递推公式求通项公式(李根整理)

递推公式求通项公式(李根整理) 利用递推公式求数列的通项公式 {a}a,f(a)如果一个数列的连续两项(或几项)的关系，可以用一个公式(或nn，1n ,者)来表示，就称该公式为数列的递推公式;由数列a,f(a,a,,,,a)(k,N)n，knn，1n，k,1 的首项(或前几项)，及递推公式给出的数列，称为递推数列。 递推公式是给出数列的一种重要方法。如果说由通项公式给出的数列是直接的、具体的，那么相对而言递推公式给出的数列则是间接的、抽象的。如何实现这种由“抽象”到“具体”的转化乃是我们要研究的核心内容，即求递推数列的通项。 a,a,da/a,qn，1nnn，1、型 类型一、形如 利用已学的等差或等比的通项公式求解 aa,a，2a例1.已知数列{}，a,2，且，求 nn，1nn1 2a,a，aaaa,2a,3变式1:已知数列{}，，且，求 n，1nn，2nn12 a,2aaaa,1练习 1、已知数列{}，，且，求 n，1nnn1 2aaa,1a,22、已知数列{}，，且，求 a,a,ann12n，1nn，2 a,a,f(n)类型二、形如型 n，1naaf(1),,,21,常用“累加法”，即由递推关系可得系列等式: aaf(2),,,32 ,,,,,,,,,,,,, , , aaf(n1),,,nn,1, n,1n,1 a,a,f(i)a,a，f(i)，将以上个等式相加得:，所以有即为所求。 n,1,,n1n1i,1i,1 a,a，naaa,1例题2.已知数列{}，，且，求 n，1nnn1 1 1aa,a，a变式1:已知数列{}，，且，求 a,1nn，1nn1n(n，1) n,1a,a，3aa变式2:已知数列{}，a,1，且，求 n，1nnn1 na,a，2，1aaa,1变式3:已知数列{}，，且，求 n，1nnn1 naaa,1变式4:已知数列{}，，且，求 a,a，2，n，1nn1，1nn n，1aaa,1aa变式5:已知数列{}，，且，求 ,，lnnn1n，1nn a，1n,f(n)类型三、形如型 an aaa3n2常用“累乘法”，即由递推关系可得系列等式， ,f(1),,f(2),,,,,,f(n,1)aaa12n,1 n,1n,1an,a,a将以上个式子相乘得，f(i)，于是f(i)。(注表示相乘) n,1,n1,,ai,1i,11 naaa,1,例题3. 已知数列{}，，且，求 aann1n，1n，n1 2 ,3n1a变式1:已知， ，求 a,3,(n,1)aan1n，1n，3n2 na,3aaa变式2:已知数列{}，a,1，且，求 n，1nnn1 apaq,，p,1nn，1类型四、形如:(为p,q为常数且)的数列 qqq，,，()apaa，nn，1n,,11pp1p,(1)待定系数法:可化为，利用等比数列求出的表达式， an进而求出 apaq,，aa,,paa(),a,ap，qnn，1nn,1nn，1nn,1(2)可由得两式相减可得:，利用{}aa,aa,ann,1nn,1n成等比数列求出，再利用累加法求出 aa,2a，1aa,1例题4. 已知数列{}，，且，求 nn，1nn1 aa,2a,1aa,1练习1. 已知数列{}，，且，求 nn，1nn1 aa,3a，1aa,12. 已知数列{}，，且，求 nn，1nn1 3 a,3a，2aa3. 已知数列{}，a,1，且，求 n，1nnn1 napaq,，pq、q,0nn，1类型五、形如:的数列(为常数且) aaap1nn，1n,，nnn，1aqqqqqn解决办法:可化为 ，利用第四种类型求出后解出; n，1a,2a，2aa例题5. 已知数列{}，a,2，且，求 n，1nnn1 n，1a,3a,2aaa,1练习1、已知数列{}，，且，求 nn，1nn1 na,3a，2aaa,1、已知数列{}，，且，求 2，1nnnn1 4