(最新)初中数学竞赛
归纳(整数)
初中数学竞赛知识点归纳
一、数的整除(一)
如果整数A除以整数B(B?0)所得的商A/B是整数,那么叫做A被B整除. 0能被所有非零的整数整除.
一些数的整除特征
除 数 能被整除的数的特征
2或5 末位数能被2或5整除
4或25 末两位数能被4或25整除
8或125 末三位数能被8或125整除
3或9 各位上的数字和被3或9整除(如771,54324)
奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减,其差能被11整除 11 (如143,1859,1287,908270等)
7,11,13 从右向左每三位为一段,奇数段的各数和与偶数段的各数和相减,
其差能被7或11或13整除.(如1001,22743,17567,21281等) 能被7整除的数的特征:
?抹去个位数 ?减去原个位数的2倍 ?其差能被7整除。
如 1001 100,2,98(能被7整除)
又如7007 700,14,686, 68,12,56(能被7整除) 能被11整除的数的特征:
?抹去个位数 ?减去原个位数 ?其差能被11整除
如 1001 100,1,99(能11整除)
又如10285 1028,5,1023 102,3,99(能11整除)
二、倍数.约数
1 两个整数A和B(B?0),如果B能整除A(记作B,A),那么A叫做B的倍数,B叫做A的约数。例如3,15,15是3的倍数,3是15的约数。
2 因为0除以非0的任何数都得0,所以0被非0整数整除。0是任何非0整数的倍数,非0整数都是0的约数。如0是7的倍数,7是0的约数。
3 整数A(A?0)的倍数有无数多个,并且以互为相反数成对出现,0,?A,?2A,„„都是A的倍数,例如5的倍数有?5,?10,„„。
4 整数A(A?0)的约数是有限个的,并且也是以互为相反数成对出现的,其中必包括?1和?A。例如6的约数是?1,?2,?3,?6。
5 通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数,几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。
6 公约数只有1的两个正整数叫做互质数(例如15与28互质)。
7 在有余数的除法中,被除数,除数×商数,余数 若用字母表示可记作:
A,BQ,R,当A,B,Q,R都是整数且B?0时,A,R能被B整除
例如23,3×7,2 则23,2能被3整除。
三、质数.合数
1正整数的一种分类:
质数的定义:如果一个大于1的正整数,只能被1和它本身整除,那么这个正整数叫做质
数(质数也称素数)。
合数的定义:一个正整数除了能被1和本身整除外,还能被其他的正整数整除,这样的正
整数叫做合数。
2根椐质数定义可知
? 质数只有1和本身两个正约数,
? 质数中只有一个偶数2
如果两个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是2,
如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是2, 3任何合数都可以分解为几个质数的积。能写成几个质数的积的正整数就是合数。
四、零的特性
一,零既不是正数也不是负数,是介于正数和负数之间的唯一中性数。 零是自然数,
是整数,是偶数。
1, 零是表示具有相反意义的量的基准数。
例如:海拔0米的地方表示它与基准的海平面一样高
收支衡可记作结存0元。
2, 零是判定正、负数的界限。
若a ,0则a是正数,反过来也成立,若a是正数,则 a,0 记作 a,0 a是正数 读作a,0等价于a是正数 ,
b<0 b 是负数 ,
c?0 c是非负数(即c不是负数,而是正数或0) ,
d0 d是非正数 (即d不是正数,而是负数或0) ,,
e0 e不是0 (即e不是0,而是负数或正数) ,,
3, 在一切非负数中有一个最小值是0。
例如 绝对值、平方数都是非负数,它们的最小值都是0。
记作:|a|?0,当a=0时,,a,的值最小,是0,
22a?0,a有最小值0(当a=0时)。
4, 在一切非正数中有一个最大值是0。
例如 ,|X|?0,当X,0时,,|X|值最大,是0,(?X?0时都是负数),
22 ,(X,2),0,当X,2时,,(X,2)的值最大,是0。 二,零具有独特的运算性质
1, 乘方:零的正整数次幂都是零。
2,除法:零除以任何不等于零的数都得零;
零不能作除数。从而推出,0没有倒数,分数的分母不能是0。 3, 乘法:零乘以任何数都得零。 即a×0,0,
反过来 如果 ab=0,那么a、b中至少有一个是0。
要使等式xy=0成立,必须且只需x=0或y=0。
4, 加法 互为相反数的两个数相加得零。反过来也成立。
即a、b互为相反数a+b=0 ,
5, 减法 两个数a和b的大小关系可以用它们的差的正负来判定,
若a-b=0,则a=b; 若a-b,0,则a,b; 若a-b,0,则a,b。
反过来也成立,当a=b时,a-b=0;当a>b时,a-b>0;当a
n),则至少有一个集合里元素不少
m于个。 ,,n
mm3, 根据的定义,己知m、n可求; ,,,,nn
mmmmx己知,则可求的范围,例如己知,3,那么2,?3;己知,2,,,,,,,nnnn3
x,?2,即3,x?6,x有最小整数值4 则 13
九、一元一次方程解的讨论 1, 方程的解的定义:能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。一元方程的
解也叫做根。
例如:方程 2x,6,0, x(x-1)=0, |x|=6, 0x=0, 0x=2的解 分别是: x=,3, x=0或x=1, x=?6, 所有的数,无解。 2, 关于x 的一元一次方程的解(根)的情况:化为最简方程ax=b后,
b讨论它的解:当a?0时,有唯一的解 x=; a
当a=0且b?0时,无解;
当a=0且b,0时,有无数多解。(?不论x取什么值,0x,0都成立) 3, 求方程ax=b(a?0)的整数解、正整数解、正数解
当a,b时,方程有整数解;
当a,b,且a、b同号时,方程有正整数解;
当a、b同号时,方程的解是正数。
综上所述,讨论一元一次方程的解,一般应先化为最简方程ax=b
十、二元一次方程的整数解 1, 二元一次方程整数解存在的条件:在整系数方程ax+by=c中,
若a,b的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即
如果(a,b)|c 则方程ax+by=c有整数解
显然a,b互质时一定有整数解。
例如方程3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6都有整数解。
返过来也成立,方程9x+3y=10和 4x-2y=1都没有整数解,
?(9,3),3,而3不能整除10;(4,2),2,而2不能整除1。 一般我们在正整数集合里研究公约数,(a,b)中的a,b实为它们的绝对值。 2, 二元一次方程整数解的求法:
若方程ax+by=c有整数解,一般都有无数多个,常引入整数k来表示它的通解(即所有的解)。k叫做参变数。
方法一,整除法:求方程5x+11y=1的整数解
1,11y1,y,10y1,y解:x== (1) , ,,2y555
1,y 设是整数),则y=1-5k (2) , ,k(k5
把(2)代入(1)得x=k-2(1-5k)=11k-2
x,11k,2,?原方程所有的整数解是(k是整数) ,y,1,5k,
方法二,公式法:
x,x,bkx,x,,00设ax+by=c有整数解则通解是(x,y可用观察法) 00,,yyy,y,ak,00,,
3, 求二元一次方程的正整数解:
? 出整数解的通解,再解x,y的不等式组,确定k值
? 用观察法直接写出。
十一、二元一次方程组解的讨论
,,axbyc,1111( 二元一次方程组的解的情况有以下三种: ,ax,by,c222,
abc111,, 当时,方程组有无数多解。(?两个方程等效) ?abc222
abc111,,? 当时,方程组无解。(?两个方程是矛盾的) abc222
ab11,? 当(即ab,ab?0)时,方程组有唯一的解: 1221ab22
cb,cb,1221x,,ab,ab,1221 (这个解可用加减消元法求得) ,ca,ca2112,y,,ab,ab1221,
2( 方程的个数少于未知数的个数时,一般是不定解,即有无数多解,若要求整数解,可按
二元一次方程整数解的求法进行。
求方程组中的待定系数的取值,一般是求出方程组的解(把待定系数当己知数),再解
含待定系数的不等式或加以讨论。
四十五、一元二次方程的根
21. 一元二次方程ax+bx+c=0(a?0)的实数根,是由它的系数a, b, c的值确定的.
2,,,bb4ac2根公式是:x=. (b,4ac?0) 2a
2. 根的判别式
2? 实系数方程ax+bx+c=0(a?0)有实数根的充分必要条件是:
2b,4ac?0.
2? 有理系数方程ax+bx+c=0(a?0)有有理数根的判定是:
2b,4ac是完全平方式方程有有理数根. ,
22 ?整系数方程x+px+q=0有两个整数根p,4q是整数的平方数. ,
23. 设x, x 是ax+bx+c=0的两个实数根,那么 122222? ax+bx+c=0 (a?0,b,4ac?0), ax+bx+c=0 (a?0, b,4ac?0); 1122
22,,,,,,bb4acbb4ac2? x=, x= (a?0, b,4ac?0); 122a2a
bc2? 韦达定理:xxxx (a?0, b,4ac?0). , 12=1+2= ,aa
4. 方程整数根的其他条件
2整系数方程ax+bx+c=0 (a?0)有一个整数根x的必要条件是:x是c的因数. 11
特殊的例子有:
C=0x=0 , a+b+c=0x=1 , a,b+c=0x=,1. ,,,111
四十六、完全平方数和完全平方式 一定义
1. 如果一个数恰好是某个有理数的平方,那么这个数叫做完全平方数.
4例如0,1,0.36,,121都是完全平方数. 25
在整数集合里,完全平方数,都是整数的平方.
2. 如果一个整式是另一个整式的平方,那么这个整式叫做完全平方式.
如果没有特别说明,完全平方式是在实数范围内研究的.
例如:
222在有理数范围 m, (a+b,2), 4x,12x+9, 144都是完全平方式.
22在实数范围 (a+), x+2x+2, 3也都是完全平方式. 32
二. 整数集合里,完全平方数的性质和判定
1. 整数的平方的末位数字只能是0,1,4,5,6,9.所以凡是末位数字为2,3,7,8
的整数必不是平方数.
22. 若n是完全平方数,且能被质数p整除, 则它也能被p整除..
2若整数m能被q整除,但不能被q整除, 则m不是完全平方数.
例如:3402能被2整除,但不能被4整除,所以3402不是完全平方数.
又如:444能被3整除,但不能被9整除,所以444不是完全平方数. 三. 完全平方式的性质和判定
在实数范围内
22如果 ax+bx+c (a?0)是完全平方式,则b,4ac=0且a>0;
22如果 b,4ac=0且a>0;则ax+bx+c (a?0)是完全平方式.
在有理数范围内
22当b,4ac=0且a是有理数的平方时,ax+bx+c是完全平方式. 四. 完全平方式和完全平方数的关系
2 1. 完全平方式(ax+b)中
当a, b都是有理数时, x取任何有理数,其值都是完全平方数;
当a, b中有一个无理数时,则x只有一些特殊值能使其值为完全平方数.
2. 某些代数式虽不是完全平方式,但当字母取特殊值时,其值可能是完全平方数.
2 例如: n+9, 当n=4时,其值是完全平方数.
所以,完全平方式和完全平方数,既有联系又有区别. 五. 完全平方数与一元二次方程的有理数根的关系
21. 在整系数方程ax+bx+c=0(a?0)中
2? 若b,4ac是完全平方数,则方程有有理数根;
2? 若方程有有理数根,则b,4ac是完全平方数.
22. 在整系数方程x+px+q=0中
2? 若p,4q是整数的平方,则方程有两个整数根;
2? 若方程有两个整数根,则p,4q是整数的平方.
十二、用交集解题
1( 某种对象的全体组成一个集合。组成集合的各个对象叫这个集合的元素。例如6的正约
数集合记作,6的正约数,,,1,2,3,6,,它有4个元素1,2,3,6;除以3余1
的正整数集合是个无限集,记作,除以3余1的正整数,,,1,4,7,10„„,,它的
个元素有无数多个。
2( 由两个集合的所有公共元素组成的一个集合,叫做这两个集合的交集
例如6的正约数集合A,,1,2,3,6,,10的正约数集合B,,1,2,5,10,,6与
10的公约数集合C,,1,2,,集合C是集合A和集合B的交集。 3( 几个集合的交集可用图形形象地表示,
正右图中左边的椭圆表示正数集合, 正整
右边的椭圆表示整数集合,中间两个椭圆 整数数数的公共部分,是它们的交集――正整数集。 集集集不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的交集。
2x,6?(1),例如不等式组解的集合就是 ,,x,2?(2),
不等式(1)的解集x>3和不等式(2)的解集x,2的交集,x>3 .
如数轴所示:
0 2 3
4(一类问题,它的要同时符合几个条件,一般可用交集来解答。把符合每个条件的所有的解(即解的集合)分别求出来,它们的公共部分(即交集)就是所求的答案。 有时可以先求出其中的一个(一般是元素最多)的解集,再按其他条件逐一筛选、剔除,得答案。
十三、用枚举法解题
有一类问题的解答,可依题意一一列举,并从中找出规律。列举解答要注意: ? 按一定的顺序,有系统地进行;
? 分类列举时,要做到既不重复又不违漏;
? 遇到较大数字或抽象的字母,可从较小数字入手,由列举中找到规律。
十四、经验归纳法
1(通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法。 通过有限的几个特例,观察其一般规律,得出结论,它是一种不完全的归纳法,也叫做经验归纳法。例如
234?由 ( , 1) , 1 ,(, 1 ) ,, 1 ,(, 1 ) , 1 ,„„, 归纳出 , 1 的奇次幂是, 1,而, 1 的偶次幂 是 1 。
?由两位数从10 到 99共 90 个( 9 × 10 ),
2三位数从 100 到 999 共900个(9×10),
33四位数有9×10,9000个(9×10),
„„„„
n-1归纳出n 位数共有9×10(个)
222? 由1+3=2, 1+3+5=3, 1+3+5+7=4„„
2推断出从1开始的n个連续奇数的和等于n等。
可以看出经验归纳法是获取新知识的重要手段,是知识攀缘前进的阶梯。 2. 经验归纳法是通过少数特例的试验,发现规律,猜想结论,要使规律明朗化,必须进行足夠次数的试验。
由于观察产生的片面性,所猜想的结论,有可能是错误的,所以肯定或否定猜想的结论,都必须进行严格地。(到高中,大都是用数学归纳法证明)
十五、乘法公式
1( 乘法公式也叫做简乘公式,就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以,直接应用。
公式中的每一个字母,一般可以表示数字、单项式、多项式,有的还可以推广到分式、根式。
公式的应用不仅可从左到右的顺用(乘法展开),还可以由右到左逆用(因式分解),还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。
2( 基本公式就是最常用、最基礎的公式,并且可以由此而推导出其他公式。
222完全平方公式:(a?b)=a?2ab+b,
22 平方差公式:(a+b)(a,b)=a,b
2233 立方和(差)公式:(a?b)(aab+b)=a?b,
3.公式的推广:
22222? 多项式平方公式:(a+b+c+d)=a+b+c+d+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd
即:多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。
33223? 二项式定理:(a?b)=a?3ab+3ab?b
4432234(a?b)=a?4ab+6ab?4ab+b)
55432 2345(a?b)=a?5ab+10ab?10ab,5ab?b)
„„„„
注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律
? 由平方差、立方和(差)公式引伸的公式
322344(a+b)(a,ab+ab,b)=a,b
43223455 (a+b)(a,ab+ab,ab+b)=a+b
4322345665(a+b)(a,ab+ab,ab+ab,b)=a,b
„„„„
注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律
在正整数指数的条件下,可归纳如下:设n为正整数
,,,,,2n12n22n322n22n12n2n (a+b)(a,ab+ab,„,ab,b)=a,b
,,,2n2n12n222n12n2n+12n+1 (a+b)(a,ab+ab,„,ab+b)=a+b
类似地:
,,,,,n1n2n32n2n1nn(a,b)(a+ab+ab+„,ab+b)=a,b
4. 公式的变形及其逆运算
222222由(a+b)=a+2ab+b 得 a+b=(a+b),2ab
3322333333由 (a+b)=a+3ab+3ab+b=a+b+3ab(a+b) 得 a+b=(a+b),3ab(a+b)
由公式的推广?可知:当n为正整数时
nna,b能被a,b整除,
2n+12n+1 a+b能被a+b整除,
2n2na,b能被a+b及a,b整除。
十六、整数的一种分类
1( 余数的定义:在等式A,mB,r中,如果A、B是整数,m是正整数, r为小于m的非负整数,那么我们称r是A 除以m的余数。
即:在整数集合中 被除数,除数×商,余数 (0?余数<除数) 例如:13,0,,1,,9除以5的余数分别是3,0,4,1 (?,1,5(,1),4。 ,9,5(,2),1。)
2( 显然,整数除以正整数m ,它的余数只有m种。
例如 整数除以2,余数只有0和1两种,除以3则余数有0、1、2三种。 3( 整数的一种分类:按整数除以正整数m的余数,分为m类,称为按模m分类。例如:
m=2时,分为偶数、奇数两类,记作,2k,,,2k,1, (k为整数)
m=3时,分为三类,记作,3k,,,3k+1,,,3k+2,.
或,3k,,,3k+1,,,3k,1,其中,3k,1,表示除以3余2。
m=5时,分为五类,,5k,.,5k+1,,,5k+2,,,5k+3,,,5k+4,
或,5k,,,5k?1,,,5k?2,, 其中5k,2表示除以5余3。 4( 余数的性质:整数按某个模m分类,它的余数有可加,可乘,可乘方的运算规律。
举例如下:
?(3k+1)+(3k+1)=3(k+k)+2 (余数1,1,2) 1212
?(4k+1)(4k+3)=4(4kk+3k+k)+3 (余数1×3,3) 1212122222?(5k?2),25k?20k+4=5(5k?4k)+4 (余数2,4)
以上等式可叙述为:
? 两个整数除以3都余1,则它们的和除以3必余2。
? 两个整数除以4,分别余1和3,则它们的积除以4必余3。
? 如果整数除以5,余数是2或3,那么它的平方数除以5,余数必是
4或9。
余数的乘方,包括一切正整数次幂。
66如:?17除以5余2 ?17除以5的余数是4 (2,64) 5( 运用整数分类解题时,它的关鍵是正确选用模m。
十七、奇数.偶数
1( 奇数和偶数是在整数集合里定义的,能被2整除的整数是偶数,如2,0,2„,不能被
2整除的整数是奇数,如,1,1,3。
如果n 是整数,那么2n是偶数,2n,1或2n+1是奇数。如果n是正整数,那么2n是
正偶数,2n-1是正奇数。
2( 奇数、偶数是整数的一种分类。可表示为:
奇数集奇数, 整数 或 整数集合 ,偶数集偶数,
这就是说,在整数集合中是偶数就不是奇数,不是偶数就是奇数,如果既不是偶数又不是奇数,那么它就不是整数。
3( 奇数偶数的运算性质:
奇数?奇数,偶数,奇数?偶数,奇数,偶数?偶数,偶数
奇数×奇数,奇数 奇数×偶数,偶数,偶数×偶数,偶数
奇数的正整数次幂是奇数,偶数的正整数次幂是偶数,
两个連续整数的和是奇数,积是偶数。
十八、式的整除
1( 定义:如果一个整式除以另一个整式所得的商式也是一个整式,并且余式是零,则称这
个整式被另一个整式整除。
2( 根据被除式,除式×商式,余式,设f(x),p(x),q(x)都是含x 的整式, 那么 式的整除的意义可以表示为:
若f(x),p(x)×q(x), 则称f(x)能被 p(x)和q(x)整除
2 例如?x,3x,4,(x,4)(x +1),
2?x,3x,4能被(x,4)和(x +1)整除。
2显然当 x=4或x=,1时x,3x,4,0,
3( 一般地,若整式f(x)含有x –a的因式,则f(a)=0 反过来也成立,若f(a)=0,则x,a能整除f(x)。
4( 在二次三项式中
22若x+px+q=(x+a)(x+b),x+(a+b)x+ab 则p=a+b,q=ab 在恒等式中,左右两边同类项的系数相等。这可以推广到任意多项式。
十九、因式分解
我们学过因式分解的四种基本方法:提公因式法,运用公式法,十字相乘法,分组分解法。
下面再介紹两种方法
1( 添项拆项。是.为了分组后,能运用公式(包括配方)或提公因式
42333例1因式分解:?x+x+1 ?a+b+c,3abc
42?分析:x+1若添上2x可配成完全平方公式
4242222222解:x+x+1,x+2x+1,x=(x+1),x=(x+1+x)(x+1,x)
33322 ?分析:a+b要配成(a+b)应添上两项3ab+3ab
3333223322解:a+b+c,3abc,a+3ab+3ab,b+c,3abc,3ab,3ab
33 ,(a+b)+c,3ab(a+b+c)
22 =(a+b+c),(a+b),(a+b)c+c,,3 ab(a+b+c)
222 =(a+b+c)(a+b+c,ab,ac,bc)
53例2因式分解:?x,11x+20 ? a+a+1
5? 分析:把中项,11x拆成,16x+5x 分别与x,20组成两组,则有公因式可提。(注意这
里16是完全平方数)
332? 解:x,11x+20,x,16x+5x+20,x(x,16)+5(x+4)
2=x(x+4)(x,4)+5(x+4) =(x+4)(x,4x+5)
225? 分析:添上,a 和a两项,分别与a和a+1组成两组,正好可以用立方差公式
5522232解:a+a+1,a,a+a+a+1=a(a,1)+ a+a+1
222232=a(a,1)( a+a+1)+ a+a+1= (a+a+1)(a,a+1) 2( 运用因式定理和待定系数法
定理:?若x=a时,f(x)=0, ,即f(a)=0,,则多项式f(x)有一次因式x,a
?若两个多项式相等,则它们同类项的系数相等。
3232例3因式分解:?x,5x+9x,6 ?2x,13x+3
?分析:以x=?1,?2,?3,?6(常数6的约数)分别代入原式,若值为0,则可找到一次
因式,然后用除法或待定系数法,求另一个因式。
32解:?x=2时,x,5x+9x,6,0,?原式有一次因式x ,2,
322?x,5x+9x,6,(x ,2)(x,3x+3,)
?分析:用最高次项的系数2的约数?1,?2分别去除常数项3的约数
13?1,?3得商?1,?2,?,?,再分别以这些商代入原式求值, 22
1可知只有当x=时,原式值为0。故可知有因式2x-1 2
132解:?x=时,2x,13x+3,0,?原式有一次因式2x,1, 2322设2x,13x+3,(2x,1)(x+ax,3), (a是待定系数)
2比较右边和左边x的系数得 2a,1,,13, a=,6
32?2x,13x+3,(2x,1)(x,6x,3)。
22例4因式分解2x+3xy,9y+14x,3y+20
22解:?2x+3xy,9y,(2x,3y)(x+3y), 用待定系数法,可设
222x+3xy,9y+14x,3y+20,(2x,3y,a)(x+3y,b),a,b是待定的系数, 比较右边和左边的x和y两项 的系数,得
a,2b,14a,4, 解得 ,3a,3b,,3b,5,
22?2x+3xy,9y+14x,3y+20,(2x,3y+4)(x+3y+5)
22+又解:原式,2x+(3y+14)x,(9y3y,20) 这是关于x的二次三项式
常数项可分解为,(3y,4)(3y+5),用待定系数法,可设
22+2x+(3y+14)x,(9y3y,20),,mx,(3y,4),,nx+(3y+5),
2比较左、右两边的x和x项的系数,得m=2, n=1
22?2x+3xy,9y+14x,3y+20,(2x,3y+4)(x+3y+5)
二十、代数恒等式的证明
证明代数恒等式,在整式部分常用因式分解和乘法两种相反的恒等变形,要特别注意运用乘法公式和等式的运算法则、性质。
具体证法一般有如下几种
1(从左边证到右边或从右边证到左边,其原则是化繁为简。变形的过程中要不断注意结论
的形式。
2(把左、右两边分别化简,使它们都等于第三个代数式。
3(证明:左边的代数式减去右边代数式的值等于零。即由左边,右边,0可得左边,右边。 4,由己知等式出发,经过恒等变形达到求证的结论。还可以把己知的条件代入求证的一边证它能达到另一边,
二十一、比较大小
1( 比较两个代数式的值的大小,一般要按字母的取值范围进行讨论,常用求差法。根据不
等式的性质:
当a,b,0时,a,b; 当a,b,0时,a=b; 当a,b,0时a,b。
2( 通常在写成差的形式之后,用因式分解化为积的形式,然后由负因数的个数决定其符号。 3( 需要讨论的可借助数轴,按零点分区。
4( 实数(有理数和无理数的统称)的平方是非负数,在决定符号时常用到它。即若a是实
2数,则a?0,由此而推出一系列绝对不等式(字母不论取什么值,永远成立的不等式)。
诸如
132222(a,b)?0, a+1,0, a+a+1=(a+)+,0 24222,a?0, ,(a+a+2),0 当a?b时,,(a,b),0
二十二、分式
1( 除式含有字母的代数式叫做分式。分式的值是由分子、分母中的字母的取值确定的。
A(1)分式中,当B?0时有意义;当A、B同号时值为正,异号时值为负,反过来也成立。B
分子、分母都化为积的形式时,分式的符号由它们中的负因数的个数来确定。
A(2)若A、B及都是整数,那么A是B的倍数,B是A的约数。 B
A(3)一切有理数可用来表示,其中A是整数,B是正整数,且A、B互质。 B
2( 分式的运算及恒等变形有一些特殊题型,要用特殊方法解答方便。
二十三、递推公式
2221.先看一例:a=b,a=,a=„„ a=这里a,a,a„„a,a是对应于正整数1,123n+1123nn+1aaa12n
2,3„„n,n+1 的有序的一列数(右下标的数字表示第几项),这一列数只要给出某一项数值,就可以推出其他各项数值。
112例如: 若 a=10, 则a==,a=10,a=,a=10„„ 123451055
2. 为了计算的方便,通常把递推公式写成以a和n表示a的形式,这可用经验归纳法。 例1n
如:把递推公式a=a+5改为用a和n来表示 n+1n1
?a=a+5, ?a=a+5=(a+5)+5=a+2×5, a=a+5=(a+2×5)+5=a+3×5 2132114311
„„ ?a=a+(n-1)5 n1
如果 已知a=10, 求a,显然代入这一公式方便。A=10+19×5=105 12020
3.有一类问题它与正整数的顺序有关,可寻找递推公式求解,这叫递推法。
二十四、连续正整数的性质
一.两个连续正整数
1.两个连续正整数一 定是互质的,其商是既约分数。
2.两个连续正整数的积是偶数,且个位数只能是0,2,6。
3.两个连续正整数的和是奇数,差是1。
4.大于1的奇数都能写成两个连续正整数的和。例如3,1,2,79,39,40, 111,55,56。 二.计算连续正整数的个数
例如:不同的五位数有几个,这是计算连续正整数从10000到99999的个数,它是 99999,10000,1,90000(个)
n-101. n位数的个数一般可表示为 9×10(n为正整数,10,1)
0例如一位正整数从1到9共9个(9×10),
1二位数从10到99共90个 (9×10)
2三位数从100到999共900个(9×10)„„
2.连续正整数从n 到m的个 数是 m,n+1
把它推广到连续奇数、连续偶数、除以模m有同余数的连续数的个数的计算,举例如下:
49,133. 从13到49的连续奇数的个数是,1,19 2
48,14从13到49的连续偶数的个数是,1,18 2
48,154. 从13到49能被3整除的正整数的个数是,1,12 3
49,13从13到49的正整数中除以3余1的个数是,1,13 3
你能从中找到计算规律吗,
三.计算连续正整数的和
n1. 1,2,3,„„,n,(1,n) (n是正整数) 2
b,a,1 连续正整数从a到b的和 记作(a+b) 2
把它推广到计算连续奇数、连续偶数、除以模m有同余数的和,举例如下:
2355,112. 11,13,15,„,55,(11,55)×,759 (?从11到55有奇数,1,2322
个)
153. 11,14,17,„,53,(11,53)×,480 (?从11到53正整数中除以3余2的2
53,11数的个数共,1,15) 3
四. 计算由连续正整数连写的整数,各数位上的数字和
1. 123456789各数位上的数字和是(0,9),(1,8),„,(4,5)
,9×5,45
2. 1234„99100计算各数位上的数字和可分组为:(0,99),(1,98), (2,97)„(48,51),(49,50)共有50个18,加上100中的1
?各数位上的数字和是18×50,1,901
五. 连续正整数的积
从1开始的n个正整数的积1×2×3ׄ×n记作n~,读作n的阶乘 1. n个连续正整数的积能被n~整除,
如11×12×13能被1×2×3整除;97×98×99×100能被4~整除;
a(a+1)(a+2)„(a+n)能被(n+1)~整除。
2. n~含某因质数的个数。举例如下:
? 1×2×3ׄ×10的积中含质因数2的个数共8个
其中2,4,6,8,10都含质因数2 暂各计1个,共5个
2其中4,2 含两个质因数2 增加了1个
3其中8,2 含三个质因数2 再增加2个
? 1×2×3ׄ×130的积中含质因数5的个数的计算法 5,10,15,„125,130 均含质因数5 暂各计1个,共26个
2其中25,50,75,100均含5有两个5 各加1个, 共4个
3其中125,5含三个5 再增加2个 ?积中含质因数5的个数是32
,这一性质进行讨论
四十一、 线段的比、积、幂 一(有关线段的比、积、幂的主要定理
ac1. 比例的基本性质: 合比,等比定理(略) ,ad,bc,bd
2. 平行线分线段成比例定理(即平行截线定理)的推论 AEID
ADEADAEDE?BC ,,DBECBCBC推广到:过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例
O CAB11ABBCOB,b,,,ABc111ABBCOB,11111 a?b ,OOAOBa,,,OAOB11,CBAACB
3. 相似多边形性质:对应线段成比例,面积比等于相似比的平方 4. 直角三角形中成比例线段定理(射影定理)
C2,CD,AD,BD
,2,ACB,Rt,AC,AD,AB,,, ,,2CD,ABBC,BD,AB,,ABD,AB,CD,AC,BC,
5. 三角形内(外)角平分线性质 AA2在?ABC中 112
BDABBC,,?1,?2 DCBDDCAC
6. 圆中成比例线段定理(即圆幂定理)
若ABCD四点共圆, TDAB、CD交于P, DB
则PA×PB,PC×PD APC2 ,PTCPB(PT切圆于T) A7. 三角形、平行四边形面积公式(略)
abc,,8.正弦定理:在?ABC中, SinASinBSinC
二(要运用相似三角形证明线段的积、幂,一般应把积、幂先化为比例式,然后由它来找
相似三角形。有时还要用等线段或等比代换。