腹带的绑法（Method to bind bellyband）

PAGEPAGE1锐角三角函数【考点梳理】：1．理解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA、cosA、tanA表示直角三角：　　比；熟记30。、45。、60。的三角函数值，并会由一个特殊的三角函数值说出这个角·　　2．能够正确地使用计算器，由已知锐角求出它的三角函数值，由已知三角函i应的锐角．　　3．理解直角三角形中边与边的关系、角与角的关系和边与角的关系，会运斥直角三角形两锐角互余以及锐角三角函数解直角三角形，并会运用解直角三角形解决简单的实际问题，进一步提高分析问题和解决问题的能力·　　4.在解直角三角形中要善于应用三角函数的定义；另外，直角三角形的勾雕之问的关系式是解直角三角形的依据，在解决实际问题时，先戛根据题意画出图^和理解题意，通过建立解直角三角形的数学模型使问题得以解决·　　5．通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的角，三角函数和解直角三角形的学习，体会锐角三角函数和解直角三角形的理论感受由实际问题抽象出数学问题，然后解决数学问题，再将数学问题的答案回到这种："实践--理论--实践"的认识过程．直角三角形边角的关系．拿实际图形解直角三角形或化为解直角三角形的有关问题．用仰角、俯角、坡度、方位角等有关知识解直角三角形应用。【思想方法】1.常用解题方法——设k法2.常用基本图形——双直角【考点一】：锐角三角函数概念思考与收获【例题赏析】（2015•山西,第10题3分）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（　　）A．2B．C．D．考点：锐角三角函数的定义；勾股定理；勾股定理的逆定理．专题：网格型．分析：根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案．解答：解：如图：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，∴△ABC为直角三角形，∴tan∠B==，故选：D．点评：本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数．【考点二】：特殊角三角函数值的计算【例题赏析】（1）（2015，广西玉林，2，3分）计算：cos245°+sin245°=（　　）A．B．1C．D．考点：特殊角的三角函数值．分析：首先根据cos45°=sin45°=，分别求出cos245°、sin245°的值是多少；然后把它们求和，求出cos245°+sin245°的值是多少即可．思考与收获解答：解：∵cos45°=sin45°=，∴cos245°+sin245°===1．故选：B．点评：此题主要考查了特殊角的三角函数值，要熟练掌握，解答此类问题的关键是要明确：（1）30°、45°、60°角的各种三角函数值；（2）一个角正弦的平方加余弦的平方等于1．（2）（2015•甘南州第15题6分）计算：|﹣1|+20120﹣（﹣）﹣1﹣3tan30°．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：根据绝对值的概念、零指数幂、负整数指数幂的法则，以及特殊三角函数值计算即可．解答：解：原式=﹣1+1﹣（﹣3）﹣3×=+3﹣=3．点评：本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握有关运算的法则．【考点三】：解直角三角形【例题赏析】（2015，广西柳州，16，3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=7，则sinB=　　．考点：锐角三角函数的定义；勾股定理．分析：根据锐角三角函数定义直接进行解答．解答：解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=7，思考与收获∴sinB==．故答案是：．点评：本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．【考点四】：解直角三角形的应用【例题赏析】（2015•贵州省贵阳,第20题9分）小华为了测量楼房AB的高度，他从楼底的B处沿着斜坡向上行走20m，到达坡顶D处．已知斜坡的坡角为15°．（以下计算结果精确到0.1m）（1）求小华此时与地面的垂直距离CD的值；（2）小华的身高ED是1.6m，他站在坡顶看楼顶A处的仰角为45°，求楼房AB的高度．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：（1）利用在Rt△BCD中，∠CBD=15°，BD=20，得出CD=BD•sin15°求得答案即可；（2）由图可知：AB=AF+DE+CD，利用直角三角形的性质和锐角三角函数的意义求得AF得出答案即可．解答：解：（1）在Rt△BCD中，∠CBD=15°，BD=20，∴CD=BD•sin15°，∴CD=5.2（m）．答：小华与地面的垂直距离CD的值是5.2m；（2）在Rt△AFE中，∵∠AEF=45°，思考与收获∴AF=EF=BC，由（1）知，BC=BD•cos15°≈19.3（m），∴AB=AF+DE+CD=19.3+1.6+5.2=26.1（m）．答：楼房AB的高度是26.1m．点评：本题考查了解直角三角形的应用，题目中涉及到了仰俯角和坡度角的问题，解题的关键是构造直角三角形．【考点五】：锐角三角函数的阅读理解应用题【例题赏析】2015•辽宁铁岭）（第23题）如图，大楼AN上悬挂一条幅AB，小颖在坡面D处测得条幅顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚E处，然后向大楼方向继续行走10米来到C处，测得条幅的底部B的仰角为45°，此时小颖距大楼底端N处20米．已知坡面DE=20米，山坡的坡度i=1：（即tan∠DEM=1：），且D、M、E、C、N、B、A在同一平面内，E、C、N在同一条直线上，求条幅的长度（结果精确到1米）（参考数据：≈1.73，≈1.41）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．.分析：过点D作DH⊥AN于H，过点E作FE⊥于DH于F，首先求出DF的长，进而可求出DH的长，在直角三角形ADH中，可求出AH的长，进而可求出AN的长，在直角三角形CNB中可求出BN的长，利用AB=AH﹣BN计算即可．解答：解：过点D作DH⊥AN于H，过点E作FE⊥于DH于F，∵坡面DE=20米，山坡的坡度i=1：，∴EF=10米，DF=10米，∵DH=DF+EC+CN=（10+30）米，∠ADH=30°，∴AH=×DH=（30+30）米，思考与收获∴AN=AH+EF=（40+30）米，∵∠BCN=45°，∴CN=BN=20米，∴AB=AN﹣BN=20+30≈71米，答：条幅的长度是71米．点评：此题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．【真题专练】1.（2015•天津,第2题3分）cos45°的值等于（　　）A．B．C．D．2.（2015•黑龙江省大庆,第1题3分）sin60°=（　　）A．B．C1D．3.（2015，福建南平，17，分）计算：（﹣2）3+3tan45°﹣．思考与收获4．（2015•贵州省黔东南州,第17题8分）计算：+﹣4sin60°+|﹣|5.（2015•贵州省黔东南州,第14题4分）如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，且AM=100海里．那么该船继续航行　50　海里可使渔船到达离灯塔距离最近的位置．6.（2015•辽宁阜新）（第11题，3分）如图，为了测量楼的高度，自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30°，已知地面上的这点与楼的水平距离BC为30m，那么楼的高度AC为　10　m（结果保留根号）．思考与收获7.（2015•吉林，第21题7分）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东53°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处．（1）在图中画出点B，并求出B处与灯塔P的距离（结果取整数）；（2）用方向和距离描述灯塔P相对于B处的位置．（参考数据：sin53°=0.80，cos53°=0.60，tan53°=0.33，=1.41）8.（2015•丹东，第23题10分）如图，线段AB，CD表示甲、乙两幢居民楼的高，两楼间的距离BD是60米．某人站在A处测得C点的俯角为37°，D点的俯角为48°（人的身高忽略不计），求乙楼的高度CD．（参考数据：sin37°≈，tan37°≈，sin48°≈，tan48°≈）思考与收获9.（2015•重庆A24，10分）某水库大坝的横截面是如图所示的四边形BACD，期中AB∥CD.瞭望台PC正前方水面上有两艘渔船M、N，观察员在瞭望台顶端P处观测渔船M的俯角，观测渔船N在俯角，已知NM所在直线与PC所在直线垂直，垂足为点E，PE长为30米.（1）求两渔船M，N之间的距离（结果精确到1米）；（2）已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度.为提高大坝防洪能力，某施工队在大坝的背水坡填筑土石方加固，加固后坝定加宽3米，背水坡FH的坡度为，施工12天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的1.5倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？（参考数据：）思考与收获10.（2015•内蒙古赤峰20，10分）如图，在一个18米高的楼顶上有一信号塔DC，李明同学为了测量信号塔的高度，在地面的A处测的信号塔下端D的仰角为30°，然后他正对塔的方向前进了18米到达地面的B处，又测得信号塔顶端C的仰角为60°，CD⊥AB与点E，E、B、A在一条直线上．请你帮李明同学计算出信号塔CD的高度（结果保留整数，≈1.7，≈1.4）【真题演练参考答案】1.（2015•天津,第2题3分）cos45°的值等于（　　）A．B．C．D．考点：特殊角的三角函数值．分析：将特殊角的三角函数值代入求解．解答：解：cos45°=．故选B．点评：本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．2.（2015•黑龙江省大庆,第1题3分）sin60°=（　　）A．B．C1D．考点：特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：原式利用特殊角的三角函数值解得即可得到结果．解答：解：sin60°=，故选D点评：此题考查了特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解本题的关键．3.（2015，福建南平，17，分）计算：（﹣2）3+3tan45°﹣．考点：实数的运算；特殊角的三角函数值．分析：先根据数的乘方及开方法则、特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．解答：解：原式=﹣8+3×1﹣3=﹣8+3﹣3=﹣8．点评：本题考查的是实数的运算，熟知数的乘方及开方法则、特殊角的三角函数值是解答此题的关键．4．（2015•贵州省黔东南州,第17题8分）计算：+﹣4sin60°+|﹣|考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．分析：本题涉及负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式化简几个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解答：解：+﹣4sin60°+|﹣|=﹣3+1﹣4×+2=﹣3+1﹣2+2=﹣2．点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．5.（2015•贵州省黔东南州,第14题4分）如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，且AM=100海里．那么该船继续航行　50　海里可使渔船到达离灯塔距离最近的位置．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．分析：过M作东西方向的垂线，设垂足为N．由题易可得∠MAN=30°，在Rt△MAN中，根据锐角三角函数的定义求出AN的长即可．解答：解：如图，过M作东西方向的垂线，设垂足为N．易知：∠MAN=90°=30°．在Rt△AMN中，∵∠ANM=90°，∠MAN=30°，AM=100海里，∴AN=AM•cos∠MAN=100×=50海里．故该船继续航行50海里可使渔船到达离灯塔距离最近的位置．故答案为50．点评：本题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，三角函数的定义，利用垂线段最短的性质作出辅助线是解决本题的关键．6.（2015•辽宁阜新）（第11题，3分）如图，为了测量楼的高度，自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30°，已知地面上的这点与楼的水平距离BC为30m，那么楼的高度AC为　10　m（结果保留根号）．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：由题意得，在直角三角形ACB中，知道了已知角的邻边求对边，用正切函数计算即可．解答：解：∵自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30°，∴∠ABC=30°，∴AC=AB•tan30°=30×=10（米）．∴楼的高度AC为10米．故答案为：10．点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，俯角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．7.（2015•吉林，第21题7分）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东53°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处．（1）在图中画出点B，并求出B处与灯塔P的距离（结果取整数）；（2）用方向和距离描述灯塔P相对于B处的位置．（参考数据：sin53°=0.80，cos53°=0.60，tan53°=0.33，=1.41）考点：解直角三角形的应用-方向角问题．分析：（1）根据方向角的定义结合已知条件在图中画出点B，作PC⊥AB于C，先解Rt△PAC，得出PC=PA•sin∠PAC=80，再解Rt△PBC，得出PB=PC=1.41×80≈113；（2）由∠CBP=45°，PB≈113海里，即可得到灯塔P位于B处北偏西45°方向，且距离B处约113海里．解答：解：（1）如图，作PC⊥AB于C，在Rt△PAC中，∵PA=100，∠PAC=53°，∴PC=PA•sin∠PAC=100×0.80=80，在Rt△PBC中，∵PC=80，∠PBC=∠BPC=45°，∴PB=PC=1.41×80≈113，即B处与灯塔P的距离约为113海里；（2）∵∠CBP=45°，PB≈113海里，∴灯塔P位于B处北偏西45°方向，且距离B处约113海里．点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，直角三角形，锐角三角函数的有关知识．解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．8.（2015•丹东，第23题10分）如图，线段AB，CD表示甲、乙两幢居民楼的高，两楼间的距离BD是60米．某人站在A处测得C点的俯角为37°，D点的俯角为48°（人的身高忽略不计），求乙楼的高度CD．（参考数据：sin37°≈，tan37°≈，sin48°≈，tan48°≈）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：过点C作CE⊥AB交AB于点E，在直角△ADB中利用三角函数求得AB的长，然后在直角△AEC中求得AE的长，即可求解．解答：解：过点C作CE⊥AB交AB于点E，则四边形EBDC为矩形，∴BE=CDCE=BD=60，如图，根据题意可得，∠ADB=48°，∠ACE=37°，∵，在Rt△ADB中，则AB=tan48°•BD≈（米），∵，在Rt△ACE中，则AE=tan37°•CE≈（米），∴CD=BE=AB﹣AE=66﹣45=21（米），∴乙楼的高度CD为21米．点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，本题要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．9.（2015•重庆A24，10分）某水库大坝的横截面是如图所示的四边形BACD，期中AB∥CD.瞭望台PC正前方水面上有两艘渔船M、N，观察员在瞭望台顶端P处观测渔船M的俯角，观测渔船N在俯角，已知NM所在直线与PC所在直线垂直，垂足为点E，PE长为30米.（1）求两渔船M，N之间的距离（结果精确到1米）；（2）已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度.为提高大坝防洪能力，某施工队在大坝的背水坡填筑土石方加固，加固后坝定加宽3米，背水坡FH的坡度为，施工12天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的1.5倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？（参考数据：）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；分式方程的应用；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：（1）在直角△PEN，利用三角函数即可求得ME的长，根据MN=EM﹣EN求解；（2）过点D作DN⊥AH于点N，利用三角函数求得AN和AH的长，进而求得△ADH的面积，得到需要填筑的土石方数，再根据结果比原计划提前20天完成，列方程求解．解答：⑴在Rt△PEN中，EN=PE=30m在Rt△PEM中，∴答：两渔船M、N之间的距离为20米⑵过点D作DN⊥AH交直线AH于点N由题意：，在RT△DAN中，m在RT△DHN中，m故AH=HN-AN=42-6=36m故需要填筑的土石方共设原计划平均每天填筑，则原计划天完成；增加机械设备后，现在平均每天填筑解得：经检验：是原分式方程的解，且满足实际意义答：该施工队原计划平均每天填筑864的土石方点评：本题考查了仰角的定义以及坡度，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．10.（2015•内蒙古赤峰20，10分）如图，在一个18米高的楼顶上有一信号塔DC，李明同学为了测量信号塔的高度，在地面的A处测的信号塔下端D的仰角为30°，然后他正对塔的方向前进了18米到达地面的B处，又测得信号塔顶端C的仰角为60°，CD⊥AB与点E，E、B、A在一条直线上．请你帮李明同学计算出信号塔CD的高度（结果保留整数，≈1.7，≈1.4）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：利用30°的正切值即可求得AE长，进而可求得CE长．CE减去DE长即为信号塔CD的高度．解答：解：根据题意得：AB=18，DE=18，∠A=30°，∠EBC=60°，在Rt△ADE中，AE===18∴BE=AE﹣AB=18﹣18，在Rt△BCE中，CE=BE•tan60°=（18﹣18）=54﹣18，∴CD=CE﹣DE=54﹣18﹣18≈5米．点评：本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形；难点是充分找到并运用题中相等的线段．