北京交通大学微积分第五章习题5.1答案

北京交通大学微积分第五章习5.1答案 5.1 微分方程的基本概念 习题5.1 1. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解: '2(1) xyyyx,,2,5 ''222解:，，所以是解。 xyxxy,,,10252510xx,，，，， "(2) yyyxx，,,,0,3sin4cos '"解:，带入验证知是解。 yxxyxx,，,,，3cos4sin,3sin4cos "'2x(3) yyyyxe,，,,20,. '2"2xx解:，带入验证知不是解。 yxxeyxxe,，,，，2,42，，，， ,,xx"'12yyyyCeCe,，，,,，,,,,0,.(4) ，，121212 ,,,,xxxx'"221212解:，带入验证知是解。 yCeCeyCeCe,，,，,,,,,11221122 dy22xx(5) 20,sin,,.,,,,,yyxyeyCedx 'sincosxx,解:，带入后知不是解; ，， 'xx22，带入后知是解; ee,2，， 'xx22，带入后知是解; CeCe,2，， 1x'/2/2xx(6) 42,1,,1yyxyxyCeyCe,,,，,,，，22 '11,,解:，带入后知是解; x，,1,,22,, 'Cxx/2/2，带入后知不是解; Cee,，，2 'xC1,,xx/2/2，带入后知是解; Cee，，,，1,,222,, 2. 在下列各题中，验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解: '22xyyxyxxyyC,,,,，,22,;(1) ，， '22''xyyxy,,,22.解:由得，即 xxyyC,，,;220xyxyyy,,，,，， "'2''xyxyxyyyyyxy,，，,,,20,ln;(2) ，，，， 'yxy，'''''2"'"yxy,ln解:由得，即，进而，y,xyyyxy,，yyxyxyyyxy，，,，2，，xy "'2''xyxyxyyyy,，，,,20.即 ，， 3. 在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，使函数满足所给的初始条件: 22xyCy,,,,5;(1) x,0 22C,,,,0525.解: 2'x(2) yCCxeyy,，,,,0,1;，，12,x0,x0 20,2'22'xxx00,，,CCeC解:，所以 yCxeyCeCxeyC,,，,,,2,1;，，1212222,x0 '(3) yCxCyy,,,,sin,1,0;，，12x,,x,, '1sin;cos,0cos,,,,,,,CCyCxCCC,,cos0,,,,C解:，所以，，，，，，，，2121212 k,C,,1.即 CkkZ,，,,;，，,122 4. 求下列微分方程满足所给初始条件的解: dy,,sin,,t,dt(1) , ,0y,t,0, cos,t11cos,t解:;，所以 ,,，,，,,,yCC0y.,,,, 1,'y,,,x(2) , ,,0yxe,, ln0eC，,yxC,，lnyx,,ln1.解:;，所以 2,dy,6,x,2dx,,(3) 0,y,,x,0,'y,2,x,0,, dy233CC,,0,2,,，,，，3,;xCyxCxC解:，所以 yxx,，2.21112dx 5. 写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程: xy,(1) 曲线在点处的切线的斜率等于该点横坐标的平方; ，， dy2解: ,x.dx Pxy,(2)曲线上点处的法线与轴的交点为，且线段被轴平分。 QPQxy，， 1''解:法线为，所以坐标为，所以方程为。 Qxyy，,0YyXx,,,,20xyy，,，，，，'y 6. 用微分方程示一物理命题:某种气体的压强对于温度的变化率与压强成正比，与Tp 温度的平方成反比。 dpkp解: ,.2dTT