【doc】 右理想上幂零导子的零化子
右理想上幂零导子的零化子
2005年8月
第3期
吉林师范大学(自然科学版)
JournalofJilinNormalUniversity(NaturalScienceEdition)
?.3
Aug.2005
右理想上幂零导子的零化子
卢兰,宁国成,王宇
(1.吉林师范大学数学学院,吉林四平136000;2.白城铁路一中,吉林白城137000)
摘要:设是一个素环,L是的一个非零右理想,D是R的一个非零导子,aER.假设oD()n:0对于
所有的?L成立,这里n是一个固定整数,那么aL=0或D=0d(P),对于某个P?Q,使得pL=0.
关键词:素环;导子;右理想;广义多项式恒等式
中图分类号:0153.3文献标识码:A文章编号:1000—1840一(2OO5)O3—0007—02
1引言
R
示一个素环,Z是它的中心,C是它的扩展
形心.p表示R的双边商环,这些定义的详细解释可
参见文献[1].设D是R的一个非零导子,n?R,n
是一个固定的整数.Brar在文献[2]中证得结果:
若R是(n一1)!一扭自由的,且aD()=0对于
任意?R成立,则n=0.Lee在文献[3]中去掉了
(n一1)!一扭自由条件,并且把上面的结果推广到
Lie理想上.本文的主要目的是把上面的结果推广到
右理想上,具体结果如下:
定理:设R是一个素环,是R的一个非零右理
想,J.)是尺的一个非零导子,n?R.假设aD()”
=
0对于所有的?,J成立,这里n是一个固定整
数,那么n,J=0或D=ad(P),对于某个P?p,
使得P,J=0.
2定理
及推论
设R是一个素环,[,Y]=,?一y表示和
的交换子,D是R的一个非零导子,如果存在一个
6?,使得D()=[6,]对于任意的?R成
立,则称D为由b诱导的内导子,否则称为外导子.
(,*cC{z,Y}表示c一代数(J和C{,,的自由
积.为了证明定理,我们需要如下引理.
引理1没L是的一个非零右理想,『J?(J,
.?R使得(6一),J?0对=r所有?C成立,假
设.,:0,对于所有?,J成立,这里n是
固定的一个整数.若.,J?0,则R是满足一个非平
凡的广义多项式恒等式的环(简称GPI一环).
证明:假设R不满足任何一个GPI一环,取,
Y?L使得6和是C一线性无关.由假设6,
[xX,YY]是一个广义多项式恒等式,所以在
0*cC{,Y中有
nl6,xX,YyJ=0(1)
展开(1)式
n(bx,Y一6,YxX—xXyYb+yYxXb)=0
由于6C,故有
n(6,一Y一6,一YxX—xXyYb+YYxXb)一xXyYb
:
0.因为6与是C一线性无关的,则
n(bxXy}一by}xX—xXy}6ylxXb),(xXy}6)(xXyt6)=o
重复上面的过程我们有:
n(6.Yvl一by}IY—xXyt6ytxXb)(xXyYb)=0
故有?vYxXb(IYvYb):0,从而?,=0对于所
有v?,J.即.,J=0与已知相矛盾,这就证明了
和是C一线性相关的,对于所有的?,J.即存在
一
个()?C使得bx=(),不难看出:()
与选择无关.即存在?C使得bx=对于所
有?,J成立,即(方一),J=0与已知相矛盾,证
毕.
引理2设,J是R的一个非零右理想,D是R
的导子,那么下列条件是等价的:(1)D(,J)L=0;
(2)D(L)=0;(3)D(,J).=0;对于某个n?R,
(4)D=ad(p)对于某个P?Q使得pL=0.
对于引理2的证明请参见文献[4].
下面是定理的证明:
收稿日期:2005—06—01
第一作者简介:,i兰(1978一),女,林省人,现为?林帅fi芏大学数学学院
侄谈硕J研究,{
--一——
假设尺是一个交换素环,由nD(x)n:0.可知
a=0或D()=0对于任意?L成立.从而n
=0或D(L)=0.如果D(L)=0,有LD(R):0,
由于尺是整环,故D(R)=0,即D:0与已知相矛
盾.
假设尺是一个非交换素环,首先假设D是一个
~NW;-子.令?L,r?尺,由已知有aD(r)”:
a(D()r+xD(r))=0根据着名的Kharehenko
定理,可用Y?R替代D(r),由于r的任意性,可令
r=0,于是有a(y)”=0,那么(axv)”:
a(xya)xy=0,由Levitzi定理,得口=0.
现在假设D是内导子,因此有D=ad(b)对于
某个b?Q.如果(b—p)L=0对于某个p?C成
立,那么有D=ad(P)和pL:0这里P=b—J8
定理得证.因此我们假设(b—)L?0对于所有的
E-C.假设n?0,由引理1知尺是一个广义多项
式恒等式环,因为尺和Q满足相同的广义多项式恒
等式,更进一步,Q是一个中心闭的素c一代数.由
Martindale定理[5]知Q是一个强本原环,设日:
soe(Q),这里是一个自身带有极小右理想的单
环.因为和尺满足相同的广义多项式恒等式,我
们有
a[b,]=0(2)
对于所有的?
设e:e?LH,Y?H,在(2)式中用ev(1一
e)替代,并且(2)式右乘e,于是我们有
a(bey(1一e)一ev(1一e)b)”e:0
也就是(Y(1一e)6e)=0.根据文献[6]有
aey(1一e)be:0,由于尺是素环,有ae:0或6e:
e6e.再由文献[7]定理知是一个正则环,那么对
于每一个?存在一个幂等元e?使得
=exe?xH,所以对于?LH,ax:0或6?
c,那么LH是两个子加群{?I口:
0}和{?LHl6?L日的并集.由于一个群不
可能表示成两个子群的并,那么有n:0或bLH
.
因为aL?0,故有bLHcLH.令-,=,用
里的一个非零元替代a,我们可以总假设n?-,.
设.,=.,/(.,n2,,(J))它是一个素环,是由标准
诱导的,也就是说D一():丽对于?-,,根据
已知,对于所有的?了我们有__aD()”:0由文献
[3]中的推论有aJ=0或D(J):0,如果aJ:0,
那么aLH=0,矛盾.
那么D(.,)J=0,进而d(L)L=0.由引理2知
(b—p)L=0,对于某个p?C,这又与我们的假设
矛盾,证毕.
由上面定理可见:
推论:设尺是一个素环,D是尺的一个非零导
子,a?R.假设aD()”=0对于所有的?尺成
立,这里n是一个固定的整数,则a:0或D:0.
参考文献
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AnnihilatorsofPowerValuesofDerivationsinRightIdeal
LULan,NINGGuo-cheng,WANGYu
(1.CollegeofMathematics,JilinNormalUniversity,Siping136000,China;2.?1MiddleSchoolofRailway.Baicheng.Bai~heng137000,China)
Abstract:LetRbeprimering,LanonzeroderivationofRandnE-R.SupposethataD()”=0forall
E-L,wherenisfixedpositiveinteger.Theneithern=0orD=ad(P)forsomeP?
QSHellthatpL=0.
Keywords:primering;dervation;rightideal;generalizedpolynomialidentities