必修二 立体几何单元 教学案

考纲导读 立体几何初步 1．理解平面的基本性质，会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图、能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能根据图形想象它们的位置关系． 2．了解空间两条直线、直线和平面、两个平面的位置关系． 3．掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；理解直线和平面垂直的概念；掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；掌握三垂线定理及其逆定理． 4．掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念；掌握两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理． 5．了解多面体、凸多面体、正多面体的概念． 6．了解棱柱，棱锥的概念；了解棱柱，棱锥的性质；会画其直观图． 7．了解球的概念；掌握球的性质；掌握球的面积、体积公式． 知识网络 导航 本章的定义、定理、性质多，为了易于掌握，可把主要知识系统化．首先，归纳，理线串点，可分为四块：A、平面的三个基本性质，四种确定平面的条件；B、两个特殊的位置关系，即线线，线面，面面的平行与垂直．C、三个所成角；即线线、线面、面面所成角；D、四个距离，即两点距、两线距、线面距、面面距． 其次，平行和垂直是位置关系的核心，而线面垂直又是核心中的核心，线面角、二面角、距离等均与线面垂直密切相关，把握其中的线面垂直，也就找到了解题的钥匙． 再次，要加强数学思想方法的学习，立体几何中蕴涵着丰富的思想方法，化空间图形为平面图形解决，化几何问题为坐标化解决，自觉地学习和运用数学思想方法去解题，常能收到事半功倍的效果． 第1课时    平面的基本性质 基础过关 公理1 如果一条直线上的      在同一个平面内，那么这条直线上的      都在这个平面内 (证明直线在平面内的依据)． 公理2  如果两个平面有      个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是      (证明多点共线的依据)． 公理3  经过不在        的三点，有且只有一个平面(确定平面的依据)． 推论1  经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面． 推论2  经过两条    直线，有且只有一个平面． 推论3 经过两条    直线，有且只有一个平面． 典型例题 例1．正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于O，AC、BD交于点M． 求证：点C1、O、M共线． 证明： A1A∥CC1 确定平面A1C A1C 面A1C                    O∈面A1C O∈A1C 面BC1D∩直线A1C＝O  O∈面BC1D O在面A1C与平面BC1D的交线C1M上 ∴C1、O、M共线 变式训练1：已知空间四点A、B、C、D不在同一平面内，求证：直线AB和CD既不相交也不平行． 提示：反证法． 例2. 已知直线 与三条平行线a、b、c都相交．求证： 与a、b、c共面． 证明：设a∩l＝A  b∩l＝B  c∩l＝C a∥b a、b确定平面α  l β A∈a, B∈b    b∥c b、c确定平面β  同理可证l β 所以α、β均过相交直线b、l α、β重合 c α a、b、c、l共面 变式训练2：如图，△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线AB、BC、CA分别交平面α于P、Q、R点．求证：P、Q、R共线． 证明：设平面ABC∩α＝l，由于P＝AB∩α，即P＝平面ABC∩α＝l， 即点P在直线l上．同理可证点Q、R在直线l上． ∴P、Q、R共线，共线于直线l． 例3. 若△ABC所在的平面和△A1B1C1所在平面相交，并且直线AA1、BB1、CC1相交于一点O，求证： (1) AB和A1B1、BC和B1C1分别在同一个平面内； (2) 如果AB和A1B1，BC和B1C1分别相交，那么交点在同一条直线上． 证明：(1) ∵AA1∩BB1＝0，∴AA1与BB1确定平面α，又∵A∈a，B∈α，A1∈α，B1∈α，∴AB α，A1B1 α，∴AB、A1B1在同一个平面内 同理BC、B1C1、AC、A1C1分别在同一个平面内 (2) 设AB∩A1B1＝X，BC∩B1C1＝Y，AC∩A1C1＝Z，则只需证明X、Y、Z三点都是平面A1B1C1与ABC的公共点即可． 变式训练3：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB中点，F为AA1中点， 求证：(1) E、C．D1、F四点共面； (2) CE、D1F、DA三线共点． 证明(1) 连结A1B 则EF∥A1B  A1B∥D1C ∴EF∥D1C    ∴E、F、D1、C四点共面 (2) 面D1A∩面CA＝DA ∴EF∥D1C  且EF＝ D1C ∴D1F与CE相交  又D1F 面D1A，CE 面AC ∴D1F与CE的交点必在DA上 ∴CE、D1F、DA三线共点． 例4.求证：两两相交且不通过同一点的四条直线必在同一平面内． 证明：(1) 若a、b、c三线共点P，但点p d，由d和其外一点可确定一个平面α 又a∩d＝A  ∴点A∈α  ∴直线a α 同理可证：b、c α  ∴a、b、c、d共面 (2)若a、b、c、d两两相交但不过同一点 ∵a∩b＝Q  ∴a与b可确定一个平面β 又c∩b＝E      ∴E∈β 同理c∩a＝F        ∴F∈β ∴直线c上有两点Ｅ、Ｆ在β上    ∴c β 同理可证：d β  故a、b、c、d共面 由(1) (2)知：两两相交而不过同一点的四条直线必共面 变式训练4：分别和两条异面直线AB、CD同时相交的两条直线AC、BD一定是异面直线，为什么? 解：假设AC、BD不异面，则它们都在某个平面 内，则A、B、C、D .由公理1知 , .这与已知AB与CD异面矛盾，所以假设不成立,即AC、BD一定是异面直线。 小结归纳 1．证明若干点共线问题，只需证明这些点同在两个相交平面． 2．证明点、线共面问题有两种基本方法：①先假定部分点、线确定一个平面，再证余下的点、线在此平面内；②分别用部分点、线确定两个(或多个)平面，再证这些平面重合． 3．证明多线共点，只需证明其中两线相交，再证其余的直线也过交点． 基础过关 第2课时    空间直线 基础过关 1．空间两条直线的位置关系为            、        、          ． 2．相交直线          一个公共点，平行直线      没有公共点， 异面直线：不同在任          平面，没有公共点． 3．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相                ． 4．等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两角          ． 5．异面直线的判定定理 过平面外一点与平面内一点的直线和平面内    的直线是异面直线(作用：判定两条直线是异面直线) 6．异面直线的距离：和两条异面直线      的直线称为异面直线的公垂线．两条异面直线的公垂线在    的长度，叫两异面直线的距离． 典型例题 例1. 如图，在空间四边形ABCD中，AD＝AC＝BC＝BD＝a，AB＝CD＝b，E、F分别是AB、CD的中点． (1) 求证：EF是AB和CD的公垂线； (2) 求AB和CD间的距离． 证明：(1) 连结CE、DE     AB⊥面CDE ∴AB⊥EF  同理CD⊥EF ∴EF是AB和CD的公垂线 (2) △ECD中，EC＝ ＝ED ∴EF＝ 变式训练1：在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别为AB、CD的中点，EF＝ ，求AD、BC所成角的大小． 解：设BD的中点G，连接FG，EG。在△EFG中  EF＝   FG＝EG＝1 ∴∠EGF＝120°      ∴AD与BC成60°的角。 例2. S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SA＝SB＝SC， 且 ASB＝ BSC＝ CSA＝ ，M、N分别是AB和SC的中点． 求异面直线SM与BN所成的角． 证明：连结CM，设Q为CM的中点，连结QN 则QN∥SM ∴∠QNB是SM与BN所成的角或其补角 连结BQ，设SC＝a，在△BQN中 BN＝   NQ＝ SM＝ a  BQ＝ ∴COS∠QNB＝ ∴∠QNB＝arc cos 变式训练2：正 ABC的边长为a，S为 ABC所在平面外的一点，SA＝SB＝SC＝a，E，F分别是SC和AB的中点． (1) 求异面直线SC和AB的距离； (2) 求异面直线SA和EF所成角． 答案：(1)       (2) 45° 例3. 如图，棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P 分别为A1B1、BB1、CC1的中点． (1) 求异面直线D1P与AM，CN与AM所成角； (2) 判断D1P与AM是否为异面直线？若是，求其距离． 解：(1) D1P与AM成90°的角 CN与AM所成角为arc cos . (2) 是．NP是其公垂线段, D1P与AN的距离为1. 变式训练3：如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中， ∠BCA＝90°，M、N分别是A1B1和A1C1的中点， 若BC＝CA＝CC1，求NM与AN所成的角． 解：连接MN，作NG∥BM交BC于G，连接AG， 易证∠GNA就是BM与AN所成的角． 设：BC＝CA＝CC1＝2，则AG＝AN＝ ，GN＝B1M＝ ， cos∠GNA＝ 。 例4．如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底 面ABCD，AE⊥PD，EF∥CD，AM＝EF． (1) 证明MF是异面直线AB与PC的公垂线； (2) 若PA＝3AB，求直线AC与平面EAM所成角的正弦值． （1）证明：∵EF∥CD  AM∥CD ∴ AM∥EF，又AM＝EF  ∴ AMFE为平行四边形 ∵ AB⊥PA，AB⊥AD  ∴ AB⊥面PAD ∴ AB⊥AE，又AE∥MF，∴ AB⊥MF 又∵AE⊥PD  CD⊥AE  ∴ AE⊥面PCD ∴ AE⊥PC  ∴ MF⊥PC  ∴ MF为AB与PC的公垂线． (2) 设AB＝1，则PA＝3，建立如图所示坐标系．由已知得 ＝(0， ， )， ＝(1，0，0) 面MFEA的法向量为 ＝(0，1，－3)， ＝(1，1，0)，cos< ， >＝ ．∴ AC与面EAM所成的角为 －arc cos ，其正弦值为 ． 变式训练4：如图，在正方体 中， E、F分别是 、CD的中点． （１）证明 ； （２）求 与 所成的角。 （1）证明：因为AC1是正方体，所以AD⊥面DC1 又DF1 DC1，所以AD⊥D1F. （2）取AB中点G，连结A1G，FG， 因为F是CD的中点，所以GF∥AD， 又A1D1∥AD，所以GF∥A1D1， 故四边形GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F。 设A1G与AE相交于H，则∠A1HA是AE与D1F所成的角。 因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌△ABE, ∠GA1A=∠GAH,从而∠A1HA=90°, 即直线AE与D1F所成的角为直角。 小结归纳 1．求两条异面直线所成角的步骤：(1)找出或作出有关角的图形；(2)证明它符合定义； (3)求角． 2．证明两条直线异面的常用方法：反证法、定义法(排除相交或平行)、定理法． 3．求异面直线间距离的方法：作出公垂线段，向量法． 基础过关 第3课时    直线和平面平行 1．直线和平面的位置关系          、          、          ． 直线在平面内，有          公共点． 直线和平面相交，有        公共点． 直线和平面平行，有        公共点． 直线与平面平行、直线与平面相交称为直线在平面外． 2．直线和平面平行的判定定理 如果平面外        和这个平面内        平行，那么这条直线和这个平面平行． (记忆口诀：线线平行  线面平行) 3．直线和平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面      ，经过      平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．(记忆口诀：线面平行  线线平行) 典型例题 例1．如图，P是 ABC所在平面外一点，M PB， 试过AM作一平面平行于BC，并说明画法的理论依据． 解：在平面PBC内过M点作MN∥BC，交PC于N点， 连AN则平面AMN为所求 根据线面平行的性质定理及判定定理 变式训练1：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B和AC上的点，且A1M＝AN． 求证：MN∥平面BB1C1C． 证明：在面BA1内作MM1∥A1B1交BB1于M1 在面AC内作NN1∥AB交BC于N1 易证MM1  NN1即可 例2. 设直线a∥ ，P为 内任意一点，求证：过P且平行a的直线 必在平面 内． 证明：设a与p确定平面β，且α∩β＝a' ，则a'∥a 又a∥l  l∩a'＝p ∴a与a'重合    ∴l α 变式训练2：求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行． 解：已知α∩β＝l    a∥α    a∥β    求证：a∥l 证明：过a作平面γ交平面α于b，交平面β于C， ∵a∥α，∴a∥b 同理，∵a∥β    ∴a∥c    ∴b∥c 又∵b β  且c β    ∴b∥β 又平面α经过b交β于l ∴b∥l且a∥b    ∴a∥l 例3. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧菱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点． ( 1 ) 证明：PA∥平面EDB； ( 2 ) 求EB与底面ABCD所成的角的正切值． (1 ) 证明：提示，连结AC交BD于点O，连结EO． ( 2) 解：作EF⊥DC交DC于F，连结BF． 设正方形ABCD的边长为a．∵ PD⊥底面ABCD，∴PD⊥DC． ∴ EF∥PD，F为DC的中点．∴EF⊥底面ABCD， BF为BE在底面ABCD内的射影， ∠EBF为直线EB与底面ABCD所成的角． 在Rt△BCF中，BF＝ ∵ EF＝ PD＝ ，∴ 在Rt△EFB中， tan∠EBF＝ ．所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为 ． 变式训练3：如图，在四面体中截面EFGH平行于对棱 AB和CD，试问：截面在什么位置时，其截面的面积最大？ 解：易证截面EFGH是平行四边形 设AB＝a  CD＝b  ∠FGH＝α(a、b为定值，α为异面直线AB与CD所成的角) 又设FG＝x  GH＝y  由平几得   ∴ ＝1    ∴y＝ (a－x) ∴S□ EFGH＝FG·GH·sinα＝x· (a－x)sinα ＝ x(a－x) ∵x＞0  a－x＞0  且x＋(a－x)＝a为定值 ∴当且仅当  x＝a－x 即x＝ 时(S□ EFGH)max＝ 例4．已知： ABC中， ACB＝90°，D、E分别为AC、AB的中点，沿DE将 ADE折起使A到A'的位置，若平面A'DE⊥面BCDE，M是A'B的中点，求证：ME∥面A'CD． 证明：取A'C的中点N，连MN、DN， 则MN  BC，DE  BC ∴MN  DE    ∴ME∥ND 又ME 面A'CD    ND 面A'CD ∴ME∥面A'CD 变式训练4： (2005年北京)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点． ( 1 ) 求证：AC⊥BC1； (2) 求证：AC1∥平面CDB1； (3) 求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值． 解：（1）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5． ∴AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴AC⊥BC1； （2）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE∥AC1 ∴DE 平面CDB1，AC1 平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1； （3）∵DE∥AC1，∴CED为AC1与B1C所成的角，在△CED中，ED＝ AC1＝ ，CD＝ AB＝ ，CE＝ CB1＝2 ，∴cos∠CED = ∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为 ． 小结归纳 1．证明直线和平面平行的方法有：(1)依定义采用反证法；(2)判定定理；(3)面面平行性质；(4)向量法． 2．辅助线(面)是解、证有关线面问题的关键，要充分发挥在化空间问题为平面问题的转化作用． 基础过关 第4课时    直线和平面垂直 1．直线和平面垂直的定义 如果一条直线和一个平面的          直线垂直，那么这条直线和这个平面互相垂直． 2．直线和平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的        直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面． 3．直线和平面垂直性质 若a⊥ ，b 则          若a⊥ ，b⊥ 则          若a⊥ ，a⊥ 则          过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条． 4．点到平面距离 过一点作平面的垂线        叫做点到平面的距离． 5．直线到平面的距离 一条直线与一个平面平行时，这条直线上        到这个平面的距离叫做直线到平面距离． 典型例题 例1. OA、OB、OC两两互相垂直，G为 ABC的垂心．求证：OG 平面ABC． 证明：∵OA、OB、OC两两互相垂直 ∵OA⊥平面OBC  ∴OA⊥BC 又G为△ABC的垂心  ∴ AG⊥BC, ∴ BC⊥面OAG ∴BC⊥OG 同理可证：AC⊥OG  又BC∩AC＝C ∴OG⊥平面ABC 变式训练1：如图SA⊥面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥SB，且SB∩AE＝E，AF⊥SC，且AF∩SC＝F，求证：(1) BC⊥面SAB；(2) AE⊥面SBC；(3) SC⊥EF． 证明：(1) BC⊥面SAB (2) 由(1)有 AE⊥面SBC (3) 由(2)有 SC⊥面AEF SC⊥EF 例2 如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC中点． (1) 求证：MN⊥CD； (2) 若 PDA＝45°，求证：MN⊥面PCD． 证明：(1) 连AC取中点O，连NO、MO，并且MO交CD于R ∵N为PC中点  ∴NO为△PAC的中位线  NO∥PA 而PA⊥平面ABCD  ∴NO⊥平面ABCD ∴MN在平面ABCD的射影为MO，又ABCD是矩形 M为AB中点，O为AC中点  ∴MO⊥CD ∴CD⊥MN (2) 连NR，则∠NRM＝45°＝∠PDA 又O为MR的中点，且NO⊥MR ∴△MNR为等腰三角形 且∠NRM＝∠NMR＝45° ∴∠MNR＝90°  ∴MN⊥NR  又MN⊥CD ∴MN⊥平面PCD 变式训练2：PD垂直于平面ABCD所在平面，PB⊥AC，PA⊥AB． 求证：① ABCD是正方形；② PC⊥BC． 证明：略 例3．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E、F分别为CD、PB的中点． (1) 求证：EF⊥平面PAB； (2) 设AB＝ BC，求AC与平面AEF所成的角的大小． (1) 证明：连结EP．∵PD⊥底面ABCD，DE在 平面ABCD中，∴PD⊥DE，又CE＝ED，PD＝AD＝BC， ∴Rt△BCE≌Rt△PDE，∴PE＝BE ∵F为PB中点，∴EF⊥PB． 由垂线定理得PA⊥AB，∴在Rt△PAB中，PF＝AF，又PE＝BE＝EA，∴△EFP≌△EFA， ∴EF⊥FA． ∵ PB、FA为平面PAB内的相交直线，∴EF⊥平面PAB． (2) 解：不防设BC＝1，则AD＝PD＝1，AB＝ ，PA＝ ，AC＝ ．∴△PAB为等腰直角三角形．且PB＝2，Ｆ是其斜边中点，BF＝1，且AF⊥PB．∵PB与平面AEF内两条相交直线EF、AF都垂直．∴PB⊥平面AEF．连结BE交AC于G，作GH∥BP交EF于H，则GH⊥平面AEF． ∠GAH为AC与平面AEF所成的角． 由△EGC∽△BGA可知EG＝ GB，EG＝ EB，AG＝ AC＝ ． 由△EGH∽△BGF可知GH＝ BF＝ ∴sin∠GAH＝ ∴AC与面AEF所成的角为arc sin ． 变式训练3：如图，在三棱锥A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD， BAD＝ BDC＝90°，AB＝AD＝3 ，BC＝2CD．求： (1) 求AC的长； (2) 求证：平面ABC⊥平面ACD； (3) 求D点到平面ABC的距离d． 解：(1)   (2)略． (3)因VA－DBC＝ ( DC×BD)×OA＝6 ， 又VD－ABC＝ ( AB×AC)×d＝ d， VA－BCD＝VD－ABC，则 d＝6 ，解得d＝ . 例4：如图，棱长为4的正方体AC1，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1＝4CP． (1) 求直线AP与平面BCC1B1所成角的大小； (2) 设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1H AP； (3) 求点P到平面ABD1的距离． 答案： (1) ∠APB＝arctan (2) AP在面AC上的射影为AC  又AC⊥BD ∴PA⊥BD  而BD∥B1D1  ∴B1D1⊥AP 而B1D1在平面D1AP上的射影为D1H  ∴D1H⊥AP (3) 面ABD1⊥面BC1  过P作PM⊥BC1于M 则PM＝ 变式训练4：三棱锥V－ABC的三条侧棱VA、VC两两垂直，顶点V在底面内的射影是H． (1) 求证H是△ABC的垂心； (2) ． (1) 证明：连结AH交BC于D点，连接CH交AB于E点， ∵VA⊥VB，VA⊥VC，VB∩VC＝V， ∴VA⊥VBC面，又BC VBC面，∴BC⊥VA． ∵VH⊥ABC面，BC ABC面， ∴BC⊥VH，又VA∩VH＝A，∴BC⊥VHA面． 又AD VHA面，∴AD⊥BC，同理可得CE⊥AB， ∴H是△ABC的垂心． (2) 连接VE，在Rt△VEC中，VE2＝EH×EC AB2×VE2＝ AB2×EH×EC， 即 ． 小结归纳 线面垂直的判定方法：(1) 线面垂直的定义；  (2)判定定理； (3) 面面垂直的性质；  (4) 面面平行的性质：若 ∥ ，a⊥ 则a ⊥ 基础过关 第5课时    三垂线定理 基础过关 1．和一个平面相交，但不和这个平面            的直线叫做平面的斜线，斜线和平面的交点叫做        ． 2．射影(1) 平面外一点向平面引垂线的          叫做点在平面内的射影； (2) 过垂足和斜足的直线叫斜线在平面内的                  ． 斜线上任意一点在平面上的射影一定在          ． 垂线在平面上的射影只是        ． 直线和平面平行时，直线在平面上的射影是和该直线        的一条直线． 3．如图，AO是平面 斜线，A为斜足，OB⊥ ，B 为垂足，AC ，∠OAB＝ ， BAC＝ ， ∠OAC＝ ，则cos ＝        ． 4．直线和平面所成的角 平面的斜线和它在这个平面内的            所成 的          叫做这条直线和平面所成角． 斜线和平面所成角，是这条斜线和平面内任一条直线所成角中                ． 5．三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的        垂直，那么它也和        垂直． 逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条    垂直，那么它也和这条   垂直． 典型例题 例1. 已知Rt ABC的斜边BC在平面 内，A到 的距离2，两条直角边和平面 所成角分别是45°和30°．求：(1) 斜边上的高AD和平面 所成的角； (2) 点A在 内的射影到BC的距离． 答案：(1) 60°  (2) 变式训练1：如图，道旁有一条河，河对岸有电塔AB，塔顶A到道路距离为AC，且测得∠BCA＝30°，在道路上取一点D，又测得CD＝30m，∠CDB＝45°．求电塔AB的高度． 解：BC＝30，AB＝BC tan30°＝10 例2．如图，矩形纸片A1A2A3A4，B、C、B1、C1 分别为A1 A4、A2A3的三等分点，将矩形片沿 BB1，CC1折成三棱柱，若面对角线A1B1 BC1； 求证：A2C A1B1． 解：取A2B1中点D1  ∵A2C1＝B1C1  ∴C1D1⊥A2B1 又A1A2⊥面A2B1C1  ∴C1D1⊥A1A2 ∴C1D1⊥面A1A2B1B  ∴BD1是BC1在面A2B上的射影 由A1B1⊥BC1  ∴BD1⊥A1B1 取A1B中点D  同理可证A2D是A2C在面A2B上的射影 ∵A2D BD1 ∴A2DBD1是平行四边形 由BD1⊥A1B1  ∴A1B1⊥A2D ∴A2C⊥A1B1 变式训练2：如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4，M为AA1中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长 ，设这条最短路线与CC1交点N，求： (1) PC和NC的长； (2) 平面NMP与平面ABC所成二面角(锐角)大小． 解：将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转120°使其与侧面 AA1C1C在同一平面上，点P运动到点P1的位置， 连接MP1，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线 设PC＝x，则P1C＝x，在Rt△MAP1中，由勾股定理得x＝2 ∴PC＝P1C＝2  ∵   ∴NC＝ (2) 连接PP1，则PP1就是平面NMP与平面ABC的交线，作NH⊥PP1于H，又CC1⊥平面ABC，连结CH，由三垂线定理得CH⊥PP1 ∴∠NHC就是平面NMP与平面ABC所成的平面角(锐角) 在Rt△PHC中  ∵∠PCH＝ ∠PCP1＝60°  ∴CH＝ ＝1 在Rt△PHC中  tanNHC＝ 故平面NMP与平面ABC所成二面角大小为arctan 例3.如图在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中， 点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点． (1) 试确定点F的位置，使得D1E 面AB1F； (2) 当D1E 面AB1F时，求二面角C1－EF－A大小． 解：(1) 连结A1B，则A1B是D1E在面ABB1A1内的射影 ∵AB1⊥A1B  ∴D1E⊥AB1 于是D1E⊥平面AB1F  D1E⊥AF 连结DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影 ∴D1E⊥AF DE⊥AF ∵ABCD是正方形，E是BC的中点 ∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF 即当点F是CD的中点时，D1E⊥面AB1F (2) 当D1E⊥平面AB1F时，由(1) 知点F是CD的中点，又已知点E是BC的中点，连结EF，则EF∥BD连AC，设AC与EF交点H，则CH⊥EF，连C1H，则CH是C1H在底面ABCD内的射影 ∴C1H⊥EF  即∠C1HC是二面角C1－EF－C的平面角 在Rt△C1HC中  ∵C1C＝1  CH＝ AC＝ ∴tan∠C1HC＝ ∴∠C1HC＝arctan 2 ∴∠AHC1＝π－arctan2 变式训练3：正方体ABCD－A1B1C1D1中棱长a，点P在AC上，Q在BC1上，AP＝BQ＝a， (1) 求直线PQ与平面ABCD所成角的正切值； (2) 求证：PQ⊥AD． (1) 解：过Q作QM∥CC1交BC于M  则QM⊥面ABCD  ∴∠QPM就是所求角 ∵ 即   ∴ ∴   ∴PM∥AB 在Rt△PQM中  PM＝   QM＝ ∴tan∠QPM＝ ＝ ＝ ＋1 (2) 由(1) 可知PM⊥BC  PQ在面ABCD内的射影是PM. ∴PQ⊥BC  又AD∥BC  ∴PQ⊥AD 例4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动． (1) 证明：D1E⊥A1D； (2) 当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离； (3) AE等于何值时，二面角D1－EC－D的大小为 ． (1) 证明：∵ AE⊥平面AA1DD1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥D1E． (2) 设点E到面ACD1的距离为h，在△ACD1中，AC＝CD1＝ ，AD1＝ ， ＝ · · ＝ ，而 ＝ ·AE·BC＝ ． ∴ ＝ ·DD1＝ ·h ∴ ×1＝ ×h，  ∴h＝ (3) 过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，∴∠DHD1为二面角D1－EC－D的平面角．设AE＝x，则BE＝2－x 在Rt△D1DH中，∵∠DHD1＝ ，∴DH＝1 ∵在Rt△ADE中，DE＝ ，∴在Rt△DHE中，EH＝x，在Rt△DHC中，CH＝ ，CE＝ ，则x＋ ＝ ，解得x＝2－ ． 即当x＝2－ 时，二面角为D1－EC－D的大小为 ． 变式训练4：如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，且PD＝a，PA＝PC＝ a． (1) 求证：PD⊥面ABCD； (2) 求直线PB与AC所成角； (3) 求二面角A－PB－D大小． 证明：(1) ∵PC＝ a  PD＝DC＝a  ∴PD2＋DC2＝PC2 ∴△PDC是直角三角形  ∴PD⊥DC 同理PD⊥DA  又∵DA∩DC＝D ∴PD⊥平面ABCD (2) 连BD  ∵ABCD是正方形  ∴AC⊥BD 又∵PD⊥平面ABCD  AC⊥PB(三垂线定理) ∴PB与AC所成角为90° (3) 设AC∩BD＝0  作AE⊥PB于E，连OE ∵AC⊥BD  PD⊥平面ABCD  AC 面ABCD ∴PD⊥AC  ∴AC⊥平面PDB 又∵OE是AE在平面PDB内的射影 ∴OE⊥PB  ∴∠AEO就是二面角A－PB－O的平面角 又∵AB＝a  PA＝   PB＝ ∵PD⊥面ABCD  DA⊥AB  ∴ PA⊥AB 在Rt△PAB中  AE·PB＝PA·AB  ∴AE＝   AO＝ 小结归纳 ∴sin∠AEO＝   ∴∠AEO＝60° 1．求直线和平面所成的角的一般步骤是一找(作)，二证，三算．寻找直线在平面内的射影是关键，基本原理是将空间几何问题转化为平面几何问题，主要转化到一个三角形内，通过解三角形来解决． 2．三垂线定理及逆定理，是判定两条线互相垂直的重要方法，利用它解题时要抓住如下几个环节：一抓住斜线，二作出垂线，三确定射影． ３．证明线线垂直的重要方法：三垂线定理及逆定理；线⊥面 线⊥线；向量法． 基础过关 第6课时    平面与平面平行 基础过关 1．两个平面的位置关系：        2．两个平面平行的判定定理 如果一个平面内有两条    直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行． (记忆口诀：线面平行，则面面平行) 3、两个平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它所有的      平行． (记忆口诀：面面平行，则线线平行) 4．两个平行平面距离 和两个平行平面同时      的直线，叫做两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分叫做两个平面的        ，两个平行面的公垂线段的        ，叫做两个平行平面的距离． 典型例题 例1．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1中点． (1) 求证：平面AMN∥平面EFDB； (2) 求异面直线AM、BD所成角的余弦值． 解：(1) 易证EF∥B1D1 MN∥B1D1 ∴EF∥MN AN∥BE  又MN∩AN＝N  EF∩BE＝E ∴面AMN∥面EFDB (2) 易证MN∥BD  ∴∠AMN为AM与BD所成角 易求得  cos∠AMN＝ 变式训练1：如图， ∥ ，AB交 、 于A、B， CD交 、 于C、D，AB CD＝O，O在两平面之间， AO＝5，BO＝8，CO＝6．求CD． 解：依题意有AC∥DB  即 ∴OD＝   ∴CD＝ ＋6＝ 例2 . 已知平面 ∥平面 ，AB、CD是夹在平面 和平面 间的两条线段，点E、F分别在AB、CD上，且 ．求证：EF∥ ∥ ． 证明：1°若AB与CD共面，设AB与CD确定平面γ，则α∩γ＝AC  β∩γ＝BD ∵α∥β  ∴AC∥BD  又∵ ∴EF∥AC∥BD  ∴EF∥α∥β 2°若AB与CD异面，过A作AA'∥CD 在AA'截点O，使   ∴EO∥BA'  OF∥A'D ∴平面EOF∥α∥β  ∴EF与α、β无公共点 ∴EF∥α∥β 变式训练2：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别是CC1、B1C1、C1D1的中点． 求证：(1) AP MN； (2) 平面MNP∥平面A1BD． 证明：(1) 连BC1  易知AP在BCC1B1内射影是BC1 BC1⊥MN  ∴AP⊥MN (2) ∵ 面MNP∥面A1BD 例3.已知a和b是两条异面直线． (1) 求证：过a和b分别存在平面α和β，使α∥β； (2) 求证：a、b间的距离等于平面α与β的距离． (1) 在直线a上任取一点P，过P作b'∥b，在直线b上取一点Q 过Q作a'∥a  设a, b'确定一个平面α a', b确定平面β  a'∥a  a α  ∴a'∥α 同理b∥α  又a'、b β  ∴α∥β 因此，过a和b分别存在两个平面α、β (2) 设AB是a和b的公垂线，则AB⊥b，AB⊥a  ∴AB⊥a' a'和b是β内的相交直线，∴AB⊥β  同理AB⊥α 因此，a, b间的距离等于α与β间的距离． 变式训练3：如图，已知平面α∥平面β，线段PQ、PF、QC分别交平面α于A、B、C、点，交平面β于D、F、E点，PA＝9，AD＝12，DQ＝16，△ABC的面积是72，试求△DEF的面积． 解：平面α∥平面β，∴AB∥DF，AC∥DE， ∴∠CAB＝∠EDF．在△PDF中，AB∥DF，DF＝ AB＝ AB，同理DE＝ AC． S△DEF＝ DF·DE sin∠EDF＝ S△ABC＝96． 例4.如图，平面 ∥平面 ， ABC． A1B1C1分别在 、 内，线段AA1、BB1、CC1交于点O，O在 、 之间，若AB＝2AC＝2，∠BAC＝60°，OA:OA1＝3:2． 求 A1B1C1的面积． 解：∵α∥β  AA1∩BB1＝O  ∴AB∥A1B1 同理AC∥A1C1  BC∥B1C1 ∴△ABC∽△A1B1C1  S△ABC＝ AB·AC·sin60°＝ ∴ ∴ ＝ 变式训练4：如图，在底面是菱形的四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝ a，点E是PD的中点． （1）证明：PA⊥平面ABCD，PB∥平面EAC； （2）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的正切值． （1）证：因为底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°， 所以AB＝AD＝AC＝a， 在△PAB中，由PA2＋AB2＝2a2＝PB2知PA⊥AB， 同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD． 因为 ＝ ＋ ＋ ＝2 ＋ ＋ ＝( ＋ )＋( ＋ )＝ ＋ ∴ 、 、 共面． PB 平面EAC，所以PB∥平面EAC． （2） 解：作EG∥PA交AD于G，由PA∥平面ABCD，知EG⊥平面ABCD．作GH⊥AC于H，连结EH，则EH⊥AC，∠EHG即为二面角θ的平面角． 又E是PD的中点，从而G是AD的中点，EG＝ a，AG＝ a，GH＝AG sin 60°＝ a， 小结归纳 所以tanθ＝ ． 1．判定两个平面平行的方法：(1)定义法；(2)判定定理． 2．正确运用两平面平行的性质． 3．注意线线平行，线面平行，面面平行的相互转化：线∥线 线∥面 面∥面． 基础过关 第7课时      两个平面垂直 1．两个平面垂直的定义：如果两个平面相交所成二面角为        二面角，则这两个平面互相垂直． 2．两个平面垂直的判定：如果一个平面      有一条直线        另一个平面，则这两个平面互相垂直． 3．两个平面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么一个平面      的垂直于它们的      的直线垂直于另一个平面． 4．异面直线上两点间的距离公式：EF＝ ，其中：d是异面直线a、b的      ，θ为a、b        ，m、n分别是a、b上的点E、F到        AA'与a、b的交点A，A'的距离． 例1 如图所示，在四面体S－ABC中，SA＝SB＝SC，∠ASB＝∠ASC＝60°，∠BSC＝90°． 求证：平面ABC⊥平面BSC． 证明：略 变式训练1：如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC． ⑴ 求证：AB⊥BC； ⑵ 若设二面角S－BC－A为45°， SA＝BC，求二面角A－SC－B的大小． 证明：(1) 作AH⊥SB于H，则AH⊥平面SBC ∴AH⊥BC， 又SA⊥BC ∴BC⊥平面SAB  ∴BC⊥AB (2) ∠SBA是二面角S－BC－A的平面角，∠SBA＝45°，作AE⊥SC于E，连结EH，EH⊥SC，∠AEH为所求二面角的平面角，∠AEH＝60° 例2.在120°的二面角P－a－Q的两个面P和Q内，分别有点A和点B，已知点A和点B到棱a的距离分别是2和4，且线段AB＝10，求： (1) 直线AB和棱a所成的角； (2) 直线AB和平面Q所成的角． 答案：(1) arc sin   (2) arc sin 变式训练2：已知四棱锥P－ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，PD⊥平面ABCD，PD＝AD，点E为AB中点，点F为PD中点． （1） 证明：平面PED⊥平面PAB； （2） 求二面角P－AB－F的平面角的余弦值． （1）证明：连BD．∵AB＝AD，∠DAB＝60°， ∴△ADB为等边三角形，∴E是AB中点．∴AB⊥DE，∵PD⊥面ABCD，AB 面ABCD，∴AB⊥PD． ∵DE 面PED，PD 面PED，DE∩PD＝D， ∴AB⊥面PED，∵AB 面PAB．∴面PED⊥面PAB． （2）解：∵AB⊥平面PED，PE 面PED，∴AB⊥PE．连结EF，∵ EF 面PED，∴AB⊥EF． ∴ ∠PEF为二面角P－AB－F的平面角． 设AD＝2，那么PF＝FD＝1，DE＝ ． 在△PEF中，PE＝ ，EF＝2，PF＝1 ∴cos∠PEF＝ 即二面角P－AB－F的平面角的余弦值为 ． 例3.如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PD的中点，又二面角P－CD－B为45°． ⑴ 求证：AF∥平面PEC； ⑵ 求证：平面PEC⊥平面PCD； ⑶ 设AD＝2，CD＝2 ，求点A到面PEC的距离． 证明：(1) 取PC的中点G，易证EG∥AF，从而AF∥平面PEC (2) 可证EG⊥平面PCD (3) 点A到平面PEC的距离即F到平面PEC的距离，考虑到平面PEC⊥平面PCD，过F作FH⊥PC于Ｈ，则FH即为所求，由△PFH～△PCD得FH＝1 变式训练3：如图，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD． ⑴ 证明：AB⊥平面VAD； ⑵ 求面VAD与面VDB所成的二面角的大小． （1）证明： 平面VAD⊥平面ABCD AB⊥AD                    AB⊥平面VAD AB 平面ABCD AD＝平面VAD∩平面ABCD （2）解：取VD的中点E，连结AE、BE． ∵△VAD是正三角形，∴AE⊥VD，AE＝ AD． ∵AB⊥平面VAD，∴AB⊥AE． 又由三垂线定理知BE⊥VD． 于是tan ∠AEB＝ ＝ , 即得所求二面角的大小为arc tan 例4．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形A1ABB1是菱形，四边形BCC1B1是矩形，AB⊥BC，CB＝3，AB＝4，∠A1AB＝60°. ⑴ 求证：平面CA1B⊥平面A1ABB1； ⑵ 求直线A1C与平面BCC1B1所成角的正切值； (3) 求点C1到平面A1CB的距离． 证( 1) 因为四边形BCC1B1是矩形， 又∵AB⊥BC，∴BC⊥平面A1ABB1． （2）过A1作A1D⊥B1B于D，连结DC， ∵BC⊥平面A1ABB1，∴BC⊥A1D． ∴ A1D⊥平面BCC1B1， 故∠A1CD为直线A1C与平面BCC1B1所成的角， 在矩形BCC1B1中，DC＝ ，因为四边形A1ABB1是菱形． ∠A1AB＝60°，CB＝3，AB＝4，∴ A1D＝2 ∴ tan∠A1CD＝ ． （3）∵ B1C1∥BC，∴B1C1∥平面A1BC． ∴ C1到平面A1BC的距离即为B1到平面A1BC的距离． 连结AB1，AB1与A1B交于点O，∵四边形A1ABB1是菱形，∴B1O⊥A1B． ∵ 平面CA1B⊥平面A1ABB1，∴B1O⊥平面A1BC， ∴ B1O即为C1到平面A1BC的距离． ∵B1O＝2   ∴ C1到平面A1BC的距离为2 ． 变式训练4：如果在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°，且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD． ⑴ 若G为AD边的中点，求证BG⊥平面PAD； ⑵ 求证AD⊥PB； ⑶ 求二面角A－BC－P的大小； ⑷ 若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F， 使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论． 答案 (1) 略  (2) 略  (3) 45°  (4) F为PC的中点 小结归纳 在证明两平面垂直时，一般方法是从现有的直线中寻找平面的垂线；若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明，不能随意添加，在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后再转化为线线垂直．“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”间的转化是解决这类问题的关键． 第8课时      空间的角 基础过关 1．两异面直线所成的角：直线a、b是异面直线，经过空间一点O分别引直线a'    a，b'    b，把直线a'和b'所成的      或        叫做两条异面直线a、b所成的角，其范围是      ． 2．直线和平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的      所成的      角，叫做这条斜线和平面所成的角． 规定： ① 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是      角；② 一条直线与平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是      角． 其范围是        ． 公式：cosθ＝cosθ1cosθ2，其中，θ1是        ，θ2是        ，θ是        ． 3．二面角：从一条直线出发的        所组成的图形叫做二面角． 4．二面角的平面角：以二面角的棱上    一点为端点，在两个面内分别作        棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，其范围是        ． 典型例题 例1. 如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点． （1）求EF与平面PAD所成角的大小； （2）求EF与CD所成角的大小； （3）若∠PDA＝45°，求：二面角F—AB—D的大小． 解：(1)易知EF∥平面PAD，故EF与平面PAD成角为0°； (2)易知EF⊥CD，故EF与CD成角为90°； (3)取AC中点为0，则∠FEO为所求二面角的平面角，易求得∠FEO＝45°． 变式训练1：如图，ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，若二面角C1 —BD—C的大小为60°，求异面直线BC1与AC所成 的角的大小． 答案：arccos 例2. 在等腰梯形ABCD中，AB＝20，CD＝12，它的高为2 ，以底边的中垂线MN为折痕，将梯形MBCN折至MB1C1N位置，使折叠后的图形成120°的二面角，求：