5.6正弦定理、余弦定理和解斜三角形(3)教案案.

5.6正弦定理、余弦定理和解斜三角形(3)教案案. 课题:5.6正弦定理、余弦定理和解斜三角形(3)教案 教学目的:1、进一步巩固利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法 2、掌握正弦定理扩充的推导 3、掌握三角形面积公式的推导 4、掌握边到角的转化方法，和角到边的转化方法，解决三角形形状的判断 问题和恒等式的证明问题。 教学重点:正弦定理的扩充公式的推导和边角之间的转化 教学过程: (一)、引入 abc复习引入:1、正弦定理:== sinAsinBsinC bsinA:sinB:sinC2、正弦定理的变形:::= ac 222,ABC3、余弦定理:在中有: a,b，c,2bccosA 222 b,a，c,2accosB 222c,a，b,2abcosC 222222222b，c,ac，a,ba，b,cA,B,C,cos,cos,cos. bcacab222 4、正弦定理的两个应用: (1)已知三角形中两角及一边，求其他元素; (2)已知三角形中两边和其中一边所对的角，求其他元素. 5、余弦定理的两个应用: (1)已知两边和它们的夹角，求其他的边和角; (2)已知三边，求三个内角. (二)、新课 一、(新课教学，注意情境设置) abc,ABCkk由正弦定理我们知道，在中，、、都等于同一个比值，这个 sinAsinBsinC 到底有没有什么特殊几何意义呢, 二、概念或定理或公式教学(推导) ,,ABC，C,901、当是直角三角形时，若，我们知道 A abcD Rt,ABC===c,此时c可看成外接接圆sinAsinBsinC c,k,2R的直 径，即 。 O ,ABC,ABC2、若是任意三角形，作的外接圆O，O为O圆心， 连接BO并延长交圆D，连接CD，把一般三角形 转化为直角三 角形。 C 证明:连续BO并延长交圆于D B 1 ,BC,a， ， ， ，D,，ABD,2R？，DCB,90 ？a,BC,BDsinD,BDsinA,2RsinA ， a即: ,2RsinA abc由正弦定理，得===2R sinAsinBsinC abc结论:从刚才的证明过程中, ===2，显示正弦定理的比值等于三角形RsinAsinBsinC外接圆的直径2R。 三、(概念辨析或变式问题，目的是加强概念、公式的理解或应用) ,ABC,ABC设R是的外接圆的半径R，是的面积，求证: S, abcS, (1) ,4R 2 (2)RsinAsinBsinC S,2, 四、典型例题(3个，基础的或中等难度) A、B、C例1、半径R为1的圆内接三角形的面积角的对边分别为a、b、c S,1,,ABC abc 求的值。 abcS,解:由得， abc,S,4R,4,,4R ,ABC例2、在中，试判断三角形的形状。 bcosA,acosB, ,ABC解:方法一:(边化角)设外接圆的半径为R 2RsinBcosA2RsinAcosB 即= bcosA,acosB, ？sinBcosA,sinAcosB ，即 sin(A,B),0 ？A,B ？,ABC 是等腰三角形。 方法二:(角化边) 222222bcaacb，,，,ba,,, 即 bcosA,acosB,2bc2ac a,b整理得 ？,ABC 是等腰三角形。 22,ABCasin2B，bsin2A,2absinC例3、在中，求证: 22224RsinA,2sinBcosB，4RsinB,2sinAcosA证明:左边= 2 ,8RsinAsinB(sinAcosB，cosAsinB) 2 2 ,8RsinAsinBsin(A，B) 2 ,8RsinAsinBsinC 22,2RsinA,2RsinBsinC 右边= ,8RsinAsinBsinC 等式成立。 ？ 五、课堂练习(2个，基础的或中等难度) 2atanA,ABC,ABC1、 在中，如果 ，判断的形状。 ,2tanBb 2222a，bsinA，sinB,ABC,2、在中，求证:(1) 22csinC 222 (2) a，b，c,2(bccosA，cacosB，abcosC)六、拓展探究(2个) 222a，b,c,ABC，C1、在中，面积为S，若，试求。 S,4 22,ABC,ABC2、已知的面积且求面积的最大值。 b，c,8,S,a,(b,c) (三)、小结 1、正弦定理的扩充公式: 2、三角形的面积公式: 3、边角的转化: (四)、作业 课外作业:(6+2填空，3+1选择，3+1解答，其中+后面的题目可以难些用“*”注明) 一、填空题 2bsinC1，1、在?ABC中，外接圆半径为，则= 。 2sinBc Rt2、已知?ABC三条边长为5，12，13，则三角形内切圆的半径为 。 sinAsinBsinC,3、已知?ABC的面积为1，外接圆半径为1，则 。 3222C,sinC,,4、在?ABC中，且则 。 a，b,c,2 ,ABCsinC,2cosAsinB5、在中，若，则三角形形状是__________。 ,,ABCAB,3,，A,,则AC6、在中，外接圆半径是2，= 。 6 ,ABCtanA,tanB,1,ABC7*、在中，，则为__________角三角形。 a，b，c,,ABC,A,60,b,2,S,38*、在中，，则 。 ,ABCsinA，sinB，sinC 3 二、选择题 222,ABC,ABC1、在 中，，则为( ) sinA,sinB，sinC C、等腰三角形 、直角三角形 、钝角三角形 、等腰或直角三角形 ABD ,ABC2、在 中，则三角形是( ) acosA,bcosB, C、等腰三角形 、锐角三角形 、钝角三角形 、等腰或直角三角形 ABD l3、设是钝角三角形的三边长，则的取值范围是( ) l,l，1,l，2 0,l,11,l,3C3,l,44,l,6、 、 、 、 ABD ,ABC4*、在 中，若则三角形是( ) tanA，tanB，tanC,0, CA、等腰三角形 B、锐角三角形 、钝角三角形 D、直角三角形 三、解答题 ,,,ABC1、在 中，外接圆半径R=4，求a，c。 ，A,105,，B,30, ,ABCa,2bcosC2、在 中，，判断三角形的形状。 a,cosBsinB,ABC,3、在 中，求证: b,cosAsinC 2,ABC,ABC2x,3x,2,04*、在 中，是方程的一根，求的周a，b,10,cosC 长的最小值。 四、双基铺垫 1、 2、 4 正弦定理、余弦定理和解斜三角形(3) 课外作业答案 一、填空题 33,71,1、 3 ; 2、2 3、 ; 4、120 ; 5、等腰 ; 6、 22 7、锐角 ;(简单过程) 48、 ;(简单过程) 33 二、选择题 1、 B ;2、 D ;3、 B ; 4、A ;(简单过程) 三、解答题 1、 a,2(2，6),c,42 2、等腰三角形 3、(略) a，b22222c,a，b,2abcosC,(a，b),ab,100,ab,100,(),754、 2 ？c,53 ， ？(a，b，c),10，53min 四、双基铺垫 1、 2、 5 书中横卧着整个过去的灵魂——卡莱尔 人的影响短暂而微弱，书的影响则广泛而深远——普希金 人离开了书，如同离开空气一样不能生活——科洛廖夫 书不仅是生活，而且是现在、过去和未来文化生活的源泉 ——库法耶夫 书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者———史美尔斯 书籍便是这种改造灵魂的工具。人类所需要的，是富有启发性的养料。而阅读，则正是这种养料———雨果