Strongart数学笔记:浅谈无界算子的基本思想
浅谈无界算子的基本思想
当年我学习无界算子是比较痛苦的,一来是那时不巧正在闹退学
风波,情感上波动很大;二来这个无界算子的处理方式与有界算子有
较大差异,需要重新整理思想框架才行。最近,我的泛函分析视频要
讲到这个部分,正好借此机会克服了无界算子恐惧症,对无界算子的
基本思想算是小有心得,下面就来给大家科普一下。
即便是在Hilbert space上,无界算子的研究方式也是很特别的,
它的第一个特别之处是我们更愿意关注它的图。这一点应该是显然
的,既然范数不是有界的,那就失去相应的统治力,但为什么要关注
的...
浅谈无界算子的基本思想
当年我学习无界算子是比较痛苦的,一来是那时不巧正在闹退学
风波,情感上波动很大;二来这个无界算子的处理方式与有界算子有
较大差异,需要重新整理思想框架才行。最近,我的泛函
视频要
讲到这个部分,正好借此机会克服了无界算子恐惧症,对无界算子的
基本思想算是小有心得,下面就来给大家科普一下。
即便是在Hilbert space上,无界算子的研究方式也是很特别的,
它的第一个特别之处是我们更愿意关注它的图。这一点应该是显然
的,既然范数不是有界的,那就失去相应的统治力,但为什么要关注
的它的图像呢?主要由于闭图像定理,它在无界算子理论中的解释就
是 Hilbert space H 上的算子 T是连续的 iff D(T)=H(见下文中
无界算子的第二个特别之处)且 H的闭图像的,可见连续算子在无界
算子中最自然的推广就是闭图像算子(有些泛函
上简称其为闭算
子,个人觉得很不妥当,它容易与大名鼎鼎开映射混淆,开映射直接
从拓扑学中继承,这里闭算子却是另一回事了)。对于 Hilbert space
H 上的稠定(见下文解释)无界算子 T,关于图 G(T)的一个基本结
论是 G(T*)=V[G(T)]⊥,这里 V 是酉算子,使得 V{a,b}={-b,a}.
无界算子的谱定义大致与有界算子平行,只是既然T 允许无界,
那么御姐集的条件中也不要求(λI-T)^(-1)有界。换句话说,就是
把 Strongart 教授所提到的乌索普直接拉入御姐集之中,而不像算子
那样是由 Banach inverse theorem(它等价于开映射定理,因此需
要完备性支持)保证。对于无界自伴算子的谱,和有界算子谱一样是
实数轴上的闭集,但却未必是紧集。比如乘法算子T:
L^2(R)→L^2(R);T(x)(t)=tx(t),其谱就是整个实数轴;同样导数算
子 T:L^2(R)→L^2(R);Tx=ix'的谱也是整个实数轴,这二者可以说
是最常见的无界自伴算子了。
无界算子的第二个特别之处是定义域可以不在整个空间上,一般
我们说 Hilbert space H 上的有界算子 T,就是要求其定义域D(T)
=H;但对于无界算子 T 而言,D(T)可以是 H 的一个子空间。为什么
会有这么奇葩的约定呢?大概有两个原因,一是常见的无界算子很难
定义在整个空间上,像上面的乘法算子与求导算子,其定义域实际上
都在使得像集平方可和空间内,而且这个具体空间一般还得靠结果拼
凑出来;二是我们对于最常见的一类自伴算子,假若定义在整个空间
上,那就一定是有界的,这就是著名的 Hellinger-Toeplitz Theorem.
无界算子定义域的特别之处可能会导致一些奇葩的现象:
1)常见的算子等式可能不成立:对于 H 上的三个无界算子T,R,
S,有(R+S)T=RT+ST,却可能只有 T(R+S)>TR+TS,比如 R+S=0但
R(H)可能不在 D(T)内!
2)与无界算子关系密切的算子需要特别约定:比如对于闭图像
算子,有的书上讲连续算子一定是闭图像的,有的书上则说未必如此,
这是为什么呢?事实上,这取决于它定义于有界算子还是无界算子,
作为有界算子是可以由连续性导出的,但作为无界算子就不可以了,
比如假设 H有稠子空间 K,那么 H 上的恒同算子定义在K上就不是闭
图像的。
3)对称算子与自伴算子的区分:先定义共轭算子 T*,y→T*y 是
由=对任何 x∈D(T)定义的,它当 D(T)稠密时唯一,因此在处理与
T*有关的问题时,我们常常假设 T 是稠定算子。在此前提下,T是自
伴算子,则必须 T=T*;而 T 是对称算子 iff =对任何 x,y∈D(T)成立。
可见在有界算子中,对称与自伴是一个概念,但在无界算子中就区别
开来了,这是因为D(T*)可能要比 D(T)大。
事实上,自伴算子是极大对称的,也就是说假若 T对称,S 自伴,
那么 S≤T→S=T.但这并不是说每个对称算子都可以扩张为一个自伴
算子,一个基本的结论是von Neumann decomposition,有 D(T*0=D
(A)⊙ker(A*-iI)⊙ker(A*+iI),然后定义亏指标n+=dim ker
(A*-iI),n-=n+=dim ker(A*+iI).对称算子 T是自伴的 iff 其亏
指标 n±=0;它是可扩张为自伴的 iff n+=n-.
以上就是无界算子一些基本思想,主要是从有界算子到无界算子
作一个自然的过渡,在这个框架下也能够加深我们对于有界算子理论
的认识,希望能够帮助初学者度过这个难关,但对于无界算子的专门
内容,还请参考相关的文献资料。
本文作者 Strongart 是一位自学数学的牛人,现在他依然努力坚持自学数学,
似乎又有了新的突破,还录了一些数学专业教学视频放在网上。然而,他却一直
没有收到专业人士的邀请,至今只能依靠网络书店购买书籍,无法获取海量的论
文资料,也没有机会和一流的学者们交流,最后只能走上娱乐拯救学术的道路,
这不论对他自己还是对中国的数学事业都将是一个损失。这里我希望一些有识之
士能够用自己的实际行动支持一下!
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的新浪博客。
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