浙江大学城市学院微积分ii(丙)练习册全部答案

浙江大学城市学院微积分ii(丙)练习册全部答案 编号 班级 姓名 - 1 - ,x是微分方程3(验证数yCCxeCC,，()(,为任意常数)第八章 微分方程初步 1212 ,,,,的通解，并求满足初始条件的特yy4,2,,,,yyy，，,20第一节 微分方程的概念 xx,,00 解( 22y2,,,1( 验证函数是否为微分方程的yy,，,0yCxCx,，212 xx 解( 解: ,,,xxx ,yCeCCxeCCCxe,,，,,,()(),212212 ,,xx,,,解: ,,yCCxyC,，,,，　,，　　 yCeCCCxe,,,,,()1222212 ,x　　,,,,(2),CCCxe212代入方程: 2222y 将上式代入方程左边有: 2,,, yyCCCxCxCx,，,,,，，，,,,()0，，2121222xxxx,,,xxx， (2)2()()0,,,，,,，，,CCCxeCCCxeCCxe21221212因此是解。 有因为解中,个任意常数，任意常数个数与微分方程阶数相同， 222(验证由方程所确定的函数为微分方程xxyyC,，,因此是通解。 ,的通解( (2)2xyyxy,,,由 ,yy,,,4,2,得: CC,,4,2 12xx,,0022解:对两边求导，有 xxyyC,，, ,x,,， 2()20xyxyyy,，，,特解: yxe,，(42) ,即有 ，是解 (2)2xyyxy,,, 有因为解中一个任意常数，任意常数个数与微分方程阶数相同， 因此是通解。 1 编号 班级 姓名 - 2 - 2xy,,yxey,,,0 (3)1第二节 一阶微分方程 x,21、求下列可分离变量微分方程的通解(或特解) dy22xyyx,解: ,,,,,　xeeedyxedxdx2(1) xydxxdy，,,10 1yxyx22edyxedxexde,,,,　,,,2x1解: ,,dxdy,　211yxxyxx2222y1,x,,exeedxexeedx,,,,　　 ，，，，,,22 x1111112,,,,yxxxx2222,,,,　　dxdydxy,(1)ln,,ln,exeeCyxeeC,,，,,，　,,,,,,,22y2224,,121xx,,,, 2,,，1ln,xyC 111，，2x222y,0，得 由1C,1,yxe,,，ln()1,,,xCC,,xx11111x,,,,,,,,yeyeeCe,.222，， 222,(4),1xxyyy,,,(4)( 110,，,,ydxyxdy(2) x,3 1,y1,ydydxdydx解: dxdy,,dxdy,,解: ,,,,　　,,22,,2222yxxyxx(4)(4),,11,,xy11,,xy 1111112 dxdy,,1,ydxyxxC,，,,,，　　ln,lnlnln4,，，，，,,,22,xx444121,,xy xxCx14C1yCye,，,,,,　　　　lnln,,2arcsin1,xyC,,， ,,,xxx4444即为通解 1x4C,y,1y,由，得， 。 1x,333(4),x 2 编号 班级 姓名 - 3 - 22、求解下列齐次变量型微分方程 代入，化简可得yx,,1 y ,(1) xyyx,,tan3、求下列一阶线性微分方程的通解(或特解)( x,xyyy, (1) yye，,,解: ,令 y,,tan,,uyux,,　即解: xxx 轾-dxdx蝌-x,,uxuuu，,,tanuxuu,,tan得: , 犏yeeedxC=?，，ò犏臌 dudx,--xxuxu,,tan,,　　　 　=+=+edxCexC.()()òtanux cos1udxdx 　 　 dudu,,,sin,,,,, sinsinuxux sinsinuuC1dyyxsinlnsinln,uxC,，　 ln,,,,,CeC　11，,,(2) ,1yxxx,,dxxx y11轾轾-dxdxsinsinxx-lnlnxxxx蝌sin,Cx即有 . 解: 犏犏yeedxCeedxC=+=+蝌x犏犏xx臌臌22,xyyxyy,,，,,0,0(2) 轾1sin1x轾x,1犏=+=+xdxCxdxCsin犏蝌臌犏x,1x,0解 由初始条件，只要考虑在附近，即时解的情形， xxx臌 2-+cosxCyy,,,=,y,,，,10, ,,xxx,, C,,,1y,1由初始条件，得 yx,,,,uyux,,　即 令 代入方程则为: 1x,,,,yx1cos特解为 ，，22x,, xuuuu，,,，,10,xuu,，1, dudx2,, ln1ln,，，,，uuxC，，,, 2x1，u ,,2yy,,C,0y,0由，得 ,,ln1ln,，，,，xCx,1,,,,xx,,,, 3 编号 班级 姓名 - 4 - 2x2,x (3) yyx,,2, (,)2yy，,1，xy解: 22xx2轾dxdx-22蝌22,解:原方程即为,可得 2yyyx，,2ln(1)2ln(1)+-+xx11++xx犏yexedxCexedxC=+=+()蝌犏犏 ( 臌22dy2x22 +=yx=++=+-+(1)()(1)(arctan)xdxCxxxC，2òdx+1x 22所以，解为 令 ， yxxxC,，,，(1)(arctan)u,y,、用适当的变量代换求解下列方程. du则原方程变为 +=ux ，dx1,(,) y,，1此为一阶线性微分方程，用公式法得通解为 xy,轾-dxdx蝌-xx轾犏=+=+uexedxCexedxC犏蝌臌犏令x,y,u,则y,x,u 臌，--xxxx轾=-+=-+exeeCxCe1犏臌,,此时 y,1,u，2-x从而原方程的通解为 ( yxCe=-+11,u,,原方程变为 ， u 2u,,2x，C此为可分离变量微分方程，易得此方程的通解为 ， 2从而原方程的通解为 ( ，，x,y,,2x，C 4 编号 班级 姓名 - 5 - 2,,,, 3(yy6,6,,(1)20,，,,xyxy第三节 可降阶的二阶微分方程 xx,,10 ,,,,解:所给方程是型，令，代入方程得: F(x,y,y),0y,p求下列微分方程的通解(或特解): 2? (1)20,+-=xpxpx，,,1(; yxe, dpx2 -=　p0,2,,dxx1+解 所给方程是 型，只需对方程两边连续积分两次，即y,f(x)2x2dxln1x+ò2()21+x ===+pCeCeCx1可得通解( ()111 xxxxxx,由 得， y,6C=3? yxedxxdexeedxxeeC===-=-+　， 1x,01蝌 22?，即 yx=+31px=+31()()xxxxyxeeCdxxeeCxC=-+=-++　2()23112ò， yxdxxxC=+=++313 ()2ò 1由y,6得， C=2,,y,,( 2x,121，x3 yxx=++32 x,,解 所给方程是 型，只需对方程两边连续积分两次，即y,f(x),,,,yyeyy,，,,,0,14( ,,00xx ,,,,解: 所给方程是型，令，代入方程并化简得: F(x,y,y),0y,p可得通解( x,dx ppe,,,,y,,arctanx，C ， 12,骣dxdx-1，x蝌xxx?ç =+=+=+peeedxCedxCexC()?ç()111蝌??ç桫yxCxxdxCx,，,，arctandarctan，，11,,,y,0y,1C=1由， 得 1x,0x,0,,,，arctanarctanxxxdxCxxx1,? ，即 ， pex=+1yex=+1()() 1xxx，yxeedxxeC=+=+　 ,,,，xxxdxCxarctan()21ò2,1，x y,0C=0由，得 22x,0,,，，，xxxCxCarctanln112x yxe= 5 编号 班级 姓名 - 6 - 12,,,,,; 6( yyyyyy，,,,,2,,,,,. yy,，1xx,,222 ,,,,解:所给方程是型，令，代入方程得: ? F(x,y,y),0y,p解:所给方程是型， Fyyy(,,)0= 2? pp=+1dp，?,令，得y,pyp= ， dydpdp2 =+=1,,pdx　　2dpdxp1+代入方程得: pppy+=，dydp ==+,arctandxpxC　　　12蝌dp1+p+=1,y dx? ， pxC=+tan()yxC=+tan()1112pydypyC　　　 =-=-+1,(1)1òsin()xC+12yxCdxdx=+=tan()1蝌cos()xC+ 11,yy,, 由2, 得， C=01xx,,222=-++lncos()xCC121122? pyyy=-=-(1),(1),　即　　yxCC=-++lncos()所以 2212 dydy122 =-=(1),,ydx　 2 dxy2(1)- 2dy =dx, 2蝌(1)y- -2 ， =+xC 2y-1 y,2,C=-4由 得， 2x,2 6-x y=所以 . 4-x 6 编号 班级 姓名 - 7 - 3、求下列微分方程的通解(或特解): 第四节二阶线性微分方程的解的结构、 ,,,; (1) yyy，,,20 第五节 二阶常系数齐次线性微分方程 2解:特征方程为: rr，,,202,,1、验证都是方程的解，yxyx,,cossin,,及yy,0，,12 特征解: rr,,,1,2　12并写出该方程的通解( xx,22,,,方程的通解为 yCeCe,，yxyx,,,,sin,cos,,,　=解 :， 1211 222,, yyxx,,,,,coscos0,，,,，, 是方程的解，同理可证是方程的解， 因此yx,cos,yx,sin,11 ,,,,(2) , yy，,40yy(0)2,(0)4,,方程的通解: yCxCx,，cossin,,122rr，,40解:特征方程为: ,,xx2,x2、若二阶非齐次线性方程的三个解为试写exe,,，xe，, 特征解: rr,,,0,4　 出该非齐次线性方程的通解(提示:非齐次线性方程的二个特解之差12为对应的齐次线性方程的一个特解)( ,4x方程的通解为 yCCe,，12,,xx解:由于是非齐次线性方程的二个特解，因此它们之差 exe,， ,,xx,4x,xeex，,,也是对应的齐次线性方程的一个特解， yCe4,,，，2 2x同理 也是对应的齐次线性方程的一个特解， ,CC,,,3,1　由可得 yy(0)2,(0)4,,212对应的齐次线性方程的通解为:; YCxCx,，12 2,x,4x非齐次线性方程的通解为 yCxCxe,，，方程的特解为 ye,,312 7 编号 班级 姓名 - 8 - ,,,,,,,(3) (5)yyy,，,20yyyyy,，,,,430, (0)6, (0)10. 22解:特征方程为: , 特征解: rr,，,430rr,,1,3　解:特征方程为: rr,，,21012 xx3 特征解: 方程的通解为 rr,,1yCeCe,，1212 xxx3,方程的通解为 yCCxe,，yCeCe,，3，，1212 ,由,可得 CC,,4,2　yy(0)6, (0)10,,12 xx3方程的特解为 yee,，42 (6) 试建立二阶常系数齐次线性微分方程。已知其系数是实数， 32，i且其特征方程的一个根是，并写出微分方程的通解。 ,,,(4) yyy,，,45032,i解:方程的另一根为， 22设特征方程为: rprq，，,0rr,，,450解:特征方程为: 则由韦达定理， 24(4)45,,,， 特征解: ri,,,2,prrii,,，,,，，,,,()(3232)6,122 qrrii,,,，,,32(32)13，，122xyeCxCx,，cossin方程的通解为 ，，12 ,,,齐次线性微分方程为: ， yyy,，,6130 3xyeCxCx,，cos2sin2方程的通解为 ，，12 8 编号 班级 姓名 - 9 - 1, 第六节 二阶常系数非齐次线性微分方程 A,,,21,A,,11,,,2,x 得: ,,yxe,，,,,,1(求下列非齐次方程的通解或特解: 1220AB,,22,,,,B, ,,2,,,(1) ， yyyx，,,25 11,,2,x非齐次方程的通解为:解:对应的齐次方程的特征方程为:, rr，,,20,，,，，，cossinyYyCxCxxe12,,22,, 特征解: rr,,,1,2　12 xx,22x,,,齐次方程方程的通解为 (3) YCeCe,，yyeyy,,,,4,(0)1,(0)212 2设非齐次方程的一个特解为， yAxB,，r,,2解:对应的齐次方程的特征方程为:, 特征解: r,,40 22xx,代入方程得: AAxBx,，,25 ，，齐次方程方程的通解为， YCeCe,，12 ,,2由于是特征单根，可设非齐次方程的一个特解为 5,A,,,22xx,,,25,A,55， QxAx(),,yQxeAxe,,()2, 得: yx,,,,,,524AB,,20,,,应满足: QxQx()220()1;，，，,，，Qx()，，,,，，B,,,,4112xA,,yxe,即: 所以 41,A,55xx,244yYyCeCex,，,，,,非齐次方程的通解为: 12241222xxx,yYyCeCexe,，,，，非齐次方程的通解为: 12,x4,,(,)， yyxe，, 12222xxxx,2,yCeCeexe,,，，22(2)所以 12ri,,r，,10解:对应的齐次方程的特征方程为:, 特征解: 4 YCxCx,，cossin齐次方程方程的通解为， ,由初始条件可得 12yy(0)1,(0)2,,,,,1由于不是特征根，可设非齐次方程的一个特解为 15,C,,CC，,1,,,xx,112,yQxeAxBe,,，()， QxAxB(),，，，,,16 ， ,,121，，222,CC,，,,,,QxQxQxx()210()11();，，,，，,，,，，应满足: Qx()，，，，,12,C,,，，，，2,4,16,,，，,22,AAxBx即: ，，1511222xxx,yeexe,，，特解为:。 16164 9 编号 班级 姓名 - 10 - 22dydydy,x(4)， ， (5)，,92cos3yx,，,22cosyex22dxdxdx 2解: 对应的齐次方程的特征方程为:, rr,，,2202解: 对应的齐次方程的特征方程为:, r，,90ri,,1 特征解:， xri,,3 特征解:， 齐次方程方程的通解为， YeCxCx,，(cossin)12齐次方程方程的通解为， YCxCx,，cos3sin3为了求出原方程的一个特解， 12 22dydydy,，ix1，，ix3可先求微分方程,，,22的一个特解， ye为了求出原方程的一个特解，可先求微分方程92的一，,ye22dxdxdx ,,,，1i由于不是特征根，可设非齐次方程的一个特解为 个特解， ,，,，11ixix，，，，～,,3i由于是特征单根，可设非齐次方程的一个特解为 ， QxA(),yQxeAe,,()33ixix～， QxAx(),yQxeAxe,,()应满足: Qx() 2,,,应满足: QxiQx()230()2;，，，,，，Qx()，，，，,,,，，QxiQxiiQx()212()1212()1;，，,，,，,，,,，，,，，，，，，，，，，，，i11，iA,,,即: 所以 62,iA,,，,441,iAA,,,即: 所以 ，，3,，448iii113ix～11，，iiyxexxixxxxxi,,,,，,,(cos3sin3)sin3cos3 ,，1ix，，,x～yeexix,,，(cossin)3333882 dy11,,xx，,92cos3yx取实部即得的一个特解: 2,,，，(cossin)(cossin)xxexxedx8812dydyyxx,sin3 ,x,，,22cosyex取实部即得的一个特解: 32dxdx1yYyCxCxxx,，,，，cos3sin3sin31非齐次方程的通解为: ,x12yxxe,,(cossin) 38 非齐次方程的通解为: 1xx, yeCxCxexx,，，,(cossin)(cossin) 128 10 编号 班级 姓名 - 11 - t,0时刻由静止开始下落，已知空2(一质量为m千克的物体在第八节 微分方程应用举例 气阻力的大小等于瞬时速度的二倍，试求该物体的运动方程(物体的 位移与时间的函数关系)( 1( 若曲线 与以为底围成的曲边梯0,xyfxfx,,()(()0),, 解:设运动方程为 时刻的速度为加速度为 sft,(),vt(),at(),t形的面积与纵坐标的4次幂成正比，且，求些曲yff(0)0,(1)1,, 则: 即: Fmgvtmat,,,2()(),线方程( x4,,, mgsms,,2, 解: ftdtkfxff()(),(0)0,(1)1,,,,　且,0 方程两边关于求导，得 2x,,,, 且 ssg，,,ff(0)0,(0)0,,,　m3, fxkfxfx()4()(),,微分方程为二阶常系数非齐次微分方程，特征方程: 22112rr，,0, 特征根: rr,,,0,, ,,　　即 　　fxy(),,,,1222mm4()4kfxky 2,t1122m,对应的齐次微分方程的根为: SCCe,，,　　yyydydx,,,,1244kk211,,,2ssg，,smgt,,而知的一个特解为: ydydx,,m2,,4k 23,t312m yxC,，,,,,ssg，,sCCemgt,，，,所以的通解为: 124km2 由　　及 得:ff(0)0,(1)1,,1122,CmgCmg,,,,,由得 ff(0)0,(0)0,,,　12344Ck,,0,,4所以物体的运动方程为: 3所以曲线为　　:yx, 2,t112msmgemgt,,，(1). 42 11 编号 班级 姓名 - 12 - 4(长6m的链条自桌面上无摩擦地向下滑动，假定运动开始时,链5:C:C3. 写出一瓶从电冰箱中取出放于20房间中的橙汁其温度随时 间变化的微分方程，并解此微分方程( 条自桌面上垂下部分已有一半长，试问需要多少时间链条才全部滑过 桌面( 解:设时刻的温度为，由牛顿加热与冷却定理可知，满Tt()Tt()t时刻链条滑过桌面的位移为加速度为解: 设经过sft,(),t 足 则由牛顿第二定理可得: at(), dT,3，s,,kT(20);,,, mgmasgs,，,,36,　　即　，， dt,6,T(0)5,,　　　　　,,,, 且 　63,sgsg,,ff(0)0,(0)0,,,　解微分方程可得 微分方程为二阶常系数非齐次微分方程，特征方程: ,kt， TtCe()20,，gg2r,,,r,,0, 特征根: 66有 由T(0),,5 gg,tt66 C,,15,对应的齐次微分方程的根为: SCeCe,，,12T与t之间的函数关系为 ,,而知的一个特解为: 　63,sgsg,,s,,3, ,ktgg( Tte()1520,,，,tt66,,所以的通解为: 　63,sgsg,,sCeCe,，,3,12 3 ,CC,,,由得 ff(0)0,(0)0,,,　122 gg,,,tt 366see3,所以物体的运动方程为:,，, ,, ,,2,, 6令 st,,，3,ln23　可解得: (秒).，， g 12 编号 班级 姓名 - 13 - 二(填空题 复习题八 dy，则方程的解是 ， ,(设,,,kyyy,(0)100,(1)50一(单项选择题 dx 32,,,,(若方程对应的特征方程的根ypyqypq，，,0(,)是常数,,,1(微分方程是( )， xyy,,()0 ,(二阶、线性 ,(三阶、可分离变量 为，则微分方程的通解是 ， ,,,i ,(二阶、可降阶 ,(线性、可降阶 ,x2,,,,,2(若是方程的解，则所有的值是( )， ,(方程的通解是 ， ,yy,,0ye,yyxx，,，2,( ,1，,1 ,( 1，1 2xx,,,,(由解的叠加原理，方程特解的形yyyee,，,，，441,( ,1，1 ,( 1，2 式是 ( ,,,是微分方程的特3(已知,,,,0,2,ypyqypq，，,0(,)是常数12 三(计算题 征方程的两个根，则微分方程是( )， 2sincos0,ydxydy，,,,,,,,,,( ,( yy，,20yy,,20,1(求解初值问题 ,,y(0).,,,2,,,,,( ,( yy，,20yy,,20解: cosy,,,4(若yy和是微分方程的两个特ypyqyfxpq，，,()(,)是常数12,,，,,　　,2,2lnsindxdyxCy1,,siny解，则下列结论正确的是( ) ,x2,sin,yCe yy，yy,,(也是该方程的解 ,(也是该方程的解 1212,由 得,,yC(0),1.2yy，yy,,(是对应齐次方程的解 ,(是对应齐次方程的解 ,x21212方程的解为:　,sin,ye 13 编号 班级 姓名 - 14 - 2x,,的通解( 4(求方程yyxe,,,(1)2,,xyxyx，,，,210,22(求解初值问题 ,解:对应的齐次方程的特征方程为:, 特征解: r,,1r,,10y(1)0.,,xx,齐次方程方程的通解为， YCeCe,，12211,,1由于是特征单根，可设非齐次方程的一个特解为 ?解: yy+=-,2xxx32xx2， ， QxAxBxCx(),，，yQxexAxBxCe,,，，()()22轾轾骣骣-dxdx11112ln2ln-xxxx蝌2鼢珑犏犏yeedxCeedxC=-+=-+,,,鼢应满足: QxQxx()210()1;，，，,,，，Qx()珑，，蝌22鼢鼢，，珑犏犏桫桫xxxx臌臌22即: 626421AxBAxBxCx，，，，,,骣11111C2轾?ç =-+=-+=-+xdxCxxC1()?ç犏222ò61,A,,??ç臌桫xxxx22所以 111,640,,,ABABC，,,,,,,　　解得:　,1111644由，得C,，问题的解为: y=-+.y(1)0,,2221BC，,,222xx,111,,32x,,, ， 3( yyyy,,,3,1,2yxxxe,,,,,xx,,00644,,? 解:所给方程是型， Fyyy(,,)0=111,,,xx32dp非齐次方程的通解为:. ,，,，,,，yYyCexxxCe21,,?,令，得y,pyp= 644,,， dy*四(应用题 dp一曲线通过点，曲线上任一点M处的法线与轴的交x(0,),(0)aa,pdpydy=3,代入方程得: py=3蝌，dy2a点记为N，设MN为定长，求此曲线方程( 3122解:设曲线方程为 则点M处的法线方程为: yfxMxy,(),(,),　yp,,1,2得C,0 由pyC=+,11xx,,00 41333其中是法线上的点， (,)XYYyXx,,,,(),　 -dy444,ypyyydydx===2,2,2,　　　 dx,令得N点坐标 Nxyy(,0),，Y,0,31-22244ydydxyxC==+2,42,　　, yyya，,2,　2a由MN为定长得: ，，2蝌 422骣,,2ayx?ç,y,,y,1ya,,　C=4即 由 得， 所以 . 且 这是可分离变量微分方程， y=+1?2çx,0x,0??çy桫2 222 可解得:. ()2xaya,，, 14 编号 班级 姓名 - 15 - 第九章 向量代数与空间解析几何 (是,(设三角形三个顶点分别为ABC(1,2,1),(3,2,2),(2,0,3),,D 第一节 空间直角坐标系 BC的中点，求的长。 AD 51解:的坐标: (,1,),D第二节 向量的线性运算与坐标表示 22 221. 填空 5136,,,,2 AD,，，，,11,,,,222(1)已知点，ABCDE(4,2,1),(1,5,3),(1,0,0),(1,0,2),(0,0,3),,,,,,,,,,,,,, ,(已知和,ABCD(1,0,2),(4,5,10),(0,3,1),(2,1,6),,mijk,，,54zOx则点在第 八 卦限，点 ,，,，, 为平面上的点，点 , B,,,,,,,,,,,, a求(1)向量aABCDm,，，23在三坐标轴上的分向量;(2)的模;zOx为轴上的点，点 , 既在面上也在上. xyOz,, aa(3)的方向余弦;(4)与平行的二个单位向量。 关于面的对称点是 (-3,2,1) , 关于面(2) 点xOyyOzP(3,2,1),,,,,,,,,,,,,,,, 解:(,) aABCDmijk,，，,,,23179, 的对称点是 (3,2,-1) , 关于轴的对称点是 (-3,-2,1) , 关于xz,,,,轴的对称点是 (3,-2,-1) , 关于原点的对称点是(3,-2,1) . a向量在三坐标轴上的分向量分别为: 17,,9,ijk,, ,222(,); a,，，,17193712(分别求出点到坐标原点，轴及平面的距离。 xyOzP(2,4,5), ,,,,解: a1719,,o,,,(,) a,,,,,,,,222371371371a,,24535，，,点到坐标原点的距离: P(2,4,5), ,171922a4541，,x点到轴的距离: 因此的三个方向余弦为:; P(2,4,5),,,,,, 371371371点到yOz平面的距离:2 P(2,4,5),,1719,,a(,)与平行的二个单位向量 ,,,,,,, 371371371,, 15 编号 班级 姓名 - 16 - ,,,,,,,,,,5(从点沿的方向取,求点B的的质点和一位于点质量为的7(设有一位于原点质量为MAB,34mA(2,1,7),(,,)xyzaijk,，,8912 坐标. ,,质点，求出质点对质点的引力的表示式( MmF解: ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,解: 00ABABABABa,, ,,,,,,,,,,GMm1 01FFFxiyjzk,,,,,,，，222,，,,,348,9,1216,18,24,,,,222xyz，，xyz，，2228912，， GMm　,,,,,xyz,,,, 点B的坐标为: (216,118,724)(18,17,17)，,，,,,32222xyz，，，， ,,,, ax与轴6(已知向量轴正向夹角分别为，，且a,6，求向z63 , a量 ,,, ay解:设向量与轴正向夹角为，则: , ,,222coscoscos1,，，,, 63 cos0,,, ,,,,,,,,,0 aaa6cos,0,cos33,0,3,,, ,,,,63,, 16 编号 班级 姓名 - 17 - 第三节 向量的数量积与向量积 求由坐标原点所构成的三角形3、已知AB(1,0,3),(0,1,3),OAB,与 ,,,,,,,,,,2222,OAB的面积。 1、证明:(1)若，则; ababab，，,,ab,,0,0，，，，,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,解: OAOB,,1,0,3,0,1,3,　　,,,,(2)若，且，则 abc,,,0,0,0abcbcacab,，,，,，,,abc,,,,,两两垂直且都为单位向量。 ijk,,,,,,,,,,,证明: OAOBijk，,,,，　10333 ,,,,,,,,,,222222222013(,) ababababab，，,,，,sincos,,，，，， ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(,)因为，由定义可知两两垂直;abcbcacab,，,，,，,,abc,,1119 SOAOBijk,，,,，,　33因此有 222,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ; abcbcacab,,,,,4、已知，计算: aijkbijkcij,,，,,，,,23,3,2,,, 得 . abc,,,1,1,1,,,,,,,,,, abcacb,,,abbc，，， (1) ，(,), ,,,,,,,,,,,,，，，，，，，，2、 设，求aijkbijkcijk,,，,,,，,，，345,22,23,,,,,,,,,abc，,(,) ，，abab,，及ab与,并求向量的夹角。 ,,,,,,,,,,解:ab,,，,，,，,，，,314(2)5215; ，，，，abcacbcb,,,,,,,,880,8,24解:(,) ,,，，，，,,, ,,,ijk,,,,,ijk,,,,,,abijk，,,,,,34521110 abbcjk，，，,,，,,,,,,3,4,42,3,3344(,), ,,,,，，，，,,122233,,, ab,152,231,,cos,,,,,,. . ,,,,,,24509，ababcab，,,，,,,1132(,) ，， 120, 17 编号 班级 姓名 - 18 - ,,,,7、试用向量证明直径所对的圆周角是直角。 5、设，求与同时垂直的单位向量。 ab,,,,(2,3,1),(1,2,3)ab, ,,,OC，圆心为，为圆周上的一点， 证:设直径为ABijk,,,,,,则 解:， cabijk,，,,,,,,23175,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ACCBAOOCCOOB,,，,，()，，123,,,,,,,,,,,,,,,,, ,，,,，AOOCOCAO() ，，,,,,,,10 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,cijk,,,,7522，，75,,,,,,,AOAOOCOCAOOC0 ,,,,,,,,,,,,,,,7333,,所以ACCB,，即直径所对的圆周角是直角。0 ,c,,,,,,,,15315,,,, ,,,,,,,,,ab与abab，,2和36、设，的夹角为，求以为边的ab,,4,36 平行四边形的面积. 解: ,,,,,,,, Sababbaab,，，,,，,，2323　　，，，， ,,,,,,,　,，,,55sin30.baba6 18 编号 班级 姓名 - 19 - 到平面的距离( 3(求点(1,2,1)xyz，，,,22100第四节 平面方程与空间直线方程,一, 解: 1(求过点且平行于平面的平面方程( (1,2,0)23410xyz，,，, 122210，，，, d,,1解:所求平面的一个法向: 222122，，, n,,{2,3,4} ,,所以平面方程: 4(一平面过点且平行于向量 ，ab,,,2,1,11,1,0和(1,0,1),,,,, 213240xyz,，,,,，，，，试求:(1)该平面的一个单位法向量;(2)该平面的点法式方程;(3) 该平面的截距式方程;(4)该平面的一般式方程( 即: 23480xyz，,,,解:该平面的一个法向量: ,,, ijk,,,,,, 2(求平面和平面的夹角( (1) nabijk,，,，,,,，,2,1,11,1,02113,:0yz,,,:0xy，,,,,,12 110, ,,,,,,,,,1,1,3,,,no解: nn,,,{0,1,1},{1,1,0},12单位法向: n,,, 11n,,,,, nn,112夹角的余弦: ,cos,,,,,,,,(2)该平面的点法式方程; 2nn,12 xyz,，,，,1310, ，，，，,,. ,(3)该平面的截距式方程; 3 xyz ，，,14 44, 3 (4)该平面的一般式方程(xyz，,,,340 19 编号 班级 姓名 - 20 - 5(求通过轴和点的平面方程 且垂直于平面和,(求过点(3,1,2),,(1,1,1),xyz,，,,70z 解:易知平面经过点和，它的一个法向: 的平面方程( (0,0,0)(0,0,1)321250xyz，,，,,,,,,,, ， nijkkij,,，,，,，323解: n,,，,,1,1,13,2,1210,15,5,,,,,,，， 平面方程: xy，,30 平面方程: 10(1)15(1)5(1)0,xyz,，,，，, 即 2340xyz，，,,,(求平行于轴且经过点和的平面方程 x(4,0,2),(5,1,7) 解:易知平面的一个法向: ,,,,,,, nijkijk,，，，,,99， ，， 平面方程: 9(2)0,yz,，, 即 920.yz,,, 20 编号 班级 姓名 - 21 - yz,,,320,第四节 平面方程与空间直线方程,二, 且与直线平行的直线方程( 3(求过点(0,2,4),xz，,,210,xyz,,311(求过点且平行于直线的直线L:,,P(4,1,3),,215解:直线的一个方向: s,,，,,,0,1,31,0,22,3,1,,,,,,方程( xyz,,24 直线方程 ,,解: ,,231 xyz,，,413 直线方程 ,, 215 xyz,，,1,4. 写出直线的对称式方程和参数方程( L: ,24xyz，，,, 在直线上 解:在直线上任取一点，不妨取(3,0,-2), 2. 求过点且垂直于平面的直P(2,3,4),:35760xyz,，，,, 直线的一个方向:s,,，,,1,1,12,1,12,1,3 ,,,,,,线方程( xyz,，32 ,,直线对称式方程 解: ,213 xyz,,,234xt,,32,,,,直线方程 ,357,yt,,参数方程: , ,zt,,，23, 21 编号 班级 姓名 - 22 - xyz,，,,1240xyz,，,,,,(求:(1)过点且垂直于直线的平在平面上的投影直线方6(求直线P(3,1,2),41xyz,，,L:,,329xyz,,,24xyz,，,,, 面的方程;(2)平面与直线的交点;(3)点到直线的距离. 程( LPL,, ,解:(,)在直线上任取一点，不妨取(0,-1,-4)， 解:(,)直线的一个方向:， s,,，,,1,1,12,1,10,1,1,,,,,,, 直线的一个方向:， s,,，,,,2,4,13,1,29,7,10,,,,,,, 平面的一个法向， n,0,1,1,,, 设过直线且与平面垂直的平面的一个法向为: ,41xyz,，, 平面的方程:即 ,yz，，,,120,yz，,,10;, n,，,,,9,7,104,1,117,31,37,,,,,, xyz,，,,1,75,平面的方程为: ,1731(1)37(4)0,xyz，，,，,L(5,,),与直线的交点:，可得， (2)平面,24xyz,，,,22,yz，,,10,即:， 173137117xyz，,,PL(3)点到直线的距离: 41,xyz,，,　　　　,75178222投影直线方程为:. d,,，,,，，,(35)(1)(2) ,173137117xyz，,,222, 22 编号 班级 姓名 - 23 - 2222第五节 曲面方程与空间曲线方程 (4) (3)zx,zxy,， ,(求下列球面方程 (3) 以z轴为对称中心的旋转锥面( (1)一条直径的两个端点分别为, (5,4,2)和(1,-2,2) Oz(2)球心在 且与轴相切( (6,8,1), 解:(1)球心:，半径:13; (3,1,2) (4) 母线平行于轴的抛物柱面. Oy222 球面方程:, (3)(1)(2)13xyz,，,，,, 22(2)半径:; 6810，, 222 球面方程:( (6)(8)(1)100xyz,，，，,, 2(指出下列方程所表示的曲面名称，并画出其图形: 222222Ox3(试求平面上的曲线，分别绕轴和轴旋OxyOyxyx，,,20 (1), (2). zxy,，xyy，,2 Ox解:(1) 母线平行于轴的圆柱面， 转一周所生成的旋转曲面方程( 222Ox解: 绕轴: ， (1)1xyz,，，, 222222绕轴: ( Oy()4()xyzxz，，,， (2) 以z轴为对称中心开口向上的旋转抛物面( 23 编号 班级 姓名 - 24 - 4(指出下列方程所表示的曲面名称( 6(画出下列各组曲面所围成的立体图形( 22yz2222 (,)xyzxyz，，,,,,1,0,0,0. (1) ， (2) ， x，，,1xyz,，,22149 22222 (3) , (4) ( xyz,,,221xyz,,2 略 (1) 椭球面; (2) 单叶双曲面;(3) 双叶双曲面; (4) 双曲抛物面( 2222 zxyzxy,，,，,,0,1.(,) 222,xyz，，,41,,5. 求曲线在平面上的投影柱面方程和投影曲Oxy, 222xyz,，.,,略 线方程( 222,xyz，，,41,,22 解: 中消去z得投影柱面方程 531,xy,,,222xyz,，., , 22,531,xy,,22(,) xyzz，,,,2,0 投影曲线方程( ,z,0., 略 24 编号 班级 姓名 - 25 - 二.填空题: 复习题九 且到轴, 轴, 轴的距离 1(已知点P的坐标yxxyz,,,0,0,0,z一(单项选择题 ,(下列陈述正确的是( , )( 分别是,则点P的坐标是 . P(6,4,3),5,35,213,,,, ,(因为是单位矢量，必有 ab,ab,,,,,, 2( 已知向量的终点与重合，则a的起点M(1,0,1),aijk,,，32,, ,( 3ij, 坐标是 . (2,1,3),,,,,,,, ,(若，则必有 abac,,,bc, 3( 过点 且与平面 平行的平面方程 P(3,0,2)xyz,，，,2590,,,,,, ,(若，则必有?( ababab,,， 是 ， xyz,，,,25130 ,(设是一个矢量的方向角,则有( , )( ,,,,, 222xyz,，,22,, ,( ,( ,,,,，，,sinsinsin2,,,，，,4(过点且与直线平行的直线方程 Q(1,2,1),,31xyz，,,, ,( ,(可以是任意数. ,,,,，，,2,,,,, ,,,,,,xyz,,，121 3. 已知 , 且ab,,,3,则( , )( a,1b,5ab，,,,是 ( 147,(4 ,(3 ,(5 ,(,4( 三.计算题 ,,,,,,,,,,,,,xy,,6,,xyz,,，158abc，，,0abbcca,，,，,1(已知单位向量满足,求( abc,,L:,,4. 设直线与直线 L:,12121,23,yz，,,,,,,,,, abcabc，，,，，,0;，，，，LL则与的夹角是( , ) ,,,,,,,,,22212abcabacbc，，，,，,，,,2220, ,,,,,,,,,,32()0,，,，,，,,abacbc,( ,( ,( ,(( 642,,3,,,,3abacbc,，,，,,,.2 25 编号 班级 姓名 - 26 - ,,,,,,,,和点，且垂直于平面 4(求过点M(2,1,3),M(3,1,2)2(设，，试求: aijk,,,22bijk,,，63212 ,,,,,,,,(,)，(2)，(3) ab,ab，(2)()abab，,,的平面方程( 3420xyz,，，,,,,, (4)( (2)(3)abab,，，,,,,,,,,解: MM,,1,2,1,,,,12解:(,),11， ab, ,,,,,,,,,,,, nMM,，,,,，,,,,3,1,41,2,13,1,4{7,7,7},,,,,,12(2)ab，， ,,,816ij ,, 所求平面方程: 7(2)7(1)7(3)0,xyz,,，,,,,,(3),,42 ， (2)()abab，,, ,,,,,,,即: ( xyz,,,0,,,,,(4)( ,，56(2)ij(2)(3)67abababbaab,，，,，,，,，, yzxyz，,,,1111xyz，,225(求两异面直线之间的距lxl:,:,,,,12,(求点 到直线 ,, M(2,3,0),10110321,离( 的距离( M解:过点平行于直线的平面的方程为: ,解:在上取一点，记过且平行于的平面为，则的lP(1,1,1)ll,,22132230xyz,，,,,，即: 32120xyz，,,,，，，，一个法向量为: ,直线与的交点为: ,n,,，,1,1,01,1,0{0,0,2} ,,,, xyz，,22,z,1.的方程: ,,,,解得: (1,4,1),,321,,lQ(0,0,1),Q上任取一点，易知到的距离即为两异面直线之间,1,32120xyz，,,,, d,2.的距离:( 222d,,，,，,(21)(34)(1)3.距离为: 26 编号 班级 姓名 - 27 - 且平行于平面，又与直线8(求过点M(1,0,1),:3310xyz，，,,6(求原点关于平面对称点的坐标( 6291210xyz，,，,xy，,11相交的直线方程( lz:,,解: 23 解:过点且平行于平面的平面的方程为: M,,设对称点的坐标为:， Qxyz(,,)000， 3360xyz，，,, ,,,,,111xy，,11,则向量且在平面上， Pxyz(,,)OQn//,,,z12,000l与的交点:解得: (,3,),22223,33,3360xyz，，,,,9,31210,xyz，,，,000,xyz,,11xyz,,11,2所求直线方程:，即 。 ,,,,由此可得:， ,21291,,3xyz000,,,33,629,,xy，,11且与直线垂直相交的直线方9(求过点lz:1,,，P(1,2,1)23,,12,4,18。 解得对称点的坐标:Q，， 程( xyz,，,212llPP解:记过点和直线的平面为，过点和直线垂直的平面,17(求过直线,,，且与平面垂直xyz，,，,4310524为，与的交线即为所求。 ,,,221的平面方程( l在直线上取点，,的一个法向为: Q(1,1,1),,1解:所求平面的一个法向量为: ,,,,, nPQ,，,,,,，,,,2,3,12,1,22,3,1{5,2,4} ,,,,,,, n,，,,,5,2,41,4,3{22,19,18} ,,,,512(2)410xyz,,,,,,,的方程:， ，，，，1 即 M(2,1,2),取直线上点 0， 5243xyz,,,,所求平面方程: ,的方程: 2 ， 239xyz，，,22(2)19118(2)0,xyz,,，,,, ，， 239xyz，，,, 所求直线方程: . ,即: 22191827xyz,,,. 5243xyz,,,,, 27 编号 班级 姓名 - 28 - 22,xyz，,,22210(求经过坐标原点且与球面相切的xyzxyz，，,，,,2460在平面上的投影柱面方程和投影曲12(求下列曲线Oxy,z,3.,平面方程( 线方程( 22222,xy，,3,xyz,，，，,,12314解:球面方程即: ，，，，，，22解:.投影柱面方程，投影曲线方程 xy，,3,z,0.,球心为， Q(1,2,3),四(证明题 ,,,,,,,,, 1(设为三个任意向量，证明向量共面( ,,,,abc,,abbcca,,,,,所求平面的一个法向为: OQ,,1,2,3,,,证明: ,,,,,,,,,,,,,,，，abbccaabacbcca,，,,,,，,，，，,,，，，，，，，，，，，，平面方程: . xyz,，,230 ,,,,,, ,，,,，,,abcbca0,，，，，222,,,,,,11(球面与平面的交是一个圆，2218xyz，,,xyz，，,100共面. 所以abbcca,,,,, 求此圆的半径和圆心( xyzd，，,12(原点到平面 的距离为 ，则有等式 abc2020018，，，,,解:原点到圆心的距离:， d,,61111,，，( 92222dabc 00022此圆的半径为: r,,,1068,，，,11abc证明:， d,,222222ll过原点作平面的垂线，则的方程为: 2218xyz，,,111111,,,,,,,,,,,,，，，，,,,,,,,,,,,,abcabc,,,,,,,,,,,,xyz,,， 1111221,,，，所以有:. 2222dabcl4,4,2,与平面交点:即为圆心. 2218xyz，,,，， 28 编号 班级 姓名 - 29 - 1第十章 多元函数微分学 ( (2)fxy(,),2yx, 第一节 多元函数的基本概念 2解:定义域:,无界开区域. D(,)0xyyx,,,,221(设函数求 fxyxxyy(,)23,,,，(图略) fxyhfxy(,)(,)，,y2xy( (1)(2,3);(2)f,fffxxf(0,1),(2,3),(,),(1,),3(设函数，求( fxy(,),h22xxy， 解: 12fffxx(0,1)0,(2,3),(,)1,,,,,,2213(143)(2,3)222333;f,,,,,,，,,，，，， y21,,fxyhfxy(,)(,)，, yxy2(2)xf(1,).,,222hxxy，y ,,22221，,,xxyhyhxxyy,，，，,,，2323，，，，，，x,,,h =　,，，263xyh DD2(确定下列函数的的定义域，指出是否为区域，是开区域还是 D闭区域，是否有界，并画出的图形( 22(1)(,)44fxyxy,,,; 解: 2,,y,,2D定义域(,)1xyx，,:,有界闭区域;(图略) ,,4,,,, 29 编号 班级 姓名 - 30 - y22xy4. 设，求( fxyxy(,)，,,fxy(,)，证明极限不存在( 6(设函数lim(,)fxyfxy(,),x22x,0xy，y,0ssty解: 令得: xyst，,,,,xy,,,,x11，，tt证明:当点沿着轴趋向于时， x(,)xy(0,0) 222sstst(1),,,,,所以: fst(,),,,,,,,,x,0xy111，，，tttlimlim; ,0,,,,,2222x,0x,0x，0xy，y,0y,02xy(1),因此:( fxy(,),当点沿着直线轴趋向于时， yx,(,)xy(0,0)1，y xx,1lim; , 22x,0xx，2yx,1xy，5(求极限( lim()cos22x,0xy，由于当点沿着不同路径趋向于时，趋向值不一样， (,)xy(0,0)y,0 lim(,)fxy因此不存在( 解:当时，是无穷小量， xy,,0,0()xy，x,0y,0 1而是有界函数， cos 22xy， 1xy，lim()cos所以,, 22x,0xy，y,0 30 编号 班级 姓名 - 31 - ,,zz第二节 偏导数 ，求 2(设函数zxyxy,，,(1)arcsin,.，，,,xy(0,1)(0,1)1(求下列函数关于各个自变量的偏导数( 解: 33(1); zxyxy,, dxx，,，(11)arcsin1，，，，,zdx，，,,,1,,,zz2332,xdxdx(0,1)0x,解: ,,,,3,3xyyxxyx,0 ,,xy dyy0(1)arcsin0，,，，，，，,zd0，，,,,0, ,ydxdy2(0,1)0x,(2) zxyxy,，arcsin()cos()y,1 解: 22,fxyxyxy(,),，,，，求 3(设f(3,4),zyx,,yxysin(2)22,x1,xy 解: ,zx sin(2),,xxy22,y1,xy2xx,fxy(,)11,,,x 22222xyxy，，y(3) zxy,，(1) 32 ,？,,,f(3,4)1x22yy,,1215,zyxyyyxy(1)(1),34，,，,,，解: xyyxyyxyln(1)ln(1)，， zxyee,，,,(1) ，，xyxyyln(1)，,, zeyxyxyxyy,，,，，，ln(1)(1)ln(1),,y,,1，xy，， xyy ,，，，(1)[ln(1)]xyxy1，xy 31 编号 班级 姓名 - 32 - 222222，求 5. 设fxyzxyyzxz(,,),，，,,,zzz4(在下列函数中，求: ,,22,,,,,,. ffff(0,0,1),(0,1,0),(0,0,1),(1,0,2),,,,xyxyxyxxxz y (1) z,arctan解: x y12',， ,fxyzyxz(,,)2,，f(0,0,1)0,,xx2,zy,zxxx,,,; ,,222222,x,yxy，xy，yy,,,,2',， fxyzxyz(,,)2,，f(0,1,0)0,,1，1，y,,y,,xx,,,, '',, f(0,0,1)2,fxyzz(,,)2,,2xxxx,,,zyyxy2 ,,,,,,()2x222222222,x,，，，xxyxyxy()(),,, fxyzx(,,)2,f(1,0,2)2,，xzxz22xy,,zx,,,()22222222,y,，，yxyxy(),,uu22, uxy,，ln6(证明函数，满足方程( ，,022222,,,zyyx,,xy,,,() 22222,,,xyyxy，xy，，，122uxy,，ln解:; ，， 2x(2) zy,12xx,u,,,,x2222 2xyxy，， 22xx,1yx,,,zyyzxy,,ln, 解: xy,,u,,,xx222xy，，，''2''2xx,zyyzxxy,,,(ln), (1), xxyy22xy,,,,u,,同理: yy222''x,1xy，z,，，(xlny，1)yxy 22,,uu 代入方程得:，,0( 22 ,,xy 32 编号 班级 姓名 - 33 - 具有一阶连续偏导数, 求下列各函数的一阶偏导数: 4( 设f第三节 多元复合函数偏导数 ,,,uuux,,zz2222(1) ，求 ,,ufxyz,，，()1(设，求 zuvuvxy,,,,ln,,32,( ,,,xyz,,xyy 2,,,,,zzuzvu1222222 ,,，,,,，,2ln3uv,,,ufxyzxxfxyz,，，,,，，()22(),x,,,,,xuxvxyv2222222,,, ufxyzyyfxyz,，，,,，，()22(),y23xx, ln(32)xy,，22222222,,,ufxyzzzfxyz,，，,,，，()22(),yxyy(32),z 2,,uu,,,,,,,zzuzvxu22xy (2) ，求 ( ,ufxye,,(,),,，,,,,，,,2ln2uv，，,,,,xy,,,,,yuyvyyv,, 22,,22xyxy22xx解: ; ,,,,,ufxyfexfyef,,,，,,，()()2x1212,,,,ln(32)xy,,xx32yxyy(32),,,22xyxy,,,,, ufxyfeyfxef,,,，,,,，()()2dzy1212xy,23,,yy2(ze,，，求( xtyt,,sin,dt dzzxzy,,,,,,,uuuxyxy,,222xycos(2)3,,，,,,，,,,etet(3) ， 求 ( uf,(,),,dtxtyt,,,, yz,,,xyz 3sin22tt, (cos6),,ett,x1,,,,,zzuff,,,(); 2xyx113(设 ，求( ,zxy,，(),xyy,,xy,,xxx1v2,,,,, ()(); uffff,,，,,,， zu,解:设则; uxyvxy,，,,,y12122,,yyyyzy,,,,,zzuzvvv,1,yyln,,，,,，,vuuuy,,,uff,,,,(). z222,,,,,xuxvx ,zzz2122xyxy,()()ln(),,，，，，xyxyyxyxy ,,,,,zzuzvvv,12ln,,，,,,，,vuyuux ,,,,,xuyvy 22122xyxy, 2()()ln(),,，，，，xyxyxxyxy 33 编号 班级 姓名 - 34 - yx,,5 .设而为可导函数，且,求证: 7(设,有二阶连续偏导数, 求 u,zzx,,(,)zxyxFu,，(),Fu(),(,)uv(xyxy,,zz解: . xyzxy，,，,,xyxx1 ,,, ,，,,,zxx(,)(,)x12yyy证明: y,,,,,,zyFuxFuuyFuxFu,，，,,，，,,()()()();xx,,xx112x,,,,,,,,,z,,,,,，,,,,,()()xy12222222yyyy y,()();　=yFuFu，,xx1 ,,,,, ,,,,,x,,,12222223yyy1,,,,,,()()zxxFuuxxFu,，,,，,,yy,, x,, ,　=xFu,(); ,,zzy，，,,xyxyFuFuyxFu，,，,，,()()(),, ,, ,,xyx，， ,，，,，xyxFuxyzxy() ,,,z6. 设,且具有二阶连续偏导数, 求. zxy,,()xy ,,,解:zxyyyxy,,,,,()(); x ,,,,, ()();zxyxyxy,,,， xy 34 编号 班级 姓名 - 35 - z22是由方程确定的隐函数， 3(设 xz，,,()zzxy,(,)第四节 隐函数的偏导数 y dy,,zz1 .设下列方程所确定的函数为，求. yfx,()其中为可导函数，求 ,,dx,,xy(1) xyy,,ln0(z22解:令， Fxyzxz(,,)(),，,,解:令， Fxyxyy(,)ln,,y ,Fxyy(,);,x,,zzzz,,,, Fxyzx(,,)2;,(,,)()(),,Fxyz,,,,, xy,,122yyyy,Fxyx(,);,,,,yyz1,,2; ,,,,Fxyzz(,,)2()z,Fxy(,)dyyyxyy ,,,,,.1,dxFxyxy(,)1,y,F,,F2,,,zxyzzx,yx( ,,,,,,,　　y,,,,2(2),,,,xFyzyFyyz,,zzx2(2) sin0yexy，,,2,z,z解: z,4. 设 是由方程确定的隐函数，求( zzxy,(,)exyz,,0x2,x令,,xy Fxyyexy(,)sin,,，, z解:令， Fxyzexyz(,,),,xx22,Fdyeyye,,x,,,,,, F,zyzyzzx,dcos2cos2xFyxyyxy,,,,,,,,　 yz,1,,,,xFexyxyzxyxz，，z,,zz2. 求由方程确定的隐函数的偏导数. ,xyzxyz，，,,220,F,zxyzy,,xy, ,,,,　z,1,,,yFexyyz，，z解:令 Fxyzxyzxyz(,,)22,,，，, ,2 ，，,,,zzzzz11,,,,,,,z, ,,y,yzxyz,23F,zx,,,,xyxzxxyz1(1)，，z,1; ,,,，，，，y,,xFxyzxy,z ,F2xzxyz,,zy ,,, ,,yFxyzxy,z 35 编号 班级 姓名 - 36 - y时的全增量,z 2. 求函数zxyxy,,,,,,,,在2,1,0.1,0.2第五节 全微分 x1. 求下列函数的全微分: 和全微分dz. x解: (1) zxy,，(y,,,,,zff(2.1,0.8)(2,1)0.119;,,zzx1解:， ,，,,yx, y12,,xyyy,,dzzdxzdyxy,，,,，,，，,,,0.125xy2xx,,zzdzdxdy,，,,xy . 1x　　,，，,()d()dyxxy2yy333. 利用全微分计算的近似值. 1.031.97， xy,2(2)ze, . 33fxyxy(,),，解:设， ,z,zxy,2xy,2,e， 2,,e, ,x,y,,fxxyyfxydffxyfxfy(,)(,)(,)，,，,,，,，,，,xy,,zzxyxy,,22dzdxdy,，,( exeyd2d,22; 33xy,,xy,，,，,fxyxy(,)3333 22xyxy，， yzux,(3). 考虑:; xyxy,,,,,,,1,2,0.03,0.03 ,,,duudxudyudz,，，xyz22 3132,，,1yzyzyzyzxxzxxyyxxzdlndlnd　　,，，ff(1.03,1.97)(1,2)0.030.03,，，，，,，，3333 212212，， ,2.95 36 编号 班级 姓名 - 37 - ,22第六节 空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线 与平面的交线上点 3( 求在圆柱面xyz，，,3P(0,2,1)xy，,4 处的切线方程和法平面方程( 231(求曲线在点处的切线方程与法平面方程( (1,1,1)xtytzt,,,,, 2,yx,2(求曲线在点处的切线方程与法平面方程( (1,1,2) ,22zxy,，, 37 编号 班级 姓名 - 38 - 4(求下列曲面在指点处的切平面和法线方程: 23上的点，使曲线在该点的切线与平面 5(求曲线xtytzt,,,,, z(1). ezxyP,，,3,(2,1,0) 平行( xyz，，,24 y, zP,arctan,(1,1,)(2). x4 38 编号 班级 姓名 - 39 - 第七节 多元函数的极值与最值问题 22x (3)fxyexyy(,)(2),，，1(求下列函数的极值( 332222x(1); fxyxyxyx(,)339,,，，,,,fxyexyy(,)(2241)0,,，，，,,x解:由 解: ,2x,fxyey(,)(22)0,,，,,y2,,,fxyxx(,)3690,,，,,,x由 ,12,fxyyy(,)360,,,，,解得驻点: ; (,1)-,y,2解得驻点: ; (1,0),(1,2),(3,0),(3,2),, 122x,,,,,,AfxyxBfxyCfxyy,,，,,,,,，(,)66; (,)0;(,)66; ,,,,fxyexyyAfe,，，，,,,(,)(4484); (,1)2;xxxyyyxxxx 22ACBxy,,，,36(1)(1);12x,,,,2fxyeyBf,，,,,(,)(44); (,1)0;xyxy在点，ACB,,,720，且 (1,0)A,,120, 2 ,5因此函数有极小值. f(1,0),12x,,,,fxyeCfe,,,,(,)2; (,1)2;2yyyy点，ACB,,,,720， 不是极值点. 在(1,2)(1,2)2 222ACB,,,,720在点，，不是极值点 (-3,0)(-3,0)ACBeA,,,,且40, 0, 2ACB,,,720在点，，且 (-3,2)A,,,120,11,ef(,1),, 因此函数有极小值. 因此函数有极大值31. f(3,2),,2233(2); fxyxyxy(,)6,,,222(求函数在闭区域内的最值( fxyxy(,)34,，xy，,1解: 2,,fxyyx(,)630,,,,,x,fxy(,)30,,解:，即内部无驻点，因此在内部无最值，即最值只由解得驻点: ; x(0,0)(2,2),2,fxyxy(,)630,,,,,y,22,,,,,,可能在上取到. xy，,1AfxyxBfxyCfxyy,,,,,,,,(,)6; (,)6;(,)6; xxxyyy 2ACBxy,,,361;，， 令 xy,,cos,sin,,,2ACB,,,,360在(0,0)点，， (0,0)不是极值点. 2ACB,,,1080在(2,2)点，，且A,,,120, fxy(,)3cos4sin5sin(),，,，,,,,， 因此函数有极大值f(2,2)8., 因此有最大值5，最小值,,. 39 编号 班级 姓名 - 40 - xy2233(求函数在条件下的极值()，要，,1ab,,0,0zxy,，V4(某工厂要用钢板做成一个体积为(单位:)的无盖长方体水mab 求用几何意义说明是极大值还是极小值( 箱，问怎样选取长、宽、高，才能最省材料, 40 编号 班级 姓名 - 41 - 在点的偏导数存在,则在该点( ). (5)设(,)xyfxy(,)fxy(,)00复习题十 (A) 极限存在 (B)连续 (C)可微 (D)以上结论均不成立 一、选择题(可多选): 22(6) 曲面上点处的切平面与平面平P2240xyz，，,,zxy,，xy,22,0,xy，,,22xy，fxy(,),(1) 二元函数，在点处是( ) (0,0)行，则点的坐标是( ) P, 22,,( ,( (1,1,2)(1,1,2),,00xy，,, ,( ,( (1,1,2),(1,1,2),,(连续、偏导数存在 ,(连续、偏导数不存在 二(填空题: ,(不连续、偏导数存在 ,(不连续、偏导数不存在 x(1)ye,,,(函数，则 ， f(2,1),fxyyx(,)ln,，,(2)(二元函数在点处的两个偏导数 (,)xyfxy(,)fxy(,)x2200x00xy， 222xyzxyz，，，,22(由方程所确定的隐函数在点 zzxy,(,),都存在是在点处连续的( ) fxy(,)(,)xyfxy(,)y0000dz,的全微分 ， (1,0,1), ,(充分条件而非必要条件 ,(必要条件而非充分条件 22ln(122)，，xy,(充分必要条件 ,(既非充分条件又而非必要条件 ,(= ， lim22xy,(,)(0,0)xy，,(3)设在点的偏导数存在，( )( (,)xyfxy(,),fxy(,)x0000三(计算题: fxxyyfxy(,)(,)，,，,,0000A. lim ,,zz,x,,x0,(设 ，求,( zexy,，sin(2),xx,0,x,0,,,xy,,fxxyfxy(,)(,)，,,y,0000y,limB. 44,,x0,x fxyfxy(,)(,), 00C. limx2xx,0xx,,z0yze,,(设， 求( fxyfxy(,)(,),,,xy000D. limxx,0 xx,0 ,,fxyfxy(,)(,)0,,(4) 设，则( ) xy0000 (,)xy(,)xyA. 为极值点 B. 为驻点 0000 (,)xy(,)xyC. fxy(,)在点有定义 D. 为连续点 0000 41 编号 班级 姓名 - 42 - 222222,z,z与锥面的交线上点 6(求在球面xyz，，,50xyz，,x23. 设，其中具有二阶连续偏导数，求，( fzfexy,(,),x,y处的切线方程和法平面方程( P(3,4,5) yz 4. 设f(,)0,是由方程确定的隐函数，其中具有一zzxy,(,)fxx 2dz阶连续偏导数，求全微分( 7.(求函数在由轴，轴以及直线yxfxyxyxy(,)(4),,, D所围成的闭区域上的极值和最值( xy，,6 8(某公司通过电视和报纸作广告.已知销售收入R(万元)与2x,zzy,，ln5. 设是由方程确定的隐函数，求( zzxy,(,)y电视广告费 (万元)、报纸广告费 (万元)的关系为 xz,,xy 22 Rxyxyxyxy(,)1514328210,，，,,, (1),;在广告费用不限制时求最佳广告策略 (2)1.5若提供的广告费用为万元时,求相应的广告策略. 42 编号 班级 姓名 - 43 - 3. 利用二重积分的几何意义求下列积分值( 第十一章 二重积分 2222; (1)4,(,)4,,,，,xydDxyxy,,,,,D第一节 二重积分的概念和性质 2222z,0zxy,,,4解:积分值即为曲顶柱体与所围的体积，即半ln()xyd，,1(试确定积分的符号，并说明理由( ,,xy，,1球体的体积 解: 28,2222,，, I2,？0()1,，,，,xyxy33 22？,I0,,xy,,(2); ,,(,)1dDxy,，,,,,, 49,,D,, 解:积分值即平面图形,的面积: I,，，,,,236 232(根据二重积分的性质,比较积分与的()xyd，,()xyd，,,,,, DD Dy大小，其中由轴、轴及直线围成( xxy，,1 解: 23xyxy，,，d()d,, ，， ,,,,DD 43 编号 班级 姓名 - 44 - 2. 计算下列二重积分: 第二节 二重积分在直角坐标系中的计算法 22其中是由抛物线和直线所围成((1)Dyx,xyd,yx, 1(画出积分区域，并把按不同积分顺序化为累次积Dfxyd(,),,,,,DD解: 分: 1x22(1)是由所围成( DIdxxydy,yxyx,,,42,,0x解: 1147 ,,xxdx(),0342x Ixfxyy,d(,)d1,, 0x, 404y Iyfxyx,d(,)d. 12,,0y 4 sinx2 D(2)其中是由抛物线和直线所围,dxy,,1,1yx,，1,,x D 成( 222 D(2)是由轴与半圆周所围成( xxyry，,,(0) 解: 211x，sinx解: Idxdy,,,01 x 221rrx,sinx2Ixfxyy,d(,)d,,,dxx ,,,00,rx 11,,,xxdxxdxsincos ,,0022rry,11Iyfxyx,d(,)d ,,，xxxdxcoscos22,,,00,,ry0 ,,sin1cos1 44 编号 班级 姓名 - 45 - lnex22(3)，其中是由直线与所D()xyxd，,,yyx,,2,yx,2(2) dxfxydy(,),,,,10D 围成( 解: 解: exeln1 d(,)dd(,)d.xfxyyyfxyx, y,,,,1y100e22Idyxyxdx,，,()y,, 02 13 , 6 211,y (3) d(,)d.yfxyx2,,01,,y3(更换下列二次积分的积分顺序: 1y (1) dyfxydx(,)解: ,,0y221111,,yx d(,)dd(,)d.yfxyxxfxyy,2,,,,0110,,,y解: 11yx d(,)dd(,)d.yfxyxxfxyy,2,,,, 00yx 45 编号 班级 姓名 - 46 - 1123( 5(计算二重积分 yxdDxyxy,,,,,,,{(,)1,02}4(作出积分区域的图形,交换积分次序,计算. dyxdx1，,,,,y0D 解: 222 解: yxdyxdyxd,,,，,,,,,,,,,,21x23DDD12 Idxxdy,，,,1(221),,0092112x22 ,,，,dxxydydxyxdy，，，， 2,,,,y,,101x 111146424,，,，, xdxxxdx(22) ,,,,112215 2D yx,1 D 2 1xo,1 46 编号 班级 姓名 - 47 - 2222第三节 二重积分在极坐标系下的计算法 (3) Dxyaxyb,,，,{(,)}(0),,ab1(画出下列积分区域，并把积分化成极坐标下的累Dfxyd(,),,,解: D2,bfxyxyfrrrr(,)ddd(cos,sin)d.,,,, ,,,,0a次积分: D 222 (1)Dxyxyay,，,,{(,),0} 解: a, fxyxyfrrrr,ddd(cos,sin)d.,,,,，， ,,,, 00D 2(用极坐标计算下列各题: 22xy，2222ed,D(1)，由圆周所围成( xy，,4Dxyxyx,，,{(,)2}(2) ,,D 解: 解: ,2cos,222,2 fxyxyfrrrr(,)ddd(cos,sin)d,,,,r,,,,,0,Iderdr,,,,,D200 221 r4 ,,,,,ee2(1),,2 0 47 编号 班级 姓名 - 48 - 2222222222(2)，((3)( xyd，,(1,{(,)},,,，,xydDxyxyx,Dxyaxyb,,，,{(,)} ,,,,DD 解: 2,b2 Idrrdr,,,,,0a 233 (),,ba,3 48 编号 班级 姓名 - 49 - 的半圆形薄片，其上每点的面密度与该点到圆心3( 一半径为a第四节 二重积分在几何、物理中的应用 22k的距离平方成正比(比例常数为)，求此半圆形薄片的质量( 1(利用对称区域上奇偶函数的积分性质，计算，其中()xyd，,,,D 是矩形区域:;Dxy，,1 22,,xy,,D4.设薄片所占的闭区域为:，求均(,)1,0xyy，,,2222,,222(利用二重积分计算由曲面所围成的立体zxyzxy,,,,，2,ab,,,, 质薄片的质量中心( 体积 49 编号 班级 姓名 - 50 - xy复习题十一 22(2)，(,dDyxxy:,12,,，, 22,,1.单项选择题: ，xyD (1) 设由轴，围成，则( ) Dfxyd(,),,xyxxe,,ln,,, 解: Dexlnexln5,2(A) 设 (B) 设 dxfxydy(,)dxfxydy(,)2rcossin,,,,,,41000,,Idrdr,,2,,1e1e1r4(C) 设 (D) 设 dxfxydy(,)dyfxydx(,)y,,,,0e005,21 4,sin2drdr,,,,,122224(2)当时，有( axyd,,,,,a,() ,,222,0，,xya 3313331(A) (B) (C) (D) 242 (3) 下列不等式中，( )是正确的. 22222 (3)，并求此二重积分当ln(),:1xydDxy，,，,,,,,22(1)0xd,,,()0,,,xyd,(A) (B) D,,,,22x,1,,0xy，,1时之极限( y,1 解: (1)0yd,,,(1)0xd，,,(C) (D) ,,,,21,2x,1x,1Idrrdr()ln,,,,,,y,1y,10, 112(计算下列二次积分或二重积分:. 122,,,2lnlnrdrtdt,,2,,551,,2(1)( dydx,,y11yxln1，，,,tttdtlnln2,2,,, 解: ，，, , 22，，55x ,,，,,2ln11，，,,,,，，dxdydx,, 14,,,111yxln22,,,(12ln),,,, lim()I,, ,,,0, 50 编号 班级 姓名 - 51 - 3.改变下列积分次序: 1yy2yy122xx,xx2(2)dyedxdyedx，(1) dxfxydy(,) 111,,,,,,y12,x224解: 解: y11xx22x22111xxy,，,Idxedyxeedx,,,()112,,,d(,)dd(,)d.xfxyyyfxyx,x,,,,221202,,xy 13 ,,，ee 28y1e(2) dyfxydx(,),,00 解: xy222D(3)，是位于第一象限的部分(y,dxya，, 1111ee22,,，xyd(,)dd(,)dd(,)d.yfxyxxfxyyxfxyy,，D,,,,,, 00001lnx解: 22,a rcossin,,Idrdr,, 2,, 00r ,a1 4.计算下列二重积分: 2sin2drdr,,,,,00242x,,xx2(1)sinsin，dxdydxdy ,,,, 12xx122yy2,a8解: 2xy, 222y,,xyx2 ,,,Idydxdysin(cos),,,11y22yy, xy, 2，284yy,, ,,,(cos)dy3,1 2,, 51 编号 班级 姓名 - 52 - 5(设在平面上连续,且，求 fxy(,)fa(0,0),xOy 1( Ifxydxdy,lim(,)2,,，t,0,t222xyt，, 解: 1222Ifdxdyxyxyt,,,,，,,,,,lim(,)1 (,){(,)}2,,，t,0t,222xyt，, 12,,,,,ftfalim(,)lim(,),,,,,2，，tt,,00t, 6.设在上连续，求证: fx()[0,]a aaa22[()()][()]fxdxfydyfxdx, ,,,00x 证明: aaaa左,，fxdxfydyfydyfxdx()()()(),,,,00xy aaaa,,dxfxfydyfxdxfydy()()()(),,,,0000 2a，，,,fxdx()右 ,,,0，， 52