排列组合问题
1(有五对夫妇围成一圈,使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有( )
A 768种 B 32种 C 24种 D 2的10次方中
解:
根据乘法原理,分两步:
第一步是把5对夫妻看作5个整体,进行排列有5×4×3×2×1,120种不同的排法,但是因为是围成一个首尾相接的圈,就会产生5个5个重复,因此实际排法只有120?5,24种。
第二步每一对夫妻之间又可以相互换位置,也就是说每一对夫妻均有2种排法,总共又2×2×2×2×2,32种
综合两步,就有24×32,768种。
2 若把英语单词hello的字母写错了,则可能出现的错误共有 ( )
B 36种 C 59种 D 48种 A 119种
解:
5全排列5*4*3*2*1=120
有两个l所以120/2=60
原来有一种正确的所以60-1=59
3、“IMO”是国际数学奥林匹克的缩写,把这3个字母用3种不同颜色来写,现有5种不同颜色的笔,问共有多少钟 ...
:从5个元素中取3个的排列:P(5、3)=5×4×3=60
4、一个正方体,用6种颜色涂面,面与面之间颜色不同,问有多少种涂法,如果改为相邻面 ...
这里有详细的
思考过程。 第一问:首先要明确什么叫正方体面相同。因为任何一个都有可能为底面,确定底面,确定顶面再确定侧面是解这题的关键
先选一个颜色定一个底面,比如用色1,
5种颜色选一个在顶面 5中情况
4种颜色排成一圈是(4-1)~ 6种情况
5*6 =30
第二问
6种颜色都用:这个就与第一问相同了,完全是等价的问题,所以是30种。 只用5种颜色:先选定5种颜色C(5,6),然后只用5种颜色意味着有两面的颜色相同,那么这两面必然是相对着的,我们优先考虑这两面。那么相同的这两面的颜色共有5种选法。然后剩下4个面,注意此时这4个面不再是6种颜色都用的情况下的3~了,因为前面说了
~/2=3种。所以一共C(5,6)*5*3=90种。 有两面颜色一样,这样种数变成3
只用4种颜色:先选4种颜色:C(4,6)=15种,然后必须有两对面是相同的,C(2,4)=6种,那么剩下两个面就确定了,而且本来剩下两个面应该是有两种情况,但由于对称,导致情况唯一,所以一共15*6=90种。
只用3种颜色:先选3种颜色:C(3,6)=20种,然后必然是3对面颜色相同,所以情况唯一。因此是20种。
综上:30+90+90+20=230种。
从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作,则选派的
有几种(
解答:6×5×4×3=360(种)
小升初专题系列之排列组合知识点
来源:本站原创 文章作者:匿名 2009-08-17 14:49:02 [标签:排列组合 小升初]奥数精华资讯 免费订阅
解排列问题和组合问题时,当问题分成互斥各类时,根据加法原理,可用 分类法;当问题考虑先后次序时,根据乘法原理,可用位置法;这两种方法又称作直接法( 当问题的反面简单明了时,可通过求差排除采用间接法求解;另外,排列中"相邻"问题可 以用"捆绑法";"分离"问题可能用"插空法"等(
解排列问题和组合问题,一定要防止"重复"与"遗漏"( 互斥分类--分类法
先后有序--位置法
反面明了--排除法
相邻排列--捆绑法
分离排列--插空法
课后习题:
1.用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的九位数,求符合要求的九位数的个数,
2. 9个人坐成一圈,问不同坐法有多少种,
3. 今欲从 1,2,3,8,9,10,12诸数中选取两数,使其和为偶数,问共有几种选法,
4. 小明去商店买球,足球有3种不同的牌子,排球有4种牌子篮球有5种牌子,羽毛球有6种牌子,如果小明买3种球,每种一个,一共有多少 种不同的选择方式,
5. 一个四面体的顶点和各棱的中点共10个点,取其中4个点,则 四个点不共面的取法有多少种,
1.解:9×9×8×7×6×5×4×3×2,3265920个。
2.解:9人围坐成一圈,每个人既是起点,又是终点,所以有
9×8×7×6×5×4×3×2?9,40320种坐法。
3.解:在1,3,9中任选两段:1,3;1,9;3,9有3个组合.
??在2,8,10,12中任选两数:2,8;2,10;2,12;8,10;8,12;10,12.有6个组合. ??根据分类计数原理,3,6,9.
??所以共有9种选法.
4.解:如买足球、排球、篮球共有3×4×*5=60种,
如买足球、排球、羽毛球共有3×4×6=72种,
如买足球、篮球、羽毛球共有3×5×6=90种,
如买排球、篮球、羽毛球共有4×5×6=120种,
合起来共有60+72+90+120=342种。
5.解:10个点中取4个点的取法为C(10)(4)=210种 ;
共面的分三种情况:
1、四个点都在四面体的某一个面上,每个面6个点,有6×5?2=15种,四个面共有4×15=60种情况。
2、其中三点共线,另一个点与此三点不在四面体的某一个面上,而在与此三点所在直线异面的那条直线的中点,显然只有6种情况(因为四面体只有6条边)。
3、其中两点所在直线与另两点所在直线平行,且这四个点也不在四面体的某一个面上,画图可得出只有3种情况。
因此,取四个不共面的点的不同取法共有:210-60-6-3=141
小升初奥数专题讲解:排列与组合
来源:重庆奥数网整理 文章作者:奥数网编辑 2011-08-18 16:12:41 [标签:小升初 奥数 专题讲解 练习题]奥数精华资讯 免费订阅
问题:小明所在的班级要选出4名中队长,要求每位同学在选票上写上名字,也可以写自己的名字。 结果全班的每位同学都在自己的选票上写了4个互不相同的名字。当小明把同学们的选票收集后发现一个有趣的现象:就是任意取出2张选票,一定有且只有一个人的名字同时出现在2张选票上。 请问:小明所在的班级共有多少人,
总体逻辑思路:首先,假设题目所说的情况存在。然后,得出班级人数。最后,构造出一个例子,说明确实存在这种情况。
我们先来证明这个班每个人都恰好都被选了4次。
思路简介:我们首先用反证法证明没有人被选了4次以上。由于平均每人被选了4次,既然没有人被选了4次以上,肯定也不存在被选了4次以下的人。所以,可以得到每个人恰好被选了4次。
首先证明没有人被选了4次以上,我们用反证法。
假设有一个人被选了4次以上(由于很容易证明这个班的人数肯定不少于7人,所以我们可以假设有一个人被选了4次以上),我们设这个人为A同学。接下来我们来证明这种情况不存在。
把所有选择A同学的选票集中到一起,有5张或5张以上。方便起见,我们把这些选票编号,记为A1选票,A2选票,A3选票,A4选票,A5选票,„。意思就是选择A同学的第1张选票,选择A同学的第2张选票,„。
这些选票都选择了A同学。由于任意2张选票有且只有1个人相同,所以这些选票上除了A同学外,其他都是不同的人。
我们还可以证明,这些并不是全部的选票,不是太难,就不证明了。
既然这些(所有选A同学的选票)不是全部的选票,我们再拿一张没有选择A同学的选票。方便起见,称之为B选票。
根据任意2张选票有且只有1个人相同,A1选票上必有一个人和B选票上的一个人是相同的,而且这个人不是A同学。
同样道理,第A2、A3、A4、A5、„上也必有一个人和B选票上的一个人是相同的,而且这个人不是A同学。
由于B选票上只有4个不同的人,而A1、A2、„,的数量大于4.所以,A1、A2、A3、„选票中至少有2张选票,除了A同学外还有一个共同的候选人。根据任意2张选票有且只有1个人相同,我们知道这是不可以的。
所以,没有人被选了4次以上。
由于平均每人被选4次,既然没有人被选4次以上,当然也就不可能有人被选4次以下。
所以,每个人恰好被选了4次~
证明了每个人都恰好被选了4次后,下面我们用两种方法来求出班级的人数。
方法一:解方程设这一班有n个人,从n张选票里面任选2张有C(n,2)=n(n-1)/2种情况。
由于任意2张选票都有且只有1个人相同,所以每一种情况都代
了一种2张选票重复选择了同一个人的情况。(这句话不太好理解,暂时没有想到好的表述)
每一个人都被选了4次,则2张选票重复选择了同一个人的情况又等于nC(4,2)=6n
所以n(n-1)/2=6n解得n=13.
方法二:分析论证,计算我们从所有选票中拿出一张,这张选票上有四个人,方便起见记为甲、乙、丙、丁四个人。
除了我们拿出的这张选票外,所有选甲的选票组成集合[甲].所有选乙的选票组成集合[乙].所有选丙的选票组成集合[丙].所有选丁的选票组成集合[丁].
由于每个人都恰好被选了4次,所以[甲]、[乙]、[丙]、[丁]四个集合中都有3个元素。而且这四个集合没有交集。
每个集合有3张选票,再加上我们拿出的这张选票,一共有4×3+1=13张选票,即13个人。
下面我们证明选票数不能多于13张。还是用反证法。
假设选票数多于13张,我们从中取14张。从这14张选票中我们拿出一张称为C选票。除了C选票外还有13张选票,C选票上有4个不同的人,这13张选票中的每一张都有一个
人和C选票上的一个人是相同的。这样13张选票中至少有4张选择了C选票上的同一个人,这样再加上C选票,就有5个人选择了同一个人。
根据前面的结论,没有人被选了4次以上,所以选票数不能多于13张。而且只能是13张。
所以只有13张选票,即只有13个人。
下面说明这种情况确实存在。
给出一种投票结果即可。
(1,2,3,4)
(1,5,6,7)
(1,8,9,10)
(1,11,12,13)
(2,5,8,11)
(2,6,9,12)
(2,7,10,13)
(3,5,9,13)
(3,6,10,11)
(3,7,8,12)
(4,5,10,12)
(4,6,8,13)
(4,7,9,11)
方法三:网上搜到得一种方法,设班级有x个人,那么x张票中总共有4x(有重复)个名字,也就是说班级里每个人的名字平均出现4次,(1) 如果有一个人的名字在所有票中都出现,那么x张票应该有不重复的名字3x+1个,这与班级有x个人矛盾,(2)如果一个人的名字在5张票中都出现过,那么假设为(1,2,3,4)(1,5,6,7)(1,8,9,1
0)(1,11,12,13)(1,14,15,16)那么你无法构造一个不包含1,但与前面5张票都有一个同名的票,所以一个人的名字在所有票中最多出现4次,并且每个人的名字在所有票中平均出现4次,那也就是说每个人的名字在所有票中出现4次假设包含1的票为(1,2,3,4)(1,5,6,7)(1,8,9,10)(1,11,12,13)其中2出现了1次,之后构造其他包含名字2的3张票为(2,5,8,11)(2,6,9,12)(2,7,10,13)
之后构造分别包含名字3,4的各3张票。发现符合题意,所以这个班有13人。 学而思奥数难题以小学4-6年级的杯赛题为来源,试题挑选、答案详解准确性均经学而思奥数名师鉴证;根据对历年杯赛真题的研究、
及归纳,结合了赛题中的高频考点、难点、易错点、以及最近几年命题趋势所得;适合志在杯赛中夺取佳绩的学生。 用1、2、3、4、5、6、7、8可组成多少个没有重复数字的五位数,
老师教你解难题-试题详解
解:
题目:10位客人住入6个有编号的房间,要求空出2间不住人,而其余4间不能空着(至少住有1名客
人)。问有多少种住法,
这实际上是第二斯特林数。定义S(n,k)为n个有编号的元素分到k个无区别的非空房间里的方法数(注
意,和本题目稍有不同,这里房间是不编号的)。
S(n,k)就是第二斯特林数,有递推公式
S(n,k) = S(n-1,k-1)+k*S(n-1,k) ;
作为递推的基础,显然S(n,1)=1(n?1),S(n,n)=1。
上面的递推式可以用组合证明:假设将元素1单独拿出来住1个房间,那么方法数是S(n-1,k-1);或者,如果元素1所在的房间不止一个元素,那么可以先将剩下的n-1个元素分配好了房间后,再任选一个房间
把元素1放进去,方法数是k*S(n-1,k);以上两种可能,根据加法原理得证递推公式。 (注意,这和爬楼梯的那道题在递推方面有相似之处,那道题是:爬楼梯可以一步跨1级台阶,也可以一
步跨2级台阶,求跨一个9级台阶的楼梯有几种走法。) A=10人进1房间方法数;B=10人进2个房间(每个房间不能空着)方法数;C=10人进3房间(每个
房间不能空着)方法数;D=10人进4房间(每个房间不能空着)方法数。
c(n,m)代表m个中选n个的组合数。
A=1
B=10人进2个房间方法数(房间可空着)-1个房间空着方法数=2^10-c(1,2)*A=1022;
C=10人进3个房间方法数(房间可空着)-1个房间空着方法数-2个房间空着方法数
=3^10-c(1,3)*B-c(2,3)*A=55980;
D=10人进4个房间方法数(房间可空着)-1个房间空着方法数-2个房间空着方法数-3个房间空着方法
数
=4^10-c(1,4)*C-c(2,4)*B-c(3,4)*A=818520; 所以10位客人住入6个有编号的房间,要求空出2间的总方法数=c(2,6)*D=12277800。
排列组合应用题解题技巧
文章来源:4221学习网 发布日期:2010-03-23 已被977人浏览 关键词: 数学 排列组合
排列组合问题在实际应用中是非常广泛的,并且在实际中的解题方法也是比较复杂的,下面就通过一些实例来总结实际应用中的解题技巧。
1.排列的定义:从n个不同元素中,任取m个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
2.组合的定义:从n个不同元素中,任取m个元素,并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
3.排列数公式:
4.组合数公式:
5.排列与组合的区别与联系:与顺序有关的为排列问题,与顺序无关的为组合问题。
例1 学校组织老师学生一起看电影,同一排电影票12张。8个学生,4个老师,要求老师在学生中间,且老师互不相邻,共有多少种不同的坐法,
分析:此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊的要求,因此老师是特殊元素,在解决时就要特殊对待。所涉及问题是排列问题。
解:先排学生共有种排法,然后把老师插入学生之间的空档,共有7个空档可插,选其中的4个空档,共有种选法。根据乘法原理,共有的不同坐法为种。
结论1 插入法:对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题,可以用插入法。即先排好没有限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可。
例2 5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起,有多少种不同的排法,
分析:此题涉及到的是排队问题,对于女生有特殊的限制,因此,女生是特殊元素,并且要求她们要相邻,因此可以将她们看成是一个元素来解决问题。
解:因为女生要排在一起,所以可以将3个女生看成是一个人,与5个男生作全排列,有种排法,其中女生内部也有种排法,根据乘法原理,共有种不同的排法。
结论2 捆绑法:要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题。即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也可以作排列。
例3 高二年级8个班,组织一个12个人的年级学生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种,
分析:此题若直接去考虑的话,就会比较复杂。但如果我们将其转换为等价的其他问题,就会显得比较清楚,方法简单,结果容易理解。
解:此题可以转化为:将12个相同的白球分成8份,有多少种不同的分法问题,因此须把这12个白球排成一排,在11个空档中放上7个相同的黑球,每个空档最多放一个,即可将白球分成8份,显然有种不同的放法,所以名额分配方案有种。
结论3 转化法:对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题,可以利用转化思想,将其化归为简单的、具体的问题来求解。
例4 袋中有5分硬币23个,1角硬币10个,如果从袋中取出2元钱,有多少种取法,
分析:此题是一个组合问题,若是直接考虑取钱的问题的话,情况比较多,也显得比较凌乱,难以理出头绪来。但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话,就会很容易解决问题。
解:把所有的硬币全部取出来,将得到0.05×23+0.10×10=2.15元,所以比2元多0.15元,所以剩下0.15元即剩下3个5分或1个5分与1个1角,所以共有种取法。
结论4 剩余法:在组合问题中,有多少取法,就有多少种剩法,他们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可转化为求剩法。
例5 期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有多少种不同的安排顺序,
分析:对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲的话,他们的排列顺序只有两种情况,并且在整个排列中,他们出现的机会是均等的,因此要求其中的某一种情况,能够得到全体,那么问题就可以解决了。并且也避免了问题的复杂性。
解:不加任何限制条件,整个排法有种,“语文安排在数学之前考”,与“数学安排在语文之前考”的排法是相等的,所以语文安排在数学之前考的排法共有种。
结论5 对等法:在有些题目中,它的限制条件的肯定与否定是对等的,各占全体的二分之一。在求解中只要求出全体,就可以得到所求。
例6 我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种,
分析:此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几种情况,这样解题的话,容易造成各种情况遗漏或者重复的情况。而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不但容易理解,而且在计算中也是非常的简便。这样就可以简化计算过程。
解:43人中任抽5人的方法有种,正副班长,团支部书记都不在内的抽法有种,所以正副班长,团支部书记至少有1人在内的抽法有种。
结论6 排异法:有些问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中排除。
练习1 某人射击8枪,命中4枪,那么命中的4枪中恰有3枪是连中的情形有几种,
练习2 一排8个座位,3人去坐,每人两边至少有一个空座的坐法有多少种,
练习3 马路上有编号为1,2,3,……10的十只路灯,为节约电而不影响照明,可以把其中的三只路灯关掉,但不能同时关掉相邻的两只或三只,也不能关掉马路两端的灯,问满足条件的关灯方法有多少种,
练习4 A、B、C、D、E五人站成一排,如果B必须站在A的右边,那么不同的站法有多少种,
练习5 某电路有5个串联的电子元件,求发生故障的不同情形数目,
小结:
解决排列组合应用题的一些解题技巧,具体有插入法,捆绑法,转化法,剩余法,对等法,排异法;对于不同的题目,根据它们的条件,我们就可以选取不同的技巧来解决问题。对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种技巧结合起来应用,便于我们迅速准确地解题。在这些技巧中所涉及到的数学思想方法,例如:分类讨论思想,变换思想,特殊化思想等等,要在应用中注意掌握。
第十三章:干燥
通过本章的学习,应熟练掌握表示湿空气性质的参数,正确应用空气的H–I图确定空气的状态点及其性质参数;熟练应用物料衡算及热量衡算解决干燥过程中的计算问题;了解干燥过程的平衡关系和速率特征及干燥时间的计算;了解干燥器的类型及强化干燥操作的基本方法。
二、本章思考题
1、工业上常用的去湿方法有哪几种,
态参数,
11、当湿空气的总压变化时,湿空气H–I图上的各线将如何变化? 在t、H相同的条件下,提高压力对干燥操作是否有利? 为什么?
12、作为干燥介质的湿空气为什么要先经预热后再送入干燥器,
13、采用一定湿度的热空气干燥湿物料,被除去的水分是结合水还是非结合水,为什么,
14、干燥过程分哪几种阶段,它们有什么特征,
15、什么叫临界含水量和平衡含水量,
16、干燥时间包括几个部分,怎样计算,
17、干燥哪一类物料用部分废气循环,废气的作用是什么,
18、影响干燥操作的主要因素是什么,调节、控制时应注意哪些问题,
三、例题
2o例题13-1:已知湿空气的总压为101.3kN/m ,相对湿度为50%,干球温度为20 C。试用I-H图求解:
(a)水蒸汽分压p;
(b)湿度,;
(c)热焓,;
(d)露点t ; d
(e)湿球温度tw ;
o(f)如将含500kg/h干空气的湿空气预热至117C,求所需热量,。
解 :
2o由已知条件:,,101.3kN/m,Ψ,50%,t=20 C在I-H图上定出湿空气00
的状态点,点。
(a)水蒸汽分压p
过预热器气所获得的热量为
每小时含500kg干空气的湿空气通过预热所获得的热量为
例题13-2:在一连续干燥器中干燥盐类结晶,每小时处理湿物料为1000kg,经干燥后物料的含水量由40%减至5%(均为湿基),以热空气为干燥介质,初始
-1-1湿度H为0.009kg水•kg绝干气,离开干燥器时湿度H为0.039kg水•kg绝干12气,假定干燥过程中无物料损失,试求:
-1(1) 水分蒸发是q (kg水•h); m,W
-1(2) 空气消耗q(kg绝干气•h); m,L
-1原湿空气消耗量q(kg原空气•h); m,L’
-1(3)干燥产品量q(kg•h)。 m,G2解:
q=1000kg/h, w=40?, w=5% mG112H=0.009, H=0.039 12
q=q(1-w)=1000(1-0.4)=600kg/h mGCmG11
x=0.4/0.6=0.67, x=5/95=0.053 12?q=q(x-x)=600(0.67-0.053)=368.6kg/h mwmGC12
?q(H-H)=q mL21mw
q368.6mw q,,,12286.7mLH,H0.039,0.00921
q=q(1+H)=12286.7(1+0.009)=12397.3kg/h mL’mL1
?q=q(1-w) mGCmG22
q600mGC?q,,,631.6kg/h mG21,w1,0.052