厦门理工 高数 第三章 微分中值定理与导数的应用

厦门理工 高数 第三章 微分中值定理与导数的应用 高等数学练习题 第三章 微分中值定理与导数的应用 系 专业 班 姓名 学号 习题九 微分中值定理 一(选择题 1( 在区间??1,1?上，下列函数满足罗尔中值定理的是 [ A ] (A)f?x??3 2x2?1 (B)f?x??12fx? (C) (D)fx?1?3x?2x ? ???21?x 2( 若f(x)在(a,b)内可导,x1、x2是(a,b)内任意两点，且x1?x2，则至少存在一点?，使得 [ C ] (A)f(b)?f(a)?f?(?)(b?a) (a???b); (B)f(b)?f(x1)?f?(?)(b?x1) (x1???b); (C)f(x2)?f(x1)?f?(?)(x2?x1) (x1???x2); (D)f(x2)?f(a)?f?(?)(x2?a) (a???x2) 3(下列函数在给定区间上不满足拉格朗日定理条件的有 [ B ] (A)f(x)?2x,[?1,1] (B)????,?? EMBED Equation.DSMT4 21?x ?????? (C)?? EMBED Equation.3 ??????, [0,1] (D)?? EMBED Equation.3 ??????,?? EMBED Equation.DSMT4 ?????? 4( 若?? EMBED Equation.3 f(x)和g(x)对于区间内每一点都有f?(x)?g?(x), 则在(a,b)内必有 [ B ] (A)f(x)?g(x) (B)f(x)?g(x)?C (C)f(x)?g(x)?1 (D)f(x)?g(x)?C 二(填空题 1( 对函数f(x)?px?qx?r在区间[a,b]上应用拉格朗日定理时,所求的拉格朗日定理结论中的?，总是等于2a?b 2 2( 若f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导,则至少存在一点??(a,b), 使得 ef(b)?ef(a)? ef(?)?f'(?)(b?a) 成立 x?3)(x?4)3(设f(x)?x(x?1)(x?2)(,则f?(x)?0有个根,它们分别位于区间 35 (0,1); (1,2); (2,3);(3，4) 内. 三(证明题 1( 当0?a?b，试证: xb?abb?a?ln? baa证:令f(x)?ln， 可知 f(x)在[a,b]连续，在(a,b)上可导 由拉格朗日定理可知，存在 ??(a,b) 使得 f'(?)(b?a)?1 ?(b?a)?lnb?lna?ln b a ??所以 ??且 ????????????即 ??????得证 2( 证明:arcsinx?arccosx?? 2 证明:令f(x)?arcsinx?arccosx 则f(x)在[?1,1]上可导，且 f(x)?'1 ?x2?1?x2?0 所以，f(x)?c(c为常数)， 又f(1)?arcsin1?arccos1? 故arcsinx?arccosx? 5'?2?0??2， ?2 3( 证明方程x?x?1?0只有一个正根. 5证: 令f(x)?x?x?1，则f(x)在R上连续，且f(1)?1?0,f(0)??1?0 由闭区间上连续函数的性质可知，存在 ??(0,1)，使得f(?)?0。 ab? 即f(x)有一正根。又假设f(a)?0,f(b)?0，(0?)， 36 又f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)可导，所以由拉格朗日定理可知，存在 ) ??(a,b，使得f'(?)? 0 矛盾，假设不成立。所以。。。 高等数学练习题??????第三章??????微分中值定理与导数的应用 ????????????????系????????????????专业??????????????班?????????? 姓名?????????????? ??????????学号?????????? 习题十????洛比达法则 一( 填空题 ?? ??????????????????????????????????????(limx?ax?ax?a? 2lntan3xx3?x2?x?1lim3(lim= 4(= 1 x?12x3?3x2?1x?0?lntan5x5(lim(1?x)tanx?1?x2= 2 xe? ?? 6(lim?x?01x 6(下列极限能够使用洛必达法则的是 1?x(A)lim; (B) lim; x?11?sinbxx???x (C)limx(x????2x2sin?arctanx); (D)limx?0sinx1x的值， 二、判断题:(正确的括号内打“?”，错误的在括号内打“×”) 1(limx?sinx1?cosx?lim?(不存在) [ × ] x??x?sinxx??1?cosx ex?cosxex?sinxex?cosx?lim?lim?1 [ × ] 2(lim2x?0x?0x?0x2x2 37 三(计算题 0x?arcsinx0xecosx ()()1(lim 2(lim x?0x?01?sinx?cosx0sin3x0 x? arcsinxecoxs?xsinx?ecxo s ?lim?li3x?0?x?0x?cosx?sixnx?0 e ?31 22(1?x)(?2x)??1??e 3(limx?1??x1??x?1?lnx?? lnx?ln1[?(x?1)] xlnx?(x?1)xlnx ?lim?(x?1) x?1(x?1)lnx?limx?1(x?1)(x?1) ?limlnx?1?1 x?12(x?1)?1 2 4. lim(1 x?0x2?1sin2x) ?lim(sin2x?x2 x?0x2sin2x) sin2x?x2 ?lim(x?0x4) ?lim(2sinxcosx?2x x?04x3) ?lim(2cos2x?2 x?012x2) ?lim((?2)2x2?1 x?012x2)?3 5( limarctanx?x x?0ln(1?2x3) ?limarctanx?x x?02x3 38 ?lim1x?06x??6 1?12?lim2 x?06x ?1? 6 6(lim(cotx)x??01lnx 1 令y=(cotx)ln 则 xlny?1cotxln xln lncotxtanx(?cscx2)?xtanx1cotx?lim??limlim??1 lixlnx??0lnxx??0x??0sin2xx??0ln()x x??o原式?elim(lny)?e?1. ylncotxtanx(-c2scx)l?7(lim(arctanx) limln? x????x??0x??0lnxx??0x2x 令y?(22 ?arctanx) 则 2arctanxxln?xlny?arctanx x???limln?limyln?x???1 x11?2?lim x????2x 2x21???lim?? x???1?x2arctanx? ln?lime?ex???所以 原式x???ylimlny?e?. ?2 39 ?2?3?4?8(lim?? x?03?? 2x?3x?4x1ln)x， 则 lny?令y?(3x(2x?3x+4x)3xxx1x limlny?limx?0x?0ln(2x?3x+4x)3x32xln2+3xln3+4xln4?()xxx ? limx?01 ?124ln?， 3 所以，原式=limex ?0lny?ex?olim(lny)?e? 高等数学练习题 第三章 微分中值定理与导数的应用 系 专业 班 姓名 学号 习题十一 函数的单调性与极值 一(填空题 321(函数y?x?3x?9x?5在区间(?1,3)单调减少, 在区间(??,?1)和( 3，+?) 内单调增加( 2(y?x?1 内单润减少，在区间 在区间 (-1，0)和(0，1)x 内单调增加( 3 (函数y?的单调增区间是。 2(0) 内单调减少, 在区间 (4(函数y?2x?lnx在区间1 21,?? 2 5(1. 当x??1时，函数y?x?3px?q有极值，那么p? 6(函数，在区间[??,y?sin(x??)??2 二(选择题 三(选择题 3?]上的极大值点x0? 40 1(设函数f(x)满足，f?(x0)?0，f?(x1)不存在，则 [ D ] (A) x?x0及x?x1都是极值点 (B) 只有x?x0是极值点 (C) 只有x?x1是极值点 (D) x?x0与x?x1都有可能 不是极值点 2(下列命题为真的是 [ D ] (A) 若x0为极值点，则f?(x0)?0 (B) 若f?(x0)?0，则x0为 极值点 (C) 极值点可以是边界点 (D) 若x0为极值点，且 存在导数，则f?(x0)?0 3(设f(x)，g(x)是恒大于零的可导函数，且f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0，则当 a?x?b时，有 [ A ] (A)f(x)g(b)?f(b)g(x) (B)f(x)g(a)?f(a)g(x) (C)f(x)g(x)?f(b)g(b) (D)f(x)g(x)?f(a)g(a) 4(设函数f(x)连续，且f?(0)?0，则存在??0，使得 [ C ] (A)f(x)在(0,?)内单调增加 (B)f(x)在(??,0)内单调减少 (C)对任意的x?(0,?)有f(x)?f(0) (D)对任意的x?(??,0)有f(x)?f(0) 5(当x?x0时,f?(x)?0,当x?x0时,f?(x)?0,则x0必定是函数f(x)的 [ D ] (A) 极大值点; (B) 极小值点; (C) 驻点; (D) 以上都不对 三(求函数y?(x?5) y?(x?5) 2 31?22y??2(x?5)(x?1)?(x?5)(x?1)3 3 ? 6(x?5)(x?1)?2(x?5)23(x?1)13 x?5 2 令y??0 可得 x= 1 或 41 当 x??1时 y?不存在 由x??1， x= 1 , x?5 把(??,??)分成四个部分区间，并列表讨论如下: 四(证明题: 1( 证明tanx?x?13?x (0?x?) 32 13证明:令f(x)?tanx?x?x 3 故 f(x)?senx?1?x?tanx?x 又，?x?(0,'2222? 2)tan x?x?0 所以，f'(x)?0，即f(x)在 (0, ?x?( ?2)单调递增 ?2) f(x?)13f?(0) 即0， tanx?x?x。 得证 3 高等数学练习题 第三章 微分中值定理与导数的应用 系 专业 班 姓名 学号 习题十二 函数的极值与最大值和最小值 一(填空题 1(当a? 时，函数f(x)?asinx?1sin3x在x??处取得极值时，其极33 2(函数f(x)?x?2cosx在[0,? 2]上的最大值为 ? 6 ? 2 3. y?x?8x?2(?1?x?3)在x?处取得最大值在x? 42 42 二. 选择题 1(如果f(x)在x0达到极大值,且f??(x0)存在，则f??(x0) [ A ] (A) ?0; (B) ?0; (C) ?0; (D) ?0 2(设函数f(x)在(??,??)内连续，其导数的图形如图所示，则f(x)有 [ C ] (A)一个极小值点和两个极大值点 (B)两个极小值点和一个极大值点 (C)两个极小值点和两个极大值点 (D)三个极小值点和一个极大值点 3(函数f(x)?x?ln(1?x2)在定义域 内 [ A ] (A)无极值 (B)极大值为1?ln2 (C)极小值为1?ln2 (D)f(x)为非单调函数 4(若函数y?2?x?x2的极大值点是x?1，则函数y?2?x?x2的极大值是 [ D ] 2 81931(A) (B) (C) (D) 16422 2 5(y?x在[?1,2]上没有 [ A ] (A)极大值 (B)极小值 (C)最大值 (D) 最小值 6(函数y?1在(0,1)内的最小值是 [ D ] x (A)0 (B)1 (C)任何小于1的数 (D) 不存在 7(函数y?x2?1在区间(?1,1)上的最大值是 [ D ] (A)0 (B)1 (C)2 (D) 不存在 8(设有一根长为L的铁丝，将其分为两断，分别构成圆形和正方形， 若记圆形面积为S1，正方形面积为S2，当S1?S2S1? [ C ] S2 1?4 (A) (B) 4 (C) (D) 44? 三(求下列函数极值 321(y?x?3x?9x?5 y?=3x?26x??93?(x3) (x+1) 令y??0 可得 x= -1 或 x?3 43 当 x??1时，y??0当-1?x?3时 y?<0 所以y在x??1处 取得极大值 y(?1)?10 当-1?x?3时 y?<0 当x?3 时 y??0 所以y在3处 取得极小值 y(3)??22。 四. 某地区防空洞的截面积拟建成矩形加半圆〔如下图〕，截面的面积为5m2，问底宽为多少时才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省( 解:由已知 5=xy+?()?xy+?x 可得，y?1 2x221 8251??x x8 1?51? 10L(x)?x?2y??x=(+1)x+2( -?x)=(?1)x+22x84x ?10L?(x)?(?1)?2 ?x? 4x由于驻点唯一，且最小值存在，所以当x? 高等数学(?)练习 第二章 一元函数微分学 系 专业 班 姓名 学号 习题十三 曲线的凹凸性与拐点 二(填空题 1(曲线y?xe?x的凸(向上凸)区间是______________，凹(向下凸)区间是 (??，2) 2(若曲线y?(ax?b)3在(1,(a?b)3)处有拐点，则a与b应满足关系 。 , 点(0,1)为曲线 3(当ab，c 时 y?ax3?bx2?c的拐点。 44 4(若曲线y?ax3?bx2?cx?d在x?0处取得极值y?0，(1,1)点是拐点，则a?13c?d? b?二(选择题 ???? ???????????????????????????????????????????????????????????????? ????????????[????????B????] (A)凹且单调增加??????(B)凹且单调减少????(C)凸且单调增加??????(D)凸且单调减少 ??( 阶可导，且f(x)??f(?x)，又x?(0,??)时，f?(x)?0，f??(x)?0，则在(??,0)内曲线y?f(x) [ C ] (A)单调下降，曲线是凸的 (B)单调下降，曲线是凹的 (C)单调上升，曲线是凸的 (D)单调上升，曲线是凹的 3(曲线y?(x?1)(x?3)的拐点个数为 [ C ] (A) 0 (B)1 (C)2 (D)3 三(证明题:利用函数的凹凸性证明 xlnx?ylny?(x?y)ln( 五.作函数y?22x?y) (x?0,y?0,x?y) 26的图形 2x?2x?4 解:(1)所给函数的定义域为R， 45 y?= -6(2x-2)?12(x?1) = 2222 (x-2x+4)(x-2x+4) [(x2?2x?4)2?(x?1)2(x2?2x?4)(2x-2)] y????1224 (x?2x?4) x(x-2)[(x2-2x+4)?4(x?1)2]36 ?12= (x2?2x?4)3(x2?2x?4)3 (2)y?的零点为x?1， y??的零点为x?0，x?2， 这些点把定义域分 成四个部分 (3) 在各个区间，y?,y??得符号，相应的曲线的升降性及凹凸性，以及拐点，如下表: 高等数学练习题 第三章 微分中值定理与导数的应用 系 专业 班 姓名 学号 习题十四 曲率 一、填空题 1(抛物线y?x2?x在点(1,0)处的曲率K?，曲率半径??2 1331 2(曲线x?4sint，y?2cost在x?2处的曲率K?，曲率半径??)2. 3 1213 )2 12 3(曲线x?xy?y?3在点(1,1)的曲率为2 2 x2y2 二、选择题:椭圆2?2?1 (a?b?0) 在长轴端点(a,0)的曲率K? [ B ] ab 46 (A)0 (B) 三、计算题: ab (C) (D)不存在 b2a2 1(求曲线y?lnx上曲率最大的点及该点处的曲率半径( 解:y??1 xy????1， 2x 1y??x2? K(x? )?3331(1?(?y2)2)(1?22(x2?12)x 31(x?1)?x(x2?1)22x2(x?1)2(1?2x2)K?(x)? ?(x2?1)3(x2?1)32321 令K?(x)? 0 ?x? ， 且可知 当x?时K(x)取得最大值。 2? 曲率半径 ?? 2( 汽车连同载重共5吨，在抛物线拱桥上行驶，速度为21.6(公里/小时)桥的跨度为10米， 拱的矢高为0.25米，求汽车越过桥顶时对桥的压力。 解:取桥顶为原点，竖直向下为y轴的正方向，则抛物线的方程为 y?ax2(a?0) 桥端点(5，0.25)在抛物线上，?a?0.01 所以抛物线的方程为y?0.01x， 2 y??0.02x,y??=0.02，所以 y?(0)=0,y??(0)?0.02 所以在桥顶处抛物线的曲率半径为 3 2??(1?(y?))1??50， y??0.022 47 5?10321.6?103 离心力为F??()?3600(N) ?5060?60 (N) 压力 N= G?F= 50000?3600?46400 高等数学练习题 第三章 微分中值定理与导数的应用 姓名学号综合练习 一(填空题 1(函数f(x)?x?x在[0,3]上满足罗尔定理的条件,由罗尔定理确定的?? 2(极限lim(cos)? x??mv22xx 3 (y? 内单调减少在区间 (??,0)和(4，+?) 内单调增加。 4(y?x2x在x??1处取得极小值( 3。 45(y?x?在[?5,1]的最大值点为x? 2??x?t,t?[0,??)的凸区间是[0,1]凹区间是[1,??拐点是(1,4) 6(曲线?3??y?3t?t, 二(选择题 1(设limx?af(x)?f()a则在x?a处 [ B ] ?1?，(x?a)2 (A)f(x)的导数存在，且f?(a)?0 (B) f(x)取得极大值 (C) f(x)取得极小值 (D) f(x)的导数不存在 lnx [ B ] x (A)x?1是垂直渐近线 (B)y?x为斜渐近线 (C)单调减少 (D) 有2个拐点 ?lnx?x,x?13(设函数f(x)??2，则 [ C ] x?2x,x?1? (A) 该函数在x?1处有最小值 (B) 该函数在x?1处有 最大值 2(曲线y?x? 48 (C) 该函数所表尔的曲线在x?1处有拐点 (D) 该函数所表示的曲 线x?1处无拐点 1)、f?(0)、f(1)?f(0)或f(0)?f(1)的大4(设函数f(x)在[0,1]上满足f??(x)?0， 则f?( 小顺序为 [ B ] (A)f?(1)?f?(0)?f(1)?f(0) (B)f?(1)?f(1)?f(0)?f?(0) (C)f(1)?f(0)?f?(1)?f?(0) (D)f?(1)?f(0)?f(1)?f?(0) 5(设f?x?一阶可导，且limf??x??1，则f?0? [ C ] x?0 (A) 一定是f?x?的极大值 (B) 一定是f?x?的极小 值 (C) 一定不是f?x?的极值 (D) 不一定是f?x?的 极值 6(函数f(x)可微，a?b，f(a)?f(b)?0，f?(a)?0，f?(b)?0，则函数f?(x) [ D ] (A)无零点; (B)只有一个零点; (C)只有两个零点; (D)至少有两个零点( ? 二(计算题 1 .x?0 ?x?sec2x?cosx2secx?secx?tanx+sinx1??lim ?lim x?0x?01218x236x 1)] x??x 111x1?ln(1?)(?2)?(?2))?lim ?lim(-2x??x??x?2x?3 x2 ?x+1x?x2?x2) ?lim()?lim()(x??x??2x?1?2 1x1)? ?lim( x??2x?122(lim[x?xln(1?2 四(设有甲乙两城(甲城位于一直线形的河岸上，乙城离河岸40千米，且到河岸的垂足与甲城 相距50千米(两城拟于此河边合建一水厂取水，从水厂到甲城和乙城之水管费用分别为每千米500元和700元(为使水管费用最省，水厂应设于何处?( 解:以河岸为x轴，过乙城且垂直于河岸的为y轴，指向甲城和乙城的方向飞别分x轴，y轴 的正方向， 假设水厂离原点为x千米，总的费用为y 则 y?500(50?x)? 49 令y???500? 令y??0 可得x???40.82 由于驻点唯一，且最小费用存在，所以当水厂建在离甲城50-40.82=9.18(千米)时，总的费用最省。 50