第二节 换元积分法

第二节 换元积分法 第四章 不定积分(?2换元积分法) 第二节 换元积分法 要求:掌握用第一、二换元积分法求不定积分。 重点:第一、二换元积分法。 难点:选择恰当的变量代换。 1,2P作业:习4,2() ***2526)8)10)11)14)17)20)23)24)25)28)31)32)33)35)36)38)39)40) 问题提出: 利用不定积分的基本积分及性质可以求出一些不定积分，但它毕竟是有 2x2xedxsin5xdx限的，还有不少积分只靠上述方法是解决不了的，如、(为了求出更,, 多的不定积分，有必要研究求不定积分的其它方法，换元积分法是本节要介绍的一种方法.换元积分法其意思是用新变量去代换原变量，使原被积函数式变成一个比较简单的或积分表中已有的形式.它实质为复合函数求导运算的逆运算(按引入新变量的方式分第一换元积分法和第二换元积分法. 一、第一换元积分法 复合函数的微分 已知函数，则复合函数， y,F(u),u,,(x)y,f[,(x)] ,,,因此导数 ， y,f[,(x)],(x) ,,,微分 ( dy,F[,(x)],(x)dx,F(u)du 22y,sinx如 函数，令，得， y,sinuu,x dydudu2导数 ， ,,,cosu,2x,cosx,2xdxdudx 22d(sinx),cosx,2xdx微分 ， 上式两边积分得， 2xu,22cos2(cossin)sinxxdxuduucxC,,,,，,，. ,, 2xu,22xuuxexdxedueceC,,,,，,，2再如 . ,, 这里我们的思想方法是与复合函数求导方法一样，引入中间变量来化简运算. u 定理1 设函数f(u)F(u)u,,(x)F[,(x)]具有原函数，且可导，则函数是函数 ,f[,(x)],(x)的原函数，即有换元公式 ,fxxdxFxCfudu[()]()[()][()],,,,，,. uu,,(),, 这个公式称第一换元公式(或凑微分法). dFxfxxdx[()][()]'(),,,, 证明思路，上式两边求导，得. 计算方法 1 第四章 不定积分(?2换元积分法) ,(1)分被积式为两部分和，且的原函数易求; ,(x)dx,duf[,(x)],f(u)f(u) 2)对该积分求出的原函数中的换为函数，即. (F(u),(x)u,,(x)u 2xu, 2cos2cossinsin2xdxuduuCxC,,,，,，如 ， ,, 要想掌握第一换元法要熟记几个常用的微分: 1dx1112,2dx，，，，， xdx,dxdx,,dadxdaxb,，()dx,dlnx()22xxxx 11xx，，，. dxdx,arcsinedx,desinxdx,,dcosxdxdx,arctan221，x1,x 下列分类举例: 1(直接引入新变量(乘个常数或除个常数即可) 2dx例1(求不定积分. ,3，2x 3，2x,u2dxdu解 . ,，,，，ln||ln|32|uCxC,,,,,32，xu ax，b,u11一般地 积分 f(ax，b)dx,f(ax，b)d(ax，b),,,f(u)du,,,aa dx例2(求不定积分. ,x(1，2lnx) dlnx1d(2lnx)dx,,解 ,,,x(1，2lnx)1，2lnx21，2lnx 1(12ln)1dx， . ,,，，ln|12ln|xC,212ln2，x 2x1,xdx例3(求不定积分. , 1122222x1,xdx解 ,,1,xd(,x),,1,xd(1,x),,,22 331212222,,,,，,,,，(1)(1)xcxC . 233 3xe例4(求不定积分dx. ,x 3x2e23x3x3x解 dx. ,2edx,ed3x,，eC,,,33x 2(通过代数变形后再引入新变量 2 第四章 不定积分(?2换元积分法) dx例5(求不定积分. 22,a，x xx,uad()adx11dua解 ,,,22,,,22xa，xa2a1，u1，()a 11x. ,，,，arctanarctanuCCaaa dx1x即有公式 =. arctan，C22,a，xaa dx例6(求不定积分. x,x,e，e xxdxedxdex解 . ,,,，arctaneCx,x,2xx2,,e，ee，1(e)，1 dx例7(求不定积分. (a,0),22a,x xd1dxxdxa,,解 ,，arcsinC,,,22aaxxa,x221,()1,()aa xdx即有公式 ,，arcsinC,22aa,x dx利用上述公式计算不定积分. ,23，2x,x dxdxdx,,解 ,,,2223，2x,x3，2x,x3,(x,2x，1)，1 dxx(1)1,, . ,,，arcsinC,2222(1),,x dx例8(求不定积分. 22,x,a 1111,,解 因为， ()22ax,ax，ax,a2 111dx,(,)所以 dx22,,2,，,axaxaxa 1 ,,,，，(ln||ln||)xaxaC2a 3 第四章 不定积分(?2换元积分法) 1xa, . ,，ln||C2axa， dx1xa,即有公式 . ,，ln||C22,x,a2axa， 3(利用三角公式变形的积分 1122常用的三角公式 ， . sinx,(1,cos2x)cosx,(1，cos2x)22 tanxdx例9(求不定积分. , sinx,dcosxtanxdx解 ,,，ln|cos|xC,dx,,,,cosxcosx tanxdx即有公式 . ,,，ln|cos|xC, cotln|sin|xdxxC,，同理得公式 . , cscxdx例10(求不定积分. , dxxdxxsincos11cos,cscxdx解 ,,,,,，dxCln||22,,,,sinsin1cos21cosxxxx,， 21(1cos)1cos,,xx ,，,，ln||ln||CC 22sinsinxx ,,，ln|csccot|xxC. dxcscxdx即有公式 ,,，ln|csccot|xxC,,,sinx secxdx利用互余关系可求不定积分. , ,d(x，)dx2secxdx,, 解 ,,,,cosxsin(x，)2 ,, ,，,，，ln|csc()cot()|xxC22 ,，，ln|sectan|xxC . secxdx即有公式 ,，，ln|sectan|xxC. , 得到一些以后经常用到的需要记住的积分公式. tanln|cos|xdxxC,,，cotln|sin|xdxxC,，(16); (17); ,, secln|sectan|xdxxxC,，，cscln|csccot|xdxxxC,,，(18);(19); ,, 4 第四章 不定积分(?2换元积分法) dxxdxx1(20); (21),，arcsinC; ,，arctanC22,,22aaxaa，ax,11xa,(22). dxC,，ln||22,xaaxa,，2 2sinxdx例11(求不定积分. , 112sinxdx 解 ,(1,cos2x)dx,[dx,cos2x]dx,,,,22 11 . ,,，xxCsin224 4cosxdx例12(求不定积分. , 11422,cosxdx解 ,[(1，cos2x)]dx(1，2cos2x，cos2x)dx,,,24 x13111，cos4 xdx,(，2cos2x，cos4x)dx,(1，2cos2，),,42242 311 . ,，，，sin2sin4xxC8432 2k2k对于被积函数是或时，均可利用公式 sinxcosx 1122， cosx,(1，cos2x)sinx,(1,cos2x)22 将被积函数降为一次方，再积分. 3sinxdx例13(求不定积分. , 1323sinxdx,,(1,cosx)dcosx解 . ,,，，coscosxxC,,3 2k，12k2k2k，1对于被积函数是或时，将其化为或及或cosxsinxcosxcosxsinxsinx 2k2k22的一次方次，对于()，利用公式，对于或，sinx或cosxsinx，cosx,1cosxsinx cosx(或sinx)利用或，把被积函数化为只含的函数，sincosxdxdx,,cossinxdxdx, 再积分. 6secxdx例14(求不定积分. , 26422secxdx解 ,secx,secxdx,(1，tanx)dtanx,,, 24,(1，2tanx，tanx)dtanx , 2135 . ,，，，tantantanxxxC35 25sinxcosxdx例15(求不定积分. , 5 第四章 不定积分(?2换元积分法) 22522解 sinxcosxdx ,sinx(1,sinx),cosxdx,, 224,sinx(1,2sinx，sinx)dsinx , 246,(sinx,2sinx，sinx)dsinx , 121357 . ,,，，sinsinsinxxxC357 53tanx,secxdx例16(求不定积分. , 2534222tanx,secxdx,tanx,secxdsecx解 ,(secx,1)secxdsecx,,, 642,(secx,2secx，secx)dsecx , 121753 . ,,，，secsecsecxxxC753 nm22凡被积函数是与类函数相乘时，均可用公式与tanxsecxsecx,tanx,1 2，变形后再积分. dtanx,secxdxdsecx,tanxsecxdx cos3x,cos2xdx例17(求不定积分. , 111cos3x,cos2xdx解 ,(cosx，cos5x)dx,，，sinsin5xxC,,2210凡被积函数为sinsin;coscos;sincosmxnxmxnxmxnx,,,时，需用积化和差公式化为 两项和后再积分. 1， sinsin[cos()cos()]xyxyxy,,，,,2 1， coscos[cos()cos()]xyxyxy,，，,2 1. cossin[sin()sin()]xyxyxy,，,,2 说明 第一换元法在积分中常用，如何选择适当的变量代换，却没有一般的方法可循，这种方 法的特点是凑微分.要掌握该方法，需要熟记一些函数的微分公式. 如几个典型的凑微分法 11222， ， f(ax，b)dx,f(ax，b)d(ax，b)f(x)xdx,f(x)dx,,,,a2 1xxxxf(e)edx,f(e)de， ， f(lnx)dx,f(lnx)dlnx,,,,xf(sinx)cosxdx,f(sinx)dsinxf(cosx)sinxdx,,f(cosx)dcosx， ， ,,,, 6 第四章 不定积分(?2换元积分法) 1f(shx)chxdx,f(shx)dshx， ， f(tanx)dx,f(tanx)dtanx,,2,,cosx 1f(arcsinx)dx,f(arcsinx)darcsinx， ,,21,x 1. f(arctanx)dx,f(arctanx)darctanx2,,1，x 并善于根据这些公式，从被积式中凑出合适的微分因子.另外，还需熟悉一些典型的例子，并要多多练习，不断积累经验. 二、第二换元法 ，使原由第一换元法例题可以看出，它们的主要思想是通过适当选择新变量u,,(x) ,不定积分的被积式化为，而要容易求出原函数，使.由此得出f(u)duF(u)F(u),f(u)不定积分，即 FxC[()],， ,fxxdxfuduFuCFxC[()]()()()[()],,,,,，,，. ,, 但用第一换元法可以解决的不定积分的类型仍受到限制，它既要求积分式适当分解为 ，又同时的原函数容易求，有些函数很难做到这一点. f[,(x)]d,(x)f(u) dx例如 不定积分. ,1，x xx,t解 求这个积分的主要困难是，所以令， x,t2，1,1dxtdtt1,,,2则 dt,,,,，，2(1)2(ln|1|)dtttC,,,,1，1，tt1，t1，x . ,,，，2(ln|1|)xxC fxdx()这就提示我们对一般不易用第一换元法求原函数的不定积分，能否用变量, ,,x,,(t)f(x)dxf[,(t)],(t)dtf[,(t)],(t)代换，使原积分的被积式,，并且的原函数G(t)易求出，这就是我们要介绍的第二换元法. ,'()0t,ftt[()]'(),, 定理2 设xt,,()是单调、可导函数，并且，又设具有原函数,()t，则有换元公式 ,1. fxdxfttdttCxC()[[()]'()]()[()],,,，,,，,,,,1,,tx,,() 7 第四章 不定积分(?2换元积分法) ,1其中是的反函数. ,()xxt,,() ,1,,[()](),xFx证明 设的原函数为，记，利用复合函数的求导ftt[()]'(),,,()t 法则及反函数的导数公式，得到 ddt,1,,Fxftt'()[()]'(),,, . ,,ftfx[()](),dtdxt'(), 即是的原函数.所以有 Fx()fx() ,1 . fxdxFxCxCfttdt()()[()][[()]'()],，,,，,,,,,1,,tx,,() 下面举例说明公式的应用. 1(三角代换 dx例1(计算不定积分 . (a,0),22x,a 1解 因为被积函数的定义域为，所以分区间讨论. |x|,a22x,a (1)当时，设x,asect，则， x,adxattdt,sectan , 为了保证反函数的单值、单调性，限制.则 0,t,2 222222x,a,asect,a,a(sect,1),a|tant|,atant ， dxasecttantdt,,sectdt于是 ,,,22atantx,a ,，，ln|sectan|ttC 1 22xxa,,，，ln||C 1aa 22,，,，,ln||lnxxaCa 1 22 ,，,，ln||xxaC (2)当时，令，那么，由上面讨论，得 x,,ax,,uu,a dxdu22,,,,，,，ln()uuaC 1,,2222xaua,, 122,,,，,，,，ln()lnxxaCC 1122xax,, 8 第四章 不定积分(?2换元积分法) 22,,,xxa22,，,,,,，lnln()CxxaC . 12a 综上所述，当及时，有公式 x,ax,,a dx22 ,，,，ln||xxaC. ,22xa, dx例2(计算不定积分 . (a,0),22x，a ,2x,atant 解 设，则，则 dx,asectdt(|t|,)2222， x，a,a1，tant,a|sect|,asect 2dxasectdt,，，ln|sectan|ttC所以 ,,sectdt1,,,22asectx，a 22x，asec,t又因为，且， sect，tant,0a 22dxxxa，22所以 ,，，，ln()xxaC,，，ln()C1,22aaxa， dx22,，,，ln||xxaC由上两例可得公式 (23)、(24). ,22xa, dx例3(计算不定积分. ,24x，9 1d(2x)dx12,解 ,，，，ln|249|xxC,,222224x，9(2x)，3 22a,xdx(a,0)例4(计算不定积分. , ,解 设x,asint,dx,acostdt, ， ||t,2 2222222a,xdx,a,asint,acostdt,acostdt ,,, 22aa1,，,，，(1cos2)[sin2]tdtttC ,222 22aa,，，tttCsincos . 22 9 第四章 不定积分(?2换元积分法) 22xax,cost,又因为，， t,arcsinaa 2222axaxax,22axdxC,,，,，arcsin于是 ,22aaa 2xax22,,，，axCarcsin . 22a 222222一般被积函数含有，，因子，采用三角代换法. x,ax，aa,x 22(1)当被积函数中含时，设; a,xx,asint 22x,atant(2)当被积函数中含时，设; a，x 22(3)当被积函数中含时，设x,asect. x,a 22另外，还可用公式计算之. cht,sht,1 xasht,dxacht,,,,,，如 dtdttC 1,,,22acht，xa xxx2,，,，，，arcshCCln[()1] 11aaa 22 . ,，，，ln()xxaC 下面利用前面给出的24个公式计算下列各题. dx例5(计算不定积分. 2,x，2x，3 dx11x，d(x，1),,，arcCtan解 ,2,22x，2x，3(x，1)，(2)22 dx例6(计算不定积分. ,21，x,x 1d(x,)21x,dx2,,，arcsinC解 ,,251，x,x5122(),(x,)22 1x,2(倒代换() t 10 第四章 不定积分(?2换元积分法) 1分母次方较高，主要消去被积函数分母中变量的高次方，设. x,xt dx例7(计算不定积分. (1)x,,2xxx321,, 1dt 解 设 ，那么，于是 x,dx,,2tt dxtdt1 dx,,,,()dt2,,,22t12xxx321,,32,,tt31,,2tt dtt(1)1，， ,,,,，arcsinC,224(1),，t 1，x . ,,，arcsinC2x 3(其它代换 xdx例8(计算不定积分. ,121，，x 2t,121xt，,x,解 令，则，. dxtdt,2 2t,1 xdx11112322于是 ,,,,,，tdtttdtttC()[],,,121，，x12232，t 3112,，,，，(21)(21)xxC . 64 dx例9(计算不定积分. ,x1，e 2dtxe,tdtdx11t,,,, 解 2,,,,，，2()2(lnln(1))dtttC,,,,2x，1ttt，1，tt1，e xte ,，2lnC2ln,，Cxt，11，e x2. ,,，，xeC2ln(1) 11 第四章 不定积分(?2换元积分法) xxx2221，,eeedx另一个方法: ,,,dxdxdxxx,,,,x1，e2211，，ee x2 ,,，，xeC2ln(1) 12