场调研表明:当销售价为2900元时，平均每天能售出8台;而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台(乙种冰箱每台进货价为2000元，市场调研表明:当销售价为2500元时，•平均每天能售出8台;而当销售价每降低45元时，平均每天就能多售出4台，•商场要想使这两种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，那么两种冰箱的定价应各是多少? 四、应用拓展 例3(某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，•据市场分析，•若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题: (1)当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润( (2)设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式( (3)商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少? 49 分析:(1)销售单价定为55元，比原来的销售价50元提高5元，因此，销售量就减少5?10kg( (2)销售利润y=(销售单价x-销售成本40)?销售量[500-10(x-50)] 10000 (3)月销售成本不超过10000元，那么销售量就不超过=250kg，在这个提前40 下，•求月销售利润达到8000元，销售单价应为多少( 解:(1)销售量:500-5?10=450(kg);销售利润:450?(55-40)=450?15=6750元 2 (2)y=(x-40)[500-10(x-50)]=-10x+1400x-40000 (3)由于水产品不超过10000?40=250kg，定价为x元，则(x-400)[500-10(x-50)]=8000 解得:x=80，x=60 12 当x=80时，进货500-10(80-50)=200kg<250kg，满足题意( 1 当x=60时，进货500-10(60-50)=400kg>250kg，(舍去)( 2 五、归纳小结 本节课应掌握: 建立多种一元二次方程的数学建模以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题( 六、布置作业 1(教材P 复习巩固2 综合运用7、9( 53 2(选用作业设计: 一、选择题 1(一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共( )( A(12人 B(18人 C(9人 D(10人 2(某一商人进货价便宜8%，而售价不变，那么他的利润(按进货价而定)可由目前x增加到(x+10%)，则x是( )( A(12% B(15% C(30% D(50% 50 3(育才中学为迎接香港回归，从1994年到1997年四年内师生共植树1997棵，已知该校1994年植树342棵，1995年植树500棵，如果1996年和1997年植树的年增长率相同，那么该校1997年植树的棵数为( )( A(600 B(604 C(595 D(605 二、填空题 1(一个产品原价为a元，受市场经济影响，先提价20%后又降价15%，现价比原价多_______%( 2(甲用1000元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票转卖给乙，获利10%，乙而后又将这手股票返卖给甲，但乙损失了10%，•最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这手股票卖出，在上述股票交易中，甲盈了_________元( 3(一个容器盛满纯药液63L，第一次倒出一部分纯药液后用水加满，•第二次又倒出同样多的药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是28L，设每次倒出液体xL，•则列出的方程是________( 三、综合提高题 1(上海甲商场七月份利润为100万元，九月份的利率为121万元，乙商场七月份利率为 200万元，九月份的利润为288万元，那么哪个商场利润的年平均上升率较大? 2(某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，•现准备多种一些桃树以提高产 量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，•如果要使产量增 加15.2%，那么应多种多少棵桃树? 3(某玩具厂有4个车间，某周是质量检查周，现每个车间都原有a(a>0)个成品，且每 个车间每天都生产b(b>0)个成品，质量科派出若干名检验员周一、•周二检验其中 两个车间原有的和这两天生产的所有成品，然后，周三到周五检验另外两个车间原有 的和本周生产的所有成品，假定每名检验员每天检验的成品数相同( (1)这若干名检验员1天共检验多少个成品?(用含a、b的代数式表示) 4 (2)若一名检验员1天能检验b个成品，则质量科至少要派出多少名检验员? 5 答案: 51 28x2一、1(C 2(B 3(D 二、1(2 2(1 3((1-)= 6363 2三、1(甲:设上升率为x，则100(1+x)=121，x=10% 乙:设上升率为y，则200(1+y)2=288，y=20%， 那么乙商场年均利润的上升率大( 2(设多种x棵树，则(100+x)(1000-2x)=100?1000?(1+15.2%)•，• 2整理，•得:•x-400x+7600=0，(x-20)(x-380)=0，解得x=20，x=380 12 222ab，，225ab，，3((1)=a+2b或 32 210ab， (2)因为假定每名检验员每天检验的成品数相同( 所以a+2b=，解得:3a=4b 4430 所以(a+2b)?b=6b?b==7.5(人) 所以至少要派8名检验员( 554 22.3 实际问题与一元二次方程(3) 教学内容 根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题( 教学目标 掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题( 利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课，解决新课中的问题( 重难点关键 1(•重点:根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题( 2(•难点与关键:根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型( 教学过程 一、复习引入 (口述)1(直角三角形的面积公式是什么,•一般三角形的面积公式是什么呢, 52 2(正方形的面积公式是什么呢,长方形的面积公式又是什么, 3(梯形的面积公式是什么, 4(菱形的面积公式是什么, 5(平行四边形的面积公式是什么, 6(圆的面积公式是什么, (学生口答，老师点评) 二、探索新知 现在，我们根据刚才所复习的面积公式来建立一些数学模型，解决一些实际问题( 2 例1(某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m，•上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m( 3 (1)渠道的上口宽与渠底宽各是多少, (2)如果计划每天挖土48m，需要多少天才能把这条渠道挖完, 分析:因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为xm，则上口宽为x+2，•渠底为x+0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建模( 解:(1)设渠深为xm 则渠底为(x+0.4)m，上口宽为(x+2)m 142 依题意，得:(x+2+x+0.4)x=1.6 整理，得:5x+6x-8=0 解得:x==0.8m，125x=-2(舍) 2 ?上口宽为2.8m，渠底为1.2m( 1.6750， (2)=25天 答:渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和1.2m;需要25天48 才能挖完渠道( 学生活动:例2(如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，•正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，•如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，•应如何设计四周边衬的宽度(精确到0.1cm), 九 年 老师点评:依据题意知:中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之级 练数 学 习比,9:7，•由此可以判定:上下边衬宽与左右边衬宽之比为9:7，设同步上、下边衬的宽均为9xcm，•则左、右边衬的宽均为7xcm，依题意， 53 得:中央矩形的长为(27-18x)cm，宽为(21-14x)cm( 1 因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的，则中央矩形的面积是封面面积的( 4 32 所以(27-18x)(21-14x)=?27?21 整理，得:16x-48x+9=0 解方程，得:4 633,x=， 4 x?2.8cm，x?0.2 所以:9x=25.2cm(舍去)，9x=1.8cm，7x=1.4cm 12122 因此，上下边衬的宽均为1.8cm，左、右边衬的宽均为1.4cm( 三、巩固练习 有一张长方形的桌子，长6尺，宽3尺，有一块台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少?(精确到0(1尺) 四、应用拓展 例3(如图(a)、(b)所示，在?ABC中?B=90?，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A•开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动( 2 (1)如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟，使S=8cm( ?PBQ (2)如果P、Q分别从A、B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q到C• 2后又继续在CA边上前进，经过几秒钟，使?PCQ的面积等于12.6cm((友情提示:过点 DQCQQ•作DQ?CB，垂足为D，则:) ,ABAC C C Q QD P APBA(a)B(b) www.czsx.com.cnwww.czsx.com.cn 54 2 分析:(1)设经过x秒钟，使S=8cm，那么AP=x，PB=6-x，QB=2x，由面积公式便?PBQ 可得到一元二次方程的数学模型( 2 (2)设经过y秒钟，这里的y>6使?PCQ的面积等于12.6cm(因为AB=6，BC=8，由勾股定理得:AC=10，又由于PA=y，CP=(14-y)，CQ=(2y-8)，又由友情提示，便可得到DQ，那么根据三角形的面积公式即可建模( 2 解:(1)设x秒，点P在AB上，点Q在BC上，且使?PBQ的面积为8cm( 12 则:(6-x)?2x=8 整理，得:x-6x+8=0 解得:x=2，x=4 122 ?经过2秒，点P到离A点1?2=2cm处，点Q离B点2?2=4cm处，经过4秒，点P到离A点1?4=4cm处，点Q离B点2?4=8cm处，所以它们都符合要求( (2)设y秒后点P移到BC上，且有CP=(14-y)cm，点Q在CA上移动，且使CQ=(2y-8) DQCQcm，过点Q作DQ?CB，垂足为D，则有 ?AB=6，BC=8 ,ABAC 6(28)6(4)yy,,122 ?由勾股定理，得:AC==10 ?DQ= 则:68，,2105 6(4)y,(14-y)?=12.6 5 2 整理，得:y-18y+77=0 解得:y=7，y=11 12 即经过7秒，点P在BC上距C点7cm处(CP=14-y=7)，点Q在CA上距C点6cm处 2(CQ=•2y-8=6)，使?PCD的面积为12.6cm( 经过11秒，点P在BC上距C点3cm处，点Q在CA上距C点14cm>10， ?点Q已超过CA的范围，即此解不存在( ?本小题只有一解y=7( 1 五、归纳小结 本节课应掌握: 利用已学的特殊图形的面积公式建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题( 六、布置作业 1(教材P 综合运用5、6 拓广探索全部( 53 55 2(选用作业设计: 一、选择题 1(直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为( )( 3738 A( B(5 C( D(7 2(有两块木板，第一块长是宽的2倍，第二块的长比第一块的长少2m，宽是第一块宽的 23倍，已知第二块木板的面积比第一块大108m，这两块木板的长和宽分别是( )( A(第一块木板长18m，宽9m，第二块木板长16m，宽27m; B(第一块木板长12m，宽6m，第二块木板长10m，宽18m; C(第一块木板长9m，宽4.5m，第二块木板长7m，宽13.5m; D(以上都不对 23(从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm，则原来的正方形铁片的面积是( )( 22 A(8cm B(64cm C(8cm D(64cm 二、填空题 21(矩形的周长为8，面积为1，则矩形的长和宽分别为________( 22(长方形的长比宽多4cm，面积为60cm，则它的周长为________( 3(如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长 2为35m，所围的面积为150m，则此长方形鸡场的长、宽分别为_______( 三、综合提高题 1(如图所示的一防水坝的横截面(梯形)，坝顶宽3m，背水坡度为1:2， 2迎水坡度为1:1，若坝长30m，完成大坝所用去的土方为4500m，问水CD CF1DE1坝的高应是多少?(说明:•背水坡度=，迎水坡度)(精,2BFAE1 确到0.1m) EBAF22(在一块长12m，宽8m的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为8m•www.czsx.com.cn 56 的长方形花台，要使花坛四周的宽地宽度一样，则这个宽度为多少? 3(谁能量出道路的宽度: 如图22-10，有矩形地ABCD一块，要在中央修一矩形花辅EFGH，使其面积为这块地面积的一半，且花圃四周道路的宽相等，今无测量工具，•只有无刻度的足够长的绳子一条，如何量出道路的宽度? 请同学们利用自己掌握的数学知识来解决这个实际问题，相信你一定能行( CD GH答案: 77一、1(B 2(B 3(D 二、1(22+ 22- 2(32cm FE 3(20m和7.5m或15m和10m BAwww.czsx.com.cn三、1(设坝的高是x，则AE=x，BF=2x，AB=3+3x，依题意，得: 1(3+3+3x)x?30=4500 2 ,，220.102 整理，得:x+2x-100=0 解得x?即x?9.05(m) 2 232(设宽为x，则12?8-8=2?8x+2(12-2x)x 整理，得:x-10x+22=0 解得:x=5+1 3(舍去)，x=5- 2 113(设道路的宽为x，AB=a，AD=b 则(a-2x)(b-2x)=ab 解得:x= [(a+b)24 22-] ab， 22 量法为:用绳子量出AB+AD(即a+b)之长，从中减去BD之长(对角线BD=)，ab， 22ABADBD，,abab，,，得L=•AB+AD-BD，再将L对折两次即得到道路的宽，即( 44 22.3 实际问题与一元二次方程(4) 教学内容 运用速度、时间、路程的关系建立一元二次方程数学模型解决实际问题( 57 教学目标 掌握运用速度、时间、路程三者的关系建立数学模型并解决实际问题( 通过复习速度、时间、路程三者的关系，提出问题，用这个知识解决问题( 重难点关键 1(重点:通过路程、速度、时间之间的关系建立数学模型解决实际问题( 2(难点与关键:建模( 教学过程 一、复习引入 (老师口问，学生口答)路程、速度和时间三者的关系是什么, 二、探究新知 我们这一节课就是要利用同学们刚才所回答的“路程,速度?时间”来建立一元二次方程的数学模型，并且解决一些实际问题( 请思考下面的二道例题( 例1(某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程s(m)和时间t(s)•之间的关系为: 2•s=10t+3t，那么行驶200m需要多长时间? 分析:这是一个加速运运，根据已知的路程求时间，因此，只要把s=200•代入求关系t的一元二次方程即可( 2022 解:当s=200时，3t+10t=200，3t+10t-200=0 解得t=(s) 答:行驶200m3 20需s( 3 例2(一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面有情况，•紧急刹车后汽车又滑行25m后停车( (1)从刹车到停车用了多少时间?(2)•从刹车到停车平均每秒车速减少多少? (3)刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间(精确到0.1s)? 分析:(1)刚刹车时时速还是20m/s，以后逐渐减少，停车时时速为0(•因为刹车以后，其速度的减少都是受摩擦力而造成的，所以可以理解是匀速的，因此，其平均速度为200，=10m/s，那么根据:路程=速度?时间，便可求出所求的时间( 2 58 (2)很明显，刚要刹车时车速为20m/s，停车车速为0，车速减少值为20-0=20，因为车速减少值20，是在从刹车到停车所用的时间内完成的，所以20除以从刹车到停车的时间即可( (3)设刹车后汽车滑行到15m时约用除以xs(•由于平均每秒减少车速已从上题求出，所以便可求出滑行到15米的车速，从而可求出刹车到滑行到15m的平均速度，再根据:路程=速度?时间，便可求出x的值( 200， 解:(1)从刹车到停车所用的路程是25m;从刹车到停车的平均车速是=10(m/s) 2 25 那么从刹车到停车所用的时间是=2.5(s) 10 (2)从刹车到停车车速的减少值是20-0=20 从刹车到停车每秒平均车速减少值是20=8(m/s) 2.5 (3)设刹车后汽车滑行到15m时约用了xs，这时车速为(20-8x)m/s 20(208)，,x 则这段路程内的平均车速为=(20-4x)m/s 所以x(20-4x)=15 2 2整理得:4x-20x+15=0 510, 解方程:得x= x?4.08(不合，舍去)，x?0.9(s) 122 答:刹车后汽车行驶到15m时约用0.9s( 三、巩固练习 (1)同上题，求刹车后汽车行驶10m时约用了多少时间((精确到0.1s) (2)刹车后汽车行驶到20m时约用了多少时间((精确到0.1s) 四、应用拓展 例3(如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，•在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头:•小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一般补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰( (1)小岛D和小岛F相距多少海里? 59 (2)已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，•那么相遇时补给船航行了多少海里?(结果精确到0.1海里) A 分析:(1)因为依题意可知?ABC是等腰直角三角形，?DFCD也是等腰直角三角形，AC可求，CD就可求，因此由勾股定理便 可求DF的长( BEFC www.czsx.com.cn (2)要求补给船航行的距离就是求DE的长度，DF已求， 因此，只要在Rt?DEF中，由勾股定理即可求( 解:(1)连结DF，则DF?BC ?AB?BC，AB=BC=200海里( 1?AC=AB=200海里，?C=45? ?CD=AC=100海里 DF=CF， 2222 222DF=CD ?DF=CF=CD=?1002=100(海里) 所以，小岛D和小岛F相22 距100海里( (2)设相遇时补给船航行了x海里，那么DE=x海里，AB+BE=2x海里， EF=AB+BC-(AB+BE)-CF=(300-2x)海里 在Rt?DEF中，根据勾股定理可得方程 2222 x=100+(300-2x) 整理，得3x-1200x+100000=0 解这个方程，得: 1006x=200-?118.4 13 1006 x=200+(不合题意，舍去) 所以，相遇时补给船大约航行了118.4海里( 23 五、归纳小结 本节课应掌握: 运用路程,速度?时间，建立一元二次方程的数学模型，并解决一些实际问题( 六、布置作业 1(教材P 综合运用9 P 复习题22 综合运用9( 2(选用作业设计: 5358 60 一、选择题 1(一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，•则这个两位数为( )( A(25 B(36 C(25或36 D(-25或-36 2(某种出租车的收费标准是:起步价7元(即行驶距离不超过3km都需付7元车费);超过3km以后，每增加1km，加收2.4元(不足1km按1km计)，某人乘出租车从甲地到乙地共支付车费19元，则此人从甲地到乙地经过的路程( )( A(正好8km B(最多8km C(至少8km D(正好7km 二、填空题 1(以大约与水平成45?角的方向，向斜上方抛出标枪，抛出的距离s(单位:m)•与标 2v枪出手的速度v(单位:m/s)之间大致有如下关系:s=+2 如果抛出40m，那么9.8 标枪出手时的速度是________(精确到0.1) 2(一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，•通过仪器观察得到小球滚动的距离s(m)与时间t(s)的数据如下: 时间t(s) 1 2 3 4 „„ 距离s(m) 2 8 18 32 „„ 写出用t表示s的关系式为_______( 三、综合提高题 1(一个小球以10m/s的速度在平坦地面上开始滚动，并且均匀减速，滚动20m后小球停下来( (1)小球滚动了多少时间? (2)平均每秒小球的运动速度减少多少? (3)小球滚动到5m时约用了多少时间(精确到0.1s)? 北2(某军舰以20节的速度由西向东航行，一艘电子侦察船以30•节的速 度由南向北航行，它能侦察出周围50海里(包括50海里)范围内A东的目标(如图，当该军舰行至A处时，电子侦察船正位于A处正南 B61 www.czsx.com.cn 方向的B处，且AB=90海里，•如果军船和侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰?如果能，•最早何时能侦察到?如果不能，请说明理由( 答案: 2 一、1(C 2(B二、1(19.3m/s 2(s=2t 100，20三、1((1)小球滚动的平均速度==5(m/s) 小球滚动的时间:=4(s) 52 100,(2)=2.5(m/s) (3)小球滚动到5m时约用了xs 平均速度4 10(102.5)，,x202.5,x== 22 202.5,x233 依题意，得:x?=5，整理得:x-8x+4=0 解得:x=4?2，所以x=4-2 2 222 2(能(设侦察船最早由B出发经过x小时侦察到军舰，则(90-30x)+(20x)=50 22 整理，得:13x-54x+56=0，即(13x-28)(x-2)=0，x=2，x=2，?最早再过21213 小时能侦察到( 第11课时 小结与复习(一) 教学目标 1、理清本章的知识结构，培养学生归纳能力。 2、掌握本章的有关概念，一元二次方程的四种解法——因式分解法、直接开平方法、配方、公式法。3、掌握本章的主要数学思想和方法。 重点难重 重点:一元二次方程解法。难点:选用适当的方法解一元二次方程。 教学过程 (一)复习引入 1、回顾本章的主要数学思想和方法。 本章主要的数学思想是化归与转化，即把需要解决或较难解决的问题，通过适当的方法，把它化归与转化为已经解决或较容易解决的问题，从而使问题 62 得以解决。如一元二次方程，通过“降次”转化为两个一元二次方程，降次的基本方法是因式分解法或直接开平方法，为了能这么做，往往要抚配方，即要把含未知数的项放在一个完全平方式里，再求解。也可以用一元二次方程的求根公工直接求解。配方法是一种非常重要的方法，由于配方的过程要进行较繁琐的运算，在解一元二次方程时，实际运用较少，但它是推导一元二次方程求根公式的基础，而且在今后学习二次函数等内容时，还将多次用到，是中学数中的重要方法，应熟练掌握这种方法。 2、理清本章的知识结构图。 请同学们用知识结构图将所学的有关一元二次方程的知识连接起来。 整理知识结构图的要求应根据学生具体情况而定，提供下面三种建议，供选用: 方法一 由学和自己设计知识结构图，而后全班行交流，互相补充，逐步完善。 方法二 教师引导学生设计知识结构图，然后全班交流。 方法三 教师给出知识结构图框架，由学生填上具体内容(参考课本P.29的知识结构图)。 说明:在知识结构图和教学过程中，既要注复习知识、方法，又要注意培养学生的归纳总结能力。 (二)讲解例题 例1 选择题: 22 (1)mx-3x+x=0是关于x的一元二次方程的条件是 ( ) A m=1 B m?-1 C m?0 D m为任意实数 2 (2)用配方法解方程4 x+4 x-15=0时将方程配方的结果是 ( ) 222 A(x+2)=19 B(2 x+1)=16 C(x+ )=4 D(x+1)2=4 答案:B C 2评注:(1)先把方程化成关于x的一元二次方程的一般形式(m+1)x-3x+2=0 63 然后确定m+1?0,即m?-1。 (2)配方法虽然在解一元二次方程时很少用，但配方法是一种很重要的数学方法，不可忽视。 例2 选择适当的方法解下列方程: 2222(1)(x-1)+ x(x-1)=0 (2)9(x-3)-4(x-2)=0 22(3)-2y+3= y (4)x+2 x-4=0 评注:1、公式法是解一元二次方程的一般方法，应掌握这种解一元二次方程的通法。 2、因式分解法、直接开平方法是解一元二次方程的特殊方法，要注意这两种方法适用的方程形式。 3、一般先看方程能否用因式分解法或直接开平方法求解，如不能用这两种方法再考虑用公式法解。 (三)巩固练习 1填空: 2(1)(k-1)x-kx+1=0是关于x的一元二次方程的条件是 。 (2)填写下表。 一元二次方程 一般形式 二次项数 一次项系数 常数项 23 x-5=2 x 2(x+1)=4 2πx=0 x(x + )=0 答案:(1)k?1。(2)见下表: 一元二次方程 一般形式 二次项系数 一次系数 常数项 223 x-5=2 x 3 x-2 x-5=0 3 -2 -5 2 2(x+1)=4 x+-3=0 1 2 -3 64 22x =0 x =0 π 0 0 2x(x+ )=0 x + x=0 1 0 2、选做课本复习题一中B组第1，2题。 (四)课堂小结 1、一元二次方程的一般形式是什么,2、解一元二次方程的四种方法所适用的方程的条件是什么, 3、怎么选择适当的法解一无二次方程, (五)思考与拓展 221、已知方程mx+mx+3m-x+x+2=0,当m 时，为一元二次方程;当m 时，为一元一次方程。答案:m?1，m=1 2、选做课本复习题一的C组题。 布置作业 课本复习题一中A组第1、2、3题。 第12课时 小结与复习(二) 教学目标 1、熟练运用一元二次方程解实际问题。 2、通过将一些实际问题抽象为方程模的过程，让学生形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题 ，理解问题，并能运用所学知识解决问题，体会数学的价值。 重点难点 重点:运用一元二次方程解实际问题。难点:找出问题中的等量关系，列出一元二次方程。 教学过程 (一)复习引入 学生交流讨论下列问题。1、运用一元二次方程解实际问题的一般步骤是什么,2、运用一元二次方程解实际问题关键是什么,3、运用一元二次方程解实际问题要注意什么, 65 (二)讲解例题 例1(某工厂生产一种产品，今年产量为200件，计划通过技术改造，使今后两年的产量都比前一年增一个相同的百分数，这样三年的总产量达到1400件，求这个百分数。 分析:此题是增长率问题，运用复利公式:Q=a(1+x)，通过列方程求出x的值。 [解]设这个百分数为x。则今后第一年的产量为200(1+x)件，今后第二 22年的产量为200(1+x)件，根据题意，得200+200(1+x)+200(1+x)=1400 2化简得x+3x-4=0，解得x=1，x=-4(不合题意，舍去)。所以x=1=100%答:121这个百分数为100% 评注:1、题中1400件是三年的总产量，不要误以为是今后第三年的产量。 2、运用一元二次方程解实际际问题时要注意检查求出的方程的解是否符合实际情况。 3、一般情况，增长率为百分数。 例2 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，根据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克;销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品和销售情况，请解答以下问题: (1)当销售单价为每千克55元时，计算月销售量和月销售利; (2)设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x之间的关系式; (3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润到达8000元，销售单价应定为多少, (4)要使得月销售利润达到9000元销售单价应定为多少, (5)有没有可能获取大于9000元的利润, [解](1)当销售单价定为每千克55元时， 月销售利润为:500-(55-50)?10=450(千克)所以月销售利润为:(55-40) 66 ?450=6750(元) (2)当销售单价为每千克x元时，月销售量为:500-(x-50)? 10=1000-10 x(千克)，而每千克的销售利润是x-40千克，所以月销售利润为y=(x-40) 2(1000-10 x)，即y=-10 x+1400 x-40000。 2(3)要使月销利润达到8000元，即y=8000，所以-10 x+1400 2x-40000=8000，即x+4800=0,解得x=60，x=80。 12 当销售单价为每千克x元时，月销售量为:500-(60-50)?10=400(千克)，月销售成本为:40?400=16000(元)。 当销售单价定为每千克60元时，月销售量为:500-(80-50)?10=200(千克)，月销售成本为:40?200=8000(元)。 由于8000,10000,16000，而月销售成本不超过10000元，所以销售单价应定为每千克80元。 (4)要使月销售利润达到9000元，即y=9000，所以 22-10x+1400x-40000=9000，即x-140x+4900=0，解得x=x=70，销售单价应定为12 每千克70元。 2(5)要获取大于9000元的利润，则y,9000，所以-10x+1400 x-40000 22,9000，即x-140 x+4900,0，(x-70),0无论x取何实数，此不等式都不成立。所以，没有可能获取大于9000元的利润。 评注(3)要注意“成本不超过10000元”这个限制条件，(5)仅供学有余力的同学思考。 (三)巩固练习 选做课本复习题一中B组第4、5题。 (四)课堂小结 运用一元二次方程解实问题的关键是:找出问题中的等量关系，以便引出方程，要注意检查求出的方程的解是否符合实际情况。 (五)思考拓展 一容器盛江满纯酒精63升，第一次倒出若干升后加水充满，第二次倒出同样升数的酒精溶液，再加水充满，这时容器内的纯酒精为28升。求每次倒出酒精容 67 液的升数。 分析:浓度问题，关键是利用基本关系式:浓度= [解] 设每次倒出x升，第一次倒出后剩下的纯精为63-x升，加水充满后酒精溶液的浓度是 ，第二次倒出纯酒精 ?x升，第二次倒出后剩下纯酒精(63-x)- 升。 根据题意，得(63-x)- =28 2即(63-x)(1- ) =2863(1- )=28所以1- =? x=21， x=105(不合题意，舍去) 12 答;每次倒出酒精溶液21升。 评注:本题也可以看作是增长率问题 ，因为每倒出相同体积的酒精溶液后，再用水充满，酒精溶液降低的浓度是相同的，此题 中每一次倒出相同体积 2的酒精溶液后，每次酒精降低的浓度均为由增长率问题可得出方程(1- )= 布置作业 课本复习题一中A组第4、5、6题 ，选做B组第3题 。 68