高考数学难点突破10__函数图象难点10 函数图象与图象变换
函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一,它是研究和记忆函数性质的直观工具,利用它的直观性解题,可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此,考生要掌握绘制函数图象的一般方法,掌握函数图象变化的一般规律,能利用函数的图象研究函数的性质.
●难点磁场
(★★★★★)已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图,求b的范围.
●案例探究
[例1]对函数y=f(x)定义域中任一个x的值均有f(x+a)=f(a-x),(1)求证y=f(x)的图象关于直线x=a对称;(2)若函数f(x)对一切实数x...
难点10 函数图象与图象变换
函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一,它是研究和记忆函数性质的直观工具,利用它的直观性解题,可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此,考生要掌握绘制函数图象的一般方法,掌握函数图象变化的一般规律,能利用函数的图象研究函数的性质.
●难点磁场
(★★★★★)已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图,求b的范围.
●案例探究
[例1]对函数y=f(x)定义域中任一个x的值均有f(x+a)=f(a-x),(1)求证y=f(x)的图象关于直线x=a对称;(2)若函数f(x)对一切实数x都有f(x+2)=f(2-x),且方程f(x)=0恰好有四个不同实根,求这些实根之和.
命题意图:本题考查函数概念、图象对称问题以及求根问题.属★★★★★级题目.
知识依托:把证明图象对称问题转化到点的对称问题.
错解分析:找不到问题的突破口,对条件不能进行等价转化.
技巧与方法:数形结合、等价转化.
(1)证明:设(x0,y0)是函数y=f(x)图象上任一点,则y0=f(x0),又f(a+x)=f(a-x),∴f(2a-x0)=
f[a+(a-x0)]=f[a-(a-x0)]=f(x0)=y0,∴(2a-x0,y0)也在函数的图象上,而
=a,∴点(x0,y0)与(2a-x0,y0)关于直线x=a对称,故y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
(2)解:由f(2+x)=f(2-x)得y=f(x)的图象关于直线x=2对称,若x0是f(x)=0的根,则4-x0也是f(x)=0的根,由对称性,f(x)=0的四根之和为8.
[例2]如图,点A、B、C都在函数y=
的图象上,它们的横坐标分别是a、a+1、a+2.又A、B、C在x轴上的射影分别是A′、B′、C′,记△AB′C的面积为f(a),△A′BC′的面积为g(a).
(1)求函数f(a)和g(a)的
达式;
(2)比较f(a)与g(a)的大小,并证明你的结论.
命题意图:本题考查函数的解析式、函数图象、识图能力、图形的组合等.属★★★★★级题目.
知识依托:充分借助图象信息,利用面积问题的拆拼以及等价变形找到问题的突破口.
错解分析:图形面积不会拆拼.
技巧与方法:数形结合、等价转化.
解:(1)连结AA′、BB′、CC′,则f(a)=S△AB′C=S梯形AA′C′C-S△AA′B′-S△CC′B
=
(A′A+C′C)=
(
),
g(a)=S△A′BC′=
A′C′·B′B=B′B=
.
∴f(a)
1).
(1)若△ABC面积为S,求S=f(m);
(2)判断S=f(m)的增减性.
5.(★★★★)如图,函数y=
|x|在x∈[-1,1]的图象上有两点A、B,AB∥Ox轴,点M(1,m)(m∈R且m>
)是△ABC的BC边的中点.
(1)写出用B点横坐标t表示△ABC面积S的函数解析式S=f(t);
(2)求函数S=f(t)的最大值,并求出相应的C点坐标.
6.(★★★★★)已知函数f(x)是y=
-1(x∈R)的反函数,函数g(x)的图象与函数y=-
的图象关于y轴对称,设F(x)=f(x)+g(x).
(1)求函数F(x)的解析式及定义域;
(2)试问在函数F(x)的图象上是否存在两个不同的点A、B,使直线AB恰好与y轴垂直?若存在,求出A、B的坐标;若不存在,说明理由.
7.(★★★★★)已知函数f1(x)=
,f2(x)=x+2,
(1)设y=f(x)=
,试画出y=f(x)的图象并求y=f(x)的曲线绕x轴旋转一周所得几何体的表面积;
(2)若方程f1(x+a)=f2(x)有两个不等的实根,求实数a的范围.
(3)若f1(x)>f2(x-b)的解集为[-1,
],求b的值.
8.(★★★★★)设函数f(x)=x+
的图象为C1,C1关于点A(2,1)对称的图象为C2,C2对应的函数为g(x).
(1)求g(x)的解析表达式;
(2)若直线y=b与C2只有一个交点,求b的值,并求出交点坐标;
(3)解不等式logag(x)0,∴b<0.
歼灭难点训练
一、1.解析:∵y=bax=(ba)x,∴这是以ba为底的指数函数.仔细观察题目中的直线方程可知:在选择支B中a>0,b>1,∴ba>1,C中a<0,b>1,∴0<ba<1,D中a<0,0<b<1,∴ba>1.故选择支B、C、D均与指数函数y=(ba)x的图象不符合.
答案:A
2.解析:由题意可知,当x=0时,y最大,所以排除A、C.又一开始跑步,所以直线随着x的增大而急剧下降.
答案:D
二、3.解析:g(x)=2log2(x+2)(x>-2)
F(x)=f(x)-g(x)=log2(x+1)-2log2(x+2)
=log2
∵x+1>0,∴F(x)≤
=-2
当且仅当x+1=
,即x=0时取等号.
∴F(x)max=F(0)=-2.
答案:-2
三、4.解:(1)S△ABC=S梯形AA′B′B+S梯形BB′C′C-S梯形AA′C′C.
(2)S=f(m)为减函数.
5.解:(1)依题意,设B(t,
t),A(-t,
t)(t>0),C(x0,y0).
∵M是BC的中点.∴
=1,
=m.
∴x0=2-t,y0=2m-
t.在△ABC中,|AB|=2t,AB边上的高hAB=y0-
t=2m-3t.
∴S=
|AB|·hAB=
·2t·(2m-3t),即f(t)=-3t2+2mt,t∈(0,1).
(2)∵S=-3t2+2mt=-3(t-
)2+
,t∈(0,1
,若
,即
<m≤3,当t=
时,Smax=
,相应的C点坐标是(2-
,
m),若
>1,即m>3.S=f(t) 在区间(0,1]上是增函数,∴Smax=f(1)=2m-3,相应的C点坐标是(1,2m-3).
6.解:(1)y=
-1的反函数为f(x)=lg
(-1<x<1
.
由已知得g(x)=
,∴F(x)=lg
+
,定义域为(-1,1).
(2)用定义可证明函数u=
=-1+
是(-1,1)上的减函数,且y=lgu是增函数.∴f(x)是(-1,1)上的减函数,故不存在符合条件的点A、B.
7.解:(1)y=f(x)=
.图略.
y=f(x)的曲线绕x轴旋转一周所得几何体的表面积为(2+
)π.
(2)当f1(x+a)=f2(x)有两个不等实根时,a的取值范围为2-
<a≤1.
(3)若f1(x)>f2(x-b)的解集为[-1,
],则可解得b=
.
8.(1)g(x)=x-2+
.(2)b=4时,交点为(5,4);b=0时,交点为(3,0).
(3)不等式的解集为{x|4<x<
或x>6
.
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