椭圆四:面积问题椭圆四:有关面积问题
1.(2010一模)海淀
19.(本小题满分13分)
已知椭圆C的中心在原点,焦点在
轴上,左右焦点分别为
,且
,点(1,
)
在椭圆C上.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过
的直线
与椭圆
相交于
两点,且
的面积为
,求以
为圆心
且与直线
相切的圆的方程.
答案:
19.(本小题满分13分)
解:(Ⅰ)设椭圆的方程为
,由题意可得:
椭圆C两焦点坐标分别为
,
.
.……………1分
.
.……………3分
又
,
……………4分
故椭圆的方...
椭圆四:有关面积问题
1.(2010一模)海淀
19.(本小题满分13分)
已知椭圆C的中心在原点,焦点在
轴上,左右焦点分别为
,且
,点(1,
)
在椭圆C上.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过
的直线
与椭圆
相交于
两点,且
的面积为
,求以
为圆心
且与直线
相切的圆的方程.
:
19.(本小题满分13分)
解:(Ⅰ)设椭圆的方程为
,由题意可得:
椭圆C两焦点坐标分别为
,
.
.……………1分
.
.……………3分
又
,
……………4分
故椭圆的方程为
.
.……………5分
(Ⅱ)当直线
EMBED Equation.DSMT4 轴,计算得到:
,
,不符合题意.
.……………6分
当直线
与
轴不垂直时,设直线
的方程为:
,
由
,消去y得
,
.……………7分
显然
成立,设
,
则
.……………8分
又
即
, .……………9分
又圆
的半径
.……………10分
所以
化简,得
,
即
,解得
所以,
,
.……………12分
故圆
的方程为:
.
.……………13分
(Ⅱ)另解:设直线
的方程为
,
由
,消去x得
,
恒成立,
设
,则
……………8分
所以
EMBED Equation.DSMT4
.……………9分
又圆
的半径为
,
.……………10分
所以
,解得
,
所以
,
……………12分
故圆
的方程为:
.
.……………13分
2.朝阳(2011一模理)
19.(本小题满分14分)
已知
,
为椭圆
的左、右顶点,
为其右焦点,
是椭圆
上异于
,
的动点,且
面积的最大值为
.
(Ⅰ)求椭圆
的方程及离心率;
(Ⅱ)直线
与椭圆在点
处的切线交于点
,当直线
绕点
转动时,试判断以
为直径的圆与直线
的位置关系,并加以证明.
答案:19.(本小题满分14分)
解:(Ⅰ)由题意可设椭圆
的方程为
,
.
由题意知 SHAPE \* MERGEFORMAT
解得
,
.
故椭圆
的方程为
,离心率为
.……6分
(Ⅱ)以
为直径的圆与直线
相切.
证明如下:由题意可设直线
的方程为
EMBED Equation.DSMT4 .
则点
坐标为
,
中点
的坐标为
.
由
得
.
设点
的坐标为
,则
.
所以
,
. ……………………………10分
因为点
坐标为
,
当
时,点
的坐标为
,点
的坐标为
.
直线
轴,此时以
为直径的圆
与直线
相切.
当
时,则直线
的斜率
.
所以直线
的方程为
.
点
到直线
的距离
EMBED Equation.DSMT4 .
又因为
,所以
.
故以
为直径的圆与直线
相切.
综上得,当直线
绕点
转动时,以
为直径的圆与直线
相切.………14分
3.(2011顺义二模理19). (本小题满分14分)
已知椭圆C的左,右焦点坐标分别为
,离心率是
。椭圆C的左,右顶点分别记为A,B。点S是椭圆C上位于
轴上方的动点,直线AS,BS与直线
分别交于M,N两点。
(1) 求椭圆C的方程;
(2) 求线段MN长度的最小值;
(3) 当线段MN的长度最小时,在椭圆C上的T满足:
的面积为
。试确定点T的个数。
解(1)因为
,且
,所以
所以椭圆C的方程为
…………………………………………….3分
(2 ) 易知椭圆C的左,右顶点坐标为
,直线AS的斜率
显然存在,且
故可设直线AS的方程为
,从而
由
EMBED Equation.3 得
设
,则
,得
从而
,即
又
,故直线BS的方程为
由
得
,所以
故
又
,所以
当且仅当
时,即
时等号成立
所以
时,线段MN的长度取最小值
………………………………..9分
(3)由(2)知,当线段MN的长度取最小值时,
此时AS的方程为
,
,
所以
,要使
的面积为
,
只需点T到直线AS的距离等于
,
所以点T在平行于AS且与AS距离等于
的直线
上
设
,则由
,解得
1 当
时,由
得
由于
,故直线
与椭圆C有两个不同交点
②
时,由
得
由于
,故直线
与椭圆C没有交点
综上所求点T的个数是2. …
4.(2010寒假)东城
19.(本小题满分13分)
已知椭圆
的中心在原点,一个焦点
,且长轴长与短轴长的比是
.
(Ⅰ)求椭圆
的方程;
(Ⅱ)若椭圆
在第一象限的一点
的横坐标为
,过点
作倾斜角互补的两条不同的直线
,
分别交椭圆
于另外两点
,
,求证:直线
的斜率为定值;
(Ⅲ)求
面积的最大值.
答案:
19.(本小题满分13分)
解:(Ⅰ)设椭圆
的方程为
.
由题意
………………………………………………2分
解得
,
.
所以椭圆
的方程为
.………………………………………………4分
(Ⅱ)由题意知,两直线
,
的斜率必存在,设
的斜率为
,
则
的直线方程为
.
由
得
.………………6分
设
,
,则
,
同理可得
,
则
,
.
所以直线
的斜率
为定值. ……………………………………8分
(Ⅲ)设
的直线方程为
.
由
得
.
由
,得
.……………………………………10分
此时
,
.
到
的距离为
,
则
.
因为
使判别式大于零,
所以当且仅当
时取等号,
所以
面积的最大值为
.………………………………………………………13分
5. (2010一模)石景山
19.(本题满分14分)
已知椭圆的离心率为,长轴长为,直线交椭圆于不同的两点A、B。
(1)求椭圆的方程;
(2)求的值(O点为坐标原点);
(3)若坐标原点O到直线的距离为,求面积的最大值。
答案:
19.(本题满分14分)
解:(1)设椭圆的半焦距为c,
依题意
解得
由 2分
所求椭圆方程为 3分
(2)
设,
其坐标满足方程
消去并整理得
4分
则(*) 5分
故 6分
经检验满足式(*)式 8分
(3)由已知,
可得 9分
将代入椭圆方程,整理得
10分
11分
12分
当且仅当,
即时等号成立,
经检验,满足(*)式
当时,
综上可知13分
当|AB最大时,的面积最大值 14分
6.海淀(2011寒假)
19. (本小题满分14分)
已知点
在抛物线
EMBED Equation.DSMT4 上,
点到抛物线
的焦点F的距离为2,直线
EMBED Equation.DSMT4 与抛物线交于
两点.
(Ⅰ)求抛物线
的方程;
(Ⅱ)若以
为直径的圆与
轴相切,求该圆的方程;
(Ⅲ)若直线
与
轴负半轴相交,求
面积的最大值.
答案:
19. (共14分)
解:(Ⅰ)抛物线
的准线为
, .....................................1分
由抛物线定义和已知条件可知
,
解得
,故所求抛物线方程为
. ......................................3分
(Ⅱ)联立
,消
并化简整理得
.
依题意应有
,解得
. ..............................................4分
设
,则
, .............................................5分
设圆心
,则应有
.
因为以
为直径的圆与
轴相切,得到圆半径为
, ........................6分
又
.
所以
, .........................................7分
解得
. .........................................8分
所以
,所以圆心为
.
故所求圆的方程为
. ............................................9分
方法二:
联立
,消掉
并化简整理得
,
依题意应有
,解得
. ............................................4分
设
,则
. .............................................5分
设圆心
,则应有
,
因为以
为直径的圆与
轴相切,得到圆半径为
. .....................................6分
又
,
又
,所以有
, .............................................7分
解得
, ..............................................8分
所以
,所以圆心为
.
故所求圆的方程为
. .............................................9分
(Ⅲ)因为直线
与
轴负半轴相交,所以
,
又
与抛物线交于两点,由(Ⅱ)知
,所以
,...........................................10分
直线
:
整理得
,
点
到直线
的距离
, .................................................11分
所以
. ..................................................12分
令
,
,
,
+
0
-
极大
由上表可得
最大值为
. ...............................................13分
所以当
时,
的面积取得最大值
. ...............................................14分
7.东城(2011一模理)
(19) (本小题共13分)
已知椭圆
的离心率为
,且两个焦点和短轴的一个端点是一个等腰三角形的顶点.斜率为
的直线
过椭圆的上焦点且与椭圆相交于
,
两点,线段
的垂直平分线与
轴相交于点
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求的取值范围;
(Ⅲ)试用表示△
的面积,并求面积的最大值.
答案:(19)(共13分)
解:(Ⅰ)依题意可得,
,
,
又
,
可得
.
所以椭圆方程为
.
(Ⅱ)设直线
的方程为
,
由
可得
.
设
,
则
,
.
可得
.
设线段
中点为
,则点
的坐标为
,
由题意有
,
可得
.
可得
,
又
,
所以
.
(Ⅲ)设椭圆上焦点为
,
则
.
,
由
,可得
.
所以
.
又
,
所以
.
所以△
的面积为
(
).
设
,
则
.
可知
在区间
单调递增,在区间
单调递减.
所以,当
时,
有最大值
.
所以,当
时,△
的面积有最大值
.
8.(2011西城二模理19.)(本小题满分14分)
已知椭圆
EMBED Equation.3 的离心率为
,且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为
.
(Ⅰ)求椭圆
的方程;
(Ⅱ)设直线
与椭圆
交于
两点,且以
为直径的圆过椭圆的右顶点
,
求
面积的最大值.
解:(Ⅰ)因为椭圆
上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为
,
所以
, ……………1分
又椭圆的离心率为
,即
,所以
, ………………2分
所以
,
. ………………4分
所以
,椭圆
的方程为
. ………………5分
(Ⅱ)方法一:不妨设
的方程
,则
的方程为
.
由
得
, ………………6分
设
,
,
因为
,所以
, ………………7分
同理可得
, ………………8分
所以
,
, ………………10分
, ………………12分
设
,
则
, ………………13分
当且仅当
时取等号,
所以
面积的最大值为
. ………………14分
方法二:不妨设直线
的方程
.
由
消去
得
, ………………6分
设
,
,
则有
,
. ① ………………7分
因为以
为直径的圆过点
,所以
.
由
,
得
. ………………8分
将
代入上式,
得
.
将 ① 代入上式,解得
或
(舍). ………………10分
所以
(此时直线
经过定点
,与椭圆有两个交点),
所以
. ……………12分
设
,
则
.
所以当
时,
取得最大值
.
9.(2010寒假)崇文
(19)(本小题共14分)
已知椭圆的中心在坐标原点
,焦点在
轴上,短轴长为2,且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点.过右焦点
与
轴不垂直的直线
交椭圆于
,
两点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)当直线
的斜率为1时,求
的面积;
(Ⅲ)在线段
上是否存在点
,使得以
为邻边的平行四边形是菱形?
若存在,求出
的取值范围;若不存在,请说明理由.
答案:
19)(共14分)
解:(Ⅰ)由已知,椭圆方程可设为
. ----------------1分
∵ 两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点,且短轴长为2,
∴
.
所求椭圆方程为
. ---------------- 4分
(Ⅱ)右焦点
,直线
的方程为
.
设
,
由
得
,解得
.
∴
. ----------------9分
(Ⅲ)假设在线段
上存在点
,使得以
为邻边的平行四边形是菱形.因为直线与
轴不垂直,所以设直线
的方程为
.
由
可得
.
∴
.
.其中
以
为邻边的平行四边形是菱形
EMBED Equation.DSMT4 .
∴
. ----------------1 4分
10.丰台18.(本小题满分13分)
已知
为平面直角坐标系的原点,过点
的直线
与圆
交于
两点.
(Ⅰ)若
,求直线
的方程;
(Ⅱ)若
与
的面积相等,求直线
的斜率.
解:(Ⅰ)依题意,直线
的斜率存在,
因为 直线
过点
,可设直线
:
.
因为
两点在圆
上,所以
,
因为
,所以
所以
所以
到直线
的距离等于
.
所以
,
得
,
所以 直线
的方程为
或
…………………6分
(Ⅱ)因为
与
的面积相等,所以
,
设
,
,所以
,
.
所以
即
(*);
因为
,
两点在圆上,
所以
把(*)代入,得
,
所以
所以 直线
的斜率
, 即
………………………13分
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
D
_
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
_
x
_
y
_
N
_
S
_
A
_
B
_
M
_
O
_1358505193.unknown
_1363677523.unknown
_1363698544.unknown
_1363699433.unknown
_1364406408.unknown
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