第14章 静不定结构

(Statically Indeterminate Structure)(Statically Indeterminate Structure) 第十四章第十四章 静不定问题分析静不定问题分析 §§1414--33 对称及反对称性质的应用对称及反对称性质的应用 §§1414--11 静不定结构概述静不定结构概述 §§1414--22 用力法解静不定结构用力法解静不定结构 (Statically Indeterminate Structure)(Statically Indeterminate Structure) 一、静不定结构一、静不定结构 在静不定结构中在静不定结构中,,超过维持静力学平衡所必须的约超过维持静力学平衡所必须的约 束称为多余约束，多余约束相对应的反力称为多余约束束称为多余约束，多余约束相对应的反力称为多余约束 反力反力,,多余约束的数目为结构的多余约束的数目为结构的静不定次数静不定次数。。 §§1414--11 静不定结构概述静不定结构概述 用静力学平衡方程无法确定全部约束力和内力的结用静力学平衡方程无法确定全部约束力和内力的结 构构,,统称为统称为静不定结构或系统静不定结构或系统,,也称为也称为超静定结构或系统超静定结构或系统.. (Statically Indeterminate Structure)(Statically Indeterminate Structure) 第三类第三类::在结构外部和内部均存在多余约束在结构外部和内部均存在多余约束,,即支反即支反 力和内力是静不定的力和内力是静不定的,,也称也称混合静不定结构混合静不定结构。。 二、静不定问题分类二、静不定问题分类 第一类第一类::仅在结构外部存在多余约束仅在结构外部存在多余约束,,即支反力是静即支反力是静 不定的不定的,,可称为可称为外力静不定系统外力静不定系统;; 第二类第二类::仅在结构内部存在多余约束仅在结构内部存在多余约束,,即内力是静不即内力是静不 定的定的,,可称为可称为内力静不定系统内力静不定系统;; (Statically Indeterminate Structure)(Statically Indeterminate Structure) 外力超静定外力超静定 外力超静定外力超静定 （（cc）） （（aa）） （（bb）） （（dd）） （（ee）） 混合超静定混合超静定内力超静定内力超静定 内力超静定内力超静定 (Statically Indeterminate Structure)(Statically Indeterminate Structure) 五、分析方法五、分析方法 1.1.力法力法::以未知力为基本未知量的求解方法以未知力为基本未知量的求解方法;; 2.2.位移法位移法::以未知位移为基本未知量的求解方法以未知位移为基本未知量的求解方法.. （（11）外力超静定次数的判定）外力超静定次数的判定::根据约束性质确定支反力的个根据约束性质确定支反力的个 数数,,根据结构所受力系的类型确定独立平衡方程的个数根据结构所受力系的类型确定独立平衡方程的个数,,二者的差二者的差 即为结构的超静定次数；即为结构的超静定次数； （（22）内力超静定次数的判定）内力超静定次数的判定::一个平面封闭框架为三次内力一个平面封闭框架为三次内力 超静定超静定;;平面桁架的内力超静定次数利用杆件数和节点数之间的平面桁架的内力超静定次数利用杆件数和节点数之间的 关系判断。关系判断。(m=2n(m=2n--3)3) 四、超静定次数的判定四、超静定次数的判定 (Statically Indeterminate Structure)(Statically Indeterminate Structure) §§1414--22 用力法解静不定结构用力法解静不定结构 一、力法的求解过程一、力法的求解过程 1.1.判定超静定次数判定超静定次数 解除超静定结构的多余约束，用解除超静定结构的多余约束，用多余约束力多余约束力代替多余约束代替多余约束,, 得到一个几何不变的静定系统得到一个几何不变的静定系统,,称为原静不定系统的称为原静不定系统的““相当系统相当系统””;; 2.2.在多余约束处满足在多余约束处满足““变形几何条件变形几何条件””,,得到得到变形协调方程变形协调方程;; 3.3.由补充方程求出多余约束力由补充方程求出多余约束力;;（利用（利用能量法能量法求解）求解） 4.4.在在基本系统基本系统上求解原超静定结构的内力和变形上求解原超静定结构的内力和变形.. （解除多余约束后的静定结构）（解除多余约束后的静定结构） (Statically Indeterminate Structure)(Statically Indeterminate Structure) AA BB l FFBB （（11）去掉多余约束代之约）去掉多余约束代之约 束反力束反力,,得原结构的相当系统得原结构的相当系统 FFB B 为多余反力为多余反力 qq为主动力为主动力 AB AB 悬臂梁为相当系统悬臂梁为相当系统 例题例题1 1 如图所示如图所示,,梁梁EIEI为常数为常数,,试求支座反力试求支座反力.. qq AA qq BB (Statically Indeterminate Structure)(Statically Indeterminate Structure) 变形协调条件：变形协调条件： （（22）） 利用多余约束处的变形情况写出变形协调条件利用多余约束处的变形情况写出变形协调条件 0BΔ （（33）） 用单位载荷法求用单位载荷法求ΔΔBB FFBB AA qq BB AA BB l (Statically Indeterminate Structure)(Statically Indeterminate Structure) 11 2 )( 2qxxFxM B  xxM )( 0d) 2 (F1 0 2 B   xxqxxEIΔ l B AA BB l qq FFBB AA qq BB AA BB xx xx （（33）） 用单位载荷法求用单位载荷法求ΔΔBB qlFB 8 3 思考：若求B截面的转角怎样求？ AA BB 11 (Statically Indeterminate Structure)(Statically Indeterminate Structure) 例题例题2 2 轴线为四分之一圆周的曲杆轴线为四分之一圆周的曲杆AA端固定端固定,,BB端铰支（图端铰支（图aa））. . 在在 FF作用下作用下,,求解此静不定结构。求解此静不定结构。 设曲杆横截面尺寸远小于轴线半径设曲杆横截面尺寸远小于轴线半径,, 可以借用计算直杆变形的公式可以借用计算直杆变形的公式.. /4/4 /4/4AA BB a a FF 解解::曲杆为一次超静定曲杆为一次超静定,,解除多与支座解除多与支座BB,,得到得到AA端固定端固定,,BB端为自端为自 由端的基本静定系由端的基本静定系,,多余约束力为多余约束力为FFBB（图（图bb））.. (a)(a) /4/4AA BB FF FFBB (b)(b) 变形协调条件是变形协调条件是::BB点的铅锤位移等于零点的铅锤位移等于零.. 0B (Statically Indeterminate Structure)(Statically Indeterminate Structure)  当在当在BB点作用一单位力时（图点作用一单位力时（图dd））,, 弯矩方程为弯矩方程为 sinaM  11  AA BB (d)(d) /4/4AA BB FF FFBB (b)(b) )sin( aFM B )) 4 sin(()sin(   aFaFM B sinaM  (Statically Indeterminate Structure)(Statically Indeterminate Structure) 应用莫尔积分应用莫尔积分,,并设曲杆的并设曲杆的EIEI为常量为常量,,    dsin))4 sin(sin( dsinsin1d0 2 π 4 4 π 0 aaaFaF aaaF EIEI sMM Δ B BsB     解得解得 22 FFB  利用平衡方程可以求解其他反力。利用平衡方程可以求解其他反力。 /4/4 /4/4AA BB a a FF (Statically Indeterminate Structure)(Statically Indeterminate Structure) 例题例题3 3 计算图（计算图（aa）中所示桁架各杆的内力）中所示桁架各杆的内力. . 设各杆的相同设各杆的材料相同,, 横截面面积相等横截面面积相等.. 解：桁架内部有一个多余约束解：桁架内部有一个多余约束, , 以杆件以杆件44为多余约束为多余约束,,假想的假想的 把它切开把它切开,,并代之以多余约束力并代之以多余约束力FFNN,,得到图（得到图（bb）所示的相当系统。）所示的相当系统。 a 44 33 55 11 22 66 a FF FFNN FFNN (a)(a) 44 33 55 11 22 66 FF (b)(b) (Statically Indeterminate Structure)(Statically Indeterminate Structure) 0'1/1  1111 44 33 55 11 22 66 44 33 55 11 22 66 FF (c)(c) (d)(d) 变形协调条件是变形协调条件是::切口两侧截面的相对位移等于零切口两侧截面的相对位移等于零.. FFNN FFNN a 44 33 55 11 22 66 a FF (Statically Indeterminate Structure)(Statically Indeterminate Structure) 11 22 33 44 55 66 杆件编号杆件编号 iFN iFN il NF2 1111 44 33 55 11 22 66 44 33 55 11 22 66 FF (c)(c) (d)(d) FFNN FFNN FN FN 2/)( NFF -F+FN FN 1 1 1 2 2 1 a a a a a2 a2 FFN 397.0 FFN 603.01  FFFF NNN 397.0432  FFN 854.05  FFN 561.06  0 6 1 '1/1   i iNiNi EA lFF 0'1/1  (Statically Indeterminate Structure)(Statically Indeterminate Structure) 例题例题4 4 刚架的两杆抗弯刚度都是刚架的两杆抗弯刚度都是EIEI,,解此刚架解此刚架..并求并求CC截面转角。截面转角。 FF AA BB CC DD ll ll/2/2 ll/2/2 (Statically Indeterminate Structure)(Statically Indeterminate Structure) 解解::取取BB处的反力为多余约束处的反力为多余约束.. 变形协调条件是变形协调条件是::BB点的铅锤位移等于零点的铅锤位移等于零.. AA BB CC DD ll FF ll/2/2 ll/2/2 0B ll AA BB CC DD FF ll/2/2 ll/2/2 FFBB (Statically Indeterminate Structure)(Statically Indeterminate Structure) ll AA BB CC DD FF ll/2/2 ll/2/2 FFBB AA BB CC DD ll/2/2 ll/2/2 11 xFxM B)( （（33）） 用单位载荷法求用单位载荷法求ΔΔBB xx BCBC:: CDCD:: DADA:: xxM )( xx lFxM B)( FxlFxM B )( xx lxM )( lxM )( xx xx xx (Statically Indeterminate Structure)(Statically Indeterminate Structure) 解得解得 FFB 32 3 ll AA BB CC DD FF ll/2/2 ll/2/2 FFBB AA BB CC DD ll/2/2 ll/2/2 xx xx xx xx xx xx 0]d)(Fd)(Fd)(F[1 2/ 0 B 2/ 0 B0 B   xlFxlxllxxxEIΔ lll B 11 (Statically Indeterminate Structure)(Statically Indeterminate Structure) 求求CC截面转角。截面转角。 AA BB CC DD ll/2/2 ll/2/2 11 xFxM B)( 用单位载荷法求用单位载荷法求 BCBC:: CDCD:: DADA:: lFxM B)( FxlFxM B )( 0)( xM 1)( xM 1)( xM EI Fl C 32 5 2 （ ） (Statically Indeterminate Structure)(Statically Indeterminate Structure) 一、对称结构一、对称结构 结构几何尺寸结构几何尺寸,,形状形状,,构件材料构件材料及及约束条件约束条件均对称于某一轴均对称于某一轴, , 则则 称此结构为对称结构称此结构为对称结构. . §§1414--33 对称与反对称静不定问题分析对称与反对称静不定问题分析 ( Application about symmetrical and ( Application about symmetrical and antisymmetricalantisymmetrical properties )properties ) (Statically Indeterminate Structure)(Statically Indeterminate Structure) 对称结构对称结构::若将结构绕对称轴对折后若将结构绕对称轴对折后,,结构在对称轴结构在对称轴 两边的部分将完全重合两边的部分将完全重合.. EE11II11EE11II11 EIEI 对对 称称 轴轴 (Statically Indeterminate Structure)(Statically Indeterminate Structure) EE11II11 EE11II11 EIEI 对对 称称 轴轴 EE11II11EE11II11 EIEI 对对 称称 轴轴 EE11II11EE11II11 EIEI 对对 称称 轴轴 对称载荷：作用位置对称、数值相等、指向对称对称载荷：作用位置对称、数值相等、指向对称;; 反对称载荷：作用位置对称、数值相等、但是指向相反反对称载荷：作用位置对称、数值相等、但是指向相反;; 二、对称载荷和反对称载荷二、对称载荷和反对称载荷 (Statically Indeterminate Structure)(Statically Indeterminate Structure) 对称载荷对称载荷::绕对称轴对折后绕对称轴对折后,,结构在对称轴两边的载荷结构在对称轴两边的载荷 的作用点和作用方向将重合的作用点和作用方向将重合,,而且每对力数值相等而且每对力数值相等.. FF22 FF22 FF11 FF11 (Statically Indeterminate Structure)(Statically Indeterminate Structure) 反对称载荷反对称载荷::绕对称轴对折后，结构在对称轴两绕对称轴对折后，结构在对称轴两 边的载荷的数值相等边的载荷的数值相等,,作用点重合而作用方向相反作用点重合而作用方向相反.. FF22 FF22 FF11 FF11 (Statically Indeterminate Structure)(Statically Indeterminate Structure) FF FF/2/2 FF/2/2 FF/2/2 FF/2/2FF (Statically Indeterminate Structure)(Statically Indeterminate Structure) EE11II11EE11II11 EIEI 对对 称称 轴轴 M/2M/2 (Statically Indeterminate Structure)(Statically Indeterminate Structure) EE11II11EE11II11 EIEI 对对 称称 轴轴 当对称结构受到对称载荷时，将产生对称变形，其内力分布也当对称结构受到对称载荷时，将产生对称变形，其内力分布也 对称于结构对称轴对称于结构对称轴;; EE11II11 EE11II11 EIEI 对对 称称 轴轴 EE11II11EE11II11 EIEI 对对 称称 轴轴 当对称结构受到反对称载荷时，将产生反对称变形，其内力分当对称结构受到反对称载荷时，将产生反对称变形，其内力分 布也反对称于结构对称轴布也反对称于结构对称轴;; 三、对称结构的对称变形与反对称变形三、对称结构的对称变形与反对称变形 (Statically Indeterminate Structure)(Statically Indeterminate Structure) 四、对称性质的应用四、对称性质的应用 EE11II11EE11II11 EIEI 对对 称称 轴轴 FN FN FS FS MM 对于平面对称刚架，对称轴横截面的内力有：轴力、剪力和弯矩。对于平面对称刚架，对称轴横截面的内力有：轴力、剪力和弯矩。 其中，轴力、弯矩为对称内力，剪力为反对称内力。其中，轴力、弯矩为对称内力，剪力为反对称内力。 对称结构作用对称载荷，则反对称内力（剪力）为零；对称结构作用对称载荷，则反对称内力（剪力）为零； 对称结构作用反对称载荷，则对称内力（轴力、弯矩）为零。对称结构作用反对称载荷，则对称内力（轴力、弯矩）为零。 利用这一性质可以有效的降低静不定次数。利用这一性质可以有效的降低静不定次数。 (Statically Indeterminate Structure)(Statically Indeterminate Structure) 例题例题11（教材例（教材例1414--22）） 图示刚架，承受载荷图示刚架，承受载荷 FF，求刚架的最大弯矩。，求刚架的最大弯矩。EIEI为常数为常数.. 解解::沿沿CCCC’’将刚架切将刚架切 开开,,由载荷的对称性由载荷的对称性,,截截 面面CC和和CC’’上的剪力等于上的剪力等于 零零,,只有轴力只有轴力FFNN和弯矩和弯矩MM.. 利用平衡条件求出利用平衡条件求出FFNN==FF/2,/2, 只有只有 MM 为多余约束力为多余约束力.. F F A B C A’ C’ F C C’ FNC MC M FNC (Statically Indeterminate Structure)(Statically Indeterminate Structure) 选取相当系统如图，只有选取相当系统如图，只有 弯矩一个多余未知力。弯矩一个多余未知力。 FN FN 11 变形协调条件是变形协调条件是:: 切口两侧截面的相对转角等于零切口两侧截面的相对转角等于零.. MM xx11 xx22 MxM )( 1 22 2 )( xFMxM  1)( 1 xM 1)( 2 xM xx22 xx11 (Statically Indeterminate Structure)(Statically Indeterminate Structure) 0]) 2 ([4 20 210'1/1   dxxFMdxMEI aa 8 FaM  F F A B C A’ C’ MxM )( 1 22 2 )( xFMxM  (Statically Indeterminate Structure)(Statically Indeterminate Structure) 例题例题2 2 （教材（教材1414--33）） 图示刚架，图示刚架，CC截面承受弯矩截面承受弯矩MM作用，计算作用，计算 CC截面转角。截面转角。EIEI为常数。为常数。 M B A F DC 解解::图示刚架为三次静不定图示刚架为三次静不定. . 但由于但由于 结构是对称的结构是对称的,,而载荷反对称而载荷反对称,,故对称轴故对称轴 横截面上轴力横截面上轴力,,弯矩为零弯矩为零,,只有一个多余只有一个多余 未知力（剪力未知力（剪力FFSS ）。）。 FFSS FFSS M/2M/2 变形协调条件是变形协调条件是:: 切口两侧截面的相对竖直位移等于零切口两侧截面的相对竖直位移等于零.. (Statically Indeterminate Structure)(Statically Indeterminate Structure) 0]) 2 () 22 ())( 2 ([2 201 2/ 0 11'1/1   dxllFMdxxxFMEI l S s l s 用单位载荷法求剪力用单位载荷法求剪力FFSS 11 11 0'1/1  11 2 )( xFMxM s 22 )( 2 lFMxM S 11)( xxM  2 )( 2 lxM  xx11 xx22 FFSS FFSS M/2M/2 xx22 xx11 (Statically Indeterminate Structure)(Statically Indeterminate Structure) l MFS 14 15 xx11xx22 FFSS FFSS M/2M/2 xx22 xx11 1 选取相当系统如图，求选取相当系统如图，求CC截面转角。截面转角。 1)( 1 xM 1)( 2 xM 111 14 15 22 )( x l MMxFMxM s  2828 15 222 )( 2 MMMlFMxM S  0]) 2 () 22 ())( 2 ([2 201 2/ 0 11'1/1   dxllFMdxxxFMEI l S s l s (Statically Indeterminate Structure)(Statically Indeterminate Structure) xx22 xx11 1 1)( 1 xM 1)( 2 xM 111 14 15 22 )( x l MMxFMxM s  2828 15 222 )( 2 MMMlFMxM S  ]) 28 () 14 15 2 ([1 201 2/ 0 1 dxMdxx l MM EI l s l C   EI Ml 112 9 （ ） ？ (Statically Indeterminate Structure)(Statically Indeterminate Structure) AA CC DD FF (b)(b) 例题例题3 3 （作业题（作业题1414--55）） 在等截面圆环直径在等截面圆环直径ABAB 的两端的两端,,沿直径作用方向相反的一对沿直径作用方向相反的一对FF力（图力（图 aa））..试求试求ABAB的相对线位移。的相对线位移。 解解::沿水平直径将圆环切开（图沿水平直径将圆环切开（图bb））,,由载由载 荷的对称性荷的对称性,,截面截面CC和和DD上的剪力等于零上的剪力等于零,,只有只有 轴力轴力FFNN和弯矩和弯矩MM00.. 利用平衡条件求出利用平衡条件求出FFNN==FF/2,/2, 只有只有 MM0 0 为多余约束力为多余约束力.. FF FF AA BB CC DD aa FFNNFFNN (a)(a) MM00 MM00 (Statically Indeterminate Structure)(Statically Indeterminate Structure) )cos1( 2 )( 0   FaMM 1M 根据对称性根据对称性,,只研究圆环的四分之一（图只研究圆环的四分之一（图 cc））,,变形协调条件为变形协调条件为 FFNN MM00 AA DD (c)(c)  11  AA DD (e)(e) 切口两侧截面的相对转角等于零切口两侧截面的相对转角等于零 0)]cos1( 2 [4 2/ 0 0'1/1     dRFaMEI ) π 1 2 1(0  FaM (Statically Indeterminate Structure)(Statically Indeterminate Structure) 任意截面上的弯矩任意截面上的弯矩 ) 2 cos π 1()cos1( 2 -) π 1 2 1()(   FaFaFaM ) π 1 2 1(0  FaM FFNN MM00 AA DD (c)(c)  在在AA,,BB两点作用单位力（图两点作用单位力（图ff））,,则单位力作用则单位力作用 下圆环内的弯矩为下圆环内的弯矩为 ) 2 cos π 1()(   aM ) 2 π(0   11 11 AA BB （（ff）） )cos1( 2 )( 0   FaMM (Statically Indeterminate Structure)(Statically Indeterminate Structure) 在在AA,,BB两点作用单位力（图两点作用单位力（图ff））,,则单位力作用则单位力作用 下圆环内的弯矩为下圆环内的弯矩为 ) 2 cos π 1()(   aM ) 2 π(0   使用莫尔积分求使用莫尔积分求AA,,BB两点的相对位移两点的相对位移 EI Fa EI Fa EI Fa EI aMM 33 2 π 0 2 3 2 π 0 149.0) π 2 4 π( d) 2 cos π 1(4d)()(4     11 11 AA BB （（ff）） (Statically Indeterminate Structure)(Statically Indeterminate Structure) 例题例题4 4 试求图示刚架的全部约束反试求图示刚架的全部约束反 力力,,并作弯矩图并作弯矩图,,刚架刚架EIEI为常数为常数.. 解解::图示刚架有三个多余未知力图示刚架有三个多余未知力. . 但但 由于结构是对称的由于结构是对称的,,而载荷反对称而载荷反对称,,故对故对 称轴横截面上轴力称轴横截面上轴力,,弯矩为零弯矩为零,,只有一个只有一个 多余未知力（剪力多余未知力（剪力FFSS ）。）。 FFSS FFSS BB FF FF FF FF a a aa AA CC (Statically Indeterminate Structure)(Statically Indeterminate Structure) FFFF FFSS FFSS 0] 2 ) 2 ([2 20 21 2/ 0 2 1'1/1   dxaFxaFdxxFEI a s a s 用单位载荷法求剪力用单位载荷法求剪力FFSS 11 11 0'1/1  变形协调条件是变形协调条件是:: 切口两侧截面的相对竖直位移等于零切口两侧截面的相对竖直位移等于零.. 11)( xFxM s 22 2 )( FxaFxM s  11)( xxM  2 )( 2 axM  xx11xx22 (Statically Indeterminate Structure)(Statically Indeterminate Structure) 由平衡方程求得由平衡方程求得:: FFs 7 6 FFF ByAy 7 6 RR  FFF BxAx  RR FaMM BA 7 4 MMBB FFRRBxBx FFRRByBy FF FF AA BB CC MMAAFFRRAyAy FFRRAxAx 0] 2 ) 2 ([2 20 21 2/ 0 2 1'1/1   dxaFxaFdxxFEI a s a s (Statically Indeterminate Structure)(Statically Indeterminate Structure) 例题例题10 10 求图求图a a 所示钢架的反力所示钢架的反力.. 解解::钢架有钢架有44个反力个反力,,是一次超静定结构。是一次超静定结构。 结构上的载荷是反对称的，结构上的载荷是反对称的，CC截面只有剪力不为零。截面只有剪力不为零。 由平衡方程直接得到由平衡方程直接得到:: 2 qaFAy  2 qaFBy 0R AxF EIEI EIEI qq AA BB CC qq aaaa (a)(a) qq CC EIEI EIEI qqFS FS 2 qaFs  0BxF