基于三次拉格朗日插值的自适应图像缩放

小 型 微 型 计 算 机 系 统 Journal of Chinese Computer Systems 2012 年 6 月 第 6 期 Vol. 33 No． 6 2012 收稿日期:2011-01-25 基金项目:国家"八六三"高技术研究发展计划项目(2009AA011706)资助;浙江大学基本科研业务费专项项目 (KYJD09012)资助． 作者简介:叶 森，男，1986 年生，硕士研究生，研究方向为数字图像处理与数字视频处理;丁 勇(通讯作者) ，男，1974 年 生，博士，高级工程师，研究方向为高级验证方法学和数字音视频 SoC ;王 翔，男，1984 年生，博士研究生，研究方向为数字图像处理与数 字视频处理;严晓浪，男，1947 年生，教授，博士生导师，研究方向为 SoC 设计与电子设计自动化． 基于三次拉格朗日插值的自适应图像缩放 叶 森，丁 勇，王 翔，严晓浪 (浙江大学 超大规模集成电路设计研究所，杭州 310027) E-mail:dingy@ vlsi． zju． edu． cn 摘 要:传统的插值算法由于低通滤波效应通常会使目标图像边缘模糊，难以得到满意的视觉效果．为了取得较好的图像缩放 质量，提出一种基于三次拉格朗日插值的自适应图像缩放算法．该算法首先计算目标像素点周围三组源像素点的方差，选取方 差最小的一组源像素点，然后采用三次拉格朗日插值公式求得目标像素点的灰度值．实验结果明，本文算法所得的目标图像 边缘清晰，且算法复杂度较低，便于硬件实现，可以实现实时图像缩放． 关 键 词:图像缩放;自适应;拉格朗日插值;图像边缘 中图分类号:TP391 文献标识码:A 文 章 编 号:1000-1220(2012)06-1278-06 Adaptive Image Scaling with Third-order Lagrange Interpolation YE Sen，DING Yong，WANG Xiang，YAN Xiao-lang (Department of Institute of VLSI Design，Zhejiang University，Hangzhou 310027，China) Abstract:Due to the low-pass filtering effect，traditional interpolation algorithms usually lead to the blurring of the edges in target im- ages，which deteriorates the visual effect of the interpolated images． In order to obtain a better quality of image scaling，a novel adap- tive image scaling algorithm with third-order Lagrange interpolation is proposed in this paper． First，the variances of the three sets of the source pixels around the target pixel are computed，and the set with the minimum variance is selected． Then the gray value of the target pixel is computed with third-order Lagrange interpolation formula． Experimental results show that the proposed algorithm is able to achieve vivid edges in target images，and has lower computation complexity which makes it easy for hardware implementation and adapt to real-time image scaling． Key words:image scaling;adaptive;lagrange interpolation;image edge 1 引 言 图像缩放技术是图像处理中的一项重要的内容，它是指 图像分辨率的改变，也称图像分辨率转换或图像尺度变 换［1］．图像分辨率是指图像的点阵数，单位为 dpi． 常见的分 辨率有 640 × 480、1024 × 768、1600 × 1200 和 2048 × 1536 等， 在每组数字中，前者为图像宽度，后者为图像高度，两者相乘 的值为图像的像素数．图像缩放技术在图像显示、传输、电影 合成甚至医学图像处理等许多领域都具有广泛的应用［2-4］． 比如，要在分辨率为 1024 × 768 的显示器上全屏显示 800 × 600 的数字图像，就需要事先对显示信号进行运算处理，将其 放大为 1024 × 768 的图像，再输出到显示器上显示． 由于数字图像是离散化的点阵数据，要对数字图像进行 尺度变换，就必须利用已知的像素信息对未知的重采样点进 行估计．数字图像的缩放通常利用图像插值技术来实现，插值 算法的优劣将直接关系到图像的缩放效果．通常，要获得实时 的图像输出，需要采用相对简单、运算量小的插值算法;而要 获得高质量的处理结果，就需要牺牲运算速度，采用复杂度相 对较高的插值算法．当前图像缩放算法研究的趋势是能够实 现任意倍数缩放，即无级缩放，并且尽可能获得边缘清晰的目 标图像． 图像缩放的算法大致可以分为两类．一类是基于像素的 图像插值算法，如最近邻插值、双线性插值［5］和双三次插 值［6］等．其中，最近邻插值具有简单和易于实现的特点，但在 目标图像中会产生明显的锯齿现象;双线性插值和双三次插 值的目标图像整体比较平滑，这两种算法的原理是将离散的 数字图像通过多项式函数建立连续化的插值模型，然后按缩 放要求进行重采样得到目标图像．由于插值模型的低通滤波 效应，使目标图像中出现锯齿或边缘模糊等现象．为减少图像 缩放中的高频信息的损失，近几年发展出了另一类基于边缘 的图像插值算法．其中，比较典型的是通过检测原始图像的边 缘，对图像的边缘区域和非边缘区域分别采用不同的插值方 法．江雯等基于 Sobel算子判断目标像素点是否为边缘点，并 检测出边缘的方向，再使用双线性和双三次插值完成图像的 插值［7］．这一算法的最大缺陷是只能实现 2k 倍数插值． Cha 等提出了一种EASE的边缘自适应插值方法［8］ ． 该算法利用 插值误差定理来修正双线性插值的误差． Chen等提出了基于 像素面积的缩放算法，使用像素面积模型将像素作为一个小 矩形进行处理，完成自适应插值［9］． 上述两种算法一定程度 上改善了图像边缘的模糊效应，但是算法复杂度较高，不便于 硬件实现和对图像的实时处理．刘政林等首先计算相邻像素 的二阶差分，再选择相对应的源像素点，采用牛顿插值公式完 成目标像素点的插值，实现了对图像的实时处理，但是缩放效 果不理想［10］．此外，还有一些运用小波变换［11］、分形［12］等进 行保护边缘的图像插值方法，尽管软件仿真效果良好，但是计 算量太大，难以硬件实现． 本文提出基于三次拉格朗日插值的自适应图像缩放算 法．该算法首先以相邻源像素点的方差为基准，选取一组源像 素点，再通过三次拉格朗日插值公式获得目标像素点的灰度 值，完成图像的插值，具有原理简单，复杂度低，能够实现图像 的无级缩放，边缘保护效果较好，易于硬件实现的特点． 2 基于三次拉格朗日插值的自适应图像缩放 2． 1 边缘自适应插值的原理 图像边缘是图像最基本的特征之一，它包含着位置、轮廓 等图像的大部分信息，为人们解释图像提供了一个重要的参 数．据 HVS(Human Visual System)研究表明，人眼对于图像 的边缘特别敏感，因此，边缘对图像的视觉效果具有十分重要 的影响．边缘自适应插值是指根据图像的内容检测出图像的 边缘信息，再沿着边缘方向进行插值，其主要步骤包括边缘检 测和自适应插值两个部分［13-15］． 图像的边缘具有方向和幅度两个特征，在边缘的两侧，灰 度值变化明显;沿着边缘方向，灰度值变化平缓．因此，在空域 上可以利用相邻像素之间的差分来检测或确定边缘方向．数 字图像的边缘检测是图像处理中的研究热点，它的目的是标 识数字图像中亮度梯度变化比较大的点［16］．常用的边缘检测 算子有 Roberts 算子、Prewitt 算子、Sobel 算子、LOG 算子和 Canny 算子等［17］．这些算子检查每个像素的邻域并对灰度变 化率进行量化，同时确定边缘的方向． 插值的过程是先检测原始图像像素点是否为边缘点，记 录边缘方向，再根据目标像素点是否在边缘方向上采用不同 的插值方法，当目标像素点位于边缘方向上时，采用原始图像 边缘方向上的像素点对目标像素点进行插值;当目标像素点 位于非边缘区域，即平坦区域时，采用基于像素的图像插值算 法计算目标像素点［7］．以 2 倍放大为例，来描述插值的过程． 图 1 为目标图像，其中，黑色像素点取自于原始图像，白色像 素点为待插值的像素点． 先用边缘检测算子检测点 f 是否为 边缘点． 若点 f 为边缘点，可将边缘方向分为 0°，90°，45°和 135°4 种情况，即水平方向，垂直方法和两个对角方向． 如果 边缘方向为 0°，则采用水平方向的源像素点对点 a 进行插 值，而对不在边缘方向上的点 b，c 和 d 采用基于像素的图像 插值算法进行计算． 其他情况可以此类推． 若点 f 为非边缘 点，即点 f位于原始图像的平坦区域，可直接采用基于像素的 图像插值算法计算点 f 周围的目标像素点． 对每一个黑点执 行上述步骤，即可完成对所有目标像素点的插值． 但是，这要求事先对原始图像进行边缘检测，保存边缘的 信息，其复杂性大大增加．另外，这些边缘检测算子虽然计算 简单、速度快，不过对噪声的干扰十分敏感，导致检测结果不 稳定，而且在使用边缘检测算子确定是否为边缘点时，需要人 为设定比较的阈值，通常只能实现 2k 倍数插值． 图 1 边缘保护示意图 Fig． 1 Illustration for edge-preserving 综合以上分析，在求取目标像素点的灰度值时，选取参与 计算的源像素点对结果的影响是至关重要的，应尽量使所选 取的源像素点灰度值较为接近，即相关性较大．因此，本文旨 在提出一种不需要检测原始图像的边缘就能选取相关性较大 的源像素点计算目标像素点，并且能够实现任意倍数缩放的 算法． 2． 2 基于三次拉格朗日插值的自适应图像缩放原理 为了减少算法复杂度和实现无级缩放，本文算法对图像 分别进行行方向插值和场方向插值处理．假设原始图像大小 为 m × n，目标图像大小为 k × l，其中，m，n，k，l∈N．先采用插 值算法对原始图像进行行方向插值处理，得到大小为 m × l的 中间图像，再使用相同的插值算法对中间图像进行场方向插 值处理，得到大小为k × l的目标图像．故只需考虑一维信号 图 2 一维信号插值示意图 Fig． 2 Illustration for the interpolation of 1-D signal 插值即可，如图 2 所示，假设点 f为待插值的目标像素点，△x 为目标像素点 f与源像素点 f2 之间的距离(0≤△x ＜ 1)．考虑 与点 f邻近的 6 个源像素点，为了减少计算量，将源像素点分 成 I(f0、f1、f2、f3) ，II(f1、f2、f3、f4)和 III(f2、f3、f4、f5)三组，每组 包含 4 个源像素点，选取其中相关性最大的一组用于计算目 标像素点 f．因为较大的相关性表示该组中各个源像素点灰度 值较为接近，处于同一图像区域的可能性较大，较小的相关性 表示该组中各个源像素点灰度值差别较大，处于不同区域的 可能性较大．显然，目标像素点 f的值选取一组相关性较大的 源像素点插值相比于采用相关性较小的一组源像素点更为合 理．而各组源像素点之间的相关性隐含在各组本身，为了便于 比较各组的相关性大小，必须选取合适的参数用于量化这一 重要特征． 方差是用来衡量随机变量与数学期望之间的偏离程度 97216 期 叶 森 等:基于三次拉格朗日插值的自适应图像缩放 的，本文引入方差衡量各组源像素点之间的相关性大小，方差 越小，表明相关性越大，而方差越大，表明相关性越小． 记 std21、std 2 2 和 std 2 3 为 I(f0、f1、f2、f3) ，II(f1、f2、f3、f4)和 III(f2、f3、 f4、f5)这三组源像素点的方差．比较其大小，选择方差最小的 一组源像素点，再使用插值函数计算目标像素点 f． 在数值分析中，拉格朗日插值法和泰勒多项式是两种常 用的数值计算方法，在数学、物理、计算机等各个领域具有广 泛应用．对于图像重采样而言，泰勒多项式最大的一个缺点是 它从一个点展开，必须计算各阶差分值，而拉格朗日插值法的 公式以等幂形式对称排列，易于编程，且该函数具有唯一性， 数值计算具有稳定性，在定义区间内是连续的．由于本文使用 4 个源像素点用于求取目标像素点，故本文提出的算法采用 最高次数为 3 的拉格朗日插值公式［18］，其公式如式(1)所示， x0、x1、x2 和 x3 为插值节点，y0、y1、y2 和 y3 为各节点处的函数 值，x为 y到 y0 的距离．假设 std 2 1 最小，表明 I组相关性最大， 使用 I组作为插值公式的输入节点，则用 f0、f1、f2 和 f3 分别代 替式中的 y0、y1、y2 和 y3，由于 f 与第一个源像素点 f0 的距离 为 2 +△x，故用 2 +△x 代替式中的 x 即可求得点 f 的灰度 值，其他情形可以此类推． y = (x － x1) (x － x2) (x － x3) (x0 － x1) (x0 － x2) (x0 － x3) y0 + (x － x0) (x － x2) (x － x3) (x1 － x0) (x1 － x2) (x1 － x3) y1 + (x － x0) (x － x1) (x － x3) (x2 － x0) (x2 － x1) (x2 － x3) y2 + (x － x0) (x － x1) (x － x2) (x3 － x0) (x3 － x1) (x3 － x2) y3 = (－ 16 x 3 + x2 － 116 x +1)y0 +( 1 2 x 3 － 52 x 2 + 3x)y1 + (－ 12 x 3 + 2x2 － 32 x)y2 +( 1 6 x 3 － 12 x 2 + 13 x)y3 (1) 由于本文采用的是三次拉格朗日插值公式，与双三次插 值的最高次数相同，故在硬件实现上可基于双三次插值的电 路架构稍作修改即可，便于硬件实现．其插值效果与双三次插 值相比，示意于图 3 中．白点代表双三次插值的结果，黑点代 表本文算法的结果．在图 3(a)中，目标像素点在边缘的一侧， 假设目标像素点在左、右源像素点的中间处，双三次插值的待 插值点 fbicubic由源像素点 f1、f2、f3 和 f4 计算得到． 其中，f1、f2 和 f3 处于边缘的同一侧，而 f4 处于另一侧，因此图中代表双 三次插值的白点出现了过冲的现象．而本文提出的算法计算 三组源像素点，I组方差最小，故选取 I 组使用式(1)计算得 到 f．由于 f0、f1、f2 和 f3 是处于边缘同侧，所以代表本文算法的 黑点得到了较为理想的插值效果．在图 3(b)中，目标像素点 在边缘方向上，假设目标像素点到左边源像素点的距离为 1 / 4，双三次插值的待插值点 fbicubic由源像素点 f2、f3、f4 和 f5 计算 得到．其中，f2 和 f3 处于边缘的同一侧，而 f4 和 f5 处于另一 侧，因此图中代表双三次插值的白点的灰度值与理想值相差 较大．而本文提出的算法计算三组源像素点，I 组方差最小， 故选取 I组使用式(1)计算得到 f．其中，f1、f2 和 f3 处于边缘 的同一侧，而 f4 处于另一侧，所以代表本文算法的黑点在 f3 处的权重最大，其灰度值更接近于 f3，有效地避免了对目标图 像边缘的平滑，使得目标图像获得较为满意的边缘． 图 3 本文算法与双三次插值效果比较 Fig． 3 Comparison between the proposed algorithm and Bicubic algorithm 2． 3 算法优化 为了减少算法计算量，提出如下两种方法对算法进行优 化．一方面，假设fI、fII和fIII分别代表三组源像素点 I(f0、f1、f2、 f3) ，II(f1、f2、f3、f4)和 III(f2、f3、f4、f5)的平均值，则 std 2 1、std 2 2 和 std23 分别由方差计算公式可得如式(2)、式(3)和式(4)所示． std21 = 1 4 ［(f 2 0 + f 2 1 + f 2 2 + f 2 3)－ 4 fI 2］ (2) std22 = 1 4 ［(f 2 1 + f 2 2 + f 2 3 + f 2 4)－ 4 fII 2］ (3) std23 = 1 4 ［(f 2 2 + f 2 3 + f 2 4 + f 2 5)－ 4 fIII 2］ (4) 不难发现式(2)、式(3)和式(4)均含有 f22 和 f 2 3 两项，因 此可将上述三式分别等价转换为式(5)、式(6)和式(7)． 故 std21、std 2 2 和 std 2 3 的大小情况等价于 S 2 1、S 2 2 和 S 2 3 的大小情况， 只需计算并比较 S21、S 2 2 和 S 2 3，即可得出 std 2 1、std 2 2 和 std 2 3 的大 小情况，由此可以减少方差的计算量，亦减小了硬件消耗． S21 = 4std 2 1 －(f 2 2 + f 2 3)=(f 2 0 + f 2 1)－ 4 fI 2 (5) S22 = 4std 2 2 －(f 2 2 + f 2 3)=(f 2 1 + f 2 4)－ 4 fII 2 (6) S23 = 4std 2 3 －(f 2 2 + f 2 3)=(f 2 4 + f 2 5)－ 4 fIII 2 (7) 另一方面，假设将一行有 m个点的原始数据缩放为一行 有 M 个点的目标数据，理论上需要计算 M 次并比较三组源 像素点的方差，其中 m，M∈N．而当缩放因子大于 1 时，必然 会出现两个源像素点之间至少有二个目标像素点的情况，假 设目标像素点 d1 和 d2 同时位于源像素点 f2 与 f3 之间，如图 0821 小 型 微 型 计 算 机 系 统 2012 年 4 所示．其中△x1 与△x2 分别为相应目标像素点到源像素点 f2 的距离(0≤△x1 ＜ 1，0≤△x2 ＜ 1)．假设所选取的是 I 组源 像素点，即 f0、f1、f2 和 f3 计算 d1，则当计算 d2 时，不需要再重 新计算并比较三组源像素点的方差，只需直接使用 I 组源像 素点，再用△x2 代替△x1 使用三次拉格朗日插值公式即可求 得目标像素点 d2 的灰度值．由于有 m 个源像素点，因此至多 只需要计算 m次三组源像素点的方差，减少了 M-m 次计算． 而当缩放因子小于或等于 1 时，相邻两个源像素点之间至多 只有一个目标像素点，即 M≤m，并无上述情况，仍然需要计 算 M 次并比较三组源像素点的方差． 图 4 算法优化示意图 Fig． 4 Illustration for optimization of the proposed algorithm 综上所述，当缩放因子大于 1 时，可使用上述的优化算法 减少计算复杂度，且缩放因子越大，所减少的计算量越大． 3 实验结果及分析 本文从客观质量和主观效果两个方面，选用双线性插 值［5］、双三次插值［6］、EASE［8］、edge-based［10］作为参照，以峰 值信噪比(Peak Signal to Noise Ratio，PSNR)作为评价图像缩 放客观质量的参数，以对 Lena原图进行缩放后的目标图像作 为主观评价参考，对本文算法性能指标进行分析比较． 3． 1 客观质量评价 峰值信噪比 PSNR越大，表示目标图像越接近实际图像， 缩放质量也越高．其公式如下: PSNR = 10* log10( (2n － 1)2 MSE ) (8) 其中，n是每个采样值的比特数，MSE(Mean Squared Error)是 源图像与目标图像之间的均方误差，PSNR的单位是 dB． 选择分辨率为 512 × 512 的灰度图像进行测试，将原 始图像放大槡8倍，目标图像大小为 1448 × 1448，所得 PSNR的 结果如表 1 所示． 表 1 各种算法峰值信噪比的比较 Table 1 PSNR comparison of different algorithms 双线性 插值 双三次 插值 EASE 算法 Edge-based 算法 本文 算法 Baboon 28． 3407 33． 2052 38． 5476 36． 5212 40． 5161 Boat 36． 2877 42． 3849 46． 8990 45． 2218 49． 9011 Lena 38． 7438 44． 7284 49． 0804 47． 5652 51． 1884 Peppers 37． 1572 41． 7634 47． 1567 45． 4993 48． 8476 平均值 35． 1324 40． 5205 45． 4209 43． 7019 47． 6133 由表 1 可得，对于每一幅图像，本文算法都取得了最高的 PSNR，且比双线性插值平均提高了 35． 53%，比双三次插值平 均提高了 17． 5%，比 EASE 算法平均提高了 4． 83%，比 edge- based算法平均提高了 8． 95%，均有明显的提高． 选取标准测试序列 trevor 和 salesman 的前 99 帧图像，每 帧图像大小分别为 256 × 256 和 360 × 288，对每帧图像放大槡5 倍，目标图像大小分别为 572 × 572 和 805 × 644，所得 PSNR 分别如图 5(a)和图 5(b)所示． 图 5 标准测试序列的峰值信噪比(99 帧) Fig． 5 PSNR of standard test sequence (99 frames) 表 2 边缘区域像素点的灰度值 Table 2 Gray values of the pixels in edge regions (a) 第 120 行的第 413 列到第 420 列数据 列数 原始图像 双三次插值 本文算法 413 231 231 232 414 230 233 230 415 227 236 227 416 223 212 219 417 191 160 175 418 79 107 97 419 34 53 56 420 42 31 42 (b) 第 505 行的第 30 列到第 37 列数据 列数 原始图像 双三次插值 本文算法 30 179 176 177 31 166 154 164 32 123 132 120 33 102 112 102 34 115 107 109 35 116 117 117 36 128 126 123 37 131 134 131 图 6 边缘区域的轮廓 Fig． 6 Profile of edge regions 对于每一帧图像，与 EASE算法和 edge-based算法相比， 本文算法均取得了最高的 PSNR．在图 5(a)中，本文算法所得 18216 期 叶 森 等:基于三次拉格朗日插值的自适应图像缩放 PSNR比 EASE算法平均提高了 2． 8087dB，比 edge-based算法 平均提高了 4． 4145dB;在图 5(b)中，本文算法所得 PSNR 比 EASE算法平均提高了 1． 3337dB，比 edge-based 算法平均提 高了 3． 1435dB． 为了进一步分析本文插值方法对图像边缘的影响，选择 分辨率为 512 × 512 的 Lena 原图，分别用双三次插值和本文 算法降采样，然后升采样，采样因子均为 2，最后选取所得图 像的边缘区域-第 120 行的第 413 列到第 420 列以及第 505 行 的第 30 列到第 37 列的像素点，再与原始图像像素点的灰度 值相比较，实验结果数据分别如上页表 2(a)和表 2(b)所示， 并分别绘制于上页图 6(a)和图 6(b)． 在图 6(a)中，圆圈内所示是第 120 行，第 415 列的数据， 双三次插值所得像素点的灰度值明显高于源像素点的灰度 值，产生了如图 3(a)所示的过冲情形，而本文算法所得像素 点的灰度值与源像素点的灰度值较为接近，取得了理想的效 果．在图 6(b)中，圆圈内所示是第 505 行，第 33 列的数据，双 三次插值所得像素点的灰度值亦明显高于源像素点的灰度 值，产生了如图 3(b)所示的边缘平滑，而本文算法所得像素 点的灰度值仅略高于源像素点的灰度值，有效的避免了边缘 平滑，从而保护了图像的边缘．且由图表可知，在整体效果上， 本文算法所得像素点的灰度值比双三次插值更接近于原始图 像像素点的灰度值，由此可见，本文算法对于保护边缘的清晰 度明显优于双三次插值． 3． 2 主观效果评价 主观效果主要是指人眼观察缩放图像的视觉效果． 图 7 对双线性插值、双三次插值、EASE算法、edge-based算法和本 文算法的主观效果进行了比较．其中，图 7(a)是分辨率为 256 × 256 的 Lena原图，图 7(b)、(c)、(d)、(e)和(f)为帽沿处局 部放大图，图 7(g)、(h)、(i)、(j)和(k)为肩膀处局部放大 图，如方框所示．所有目标图像均为放大 6 倍的图像效果． 图 7 各种算法的主观效果比较 Fig． 7 Subjective performance comparison of different algorithms 可见，双线性插值的边缘区域出现了较明显的锯齿现象， 图像整体视觉效果模糊;双三次插值在视觉效果上比双线性 插值有所改善，但对边缘区域的处理效果不佳，图像边缘还是 不清晰;EASE算法和 edge-based算法对边缘轮廓有所改善， 整体效果层次较为分明，但仍存在较为明显的锯齿和模糊;而 本文提出的算法视觉效果最佳，不仅在边缘处有明显改进，而 且对于平坦区域的处理也相当好．由此可知，本文算法能够较 好的保护图像边缘，从而获得满意的视觉效果． 通过以上客观和主观两个方面的分析与比较，可见本文 算法不仅取得了较高的 PSNR，并且获得了边缘清晰的目标 图像． 4 结 论 本文提出了一种基于三次拉格朗日插值的自适应图像缩 2821 小 型 微 型 计 算 机 系 统 2012 年 放算法，对图像分别进行行方向插值和场方向插值处理．首先 判断目标像素点周围三组源像素点的方差，选取方差最小的 一组源像素点，然后采用三次拉格朗日插值公式求得目标像 素点的灰度值．实验结果表明，采用本文算法进行图像缩放可 取得较高的峰值信噪比和满意的视觉效果．该算法具有较低 的计算复杂度，可以有效地实现图像缩放，保护图像的边缘． References: ［1］Lehmann T M，Gonner C，Spitzer K． Survey:interpolation methods in medical image processing［J］． IEEE Transactions on Medical Imaging，1999，18(11) :1049-1075． ［2］Weerasnghe C，Nilsson M，Lichman S，et al． Digital zoom camera with image sharpening and noise suppression［J］． IEEE Transac- tions on Consumer Electronics，2004，50(3) :777-786． ［3］Han J W，Kim J H，CheonS H，et al． A novel image interpolation method using the bilateral filter［J］． IEEE Transactions on Con- sumer Electronics，2010，56(1) :175-181． ［4］Zhang X J，Wu X L． Image interpolation by adaptive 2-D autore- gressive modeling and soft-decision estimation［J］． IEEE Transac- tions on Image Processing，2008，17(6) :887-896． ［5］Parker J A，Kenyon R V，Troxel D E． Comparison of interpolation methods for image resampling［J］． IEEE Transactions on Medical Imaging，1983，2(1) :31-39． ［6］Hou H S，Andrews H C． Cubic splines for image interpolation and digital filtering ［J］． IEEE Transactions on Signal Processing， 1978，26(6) :508-517． ［7］ Jiang Wen，Chen Geng-sheng，Yang Fan，et al． Self-adaptive im- age scaling algorithm based on sobel operator［J］． Computer Engi- neering，2010，36(7) :214-216． ［8］Cha Y，Kim S． The error-amended sharp edge (EASE)scheme for image zooming［J］． IEEE Transactions on Image Processing， 2007，16(6) :1496-1505． ［9］Chen P Y，Lien C Y，Lu C P． VLSI implementation of an edge-o- riented image scaling processor［J］． IEEE Transactions on Very Large Scale Integration (VLSI) Systems，2009，17(9) :1275- 1284． ［10］Liu Zheng-lin，Xiao Jian-ping，Zou Xue-cheng，et al． Edge-based algorithm of real-time image resizing［J］． Journal of Image and Graphics，2008，13(2) :225-229． ［11］ Chang S G，Cvetkovix Z，Vetterli M ． Locally adaptive wavelet- based image interpolation［J］． IEEE Transactions on Image Pro- cessing，2006，15(6) :1471-1485． ［12］Price J R，HayesIII M H． Resampling and reconstruction with frac- tal interpolation functions［J］． IEEE Signal Processing Letters， 1998，5(9) :228-230． ［13］Li M，Nguyen T Q． Markov random field model-based edge-di- rected image interpolation［J］． IEEE Transactions on Image Pro- cessing，2008，17(7) :1121-1128． ［14］Lee J H，Kim J O，Han J W，et al． Edge-oriented two-step inter- polation based on training set［J］． IEEE Transactions on Consum- er Electronics，2010，56(3) :1848-1855． ［15］Lee Y，Yoon J． Nonlinear image upsampling method based on ra- dial basis function interpolation［J］． IEEE Transactions on Image Processing，2010，19(10) :2682-2692． ［16］ Coleman S A，Scotney B W，Suganthan S． Edge detecting for range data using laplacian operators［J］． IEEE Transactions on Image Processing，2010，19(11) :2814-2824． ［17］Canny J． A computational approach to edge detection［J］． IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence，1986，8 (6) :679-698． ［18］Zheng J H，Chau L P． A motion vector recovery algorithm for dig- ital video using lagrange interpolation［J］． IEEE Transactions on Broadcasting，2003，49(4) :383-389． 附中文参考文献: ［7］江 雯，陈更生，杨 帆，等．基于 Sobel 算子的自适应图像缩放 算法［J］．计算机工程，2010，36(7) :214-216． ［10］刘政林，肖建平，邹雪城，等．基于边缘的实时图像缩放算法研究 ［J］．中国图象图形学报，2008，13(2) :225-229． 38216 期 叶 森 等:基于三次拉格朗日插值的自适应图像缩放