导数在不等式证明中的应用
95 科技咨询导报 Science and Technology Consulting Herald
学 术 论 坛
2007 NO.05
Science and Technology Consulting Herald科技咨询导报
数学问题的解决关键在于我们对待数学
问题的方法,如果在学习数学的过程中,我们
能有意识地将数学问题系列化,解决数学问
题的方法系列化,那么解决数学问题的能力
将会得到升华。在高等数学的学习中,不等式
的证明是可以作为一个系列问题来看待的,
不等式的证明是数学的重要内容之一,也是
难点之一...
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数学问
的解决关键在于我们对待数学
问题的方法,如果在学习数学的过程中,我们
能有意识地将数学问题系列化,解决数学问
题的方法系列化,那么解决数学问题的能力
将会得到升华。在高等数学的学习中,不等式
的证明是可以作为一个系列问题来看待的,
不等式的证明是数学的重要内容之一,也是
难点之一,其常用的方法有:比较法、综合法、
法、重要不等式法、数学归纳法等,而有
一些问题用上述方法解决是困难的,在学完
中值定理与导数的应用的内容以后,可以利
用拉格朗日中值定理与函数的单调性解决一
些不等式证明的问题,下面举例说明。
1 拉格朗日中值定理在不等式证明中的应
用
拉格朗日中值定理是以等式形式存在
的,那么,如何利用该定理去证明不等式呢?
在拉格朗日中值公式中 ,我们根
据 在(a,b)之间的取值可以估计 取值
范围,从而得到不等式,这就是应用拉格朗日
中值定理证明不等式的思想。
用拉格朗日中值定理证明不等式的步
骤:
(1)确定函数的对应法则 ,自变量所在
的区间[a,b]
(2)验证函数在区间内满足拉格朗日中值
定理的条件,从而得到,
(3)对 求导,从而得到 ,由
此得到由建立的一个等式。
(4)由 的范围确定 的范围,从而
验证不等式。
例1:证明:当x>0时,
分析:显然这里函数区间为[0,x]
证明:(1)令
(2) 在[0,x]上满足拉
格朗日中值定理的条件得:
(3)
(4)因为 所以
即当x>0时,
2 函数的单调性在不等式证明中的应用
许多不等式与函数相关,或整理后与函
数相关,我们可以先用导数的方法证明函数
的单调性,再用函数单调性的性质去证明不
等式,这就是利用单调性证明不等式的思
想 。
用单调性证明不等式的步骤:
(1)确定函数自变量所在的区间[a,b]
(2)求 ,确定
上的单调性。
(3)由单调性得到不等式
例 2 :证明:当 x> 1时,不等式
恒成立。
证明:令
因为x>1 所以
即当x>1时, 为增函数
所以
即
3 两种方法都可以用的例子
例3:设函数 与 在
内可导,并对任何x恒有 且
,证明:
当x>a时,
当x
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