2009年全国高考文科数学试题及答案-青海
2009年普通高等学校招生全国统一考试试卷题(青海)
文科数学
第?卷(选择题)
本卷共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
参考公式:
如果事件互斥,那么 球的
面积公式 AB,
2 PABPAPB()()(),,,SR,4π
R如果事件相互独立,那么 其中表示球的半径 AB,
球的体积公式 PABPAPB()()(),
43AP如果事件在一次试验中发生的概率是,那么 VR,π3
R次独立重复试验中事件A恰好发生次的概率 其中表示球的半径 nk
kknk, PkCPPkn()(1)(01,2),,,,,,nn
一、选择题
Mð()MN(1)已知全集={1,2,3,4,5,6,7,8},={1,3,5,7},={5,6,7},则= UNU
(A) {5,7} (B) {2,4} (C){2.4.8} (D){1,3,5,6,7}
,,x(2)函数y=(x0)的反函数是
22yx,,yx,,, (A)(x0) (B)(x0)
22yx,,yx,,, (B)(x0) (D)(x0)
2,x(3) 函数的图像 y,log22,x
yx,, (A) 关于原点对称 (B)关于主线对称
yyx, (C) 关于轴对称 (D)关于直线对称
12(4)已知?ABC中,,则 cotA,,cosA,5
125512(A) (B) (C) (D) ,,13131313
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2ABEBEABCDABCD,AAAA(5) 已知正四棱柱中,=,为中点,则异面直线与111111
CD所形成角的余弦值为 1
1031013(A) (B) (C) (D) 101055
(6) 已知向量a = (2,1), a?b = 10,,a + b ,= ,则,b ,= 52
510 (A) (B) (C)5 (D)25
2(7)设则 aebece,,,lg,(lg),lg,
(A) (B) (C) (D) abc,,acb,,cab,,cba,,
22xy222(x,3),y,r(r,0),,1(8)双曲线的渐近线与圆相切,则r= 63
3(A) (B)2 (C)3 (D)6
,,(9)若将函数的图像向右平移个单位长度后,与函数y,tan(,x,)(,,0)64
,的图像重合,则的最小值为 ,y,tan(x,),6
1111(A) (B) (C) (D) 6432
(10)甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有
(A)6种 (B)12种 (C)24种 (D)30种
2y,8x(11)已知直线y,k(x,2)(k,0)与抛物线C:相交A、B两点,F为C的焦点。若,则k= FA,2FB
22212(A) (B) (C) (D) 3333
(12)纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平,得到右侧的平面图形,则标“?”的面的方位是
(A)南 (B)北 (C)西 (D)下
?
上东
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第?卷(非选择题)
本卷共10小题,共90分。
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填写在答题卡上相应位置的
横线上.
a,1,s,4sas)设等比数列{}的前n项和为。若,则= × (13a163nn4
334xy(14)的展开式中的系数为 × (xy,yx)
22x,y,5(15)已知圆O:和点A(1,2),则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成
的三角形的面积等于 ×
(16)设OA是球O的半径,M是OA的中点,过M且与OA成45?角的平面截球O的表面得
,7到圆C。若圆C的面积等于,则球O的表面积等于 × 4
三、解答题:本大题共6小题,共70分。解答题应写出文字说明,
过程或演算步骤。
解答过程写在答题卡的相应位置。
(17)(本小题满分10分)
aa,,16,a,a,0,aaS已知等差数列{}中,求{}前n项和 3746nnn
(18)(本小题满分12分)
32设?ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,cos(A,C),cosB,,,b,ac2求B.
(19)(本小题满分12分)
ABCABC,AABC、如图,直三棱柱中,,分别为的中点,ABAC,DE、11111DEBCC?平面 1
(?)证明: ABAC,
BC(?)设二面角为60?,求与平面所成的角的大小 ABDC,,BCD1
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A1 C 1
B 1
D E
A
C
B
(20)(本小题满分12分)
某车间甲组有10名工人,其中有4名女工人;乙组有10名工人,其中有6名女工人。
现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随即抽样)从甲、乙两组中共抽取4名工
人进行技术考核。
(?)求从甲、乙两组各抽取的人数;
(?)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率;
(?)求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率。
(21)(本小题满分12分)
132设函数,其中常数 fxxaxaxa()(1)424,,,,,a,13
(?)讨论fx()的单调性;
fx()0,(?)若当x?0时,恒成立,求a的取值范围。
(22)(本小题满分12分)
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22xy3FCab:1(0),,,,已知椭圆的离心率为,过右焦点的直线与相交于lC223ab
2AB、两点,当的斜率为1是,坐标原点到的距离为 lOl2
(?)求的值; ab,
PF(?)上是否存在点,使得当绕转到某一位置时,有成立, OPOAOB,,Cl
P若存在,求出所有的的坐标与的方程;若不存在,说明理由。 l
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2009年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学试题参考答案和评分参考 一(选择题
(1)C (2)B (3)A (4)D (5)C (6)C
(7)B (8)A (9)D (10)C (11)D (12)B 二(填空题
25 (13)3 (14)6 (15) (16)8π 4
三(解答题
17( 解:
设的公差为,则 ad,,n
,,,,,adad2616,,,,,11 ,adad,,,,350,,11
即
22,adad,,,,8121611 ,ad,,4,1
aa,,,8,8,,11解得 或,,dd,,,2,2,,
因此 SnnnnnSnnnnn,,,,,,,,,,,,819819,或,,,,,,,,nn
(18)解:
3由BAC,,,,()及得 cos()cosACB,,,2
3 cos()cos()ACAC,,,,2
3 coscossinsin(coscossinsin)ACACACAC,,,,2
3 sinsinAC,4
2又由及正弦定理得 bac,
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2sinsinsin,BAC,
32 , 故sinB,4
33sinB,sinB,, 或 (舍去), 22
,2,或. 于是B,,B33
2又由知或 bac,b,ab,c
,所以 B,3
(19)解法一:
1BB(?)取BC中点F,连接EF,则EF,从而EFDA。 12
BCCBCC连接AF,则ADEF为平行四边形,从而AF//DE。又DE?平面,故AF?平面, 11
从而AF?BC,即AF为BC的垂直平分线, 所以AB=AC。
(?)作AG?BD,垂足为G,连接CG。由三垂线定理知CG?BD,故?AGC为二面角A-BD-C
0的平面角。由题设知,?AGC=60.
2222,则AG=。又AB=2,BC=,故AF=。 设AC=2
3
222.2AD,2由得2AD=,解得AD=。 ABADAGBD,,,3
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故AD=AF。又AD?AF,所以四边形ADEF为正方形。 因为BC?AF,BC?AD,AF?AD=A,故BC?平面DEF,因此平面BCD?平面DEF。
连接AE、DF,设AE?DF=H,则EH?DF,EH?平面BCD。
BC连接CH,则?ECH为与平面BCD所成的角。 1
1因ADEF为正方形,AD=,故EH=1,又EC==2, 2BC12
00BC所以?ECH=30,即与平面BCD所成的角为30. 1
解法二:
(?)以A为坐标原点,射线AB为x轴的正半轴,建立如图所
示的直角坐标系A—xyz。
设B(1,0,0),C(0,b,0),D(0,0,c),
1bB则(1,0,2c),E(,,c). 122
1bBCC于是DE=(,,0),BC=(-1,b,0).由DE?平面知DE?BC, 122
DEBC=0,求得b=1,
所以 AB=AC。
(?)设平面BCD的法向量则 ANxyz,(,,),ANBCANBD,,,,0,0又 BCBDc,,,,(1,1,0),(1,0,)
,,,xy0,故 ,,,,xcz0,
11令, 则 x,1uzAN,,,1,,(1,1,)cc
ABD又平面的法向量 AC,(0,1,0)
AN,AC由二面角为60?知,=60?, A,BD,C
1c,故 ,求得 ANACANAC,,,,||||cos602
AN,(,,)112于是 , CB,,(112,,)1
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ANCB,11, cosANCB,,,12||||ANCB,1
ANCB,60, 1
所以与平面所成的角为30? BCBCD1
(20)解:
(?)由于甲、乙两组各有10名工人,根据分层抽样原理,要从甲、乙两组中共抽取
4名工人进行技术考核,则从每组各抽取2名工人。
A(?)记表示事件:从甲组抽取的工人中恰有1名女工人,则
11CC846 ()PA,,215C10
Ai(?)表示事件:从甲组抽取的2名工人中恰有名男工人, i,0,1,2i
B 表示事件:从乙组抽取的2名工人中恰有名男工人, jj,0,1,2j
B 表示事件:抽取的4名工人中恰有2名男工人。
B,A,B,A,B,A,BA 与独立, ,且 i,j,0,1,2B021120ij
故
P(B),P(A,B,A,B,A,B) 021120
,P(A),P(B),P(A),P(B),P(A),P(B) 021120
11112222CCCCCCCC46646644 ,,,,,,222222CCCCCC101010101010
31 ,75
(21)解:
2,f(x),x,2(1,a)x,4a,(x,2)(x,2a)(?)
,由知,当时,f(x),0,故f(x)在区间(,,,2)是增函数; a,1x,2
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,当时,,故在区间是减函数; f(x),0f(x)(2,2a)2,x,2a
,当时,,故在区间是增函数。 f(x),0f(x)(2a,,,)x,2a
综上,当时,在区间和是增函数,在区间是f(x)(,,,2)(2a,,,)(2,2a)a,1
减函数。
?)由(?)知,当时,在或处取得最小值。 (f(x)x,0x,2ax,0
132 f(2a),(2a),(1,a)(2a),4a,2a,24a3
432 ,,a,4a,24a3
f(0),24a
a,1,,a,1,,4,,,a(a,3)(a,6),0,f(2a),0,由假设知 即 解得 16,,a,,3,,f(0),0,,24a,0.,,
故的取值范围是(1,6) a
(22)解:
,,Fc,0,(?)设 当的斜率为1时,其方程为到的距离为 x,y,c,0,Oll
0,0,cc,
22
c2,故 , c,122
c3e,,由 a3
22a,32得 ,= b,a,c
PFOP,OA,OB(?)C上存在点,使得当绕转到某一位置时,有成立。 l
223yA(x,y),B(x,y).由(?)知C的方程为+=6. 设 2x1122
当l不垂直x轴时,设l的方程为y,k(x,1) (?)
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PP()xxyy,,,C上的点使成立的充要条件是点的坐标为,且OPOAOB,,1212
222(x,x),3(y,y),6 1212
2222整理得 2x,3y,2x,3y,4xx,6yy,611221212
2222又A、B在C上,即2x,3y,6,2x,3y,6 1122
故 2xx,3yy,3,0 ? 1212
22ykxxy,,,,(1)236代入将 ,并化简得
2222(2,3k)x,6kx,3k,6,0
226k3k,6x,x,xx于是 , =, 1212222,3k2,3k
2,4k2yy,k(x,1)(x,2), 121222,3k
32 代入?解得,,此时 k,2x,x,122
k3k 于是=, 即 ,y,y,k(x,x,2)P(,,)1212222
32P(,) 因此, 当k,,2时,, ; l的方程为2x,y,2,022
32P(,,) 当k,2时,, 。 l的方程为2x,y,2,022
(?)当垂直于轴时,由知,C上不存在点P使xOA,OB,(2,0)l
OP,OA,OB成立。
32P(,,)OP,OA,OB综上,C上存在点使成立,此时的方程为 l22
2x,y,2,0
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