死神赐予的800万种死法

第21课 极坐标与方程（综合训练4） 一、学习要求 1.掌握极坐标与直角坐标互化公式，并能熟练地进行坐标互化； 2.能熟练地进行极坐标方程与直角坐标方程的互化；并能把极坐标问题转化为直角坐标问题来解决。 3.掌握直线、圆、椭圆的参数方程及简单应用，并能熟练地把它们的参数方程化为普通方程； 4.能利用直线的参数方程中的参数的意义解决求两点间的距离、弦长等问题。 二、问题探究 ■合作探究 例1．设，分别为椭圆：（为参数）的左、右焦点. （1）若椭圆上的点到，的距离之和为4，写出椭圆的方程和焦点坐标； （2）设是（1）中椭圆的动点，求线段的中点的轨迹参数方程，并写出它的普通方程。 解：（1）∵点到，的距离之和为4， ∴，即； ∵点在椭圆上， ∴，解得， ∴，∴； ∴椭圆的方程为；焦点坐标为，。 （2）由（1）知椭圆的参数方程为， 设，，则 ，， ∴线段的中点的轨迹参数方程为； 由，得，两式两边平方相加，得 线段的中点的普通方程为。 三、问题过关 1. 已知动点，都在曲线：（为参数）上，对应参数分别为与（），为的中点。 （Ⅰ）求的轨迹的参数方程； （Ⅱ）将到坐标原点的距离示为的函数，并判断的轨迹是否过坐标原点。 【解】（Ⅰ）依题意有，， ∴， ∴的轨迹的参数方程为： （为参数，）。 （Ⅱ）到坐标原点的距离：， ∵当时，，∴的轨迹过坐标原点。 2.已知曲线的参数方程为 (为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为。 （Ⅰ）把的参数方程化为极坐标方程； （Ⅱ）求与交点的极坐标（，）。 【解】（Ⅰ）将曲线的参数方程 (为参数）消去参数， 得曲线的普通方程为； ∵， ∴ 即， ∴的极坐标方程为：。 （Ⅱ）将的极坐标方程为化为普通方程得：； 由，解得或； ∴与交点的极坐标，。