质数与合数

质数与合数 质数与合数 一、趣题引入 甲、乙、丙三人打靶,每人打三枪,三人各自中靶的环数之积都是60,按个人中靶的总环数由高到低排,依次是甲、乙、丙。靶子上4环的那一枪是谁打的?(环数是不超过10的自然数) 二、知识点 如果一个比1大的自然数只有两个约数:1和本身,那么这个自然数就叫质数。(质数也叫素数。) 例如:43=1×43。43只有1和43两个约数,所以43是质数。100以内的质数极为常用,它们是: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67, 71,73,79,83,89,97。 在自然数中,如果除了1和本身两个约数,还有其它的约数,这个自然数就叫做合数。 例如:6的约数有1,2,3,6,那么6是合数。 应特别注意:1既不是质数也不是合数,这样,自然数在按约数个数分类,可以分成: 质数、合数和1。 偶数中只有2是质数,而且是所有质数中最小的一个。除2以外所有的偶数都是合数,除2以外所有的质数都是奇数。 每个合数都可以写成几个质数相乘的形成,这几个质数就叫做这个合数的质因数,例如,因为70=2×5×7,所以2,5,7是70的质因数。 把一个合数用质数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。例如: 60=2×2×3×5=22×3×5,把60这个合数用2×2×3×5或22×3×5的形式来表示,就是把60分解质因数。 三、例题分析 例1:两个质数的积是46,求这两个质数的和。 分析:两个质数的积是46,46是偶数,只能是一个奇质数与一个偶质数的积,而偶质数 只有2,因此很容易得出另外的质数,从而问题得以解决。 解:因为46是偶数,因此它必是一个奇质数与一个偶质数的积,而偶质数只有2,另一个质数为46÷2=23,所以2与23的和是25。 例2:用2,3,4,5中的三个数能组成哪些三位质数? 分析:首先考虑个位是几,如果个位数字是2或4,这样的三位数必能被2整除,因此这样的三位数不会是质数,如果个位数字是5,这样的三位数必能被5整除,这样的三位数也不会是质数,所以各位数字只能是3,再由剩下的三个数字组成百位、十位,得出个位数字是3的三位数为243,423,253,523,453,543,最后根据质数的判断方法,得到所求的质数。 解:如果组成的三位数的个位数字是2, 4, 5时,这个数必能被2或5整除,因此个位数字能是3,而个位数字是3的三位数有243,423,253,523,453,543,其中243,423, 453,543均能被3整除,253能被11整除,,所以只有523是质数。 [说明] 质数的判断方法是,当一个数比较小时,用定义直接判断,但这个数比较大时,通常采用查质数表,因此最好记住100以内的所有质数。在没有质数表的情况下,可以用质数从小到大的顺序逐个地去试除,如果能被其中某一个质数整除,就说明这个数是合数,如果除到商已比试除的质数小,还不能被这些质数中的任何一个整除,那么这个数一定是质数。 例如,判断100以内的数是否是质数,只需用2,3,5,7这四个质数去试除,如果没有一个能整除它,这个数一定是质数,否则不是质数。判断97是不是质数,因为97不能被2,3,5,7中的任何一个整除,因此97是质数,为什么不必去试除比97小的所有的质数呢?因为97不能被2,3,5,7中的任何一个整除,它就一定不能被4,6,8,9,10等数(分别为2,3,5的倍数)整除,又因为,如果用11或大于11的质数去试除,97÷11=8……9, 97÷13=7……6,其商为8、7,比除数还小,都已试除过,因此判断100以内的数是否是质数,只需用2,3,5,7去试除。 判断200以内的数是否是质数,只需用2,3,5,7,11,13,17这七个质数去试除;判断300以内的质数,只需用20以内的八个质数去试除;判断500以内的质数,只需要2到 23的质数去试除,其余可用类似的方法推出,同学们可以思考一下1000以内的质数如何判断? 例3:将40,44,45,63,65,78,99,105这八个数平分成两组,使每组四个数的乘积相等。 分析:如果采用观察,计算调整的方法是比较麻烦的,要使两组数的乘积相等,只有两组数中的质因数相同,而且质因数的个数也相同,就可以了,所以从这八个数分解质因数入手,根据质因数的个数,进行适当的搭配,使能找出问题的答案。 解:将八个数分析质因数: 40=23×5 44=22×11 45=32×5 63=32×7 65=5×13 78=2×3×13 99=32×11 105=3×5×7 这八个数分解质因数后一共有6个2,8个3,4个5,2个7,2个11,2个13。因此,这八个数被分成两组后,每一组应含有3个2,4个3,2个5,1个7,1个11,1个13,这样可以得到两组分别为:40,63,65,99和44,45,78,105。 例4:360有多少个约数? 分析:如果先求360的所有约数,再数出它们的个数显然比较麻烦。为此,先将360分解质因数:360=23×32×5,360的任意一个约数均由若干个2成3成5组成,我们将360的所有约数列成下面的数阵: 这个数阵共6行,每行4个约数,所以360共有4×6=24个约数。而24=(3+1)×(2+1)×(1+1),这里3,2,1恰好是360分解质因数式子中2,3,5的个数,从而得到下面关于约数个数的一个重要结论: 一个大于1的整数的约数个数,等于它的质因数分解式中每个质因数的个数加1的连乘积。用数字式子表示为: 如果a分解质因数为: a=××…× 则a的全体约数的个数为: (r1+1)×(r2+1)×…×(rn+1) (学过乘法原理的同学,不妨从乘法原理的角度去理解此的由来。) 例5:有30个约数的最小自然数是多少? 分析:设所求的数为a,则a有30个约数,因为30=30×1=2×15=3×10=5×6=2×3×5,要使a最小,一般使a的质因数的幂指数尽可能小,质因数的个数尽可能少,所以a必为下列形式: a=a1×a22×a34 其中a1,a2,a3为互不相同的质数。 要使a最小,a1,a2,a3应尽可能小,显然a3=2,a2=3,a1=5,这样 a=24×32×5==720 解:因为30=30×1=15×2=10×3=6×5=5×3×2,而且题中要求有30个约数的最小的数,所以这个数是能表示为a=a1×a22×a34,其中a1,a2,a3为互不相等的质数,为了使a最小,a3=2,a2=3,a1=5,所以a=24×32×5=720。 例6:引例。 分析:三人三枪中靶环数之积均为60,即每人每枪中靶环数均为60的约数。将60分解质因数为60=22×3×5,又因为每枪环数不超过10,所认将60写成三个不超过10的自然数的乘积有且只有以下四种情况: 60=3×4×5 (1) 60=2×6×5 (2) 60=2×3×10 (3) 60=1×6×10 (4) 其中总环数分别为12,13,15,17,出现4环的情形(1)总环数最少,所以4环是丙打的。 解:因为60=3×4×5=2×6×5=2×3×10=1×6×10, 所以三个人各自打的环数有下面4种可能: (1)3,4,5 (2)2,6,5 (3)2,3,10 (4)1,6,10 其中出现4环的情形(1)总环数最少,所以4环是丙打的。 例7:九个连续自然数中至多有四个质数,例如1至9中有2,3,5,7四个质数。请在200以内再找出五组这样的质数。 分析:9个连续自然数中至多有5个奇数,在两位数中,个位是5的数必能被5整除,而且三个连续的奇数必有一个能被3整除,所以只有当个位数字为5的两位数又有能被3整除时,其余的四个奇数才有可能是质数。当找到一组这样的两位以上质数时,另一组与这组对应的数的差必定是30的倍数。按照上述办法找出后,再根据质数的判断方法去筛 选就可得到结果。 首先容易得出3,5,7,11;5,7,11,13;在两位数中,按照上面的方法可得出以下各组数: 11, 13, 15, 17, 19; 41, 43, 45, 47, 49; 71, 73, 75, 77, 79; 101,103,105,107,109; 131,133,135,137,139; 161,163,165,167,169; 191,193,195,197,199; 根据质数的判断方法可以得出两位数中还有11,13,17,19;101,103,107,109; 191,193,197,199这三组符合条件。 解:200以内另外五组这样的质数为: 例8:有一个2n+1位整数(n是整数,n≥1) 解法1:我们观察这个数的数字特征,可以看出,它的各个数位数字和是3的倍数。 由于n+1是整数,得3 | 3(n+1),所以3是原数的约数,显然3是1和原数以外的约数, 从上面的解法中,可以看到“整除”知识在判断质数与合数时有很大用处,要想迅速找到一个整数的约数,就要对数的整除特征非常熟悉,这对提高筛选的速度大有好处。 解法2:还可以把这个数分解一下,把这个数中间的“3”拆开。 把这个数字拆开的主要目的是能提出公因数做因数分解。这种方法不但能说明一个数是合数,还提供了分解因数的一种方法。 对于质数来讲,由于它至今没有统一的数学式子来表示,人们对它的了解仍是很不全面。已经知道:质数有无限多个(这在初中可以证明),并且一般来说,随着数值越大就越来越稀少。有人统计过五千以内的质数分布情况: 1--1000中有168个质数, 1001--2000中有135个质数, 2001--3000中有127个质数, 3001--4000中有120个质数, 4001--5000中有119个质数。 四、练习 1、由1,2,3,4,5,6,7,8,9。这九个数字组成的九位数是质数吗? 2、把下列八个数,分为两组,每组四个数,使两组数的积相等,问如何分? 14,33,35,75,39,30,143,169 3、 2340有多少个约数? 4、有一个质数,它加上10是质数,加上14也是质数,把它求出来。 5、两个质数的和是33,求这两个质数的积。 6、求用1,2,4,5,8中的三个数字组成最大的三位质数。 7、有四个人,他们的年龄一个比一个大一岁,他们的年龄乘积等于43680,求这四个人的年龄? 8、求有18个约数的最小自然数? 9、三个质数的乘积恰好等于它们的和的11倍,求这三个质数。 10、有两个整数,它们的和恰好是两个数字相同的两位数,它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数。求这两个整数。 五、习题参考答案及思路分析 1、不是。因为它一定能被3整除。 2、第一组:35,30,39,143 第二组:14,75,33,169 (答案不唯一) 3、∵2340=22×32×5×13 ∴它的约数个数为(2+1)×(2+1)×(1+1)×(1+1)=36个 4、设所求的质数为a,则a+10,a+14仍为质数。 ∵10≡1(mod3),若a≡2(mod3),则3|a+10不可。又∵14≡2(mod3),若a≡1(mod3),则3|a+14也不可。∴只能a≡0(mod3)。能被3整除且为质数的数只有3符合。 所以所求的数为3。 5、因为这两个质数和是33,为奇数,所以这两个质数必定是一个为奇数,另一个为偶数。由于偶质数只有2,所以另一个奇质数为33-2=31。31×2=62。这两个质数的积为62。 6、个位是2,4,8,5的三位数一定能被2或5整除,不是质数,所以个位只能是1。将个位数字是1的三位数从大到小逐个试验: 851=23×27,851不是质数。 841=29×29,841不是质数。 821不能被2至29的任何一个质数整除,所以821是所求的最大的三位质数。 7、因为这四个人的年龄的乘积等于43680,所以这四个人的年龄是43680的约数。先将43680分解质因数: 43680=25×3×5×7×13 =13×(2×7)×(3×5)×24 =13×14×15×16 所以这四个人的年龄分别是13,14,15,16。 8、因为18=18×1=9×2=6×3=3×3×2,要使所求数最小,这个数为a=a12×a22×a3,其中a1,a2,a3为互不相同的质数,所以a1=2,a2=3,a3=5,a=22×32×5=180,即有18个约数的最小自然数为180。 9、设这三个质数分别为a、b、c,则 abc=11(a + b + c) 所以a、b、c中必有一个是11,不妨设是c=11,则上式变为 ab=a + b + 11 变形,得ab-a-b=11 a(b-1)-(b-1)=11+1 (a-1)(b-1)=12=12×1=6×2=4×3 当b-1=12,a-1=1时,b=13,a=2; 当b-1=6,a-1=2时,b=7,a=3; 当b-1=4,a-1=3时,b=5,a=4(舍)。 所以这三个质数为2,11,13或3,7,11。 10、因为这两个整数的乘积恰好是三个数字相同的三位数,这个三位数必有因数111,因为111=3×37,所以这两个整数中必有一个是37的倍数,由于这两个整数的和是两位数,所以这两个整数最大为两位数。因此37的倍数只能是37或74。而另一个则是3的倍数,经试验,只有(3,74),(18,37)两组符合。